立体几何典型例题

1．空间直线和平面的位置关系：(1)空间两条直线：

①有公共点：相交，记作：a∩b＝A，其中特殊位置关系：两直线垂直相交．

②无公共点：平行或异面．平行，记作：a∥b．

异面中特殊位置关系：异面垂直．(2)空间直线与平面：

①有公共点：直线在平面内或直线与平面相交．直线在平面内，记作：aα ．

直线与平面相交，记作：a∩α ＝A，其中特殊位置关系：直线与平面垂直相交．

②无公共点：直线与平面平行，记作：a∥α ．(3)空间两个平面：

①有公共点：相交，记作：α ∩β ＝l，其中特殊位置关系：两平面垂直相交．

②无公共点：平行，记作：α ∥β ．2．空间作为推理依据的公理和定理：(1)四个公理与等角定理：

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内．

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．

(2)空间中线面平行、垂直的性质与判定定理：①判定定理：

如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．

如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行．

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂

直．

②性质定理：

如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行．

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．垂直于同一个平面的两条直线平行．

如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直．【例题分析】

例2 在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN∥平面PAD．

【分析】要证明“线面平行”，可通过“线线平行”或“面面平行”进行转化；题目中出现了中点的条件，因此可考虑构造(添加)中位线辅助证明．

证明：方法一，取PD中点E，连接AE，NE．

∵底面ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点，∴MA∥CD，

∵E是PD的中点，∴NE∥CD，

∴MA∥NE，且MA＝NE，∴AENM是平行四边形，∴MN∥AE．

又AE平面PAD，MN 平面PAD，∴MN∥平面PAD．

方法二取CD中点F，连接MF，NF．∵MF∥AD，NF∥PD，

∴平面MNF∥平面PAD，∴MN∥平面PAD．

【评述】关于直线和平面平行的问题，可归纳如下方法：(1)证明线线平行：a∥c，b∥c，a∥α，aβα∥βa⊥α，b⊥α

γ ∩α＝a，γ

α∩β＝b

∩β＝b

a∥ba∥ba∥ba∥b(2)证明线面平行：

a∩α＝a∥bα∥β bα，aαaβa∥αa∥αa∥α

(3)证明面面平行：

α∩β＝a∥β，b∥βa⊥α，a⊥βα∥γ ，β∥γ a，bα，a∩b＝A α∥βα∥βα∥βα∥β例3 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AC，AB⊥AC，求证：A1C⊥BC1．

【分析】要证明“线线垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，因此设法证明A1C垂直于经过BC1的平面即可．

证明：连接AC1．

∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，∴AB⊥AA1．又AB⊥AC，

∴AB⊥平面A1ACC1，∴A1C⊥AB．①又AA1＝AC，

∴侧面A1ACC1是正方形，∴A1C⊥AC1．②

由①，②得A1C⊥平面ABC1，

∴A1C⊥BC1．

【评述】空间中直线和平面垂直关系的论证往往是以“线面垂直”为核心展开的．如本题已知条件中出现的“直三棱柱”及“AB⊥AC”都要将其向“线面垂直”进行转化．

例4 在三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥平

面ABC，AB⊥BC，AP⊥PB，求证：平面PAC⊥平面PBC．

【分析】要证明“面面垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，而“线面垂直”又 可以通过“线线垂直”进行转化．

证明：

∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，且AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，∴AP⊥BC．又AP⊥PB，

∴AP⊥平面PBC，又AP平面PAC，

∴平面PAC⊥平面PBC．

【评述】关于直线和平面垂直的问题，可归纳如下方法：(1)证明线线垂直：

a⊥c，b∥c，

a⊥b

(1)证明线面垂直：

a⊥αbαa⊥b

a⊥m，a⊥na∥b，b⊥αα∥β，a⊥βα⊥β，α∩β＝l

m，nα，m∩n＝Aaβ，a⊥l

a⊥αa⊥αa⊥αa⊥α

(1)证明面面垂直：

a⊥β，aαα⊥β

例5 如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面A1ABB1是菱形，且垂直于底面ABC，∠A1AB＝60°，E，F分别是AB1，BC的中点．

(Ⅰ)求证：直线EF∥平面A1ACC1；

(Ⅱ)在线段AB上确定一点G，使平面EFG⊥平面ABC，并给出证明．

证明：(Ⅰ)连接A1C，A1E．

∵侧面A1ABB1是菱形， E是AB1的中点，∴E也是A1B的中点，

又F是BC的中点，∴EF∥A1C．

∵A1C平面A1ACC1，EF平面A1ACC1，∴直线EF∥平面A1ACC1．

(2)解：当时，平面EFG⊥平面ABC，证明如下：连接EG，FG．

∵侧面A1ABB1是菱形，且∠A1AB＝60°，∴△A1AB是等边三角形．∵E是A1B的中点，，∴EG⊥AB．

∵平面A1ABB1⊥平面ABC，且平面A1ABB1∩平面ABC＝AB，

∴EG⊥平面ABC．

又EG平面EFG，∴平面EFG⊥平面ABC．

练习7－1

一、选择题：

1．已知m，n是两条不同直线，α ，β ，γ 是三个不同平面，下列命题中正确的是( )

(A)若m∥α ，n∥α ，则m∥n (B)若m⊥α ，n⊥α ，则m∥n(C)若α ⊥γ ，β ⊥γ ，则α ∥β (D)若m∥α ，m∥β ，则α ∥β

2．已知直线m，n和平面α ，β ，且m⊥n，m⊥α ，α ⊥β ，则( )

(A)n⊥β (B)n∥β ，或nβ(C)n⊥α (D)n∥α ，或nα

3．设a，b是两条直线，α 、β 是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是( )

(A)a⊥α ，b∥β ，α ⊥β (B)a⊥α ，b⊥β ，α ∥β(C)aα ，b⊥β ，α ∥β (D)aα ，b∥β ，α ⊥β4．设直线m与平面α 相交但不垂直，则下列说法中正确的是( )(A)在平面α 内有且只有一条直线与直线m垂直(B)过直线m有且只有一个平面与平面α 垂直(C)与直线m垂直的直线不可能与平面α 平行(D)与直线m平行的平面不可能与平面α 垂直二、填空题：

5．在三棱锥P－ABC中，，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，AB⊥BC，∠BAC＝30°，则PC＝______．

6．在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，当底面ABCD满足条件______时，有A1C⊥B1D1．(只要求写出一种条件即可)

7．设α ，β 是两个不同的平面，m，n是平面α ，β 之外的两条不同直线，给出四个论断：

①m⊥n ②α ⊥β ③n⊥β ④m⊥α

以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出正确的一个命题______．

8．已知平面α ⊥平面β ，α ∩β ＝l，点A∈α ，Al，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α ，m∥β ，给出下列四种位置：①AB∥m；②AC⊥m；③AB∥β ；④AC⊥β ，

上述四种位置关系中，不一定成立的结论的序号是______．三、解答题：

9．如图，三棱锥P－ABC的三个侧面均为边长是1的等边三角形，M，N分别为PA，BC的中点．

(Ⅰ)求MN的长；(Ⅱ)求证：PA⊥BC．

10．如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E、F分别

是AB、BD的中点．求证：

(Ⅰ)直线EF∥平面ACD；(Ⅱ)平面EFC⊥平面BCD．

11．如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯

形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD，，G，H分别为FA，FD的中点．

(Ⅰ)证明：四边形BCHG是平行四边形；(Ⅱ)C，D，F，E四点是否共面?为什么?

(Ⅲ)设AB＝BE，证明：平面ADE⊥平面CDE．

例2 如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，E是AC的中点．

(Ⅰ)求证：平面BEC1⊥平面ACC1A1；(Ⅱ)求证：AB1∥平面BEC1．

【分析】本题给出的三棱柱不是直立形式的直观图，这种情况下对空间想象能力提出了更高的要求，可以根据几何体自身的性质，适当添加辅助线帮助思考．

证明：(Ⅰ)∵ABC－A1B1C1是正三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，∴BE⊥AA1．

∵△ABC是正三角形，E是AC的中点，∴BE⊥AC，∴BE⊥平面ACC1A1，又BE平面BEC1，

∴平面BEC1⊥平面ACC1A1．

(Ⅱ)证明：连接B1C，设BC1∩B1C＝D．

∵BCC1B1是矩形，D是B1C的中点， ∴DE∥AB1．又DE平面BEC1，AB1平面BEC1，∴AB1∥平面BEC1．

例3 在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，．

(Ⅰ)设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；(Ⅱ)求四棱锥P－ABCD的体积．

【分析】本题中的数量关系较多，可考虑从“算”的角度入手分析，如从M是PC上的动点分析知，MB，MD随点M的变动而运动，因此可考虑平面MBD内“不动”的直线BD是否垂直平面PAD．

证明：(Ⅰ)在△ABD中，由于AD＝4，BD＝8，，所以AD2＋BD2＝AB2．故AD⊥BD．

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD平面ABCD，

所以BD⊥平面PAD，

又BD平面MBD，故平面MBD⊥平面PAD．(Ⅱ)解：过P作PO⊥AD交AD于O，

由于平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD．因此PO为四棱锥P－ABCD的高，

又△PAD是边长为4的等边三角形．因此

在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，

所以四边形ABCD是梯形，在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为，即为梯形ABCD的高，

所以四边形ABCD的面积为故

专题七 立体几何参

练习7-1

一、选择题：

1．B 2．D 3．C 4．B二、填空题：

5． 6．AC⊥BD(或能得出此结论的其他条件)7．②、③、④①；或①、③、④② 8．④三、解答题：

9．(Ⅰ)解：连接MB，MC．

∵三棱锥P－ABC的三个侧面均为边长是1的等边三角形，∴，且底面△ABC也是边长为1的等边三角形．∵N为BC的中点，∴MN⊥BC．在Rt△MNB中，

(Ⅱ)证明：∵M是PA的中点，∴PA⊥MB，同理PA⊥MC．

∵MB∩MC＝M，∴PA⊥平面MBC，又BC平面MBC，∴PA⊥BC．

10．证明：(Ⅰ)∵E、F分别是AB、BD的中点，

∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD．

又EF平面ACD，AD平面ACD，∴直线EF∥平面ACD．

(Ⅱ)∵EF∥AD，AD⊥BD，∴EF⊥BD．

∵CB＝CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD．∵CF∩EF＝F，∴BD⊥平面CEF．

∵BD平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD．

11．(Ⅰ)由题意知，FG＝GA，FH＝HD，∴GH∥AD，

又BC∥AD，，∴GH∥BC，GH＝BC，∴四边形BCHG是平行四边形．

(Ⅱ)C，D，F，E四点共面．理由如下：由BE∥AF，，G是FA的中点，

得BE∥FG，且BE＝FG．∴EF∥BG．

由(Ⅰ)知BG∥CH，∴EF∥CH，故EC，FH共面，又点D在直线

FH上，

所以C，D，F，E四点共面．(Ⅲ)连结EG，

由AB＝BE，BE∥AG，BE＝AG及∠BAG＝90°，知ABEG是正方

形，

故BG⊥EA．

由题设知FA，AD，AB两两垂直，故AD⊥平面FABE，

∴BG⊥AD．

∴BG⊥平面EAD，∴BG⊥ED．又ED∩EA＝E，∴BG⊥平面ADF．由(Ⅰ)知CH∥BG，∴CH⊥平面ADE．

由(Ⅱ)知F∈平面CDE，故CH平面CDE，得平面ADE⊥平

面CDE．