人教版初中数学函数基础知识难题汇编附解析

一、选择题

1．如图，在矩形ABCD中，AB2，BC3，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D．设运动的路程为x，ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】D 【解析】 【分析】

由题意当0x3时，y3，当3x5时，y可判断． 【详解】

由题意当0x3时，y3， 当3x5时，y故选D． 【点睛】

本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论是扇形思考问题．

131535xx，由此即222131535xx， 222

2．如图，矩形ABCD中，AB6cm，BC3cm，动点P从A点出发以1cm/秒向终

点B运动，动点Q同时从A点出发以2cm/秒按ADCB的方向在边AD，

2DC，CB上运动，设运动时间为x（秒），那么APQ的面积ycm随着时间x（秒）变化的函数图象大致为（ ）

A． B．

C．

D．

【答案】A 【解析】 【分析】

根据题意分三种情况讨论△APQ面积的变化，进而得出△APQ的面积y（cm2）随着时间x（秒）变化的函数图象大致情况． 【详解】

解：根据题意可知：AP＝x，Q点运动路程为2x， ①当点Q在AD上运动时，

11AP•AQ＝x•2x＝x2，图象为开口向上的二次函数； 22②当点Q在DC上运动时，

y＝

113AP•DA＝x×3＝x，是一次函数； 222③当点Q在BC上运动时，

y＝

11AP•BQ＝x•（12−2x）＝−x2＋6x，为开口向下的二次函数， 22结合图象可知A选项函数关系图正确，

y＝

故选：A． 【点睛】

本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是分三种情况讨论三角形APQ的面积变化．

3．如图，在直角三角形ABC中，B90，AB4，BC3，动点E从点B开始沿BC以2cm/s的速度运动至C点停止；动点F从点B同时出发沿BA以1cm/s的速度运动至A点停止，连接EF．设运动时间为x（单位：s），ABC去掉BEF后剩余部分的面积为y（单位：cm2），则能大致反映y与x的函数关系的图象是（ ）

A． B． C． D．

【答案】B 【解析】 【分析】

根据已知题意写出函数关系，y为ABC去掉BEF后剩余部分的面积，注意1．5秒时点E运动到C点，而点F则继续运动，因此y的变化应分为两个阶段． 【详解】 解：SABC当0x当

1436， 21322时，SBEF2xxx．ySABCSBEF6x； 221333x4时，SBEF3xx，ySABCSBEF6x，

222233时，函数为二次函数，当x4时，函数为一次函数． 22由此可知当0x故选B． 【点睛】

本题主要考查了动点问题与函数图像相结合，解题的关键在于根据运动过程写出函数关

系，要注意自变量的取值范围，以及是否为分段函数．

4．如图，一只蚂蚁以均匀的速度沿台阶A1⇒A2⇒A3⇒A4⇒A5爬行，那么蚂蚁爬行的高度h随时间t变化的图象大致是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】B 【解析】 【分析】

从A：到A2蚂蚁是匀速前进，随着时间的增多，爬行的高度也将由0匀速上升，从A2到A：随着时间的增多，高度将不再变化，由此即可求出答案. 【详解】

解：因为蚂蚁以均匀的速度沿台阶A1→A2→A3→A4→A5爬行，从A1→A2的过程中，高度随时间匀速上升，从A2→A3的过程，高度不变，从A3一A4的过程，高度随时间匀速上升，从A4.→A5的过程中，高度不变，所以蚂蚁爬行的高度h随时间t变化的图象是B. 故选：B. 【点睛】

主要考查了函数图象的读图能力.要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际情况采用排除法求解.

5．如图所示，菱形ABCD中，直线l⊥边AB，并从点A出发向右平移，设直线l在菱形ABCD内部截得的线段EF的长为y，平移距离x＝AF，y与x之间的函数关系的图象如图2所示，则菱形ABCD的面积为（ ）

A．3 【答案】C

B．3 C．23 D．33 【解析】 【分析】

将图1和图2结合起来分析，分别得出直线l过点D，B和C时对应的x值和y值，从而得出菱形的边长和高，从而得其面积． 【详解】

解：由图2可知，当直线l过点D时，x＝AF＝a，菱形ABCD的高等于线段EF的长，此时y＝EF＝3 ；

直线l向右平移直到点F过点B时，y＝3； 当直线l过点C时，x＝a+2，y＝0 ∴菱形的边长为a+2﹣a＝2

∴当点E与点D重合时，由勾股定理得a2+(3)2＝4 ∴a＝1

∴菱形的高为3 ∴菱形的面积为23． 故选：C． 【点睛】

本题是动点函数图象问题，将图形的运动与函数图象结合起来分析，是解决此类问题的关键，

6．随着“互联网+”时代的到来，一种新型的打车方式受到大众欢迎．打车总费用y(单位：元)与行驶里程x(单位：千米)的函数关系如图所示．如果小明某次打车行驶里程为22千米，则他的打车费用为( )

A．33元 【答案】C 【解析】

B．36元 C．40元 D．42元

分析：待定系数法求出当x≥12时y关于x的函数解析式，再求出x=22时y的值即可． 详解：当行驶里程x⩾12时，设y=kx+b， 将(8,12)、(11,18)代入，

8kb12 ， 得：11kb18k2 ， 解得：b4∴y=2x−4，

当x=22时，y=2×22−4=40，

∴当小明某次打车行驶里程为22千米，则他的打车费用为40元. 故选C.

点睛：本题考查一次函数图象和实际应用. 认真分析图象，并利用待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键.

7．小丽早上步行去车站然后坐车去学校，下列能近似的刻画她离学校的距离随时间变化的大致图象是( )

A． B．

C． D．

【答案】D 【解析】 【分析】

根据上学，可得离学校的距离越来越小，根据开始步行，可得距离变化慢，后来坐车，可得距离变化快． 【详解】

解：A、距离越来越大，选项错误；

B、距离越来越小，但前后变化快慢一样，选项错误； C、距离越来越大，选项错误；

D、距离越来越小，且距离先变化慢，后变化快，选项正确； 故选：D． 【点睛】

本题考查了函数图象，观察距离随时间的变化是解题关键．

8．已知：在ABC中，BC 10,BC边上的高h5，点E在边AB上，过点E作

EF//BC交AC边于点F．点D为BC上一点，连接DE、DF．设点E到BC的距离为x，则DEF的面积S关于x的函数图象大致为（ ）

A． B．

C． D．

【答案】D 【解析】 【分析】

判断出△AEF和△ABC相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出EF，再根据三角形的面积列式表示出S与x的关系式，然后得到大致图象选择即可． 【详解】 解：∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴

EF5x ， BC5∴EF=∴S=

5x•10=10-2x， 55125（10-2x）•x=-x2+5x=-（x-）2+， 2425225）+（0＜x＜5），

42∴S与x的关系式为S=-（x-

纵观各选项，只有D选项图象符合．

故选：D． 【点睛】

此题考查动点问题函数图象，相似三角形的性质，求出S与x的函数关系式是解题的关键．

9．如图，矩形ABCD中，P为CD中点，点Q为AB上的动点（不与A,B重合）．过

Q作QM⊥PA于M，QN⊥PB于N．设AQ的长度为x，QM与QN的长度和为

y．则能表示y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）

A． B． C． D．

【答案】D 【解析】 【分析】

根据三角形面积得出S△PAB=y=

111PE•AB；S△PAB=S△PQB+S△PAQ=QN•PB+PA•MQ，进而得出222PEAB，即可得出答案． PB【详解】

解：连接PQ，作PE⊥AB垂足为E，

∵过Q作QM⊥PA于M，QN⊥PB于N， ∴S△PAB=

1PE•AB； 211QN•PB+PA•MQ， 22∵矩形ABCD中，P为CD中点， ∴PA=PB，

∵QM与QN的长度和为y，

S△PAB=S△PQB+S△PAQ=

∴S△PAB=S△PQB+S△PAQ=∴S△PAB=∴y=

1111QN•PB+PA•MQ=PB（QM+QN）=PB•y， 222211PE•AB=PB•y， 22PEAB， PB∵PE=AD，

∴PE，AB，PB都为定值，

∴y的值为定值，符合要求的图形为D， 故选：D． 【点睛】

此题考查了矩形的性质，三角形的面积，动点函数的图象，根据已知得出y=利用PE=AD，PB，AB，PB都为定值是解题关键．

PEAB，再PB

10．一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完.假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分钟）之间的部分关系如图象所示，从开始进水到把水放完需要多少分钟．（ ）

A．20 【答案】A 【解析】 【分析】

B．24 C．18 D．16

先根据函数图象求出进水管每分钟的进水量和出水管每分钟的出水量，然后再求出关闭进

水管后出水管放完水的时间即可解决问题． 【详解】

解：由函数图象得：进水管每分钟的进水量为：20÷4＝5升， 设出水管每分钟的出水量为a升， 由函数图象，得：5-a=解得：a＝

15， 415＝8分钟， 430-20， 8∴关闭进水管后出水管放完水的时间为：30÷

∴从开始进水到把水放完需要12＋8＝20分钟， 故选：A． 【点睛】

本题考查从函数的图象获取信息和用一元一次方程解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象列出算式和方程是解题的关键．

11．若yA．x12x有意义，则x的取值范围是( ) xB．x1且x0 2【答案】A 【解析】 【分析】

【详解】

1 2C．x1 2D．x0

根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可求出答案．

由题意可知：x0， 解得：x故选A． 【点睛】

本题考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不为0、二次根式的被开方数为非负数是解题的关键.

12x01且x0， 2

12．如图，D2020次哈尔滨至幸福镇的动车需要匀速通过一条隧道（隧道长大于火车长），火车在隧道内的长度与火车进入隧道的时间x之间的关系用图象描述大致是（ ）

A．【答案】A 【解析】 【分析】

B． C． D．

火车通过隧道分为3个过程：逐渐进入隧道，完全进入隧道并在其中行驶，逐渐出隧道 【详解】

火车在逐渐进入隧道的过程中，火车在隧道内的长度逐渐增加；

火车完全进入隧道后，还在隧道内行驶一段时间，因此在隧道内的长度是火车长，且保持一段时间不变；

火车在逐渐出隧道的过程中，火车在隧道内的长度逐渐减少； 符合上述分析过程的为：A 故选：A 【点睛】

本题考查函数图像在生活中的应用，解题关键是分析事件变化的过程，并能够匹配对应函数图像变化

13．如图所示的图象（折线ABCDE）描述了一辆汽车在某一笔直的公路上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）与行驶时间t（小时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：①汽车共行驶了140千米；②汽车在行驶途中停留了1小时；③汽车出发后6小时至9小时之间行驶的速度比汽车出发后4小时至6小时之间行驶的速度大；④汽车出发后6小时至9小时之间行驶的速度在逐渐减小．其中正确的说法共有（ ）

A．1个 【答案】B 【解析】 【分析】

B．2个 C．3个 D．4个

根据函数图象上的特殊点以及函数图象自身的实际意义进行判断即可． 【详解】

解：①由图象可知，汽车走到距离出发点140千米的地方后又返回出发点，所以汽车共行驶了280千米，故①错；

②从3时开始到4时结束，时间在增多，而路程没有变化，说明此时在停留，停留了4-

3=1（小时），故②对；

③汽车4小时至6小时之间的速度为：（140-90）÷（6-4）=25（千米/小时）， 汽车6小时至9小时之间的速度为：140÷（9-6）≈46.7（千米/小时），所以汽车出发后6小时至9小时之间行驶的速度比汽车出发后4小时至6小时之间行驶的速度大，故③对； ④汽车自出发后6小时至9小时，图象是直线，说明是在匀速前进，故④错； 故选：B． 【点睛】

本题考查函数图象，由函数图象的实际意义，理解函数图象所反映的运动过程是解答本题的关键．

14．甲、乙两同学骑自行车从A地沿同一条路到B地，已知乙比甲先出发，他们离出发地的距离S（km）和骑行时间t（h）之间的函数关系如图所示，给出下列说法：①他们都骑行了20km；②乙在途中停留了0.5h；③甲、乙两人同时到达目的地；④相遇后，甲的速度小于乙的速度．根据图象信息，以上说法正确的有（ ）

A．1个 【答案】B 【解析】

B．2个 C．3个 D．4个

试题分析：根据图象上特殊点的坐标和实际意义即可作出判断．

由图可获取的信息是：他们都骑行了20km；乙在途中停留了0.5h；相遇后，甲的速度＞乙的速度，所以甲比乙早0.5小时到达目的地，所以（1）（2）正确． 故选B．

考点：本题考查的是学生从图象中读取信息的数形结合能力

点评：同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．

15．在全民健身环城越野赛中，甲乙两选手的行程y（千米）随时间（时）变化的图象（全程）如图所示.有下列说法：①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②第1小时两人都跑了10千米；③甲比乙先到达终点；④两人都跑了20千米.其中正确的说法有（ ）

A．1 个 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】

B．2 个 C．3 个 D．4个

解：①由纵坐标看出，起跑后1小时内，甲在乙的前面，故①正确； ②由横纵坐标看出，第一小时两人都跑了10千米，故②正确； ③由横纵坐标看出，乙比甲先到达终点，故③错误； ④由纵坐标看出，甲乙二人都跑了20千米，故④正确； 故选C．

16．如图所示,边长分别为1和2的两个正方形靠在一起,其中一边在同一水平线上.大正方形保持不动,小正方形沿该水平线自左向右匀速运动,设运动时间为t,大正方形内去掉小正方形重叠部分后的面积为s,那么s与t的大致图象应为( )

A．A 【答案】D 【解析】

B．B C．C D．D

根据题意，设小正方形运动的速度为v，分三个阶段； ①小正方形向右未完全穿入大正方形，S=2×2-vt×1=4-vt， ②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，S=2×2-1×1=3， ③小正方形穿出大正方形，S=Vt×1， 分析选项可得，D符合， 故选D．

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决此类问题，注意将过程分成几个阶段，依次分析各个阶段得变化情况，进而综合可得整体得变化情况．

17．甲、乙两人在一条长为600m的笔直道路上均匀地跑步，速度分别为4m/s和

6m/s，起跑前乙在起点，甲在乙前面50m处，若两人同时起跑，则从起跑出发到其中一人先到达终点的过程中，两人之间的距离y(m)与时间t(s)的函数图象是（ ）

A． B． C． D．

【答案】C 【解析】 【分析】

甲在乙前面50m处，若两人同时起跑，在经过25秒，乙追上甲，则相距是0千米，相遇以后乙在前边，相距的距离每秒增加2米，乙全程用的时间是100秒，则相遇以后两人之间的最大距离是150米，据此即可作出判断． 【详解】

甲在乙前面50m处，若两人同时起跑，经过50÷（6−4）=25秒，乙追上甲，则相距是0千米，故A、 B错误；

相遇以后乙在前边，相距的距离每秒增加2米，乙全程用的时间是600÷6=100秒，故B.、D错误；

相遇以后两人之间的最大距离是：2×(100−25)=150米． 故选C. 【点睛】

本题主要考查函数的图象，理解函数图象上点的坐标的实际意义，掌握行程问题中的基本数量关系：速度×时间=距离，是解题的关键．

18．一辆货车早晨7∶00出发，从甲地驶往乙地送货．如图是货车行驶路程y（km）与行驶时间x（h）的完整的函数图像（其中点B、C、D在同一条直线上），小明研究图像得到了以下结论：

①甲乙两地之间的路程是100 km； ②前半个小时，货车的平均速度是40 km/h； ③8∶00时,货车已行驶的路程是60 km； ④最后40 km货车行驶的平均速度是100 km/h； ⑤货车到达乙地的时间是8∶24， 其中，正确的结论是（ ）

A．①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】

B．①③⑤ C．①③④ D．①③④⑤

根据折线图，把货车从甲地驶往乙地分为三段，再根据图象的时间和路程进行计算判断. 【详解】

①甲乙两地之间的路程是100 km，①正确；

②前半个小时，货车的平均速度是：400.580?km/h，②错误； ③8∶00时,货车已行驶了一个小时，路程是60 km，③正确；

④最后40 km货车行驶的平均速度就是求BC段的速度，时间为1.3-1＝0.3小时，路程为90-60=30km，平均速度是300.3100?km/h，④正确；

⑤货车走完BD段所用时间为：401000.4小时，即0.46024分钟 ∴货车走完全程所花时间为：1小时24分钟， ∴货车到达乙地的时间是8∶24，⑤正确； 综上：①③④⑤正确； 故选：D 【点睛】

本题考查了一次函数的应用，能够正确理解函数图象的横、纵坐标表示的意义，理解问题的过程，并能通过图象得到自变量和函数值之间的数量关系是解题的关键.

19．某种签字笔的单价为2元，购买这种签字笔x支的总价为y元，则y与x之间的函数关系式为（ ）

1x 2【答案】D 【解析】

A．y=-依题意有：y=2x， 故选D．

B．y=

1x 2C．y=-2x D．y=2x

20．在函数yA．x3 【答案】C 【解析】 【分析】

x3中，自变量x的取值范围是( )

B．x3

C．x3

uuuvuuuvD．OA8,OB5

求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数． 【详解】 依题意，得x-3≥0， 解得x≥3． 故选C． 【点睛】

本题考查了二次根式的性质：二次根式的被开方数是非负数．