日期: 恒德教育 内部资料 严禁复印 兴教育者,恒德也
中考数学压轴题精练精讲(6)
1、如图,抛物线y=ax+bx+c与坐标轴分别交于A(-3,0),B(1,0),C(0,3)三点,D是抛物线顶点,E是对
称轴与x轴的交点.
2
(1)求抛物线的解析式;
1
(2)F是抛物线对称轴上一点,且tan∠AFE =,求点O到直线AF的距离;
2
(3)点P是x轴上的一个动点,过P作PQ∥OF交抛物线于点Q,是否存在以点O,F,P,Q为顶点的平行四边形?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由. 解:
9a-3b+c=0,a=-1,
(1)据题意得a+b+c=0,解得b=-2,
c=3.c=3.∴抛物线的解析式为:y=-x-2x+3. b
(2)当x=-=-1时,y=4,
2a∴顶点D(-1,4), ∴AE=-1-(-3)=2. 1
又∵tan∠AFE=,
2∴21=, EF2
2
2
2
∴EF=4,
∴F(-1,-4).过O作OH⊥AF于点H,根据勾股定理得AF=2+4=25, 11
∵³25OH=³3³4, 22
65∴OH=.
5
(3)存在,理由如下:若以点O,F,P,Q为顶点的平行四边形存在,则点Q(x,y)满足|y|=|EF|=4. ①当y=-4时,-x-2x+3=-4,解得x=-1±22. ∴Q1(-1-22,-4),Q2(-1+22,-4), ∴P1(-22,0),P2(22,0).
2
②当y=4时,-x-2x+3=4,解得x=-1. ∴Q3(-1,4), ∴P3(-2,0).
综上所述,符合条件的点有三个即:P1(-22,0),P2(22,0),P3(-2,0).
1 同心同德 持之以恒
2
姓名:
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2、如图,抛物线y=x-2x-3与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧),直线l与抛物线交于A、C两点,其中C
点的横坐标为2.
2
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)在抛物线的对称轴上找到点P,使得△PBC的周长最小,并求出点P的坐标;
(3)点G是抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F点坐标;如果不存在,请说明理由. 解:
2
(1)当y=0,即x-2x-3=0时,x1=-1,x2=3, 可知A(-1,0),B(3,0). ∵C点横坐标为2,
2
∴C点纵坐标为y=2-2³2-3=-3. ∴C点坐标为(2,-3).
(2)设A、C所在直线解析式为y=kx+b.
由A(-1,0),C(2,-3)求得k=-1,b=-1. ∴AC所在直线解析式为y=-x-1.
抛物线对称轴为x=1,B点关于对称轴对称的点为A,可知当P为对称轴与直线l的交点时,△PBC的周长最小.
x=1,
联立方程解得P(1,-2).
y=-x-1,
(3)F1(4+7,0),F2(4-7,0),F3(1,0),F4(-3,0).
2 同心同德 持之以恒
姓名:
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2
3、如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax+bx+c(a≠0)与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,直线y=kx+n(k≠0)经过B、C两点,已知A(1,0),C(0,3),且BC=5.
(1)分别求直线BC和抛物线的解析式(关系式);
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得以B、C、P三点为顶点的三角形是直角三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 解:
1.(1)∵C(0,3), ∴OC=3.
在Rt△BOC中,OC=3,BC=5,∠BOC=90°, 由勾股定理得OB=BC-OC=5-3=4. ∴点B(4,0).
∵直线y=kx+n经过B(4,0)和C(0,3),
3k=-,4k+n=0,4 ∴解得
n=3,n=3.
3
∴直线BC的解析式为y=-x+3.
4
∵抛物线y=ax+bx+c经过点A(1,0),B(4,0)和C(0,3),
2
2
2
2
2
a+b+c=0,
15 ∴16a+4b+c=0,解得
b=-,
4c=3,3215
∴抛物线的解析式为y=x-x+3.
44 (2)存在点P,使得△BCP为直角三角形.
c=3.
3a=,4
3215
理由如下:∵y=x-x+3,
44
3 同心同德 持之以恒
姓名:
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b5
∴x=-=. 2a2
5
∴抛物线的对称轴为直线x=. 2
539
设抛物线的对称轴与直线BC相交于点D,将x=代入y=-x+3,得y=.
248
595
∴点D的坐标为(,).设点P(,m),抛物线的对称轴为直线l,直线l与x轴相交于点E.①当以点C为直角顶
282点时,过点C作CP1⊥BC于点C,作CM⊥l于点M.
∵∠P1CM=∠CDM,∠CMP1=∠DMC, ∴△P1CM∽△CDM. ∴
P1MCM=, CMDM
2
∴CM=P1M²DM.
52919519∴()=(m-3)(3-),解得m=.∴点P1(,). 28323
②当以点B为直角顶点时,过点B作BP2⊥BC于点B,交l于点P2 ∵∠BDE=∠P2BE,∠DEB=∠BEP2, BEDE
∴△BDE∽△P2BE.∴=,
P2EBE∴BE=DE²P2E.
529
∴(4-)=²(-m),解得m=-2.
285
∴点P2(,-2).
2
③当以点P为直角顶点时,
∵∠CPM=∠PBE,∠CMP=∠PEB,
5
PMCMm-323+263-26
∴△CMP∽△PEB.∴=,即=.解得m1=,m2=. BEPE5m22
4-
253+2653-26∴P3(,),P4(,).
2222
519553+2653-26综上,使得△BCP为直角三角形的点P的坐标为P1(,),P2(,-2),P3(,),P4(,).
2322222
4 同心同德 持之以恒
2
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132
4、如图,已知二次函数y1=-x+x+c的图象与x轴的一个交点为A(4,0),与y轴的交点为B,过A、B的直
4线为y2=kx+b.
(1)求二次函数y1的解析式及点B的坐标;
(2)由图象写出满足y1 131322 1.(1)将A(4,0)代入y1=-x+x+c得-4+³4+c=0,解得c=3. 44132 ∴所求二次函数y1的解析式为y1=-x+x+3. 4 ∵当x=0时,y1=3.∴点B的坐标为B(0,3). (2)满足y1<y2的自变量x的取值范围是:x<0或x>4. (3)存在.理由如下:作线段AB的中垂线l,垂足为C,交x轴于点P1,交y轴于点P2. ∵A(4,0),B(0,3), ∴OA=4,OB=3. 522 ∴在Rt△AOB中,AB=OA+OB=5, ∴AC=BC=.∵Rt△ACP1与Rt△AOB有公共∠OAB, 25 AP1ACAP1225257 ∴Rt△ACP1∽Rt△AOB.∴=,即=,解得AP1=.而OP1=OA-AP1=4-=. ABOA8887 ∴点P1的坐标为P1(,0). 8 又∵Rt△P2CB与Rt△AOB有公共∠OBA, ∴Rt△P2CB∽Rt△AOB. 5 P2BBCP2B225257∴=,即=,解得P2B=.而OP2=P2B-OB=-3=. ABBO536667 ∴点P2的坐标为P2(0,-). 6 5 同心同德 持之以恒 姓名: 日期: 恒德教育 内部资料 严禁复印 兴教育者,恒德也 77 ∴所求点P的坐标为P1(,0),P2(0,-). 86 6 同心同德 持之以恒 因篇幅问题不能全部显示,请点此查看更多更全内容
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