台州市临海市外国语学校2019-2020学年初三第一学期第一次统练数学试卷(解析版)

临海市外国语学校2019-2020学年第一学期第一次统练

九年级数学 试卷

一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分)

1．若二次根式x2有意义，则x的取值范围是（ ）

A. x2

B. x2

C. x2

D. x2

【解答】由题意得，x-2≥0，解得x≥2．故选：D． 2．以下列各组数为三边的三角形中不是直角三角形的是（ ）

A. 9、12、15

B. 41、40、9

C. 25、7、24

D. 6、5、4

【解答】A、92+122=152，能构成直角三角形 B、92+402=412，能构成直角三角形 C、72+242=252，能构成直角三角形 D、52+42≠62，不能构成直角三角形 故选：D．

3．已知点（-2，y1），（3，y2）在一次函数y2x3的图像上，则y1，y2，0的大小关系是（ ）

A. y1y20

B. y10y2

C. y20y1

D. 0y1y2

【解答】∵一次函数y=2x-3中，k=2＞0，∴y随x的增大而增大． ∵-2＜0＜3，∴y1＜0＜y2．故选：B．

1254．计算：32的结果估计在（ ） 2

A. 6至7之间 B. 7至8之间 C. 8至9之间 D. 9至10之间

1【解答】32225 =1610 =4+10 ∵3104 ∴74108 故选：B． 5．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）

A. AB∥CD，AD∥BC C. AD=BC，AB∥CD

B. OA=OC，OB=OD D. AB=CD，AD=BC

【解答】A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定； C、无法判定，四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形； B、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定； D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定； 故选：C．

6．在一些“打分类”比赛当中，经常采用这样的方法来得到一名选手的最终成绩：将所有评委的打分组成一组数据，去掉一个最高分和一个最低分，得到一组新的数据，再计算平均分，假设评委不少于4人，则比较两组数据，一定不会发生的变化是（）

A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差

【解答】统计每位选手得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，这样做不会对数据的中间的数产生影响，即中位数． 故选：B．

7.若关于x的一元二次方程（k-1）x2＋4x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是（）

A. k＜5

B. k≤5

C. k＜5，且k≠1

D. k≤5，且k≠1

【解答】由题意得，该方程为一元二次方程，因此k-1≠0，又因为方程有实根，b4ac0

2综上解得k≤5，且k≠1． 故选：D．

8.已知二次函数y＝2x2+bx+1，当b取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，如图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），则这条虚线型抛物线的解析式是（ ）

A．y＝﹣x2+1

B．y＝﹣2x2+1

C．y＝﹣x2+1

D．y＝﹣4x2+1

【解答】∵y＝2x2+bx+1的顶点坐标是（﹣，

），

设x＝﹣，y＝，

∴b＝﹣4x，

∴y＝＝

＝1﹣2x2．

∴所求抛物线的解析式为：y＝1﹣2x2． 故选：B．

9.如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE＝a，HG＝b，则斜边BD的长是（

2222A．a+b B．a﹣b C．

ab2

D．ab2【解答】设CD＝x，则DE＝a﹣x， ∵HG＝b，

∴AH＝CD＝AG﹣HG＝DE﹣HG＝a﹣x﹣b＝x， ∴x＝

，

∴BC＝DE＝a﹣＝，

∴BD2＝BC2+CD2＝（）2+（）2＝

，

∴BD＝，

故选：C．

）

10.如图，已知AB=12，G、H是线段AB的三等分点，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，DAP=60，M，N分别是对角线AC，BE的中点，在点P从点G运动到点H的过程中，MN的长度的取值范围是（）

A. 27≤MN≤6

C. 33≤MN≤6

【解答】

①连接MP，NP，

∵G，H是线段AB的三等分点 ∴AG=GH=HB=4

∵菱形APCD和菱形PBFE，∠DAP=60°，

13∴MP=2AP=2，NP=2 BP=43，

∵M、N分别是对角线AC、BE的中点， ∴∠MPC=60°，∠EPN=30°， ∴MP⊥NP， ∴MN2=MP2+NP2，

13即MN2=（2AP）2+（2BP）2=4+48=52

B. 27≤MN≤213

D. 33≤MN≤213

∴点M、N之间的距离最长为213 ②∵菱形APCD和菱形PBFE，∠DAP=60°，

31∴MP=2AH=4，NP=2 BH=23，

∵M、N分别是对角线AC、BE的中点， ∴∠MPC=60°，∠EPN=30°， ∴MP⊥NP， ∴MN2=MP2+NP2，

31即MN2=（2AP）2+（2BP）2=16+12=28

∴点M、N之间的距离最短为27

∴MN的长度的取值范围为27≤MN≤213 故答案选：B

二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分)

11.4=________.

【解答】因为4222，所以解得答案为2. 12. 学校组织“我的青春我做主”演讲比赛，小红演讲内容得10分，语言表达得8分.若按演讲内容占40%，语言表达占60%得比例计算总成绩，则她的总成绩是_________.

1040%860%8.8100%【解答】小红的总成绩为：（分） 故答案为：8.8 13. 已知直线y=2x+4与x轴和y轴的交点分别为A，B，O为坐标原点，则

SAOB=________.

【解答】当x=0时，y=4,即与y轴的交点是B（0，4）；当y=0时，x=-2,即与x1轴的交点为A（-2，0），解得SAOB是：242=4. 14.如图，“人字梯”放在水平的地面上，当梯子的一边与地面所夹的锐角α为60°时，两梯角之间的距离BC的长为3m．周日亮亮帮助妈妈整理换季衣服，先使α为60°，后又调整α为45°，则梯子顶端离地面的高度AD下降了

m（结果保留根号）．

【解答】如图1所示： 过点A作AD⊥BC于点D， 由题意可得：∠B＝∠C＝60°， 则△ABC是等边三角形， 故BC＝AB＝AC＝3m， 则AD＝3sin60°＝

m，

如图2所示：

过点A作AE⊥BC于点E， 由题意可得：∠B＝∠C＝60°，

则△ABC是等腰直角三角形，BC＝AB＝3m， 则AE＝3sin45°＝

m，

故梯子顶端离地面的高度AD下降了m．

故答案为：．

15. 已知-2是三次方程x3bxc0的唯一实数根，求c的取值范围.下面是小丽的解法:

根据小丽的解法，则b的取值范围是______________. 【解答】因为-2是三次方程解:因为-2是三次方程x3bxc0的唯一实数23根,所以x2xmxnxbxc 可得m=-2，n=1c 22再由m4n0 xbxc0的唯一实数，所以3x2x2mxnx3bxc， x3mx2nx2x22mx2nx3bxc x3m2x2n2mx2nx3bxc m20则n2mb 2nc可得m=-2，n=1c， 22再由m4n0

4-4n<0，n>1

n-4>-3， b=n+2m=n-4 b>-3

故答案为：b>-3．

16.如图，正方形纸片ABCD边长为6，点E，F分别是AB，CD的中点，点G，H分别在AD，AB上，将纸片沿直线GH对折，当顶点A与线段EF的三等分点重合时，AH的长为

或

．

【解答】∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥DC，AD＝BC＝AB＝CD＝6，∠A＝90° ∵点E，F分别是AB，CD的中点， ∴AE＝BE＝3＝DF＝CF， ∴四边形AEFD是矩形， ∴AD＝EF＝6， 如图，EM＝EF＝2

∵折叠 ∴AH＝HM，

在Rt△HEM中，HM2＝HE2+EM2， ∴AH2＝（3﹣AH）2+4， ∴AH＝

如图，EM＝EF＝4，

∵折叠 ∴AH＝HM，

在Rt△EHM中，HM2＝HE2+EM2， ∴AH2＝（AH﹣3）2+16， ∴AH＝

故答案为：或

三、解答题（本题有8小题，第17~20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12

分，第24题14分，共80分)

117.计算：483-27-312 【解答】原式=433-33-323=4-16=-12 318. 解方程：x4x50

22【解答】配方得：x4x50，即（x-5）(x+1)=0,解得x15，x21 19.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交点为A（﹣3，0），与y轴交点为B，且与正比例函数y＝x的图象交于点C（m，4）

（1）求m的值及一次函数y＝kx+b的表达式；

（2）观察函数图象，直接写出关于x的不等式x≤kx+b的解集；

（3）若P是y轴上一点，且△PBC的面积是8，直接写出点P的坐标．

【解答】（1）∵点C（m，4）在正比例函数的y＝x图象上，

∴m＝4，

∴m＝3，

即点C坐标为（3，4），

∵一次函数 y＝kx+b经过A（﹣3，0）、点C（3，4） ∴

，

解得：，

∴一次函数的表达式为：y＝x+2；

（2）由图象可得不等式x≤kx+b的解为：x≤3；

（3）把x＝0代入y＝x+2得：y＝2，

即点B的坐标为（0，2），

∵点P是y轴上一点，且△BPC的面积为8， ∴×BP×3＝8，

∴PB＝，

又∵点B的坐标为（0，2）， ∴PO＝2+

＝

，或PO＝

﹣2＝

，

∴点P 的坐标为（0，）或（0，﹣）．

20.为宣传节约用水，小明随机调查了某小区部分家庭5月份的用水情况，并将收集的数据整理成如下统计图.

（1）小明一共调查了多少户家庭？

（2）所调查家庭5月份用水量的中位数、众数、平均数； （3）若该小区有400户居民，请你估计这个小区5月份的用水量. 【解答】（1）1+1+3+6+4+2+2+1=20 答：小明一共调查了20户家庭

（2）所调查家庭5月份用水量平均数：

（1×1+1×2+3×3+4×6+5×4+6×2+7×2+8×1）20=4.5（吨） 用水量4吨的用户最多，有6户，故众数为4吨 中位数是处于中间位置的数，即4吨

（3）根据题意得：400×4.5=1800（吨）

20.如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上． （1）求证：BG＝DE；

（2）若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．

【解答】（1）∵四边形EFGH是矩形， ∴EH＝FG，EH∥FG， ∴∠GFH＝∠EHF，

∵∠BFG＝180°﹣∠GFH，∠DHE＝180°﹣∠EHF， ∴∠BFG＝∠DHE， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∴∠GBF＝∠EDH， ∴△BGF≌△DEH（AAS）， ∴BG＝DE； （2）连接EG，

∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵E为AD中点， ∴AE＝ED， ∵BG＝DE，

∴AE＝BG，AE∥BG，

∴四边形ABGE是平行四边形， ∴AB＝EG， ∵EG＝FH＝2， ∴AB＝2，

∴菱形ABCD的周长＝8．

2yaxbxc的部分图象如图所示，其中图象与x轴交于点A（-1，0），22.二次函数

与y轴交于点C（0，-5），且经过点D（3，-8）． （1）求此二次函数的解析式；

2ya(xh)k的形式，并直接写出顶点坐标以及它（2）将此二次函数的解析式写成

与x轴的另一个交点B的坐标．

（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c-t=0（t为实数）在-1≤x≤3的范围内有解，则t的取值范围是______________

【解答】（1）根据题意得，

abc0①c5②9a3bc8③ ，

②分别代入①、③得， a-b=5④， 3a+b=-1⑤， ④+⑤得，4a=4， 解得a=1，

把a=1代入④得，1-b=5， 解得b=-4， ∴方程组的解是

a1b4c5，

∴此二次函数的解析式为y=x2-4x-5； （2）y=x2-4x-5=x2-4x+4-4-5=（x-2）2-9， 二次函数的解析式为y=（x-2）2-9， 顶点坐标为（2，-9）， 对称轴为x=2，

设另一点坐标为B（a，0）， 则-1+a=2×2， 解得a=5，

∴点B的坐标是B（5，0）；

（3）由（1）可知二次函数解析式为y=x2-4x-5， 即y=（x-2）2-9， x=-1时，y=9-9=0， x=3时，y=1-9=-8，

∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c-t=0（t为实数）在-1＜x＜3的范围内有解相当于y=ax2+bx+c与直线y=t的交点的横坐标， ∴当-8≤t≤0时，在-1＜x＜3的范围内有解．

故答案为：-8≤t≤0．

23.涌泉镇是中国无核蜜桔之乡，已知某蜜桔种植大户冯大爷的蜜桔成本为2元/千克，如果在未来90天蜜桔的销售单价p（元/千克）与时间t（天）之间的函数关系式为

12(1t40,t为整数）p1（41t90，t为整数）-10t16，且蜜桔的日销量y（千克）与时间t（天）满

足一次函数关系，其部分数据如下表所示： 时间 t/天 日销售量 y/千克 （1）求y与t之间的函数表达式；

（2）在未来90天的销售中，预测哪一天的日销售利润最大？最大日销售利润为多少元？ （3）在实际销售的后51天中，冯大爷决定每销售1千克蜜桔就捐赠n元利润（n＜5）给留守儿童作为助学金，销售过程中冯大爷发现，恰好从第51天开始，和前一天相比，扣除捐赠后的日销售利润逐日减少，请求出n的取值范围． 【解答】（1）设y=kt+b，把t=1，y=105；t=10，y=150代入得到：

105 150 200 300 450 550 1 10 20 40 70 90 kb10510kb150，

解得：

k5b100，

∴y=5t+100；

（2）设第x天的销售利润为w元．

当1≤t≤40时，由题意w=（12-2）（5t+100）=50t+1000； 当t=40时 w最大值为3000元；

5t100当41≤t≤90时，w=1t1621t260t140010=2

1∵对称轴t=60，a=2＜0，

∴在对称轴左侧w随x增大而增大， ∴t=60时，w最大值=3200，

综上所述前60天利润最大，最大利润为3200元．

（3）设每天扣除捐赠后的日销售利润为m元．

5t100由题意m=11t162t210-5t100n=2+605nt+1400-100n

∵在后51天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而减少，

605n122≤40 ∴∴n≥4． 又∵n＜5，

∴n的取值范围为≤4n≤5．

24.在菱形ABCD中，∠BAD=60°．

（1）如图1，点E为线段AB的中点，连接DE、CE、若AB=4，求线段EC的长 （2）如图2，M为线段AC上一点（不与A、C重合），以AM为边向上构造等边三角形AMN，线段AN与AD交于点G，连接NC、DM，Q为线段NC的中点，连接DQ、MQ，判断DM与DQ的数量关系，并证明你的结论

（3）在（2）的条件下，若AC=3，请你直接写出DM+CN的最小值．

【解答】（1）如图1，连接BD，则BD平分∠ABC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，

∴∠A+∠ABC=180°， ∵∠A=60°， ∴∠ABC=120°，

1∴∠ABD=2∠ABC=60°，

∴△ABD是等边三角形， ∴BD=AD=4， ∵E是AB的中点， ∴DE⊥AB，

由勾股定理得：DE=4223， ∵DC∥AB，

∴∠EDC=∠DEA=90°， 在Rt△DEC中，DC=4， EC=

（2）如图2，延长CD至H，使DH=CD，连接NH、AH， ∵AD=CD，

224223227；

∴AD=DH，∵CD∥AB，

∴∠HDA=∠BAD=60°， ∴△ADH是等边三角形， ∴AH=AD，∠HAD=60°， ∵△AMN是等边三角形， ∴AM=AN，∠NAM=60°，

∴∠HAN+∠NAG=∠NAG+∠DAM， ∴∠HAN=∠DAM， 在△ANH和△AMD中，

AHADHANDAMANAM∵，

∴△ANH≌△AMD（SAS）， ∴HN=DM，

∵D是CH的中点，Q是NC的中点， ∴DQ是△CHN的中位线， ∴HN=2DQ， ∴DM=2DQ．

（3）如图2，由（2）知，HN=DM， ∴要CN+DM最小，便是CN+HN最小，

即：点C，H，N在同一条线上时，CN+DM最小， 此时，点D和点Q重合， 即：CN+DM的最小值为CH，

如图3，

由（2）知，△ADH是等边三角形， ∴∠H=60°．

∵AC是菱形ABCD的对角线，

11∴∠ACD=2∠BCD=2∠BAD=30°，

∴∠CAH=180°-30°-60°=90°， 在Rt△ACH中，CH=2， ∴DM+CN的最小值为2．