中考数学压轴题精练精讲(7)

日期： 恒德教育 内部资料 严禁复印 兴教育者，恒德也

中考数学压轴题精练精讲（7）

1、如图，抛物线与x轴交于A，B两点，直线y＝kx－1与抛物线交于A，C两点，其中A(－1，0)，B(3，0)，点

C的纵坐标为－3.

(1)求k值；

(2)求抛物线的解析式； (3)抛物线上是否存在点P，使得△ACP是以AC为底边的等腰三角形？如果存在，写出所有满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 解：

(1)把(－1，0)代入y＝kx－1，得－k－1＝0，解得k＝－1.

(2)在y＝－x－1中，令y＝－3，则－x－1＝－3，解得x＝2，则C的坐标是(2，－3)． a－b＋c＝0，a＝1，2

设抛物线的解析式是y＝ax＋bx＋c，则9a＋3b＋c＝0，解得b＝－2，

4a＋2b＋c＝－3.c＝－3.∴抛物线的解析式是y＝x－2x－3.

(3)存在．理由如下：

13

A、C的中点是：(，－)．∵△ACP是等腰三角形，且以AC为底边，∴P在AC的中垂线上，∴设AC的中垂线

221313

的解析式是：y＝x＋c，把(，－)代入得：＋c＝－，解得c＝－2.则解析式是y＝x－2.根据题意得：

22223＋133－13

x＝，x＝，22y＝x－2，

解得或 y＝x－2x－3，13－113＋1

y＝，y＝－.22

2

2

3＋1313－13－1313＋1

故P的坐标是：(，)或(，－)．

2222

1 同心同德 持之以恒

姓名：

日期： 恒德教育 内部资料 严禁复印 兴教育者，恒德也

2、如图，已知抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)交于x轴于A(－1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C(0，2)．

2

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点M为抛物线的顶点，连接BC、CM、BM，求△BCM的面积；

(3)连接AC，在x轴上是否存在点P，使△ACP为等腰三角形；若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：

2

(1)设抛物线解析式为y＝a(x＋1)(x－5)，又抛物线过点C(0，2)，代入得2＝－5a，∴a＝－.∴抛物线的解析式

52228

为y＝－(x＋1)(x－5)．即y＝－x＋x＋2.

555 (2)

182827

过M作ME⊥AB交x轴于点E，由(1)知M(2，)．S△BCM＝S梯OCME＋S△MEB－S△OCB＝＋－5＝6.

5553

(3)存在，点P的坐标为P1(5－1，0)，P2(－5－1，0)，P3(1，0)，P4(，0)．

2

2 同心同德 持之以恒

姓名：

日期： 恒德教育 内部资料 严禁复印 兴教育者，恒德也

3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax＋bx－3(a≠0)与x轴交于点A(－2，0)，B(4，0)两点，与y轴交

于点C.

2

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？

(3)当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK∶S△PBQ＝5∶2，求K点坐标． 解：

3a＝，84a－2b－3＝0，

(1)将A(－2，0)，B(4，0)两点坐标分别代入y＝ax＋bx－3(a≠0)，得解得∴抛物线

16a＋4b－3＝0.3

b＝－4.2

323

的解析式为：y＝x－x－3.

84

OCBC

(2)设运动时间为t秒．过点Q作QD⊥AB，垂足为D，易证△OCB∽△DQB，∴＝.

DQBQ∵OC＝3，OB＝4，BC＝5，AP＝3t，PB＝6－3t，BQ＝t，由题意知0＜t＜2. ∴

353＝，∴DQ＝t. DQt5

113929992

∴S△PBQ＝PB·DQ＝(6－3t)·t＝－t＋t＝－(t－1)＋.

2251051010

99

∴当t＝1时，S△PBQ最大，最大面积为.即当运动1秒时，△PBQ面积最大，最大面积为.

10103239

(3)设K(m，m－m－3)．连接CK，BK，作KL∥y轴交BC于点L.由(2)知S△PBQ＝.

8410

4k＋n＝0，9

∵S△CBK∶S△PBQ＝5∶2 ，∴S△CBK＝.设直线BC的解析式为y＝kx＋n，∵B(4，0)，C(0，－3)，∴解得

4n＝－3.

3k＝，3333133

4∴直线BC的解析式为y＝4x－3.∴L(m，4m－3)．∴KL＝2m－8m2.∵S△CBK＝S△KLC＋S△KLB＝2·(2m－8m2)·mn＝－3.

1332323292715

＋·(m－m)·(4－m)＝3m－m，即3m－m＝，解得m＝1或m＝3.∴K点坐标为(1，－)或(3，－)． 22844488

3 同心同德 持之以恒

姓名：

日期： 恒德教育 内部资料 严禁复印 兴教育者，恒德也

2

4、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l⊥y轴于点B(0，－2)，A为OB的中点，以A为顶点的抛物线y＝ax＋c(a≠0)与x轴分别交于C、D两点，且CD＝4.点P为抛物线上的一个动点，以P为圆心，PO为半径画圆．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若⊙P与y轴的另一交点为E，且OE＝2，求点P的坐标； (3)判断直线l与⊙P的位置关系，并说明理由． 解:

(1)∵A为OB的中点，B(0，－2)，∴A(0，－1)．∵抛物线y＝ax＋c对称轴为y轴，CD＝4，∴C(－2，0)，D(2，

12

c＝－1，a＝，x2

0)．把A(0，－1)，D(2，0)代入抛物线y＝ax＋c得：解得4∴抛物线的解析式为y＝－1.

44a＋c＝0.c＝－1.

2222x1xxx

(2)（2）设点P(x，－1)，过P作PM⊥y轴于点M，则OM＝OE＝1.∴|－1|＝1.∴－1＝1或－1＝－1.解得

42444

2

x1＝22，x2＝－22，x3＝0.∴点P坐标是P1(22，1)，P2(－22，1)，P3(0，－1)．

22xx222

(3)直线l与⊙P相切．设点P(x，－1)，过P作PN⊥l于点N，交x轴于点Q.在Rt△POQ中，PO＝x＋(－1)

44xxxxxxx22

＝x＋－＋1＝＋＋1.PN＝[－1－(－2)]＝＋＋1.∴PN＝PO.∴直线l与⊙P相切．

1621624162

2

4

2

4

2

2

4

2

4 同心同德 持之以恒