中考数学压轴题精练精讲(6)

日期： 恒德教育 内部资料 严禁复印 兴教育者，恒德也

中考数学压轴题精练精讲（6）

1、如图，抛物线y＝ax＋bx＋c与坐标轴分别交于A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)三点，D是抛物线顶点，E是对

称轴与x轴的交点．

2

(1)求抛物线的解析式；

1

(2)F是抛物线对称轴上一点，且tan∠AFE ＝，求点O到直线AF的距离；

2

(3)点P是x轴上的一个动点，过P作PQ∥OF交抛物线于点Q，是否存在以点O，F，P，Q为顶点的平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 解：

9a－3b＋c＝0，a＝－1，

(1)据题意得a＋b＋c＝0，解得b＝－2，

c＝3.c＝3.∴抛物线的解析式为：y＝－x－2x＋3. b

(2)当x＝－＝－1时，y＝4，

2a∴顶点D(－1，4)， ∴AE＝－1－(－3)＝2. 1

又∵tan∠AFE＝，

2∴21＝， EF2

2

2

2

∴EF＝4，

∴F(－1，－4)．过O作OH⊥AF于点H，根据勾股定理得AF＝2＋4＝25， 11

∵³25OH＝³3³4， 22

65∴OH＝.

5

(3)存在，理由如下：若以点O，F，P，Q为顶点的平行四边形存在，则点Q(x，y)满足|y|＝|EF|＝4. ①当y＝－4时，－x－2x＋3＝－4，解得x＝－1±22. ∴Q1(－1－22，－4)，Q2(－1＋22，－4)， ∴P1(－22，0)，P2(22，0)．

2

②当y＝4时，－x－2x＋3＝4，解得x＝－1. ∴Q3(－1，4)， ∴P3(－2，0)．

综上所述，符合条件的点有三个即：P1(－22，0)，P2(22，0)，P3(－2，0)．

1 同心同德 持之以恒

2

姓名：

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2、如图，抛物线y＝x－2x－3与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧)，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C

点的横坐标为2.

2

(1)求A、B、C三点的坐标；

(2)在抛物线的对称轴上找到点P，使得△PBC的周长最小，并求出点P的坐标；

(3)点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由． 解：

2

(1)当y＝0，即x－2x－3＝0时，x1＝－1，x2＝3， 可知A(－1，0)，B(3，0)． ∵C点横坐标为2，

2

∴C点纵坐标为y＝2－2³2－3＝－3. ∴C点坐标为(2，－3)．

(2)设A、C所在直线解析式为y＝kx＋b.

由A(－1，0)，C(2，－3)求得k＝－1，b＝－1. ∴AC所在直线解析式为y＝－x－1.

抛物线对称轴为x＝1，B点关于对称轴对称的点为A，可知当P为对称轴与直线l的交点时，△PBC的周长最小．

x＝1，

联立方程解得P(1，－2)．

y＝－x－1，

(3)F1(4＋7，0)，F2(4－7，0)，F3(1，0)，F4(－3，0)．

2 同心同德 持之以恒

姓名：

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2

3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，直线y＝kx＋n(k≠0)经过B、C两点，已知A(1，0)，C(0，3)，且BC＝5.

(1)分别求直线BC和抛物线的解析式(关系式)；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B、C、P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：

1.(1)∵C(0，3)， ∴OC＝3.

在Rt△BOC中，OC＝3，BC＝5，∠BOC＝90°， 由勾股定理得OB＝BC－OC＝5－3＝4. ∴点B(4，0)．

∵直线y＝kx＋n经过B(4，0)和C(0，3)，

3k＝－，4k＋n＝0，4 ∴解得

n＝3，n＝3.

3

∴直线BC的解析式为y＝－x＋3.

4

∵抛物线y＝ax＋bx＋c经过点A(1，0)，B(4，0)和C(0，3)，

2

2

2

2

2

a＋b＋c＝0，

15 ∴16a＋4b＋c＝0，解得

b＝－，

4c＝3，3215

∴抛物线的解析式为y＝x－x＋3.

44 (2)存在点P，使得△BCP为直角三角形．

c＝3.

3a＝，4

3215

理由如下：∵y＝x－x＋3，

44

3 同心同德 持之以恒

姓名：

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b5

∴x＝－＝. 2a2

5

∴抛物线的对称轴为直线x＝. 2

539

设抛物线的对称轴与直线BC相交于点D，将x＝代入y＝－x＋3，得y＝.

248

595

∴点D的坐标为(，)．设点P(，m)，抛物线的对称轴为直线l，直线l与x轴相交于点E.①当以点C为直角顶

282点时，过点C作CP1⊥BC于点C，作CM⊥l于点M.

∵∠P1CM＝∠CDM，∠CMP1＝∠DMC， ∴△P1CM∽△CDM. ∴

P1MCM＝， CMDM

2

∴CM＝P1M²DM.

52919519∴()＝(m－3)(3－)，解得m＝.∴点P1(，)． 28323

②当以点B为直角顶点时，过点B作BP2⊥BC于点B，交l于点P2 ∵∠BDE＝∠P2BE，∠DEB＝∠BEP2， BEDE

∴△BDE∽△P2BE.∴＝，

P2EBE∴BE＝DE²P2E.

529

∴(4－)＝²(－m)，解得m＝－2.

285

∴点P2(，－2)．

2

③当以点P为直角顶点时，

∵∠CPM＝∠PBE，∠CMP＝∠PEB，

5

PMCMm－323＋263－26

∴△CMP∽△PEB.∴＝，即＝.解得m1＝，m2＝. BEPE5m22

4－

253＋2653－26∴P3(，)，P4(，)．

2222

519553＋2653－26综上，使得△BCP为直角三角形的点P的坐标为P1(，)，P2(，－2)，P3(，)，P4(，)．

2322222

4 同心同德 持之以恒

2

姓名：

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132

4、如图，已知二次函数y1＝－x＋x＋c的图象与x轴的一个交点为A(4，0)，与y轴的交点为B，过A、B的直

4线为y2＝kx＋b.

(1)求二次函数y1的解析式及点B的坐标；

(2)由图象写出满足y1(3)在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 解：

131322

1.(1)将A(4，0)代入y1＝－x＋x＋c得－4＋³4＋c＝0，解得c＝3.

44132

∴所求二次函数y1的解析式为y1＝－x＋x＋3.

4

∵当x＝0时，y1＝3.∴点B的坐标为B(0，3)．

(2)满足y1＜y2的自变量x的取值范围是：x＜0或x＞4.

(3)存在．理由如下：作线段AB的中垂线l，垂足为C，交x轴于点P1，交y轴于点P2.

∵A(4，0)，B(0，3)， ∴OA＝4，OB＝3.

522

∴在Rt△AOB中，AB＝OA＋OB＝5， ∴AC＝BC＝.∵Rt△ACP1与Rt△AOB有公共∠OAB，

25

AP1ACAP1225257

∴Rt△ACP1∽Rt△AOB.∴＝，即＝，解得AP1＝.而OP1＝OA－AP1＝4－＝.

ABOA8887

∴点P1的坐标为P1(，0)．

8

又∵Rt△P2CB与Rt△AOB有公共∠OBA， ∴Rt△P2CB∽Rt△AOB. 5

P2BBCP2B225257∴＝，即＝，解得P2B＝.而OP2＝P2B－OB＝－3＝. ABBO536667

∴点P2的坐标为P2(0，－)．

6

5 同心同德 持之以恒

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77

∴所求点P的坐标为P1(，0)，P2(0，－)．

86

6 同心同德 持之以恒