初中数学经典几何题(难)及答案分析1

经典难题（一）

三角形旁心性质及运用 与三角形的一边外侧相切，又与另两边的延长线相切的圆叫做三角形的旁切圆，如图，一个三角形有三个旁切圆，旁切圆的圆心简称为三角形的旁心。三角形的旁心有下列有趣的性质。 性质1 三角形的旁心是其一内角的角平分线（所在直线）和其他 两角的外角平分线的交点，每一个旁心到三边的距离相等 性质2 三角形的三个旁心与内心构成一垂心组，反过来，一个三 角形的顶点与垂心是高的垂足三角形的旁心与内心。

1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO． 求证：CD＝GF．（初二）

C

E

G

A B

D O F 2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．

A D 求证：△PBC是正三角形．（初二）

P C B

3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、

CC1、DD1的中点．

A D

求证：四边形A2B2C2D2是正方形．（初二） D2 A2 A1

D1

B1 C1

B2 C2

B C

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4、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC

的延长线交MN于E、F．

F 求证：∠DEN＝∠F． E

N C

D

A B

M 经典难题（二）

1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M． A （1）求证：AH＝2OM；

（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初二）

O

· H E

B C M D

2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q． G E 求证：AP＝AQ．（初二） O · C

B D

M N Q P A

3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：

设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN

E 于P、Q．

C 求证：AP＝AQ．（初二）

A Q M · N P

· O B

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4、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形

CBFG，点P是EF的中点．

D 求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．（初二） G C E

P A B Q F

经典难题（三）

1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．

求证：CE＝CF．（初二）

D A

F E

B C

2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．

求证：AE＝AF．（初二）

A D F

B C

E

3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．

求证：PA＝PF．（初二） A D F

B P C E

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4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于

B、D．求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三）

A

O D B P

E C F 经典难题（四）

1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．

求：∠APB的度数．（初二）

A P B C

2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．

求证：∠PAB＝∠PCB．（初二） A D

P

B C

3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）

A

D

B C

4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且 AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二）

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F A D

B P E C

经典难题（五）

1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC，求证：

P ≤L＜2． A

B C 2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．

A D P B C

3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．

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A P D C

4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300，

A ∠EBA＝200，求∠BED的度数．

D E B C 经典难题（一）

1.如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得

EOGOCO==,又CO=EO，所以CD=GF得证。 GFGHCD

2. 如下图做△DGC使与△ADP全等，可得△PDG为等边△，从而可得 △DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150 所以∠DCP=300 ，从而得出△PBC是正三角形

3.如下图连接BC1和AB1分别找其中点F,E.连接C2F与A2E并延长相交于Q点，

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连接EB2并延长交C2Q于H点，连接FB2并延长交A2Q于G点，

0111由A2E=1AB=BC= FB，EB=AB=BC=FC，又∠GFQ+∠Q=90和 11112 21 2222∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2 ， 可得△B2FC2≌△A2EB2 ，所以A2B2=B2C2 ， 又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2 , 从而可得∠A2B2 C2=900 ， 同理可得其他边垂直且相等，

从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。

4.如下图连接AC并取其中点Q，连接QN和QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM，从而得出∠DEN＝∠F。

经典难题（二）

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1.(1)延长AD到F连BF，做OG⊥AF,

又∠F=∠ACB=∠BHD，

可得BH=BF,从而可得HD=DF，

又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM

(2)连接OB，OC,既得∠BOC=1200，

从而可得∠BOM=600,

所以可得OB=2OM=AH=AO,

得证。

3.作OF⊥CD，OG⊥BE，连接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。

ADACCD2FDFD==== 由于， ABAEBE2BGBG 由此可得△ADF≌△ABG，从而可得∠AFC=∠AGE。

又因为PFOA与QGOA四点共圆，可得∠AFC=∠AOP和∠AGE=∠AOQ， ∠AOP=∠AOQ，从而可得AP=AQ。

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4.过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG，CI，FH。可得PQ=

AI+BIAB= ，从而得证。 22EG+FH。 2 由△EGA≌△AIC，可得EG=AI，由△BFH≌△CBI，可得FH=BI。 从而可得PQ=

经典难题（三）

1.顺时针旋转△ADE，到△ABG，连接CG. 由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350

从而可得B，G，D在一条直线上，可得△AGB≌△CGB。 推出AE=AG=AC=GC，可得△AGC为等边三角形。 ∠AGB=300，既得∠EAC=300，从而可得∠A EC=750。

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又∠EFC=∠DFA=450+300=750. 可证：CE=CF。

2.连接BD作CH⊥DE，可得四边形CGDH是正方形。

由AC=CE=2GC=2CH，

可得∠CEH=300，所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150，

又∠FAE=900+450+150=1500，

从而可知道∠F=150，从而得出AE=AF。

3.作FG⊥CD，FE⊥BE，可以得出GFEC为正方形。

令AB=Y ，BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X 。 tan∠BAP=tan∠EPF=

XZ=，可得YZ=XY-X2+XZ， YY-X+Z 即Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得X=Z ，得出△ABP≌△PEF ， 得到PA＝PF ，得证 。

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经典难题（四）

1. 顺时针旋转△ABP 600 ，连接PQ ，则△PBQ是正三角形。

可得△PQC是直角三角形。 所以∠APB=1500 。

2.作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使AE∥DC，BE∥PC. 可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，可得：

AEBP共圆（一边所对两角相等）。 可得∠BAP=∠BEP=∠BCP，得证。

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3.在BD取一点E，使∠BCE=∠ACD，既得△BEC∽△ADC，可得：

BEAD =，即AD•BC=BE•AC， ①

BCAC 又∠ACB=∠DCE，可得△ABC∽△DEC，既得

ABDE=，即AB•CD=DE•AC， ② ACDC 由①+②可得: AB•CD+AD•BC=AC(BE+DE)= AC·BD ，得证。

4.过D作AQ⊥AE ，AG⊥CF ，由S

ADE=

SABCD2=SDFC，可得：

AEPQAEPQ=，由AE=FC。 22 可得DQ=DG，可得∠DPA＝∠DPC（角平分线逆定理）。

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经典难题（五）

1.（1）顺时针旋转△BPC 600 ，可得△PBE为等边三角形。

既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上， 即如下图：可得最小L=

；

（2）过P点作BC的平行线交AB,AC与点D，F。 由于∠APD>∠AFP=∠ADP，

推出AD>AP ① 又BP+DP>BP ② 和PF+FC>PC ③ 又DF=AF ④

由①②③④可得：最大L< 2 ； 由（1）和（2）既得：

≤L＜2 。

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2.顺时针旋转△BPC 600 ，可得△PBE为等边三角形。

既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上， 即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF。

既得AF=134+23+(+1)2 = 2+3= 4222(3+1)2(3+1) = 226+2 。 2 =

=

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3.顺时针旋转△ABP 900 ，可得如下图：

既得正方形边长L = (2+222)+()2a = 5+22a 。 22

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4.在AB上找一点F，使∠BCF=600 ，

连接EF，DG，既得△BGC为等边三角形，

可得∠DCF=100 , ∠FCE=200 ,推出△ABE≌△ACF ， 得到BE=CF ， FG=GE 。

推出 ： △FGE为等边三角形 ，可得∠AFE=800 ，

既得：∠DFG=400 ① 又BD=BC=BG ，既得∠BGD=800 ，既得∠DGF=400 ② 推得：DF=DG ,得到：△DFE≌△DGE ， 从而推得：∠FED=∠BED=300 。

.如图，已知P是正方形ABCD内一点，△PBC是等边三角形，若△PAD的外接圆半径为a，则正方形ABCD边长为( )

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