2020-2021学年河南省郑州市高一(下)期末数学试卷

试题数：22，总分：150

1.（单选题，5分）如果α=-2，则α终边所在象限为（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.（单选题，5分）某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…599，600从中抽取60个样本，现提供随机数表的第4行到第6行：

32 21 18 34 29 78 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 53 55 77 34 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 23 45 若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第7个样本编号（ ） A.522 B.324 C.535 D.578

3.（单选题，5分）下列四个数中，数值最小的是（ ） A.25（10） B.（4） C.10110（2） D.10111（2）

4.（单选题，5分）掷铁饼是一项体育竞技活动．如图是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼的瞬间，张开的双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓”．经测量此时两手掌心之间的弧长是 ，“弓”所在圆的半径为1.25米，估算这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离约为（ ）（参考数据： √2≈1.414，√3=1.732 ）

5𝜋8

A.1.012米 B.1.768米 C.2.043米 D.2.945米

5.（单选题，5分）已知sinθ=3cosθ，则 𝑐𝑜𝑠(2+2𝜃) =（ ） A. −5 B. −5 C. 5 D. 5

6.（单选题，5分）下列说法中正确的是（ ） A.若事件A与事件B是互斥事件，则P（A）+P（B）=1

B.若事件A与事件B满足条件：P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，则事件A与事件B是 对立事件

C.一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件 D.把红、橙、黄、绿4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁 4人，每人分得1张，则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件

⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2𝐷𝐶7.（单选题，5分）已知△ABC的边BC上有一点D满足 ⃗𝐵𝐷𝐴𝐷 可表示为（ ） ⃗⃗⃗⃗⃗ +2𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ A. ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷=−𝐴𝐵

12

⃗⃗⃗⃗ B. ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷=3⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵+3⃗𝐴𝐶4334

3𝜋

⃗⃗⃗⃗⃗ −⃗⃗⃗⃗⃗ C. ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷=2𝐴𝐵𝐴𝐶

2

⃗⃗⃗⃗⃗ +1𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ D. ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷=3𝐴𝐵3

8.（单选题，5分）如图程序框图是为了求出满足3n-2n＞2021的最小偶数n，那么

和两个空白框中，可以分别填入（ ）

A.A＞2021和n=n+1 B.A＞2021和n=n+2 C.A≤2021和n=n+1 D.A≤2021和n=n+2

9.（单选题，5分）已知 𝑡𝑎𝑛(𝛼+𝛽)=5 ， 𝑡𝑎𝑛(𝛽−4)=4 ，那么 𝑡𝑎𝑛(𝛼+4) 等于（ ） A. 23 B. 23 C. 6 D. 18 10.（单选题，5分）2021年某省实施新的“3+1+2”高考改革方案，“3”即为语文、数学、英语3科必选，“1”即为从物理和历史中任选一科，“2”即为从化学、生物、地理、政治中任选2科，则该省某考生选择全理科（物理、化学、生物）的概率是（ ） A. 10 B. 5 C. D. 12 11.（单选题，5分）已知单位向量 𝑚⃗⃗ ， 𝑛⃗ 满足 𝑚⃗⃗ ⊥ 𝑛⃗ ，若向量 𝑐 = √7 𝑚⃗⃗ + √2 𝑛⃗ ，则向量 𝑚⃗⃗ 与向量 𝑐 夹角的正弦值为（ ）

171033131137

3𝜋1𝜋

A. B. C. 9 D. 9

12.（单选题，5分）已知函数 𝑓(𝑥)=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)(𝐴＞0，𝜔＞0，|𝜑|＜2，𝑥∈𝑅) 在一个周期内的图象如图所示．则y=f（x）的图象，可由函数y=cosx的图象怎样变换而来（纵坐标不变）（ ）

𝜋

√2√7√23

√73

1𝜋

A.先把各点的横坐标缩短到原来的 2 倍，再向左平移 6 个单位

B.先把各点的横坐标缩短到原来的 2 倍，再向右平移 12 个单位 C.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移 个单位 D.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移 6 个单位

13.（填空题，5分）如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷10个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计黑色部分的面积为 ___ ．

𝜋𝜋12

1𝜋

⃗ =（1，2），实数λ满足| 𝑎⃗ |= √5 ，则14.（填空题，5分）已知 𝑎 =（2，0）， 𝑏 −𝜆𝑏λ=___ ．

15.（填空题，5分）甲、乙两名学生的六次数学测验成绩（百分制）的茎叶图如图所示． ① 甲同学成绩的中位数小于乙同学成绩的中位数； ② 甲同学的平均分比乙同学的平均分高；

③ 甲同学的平均分比乙同学的平均分低； ④ 甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差． 上面说法正确的是 ___ ．

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | ，则 16.（填空题，5分）已知P、M、N是单位圆上互不相同的三个点，且满足 |𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 ___ ． 𝑃𝑀•⃗𝑃𝑁

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 17.（问答题，10分）已知 𝑒⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ 1 ， 𝑒2 是平面内两个不共线的非零向量 𝐴𝐵 =2 𝑒1 + 𝑒2 ， 𝐵𝐸 =- 𝑒1 ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ 𝑒⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ 2 ， 𝐸𝐶 =-2 𝑒1 + 𝑒2 ，且A，E，C三点共线． （Ⅰ）求实数λ的值；

⃗⃗⃗⃗⃗ （Ⅱ）若 𝑒⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ 1 =（2，1）， 𝑒2 =（2，-2），求 𝐵𝐶 的坐标；

（Ⅲ）已知D（3，5），在（Ⅱ）的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．

18.（问答题，12分）某公司餐厅为了完善餐厅管理，提高餐厅服务质量，随机调查了50名就餐的公司职员．根据这50名职员对餐厅服务质量的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40，50），[50，60），…，[90，100]． （I）求频率分布直方图中a的值；

（Ⅱ）若采用分层抽样的方式从评分在[40，60），[60，80），[80，100]的公司职员中抽取10人，则评分在[60，80）内的职员应抽取多少人？

（Ⅲ）该公司规定：如果职员对公司餐厅服务质量的评分低于75分，将对公司餐厅进行内部整顿．用每组数据的中点值代替该组数据，试估计该公司职员对餐厅服务质量评分的平均分，并据此回答餐厅是否需要进行内部整顿．

3𝜋

19.（问答题，12分）设函数 𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥−4)(𝜔＞0)的最小正周期为𝜋 （Ⅰ）求ω； （Ⅱ）若 𝑓(2+

𝛼

3𝜋)8

24

𝜋

𝜋

=25 ，且 𝛼∈(−2，2) ，求sin2α的值．

（Ⅲ）画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象（完成列表并作图）．

20.（问答题，12分）某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同一个常数： ① sin212°+cos242°+sin12°cos42°； ② sin215°+cos245°+sin15°cos45°； ③ sin220°+cos250°+sin20°cos50°； ④ sin230°+cos260°+sin30°cos60°．

（Ⅰ）试从上述式子中选择一个，求出这个常数；

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

21.（问答题，12分）如图，单位圆O：x2+y2=1与x轴的非负半轴相交于点P，圆O上的动点Q从点P出发沿逆时针旋转一周回到点P，设∠POQ=x（0≤x＜2π），△OPQ的面积为y（当O，P，Q三点共线时，y=0），y与x的函数关系为如图所示的程序框图．

（Ⅰ）写出程序框图中 ① ② 处的函数关系式； （Ⅱ）若输出的y值为 4 ，求点Q的坐标．

22.（问答题，12分）设某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系，经过调查得到如下数据： 间隔时间x（分钟） 10 11 12 13 14 15 √223 25 26 29 30 32 等候人数y（人） 调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数 𝑦̂ ，再求 𝑦̂ 与实际等候人数y的差，若差值的绝对值不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”．

（Ⅰ）从这6组数据中随机选取4组数据后，求剩下的2组数据的间隔时间不相邻的概率； ̂𝑥+𝑎（Ⅱ）若选取的是前面4组数据，求y关于x的线性回归方程 𝑦̂=𝑏̂ ，并判断方程是否是“恰当回归方程”．

𝑥𝑖𝑦𝑖−𝑛𝑥𝑦̂𝑥+𝑎̂ = ∑𝑖=1附：回归直线 𝑦̂=𝑏̂ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 𝑏2 = 𝑛2

∑𝑖=1𝑥𝑖−𝑛𝑥∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖−𝑥)(𝑦𝑖−𝑦)̂ 𝑥 ， ∑4 ， 𝑎̂ = 𝑦 - 𝑏𝑖=1𝑥𝑖2()∑𝑛𝑥−𝑥𝑖=1𝑖𝑛

𝑦𝑖=1194 ．

2020-2021学年河南省郑州市高一（下）期末数学试卷

参与试题解析

试题数：22，总分：150

1.（单选题，5分）如果α=-2，则α终边所在象限为（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【正确答案】：C

【解析】：确定α=-2，对应角的终边位置，即可得到结论．

【解答】：解：∵ −𝜋＜−2＜−2 ， ∴α终边所在象限为第三象限． 故选：C．

【点评】：本题主要考查象限角的判断，直接根据定义确定终边的位置即可，比较基础． 2.（单选题，5分）某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…599，600从中抽取60个样本，现提供随机数表的第4行到第6行：

32 21 18 34 29 78 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 53 55 77 34 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 23 45 若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第7个样本编号（ ） A.522 B.324 C.535 D.578

【正确答案】：B

【解析】：根据随机数表法抽取对应的样本数据即可．

𝜋

【解答】：解：第6行第6列的数开始的数为808，不合适，436，7不合适，535，577，348，994不合适，837不合适，522，535重复不合适，578，324； 所以抽取的7个编号为436，535，577，348，522，578，324； 即第7个样本编号为324． 故选：B．

【点评】：本题主要考查了随机抽样的应用问题，根据定义选择满足条件的数据是解题的关键． 3.（单选题，5分）下列四个数中，数值最小的是（ ） A.25（10） B.（4） C.10110（2） D.10111（2） 【正确答案】：C

【解析】：将四个答案中的数均转化为十进制的数，比较可得答案．

【解答】：解：∵对于B，（4）=20+4=24（10）； 对于C，10110（2）=0+2+4+16=22（10）； 对于D，10111（2）=1+2+4+16=23（10）； 故四个数中10110（2）最小， 故选：C．

【点评】：本题考查其它进制与十进制之间的转化，熟练掌握其它进制与十进制之间的转化法则，是解题的关键，属于基础题．

4.（单选题，5分）掷铁饼是一项体育竞技活动．如图是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼的瞬间，张开的双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓”．经测量此时两手掌心之间的弧长是 8 ，“弓”所在圆的半径为1.25米，估算这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离约为（ ）（参考数据： √2≈1.414，√3=1.732 ）

5𝜋

A.1.012米

B.1.768米 C.2.043米 D.2.945米 【正确答案】：B

【解析】：由已知结合弧长公式可求弧AD，进而可求．

【解答】：解：根据题意作出下图，

5𝜋弧AD

的长为 5𝜋

𝜋

16 ， ∠𝐴𝑂𝐶

=

161.25

=4 ，

所以 𝐴𝐵=2𝐴𝐶=2×1.25•𝑠𝑖𝑛𝜋4

≈1.768 ． 故选：B．

【点评】：本题主要考查圆与数学文化，属于基础试题．

5.（单选题，5分）已知sinθ=3cosθ，则 𝑐𝑜𝑠(3𝜋

2+2𝜃) =（A. −45

B. −35 C. 35 D. 45

【正确答案】：C

） 【解析】：由已知利用诱导公式，二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．

【解答】：解：因为sinθ=3cosθ，

所以 𝑐𝑜𝑠(2+2𝜃) =sin2θ= 𝑠𝑖𝑛2𝜃+𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 9𝑐𝑜𝑠2𝜃+𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 5 ． 故选：C．

【点评】：本题主要考查了诱导公式，二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 6.（单选题，5分）下列说法中正确的是（ ） A.若事件A与事件B是互斥事件，则P（A）+P（B）=1

B.若事件A与事件B满足条件：P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，则事件A与事件B是 对立事件

C.一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件 D.把红、橙、黄、绿4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁 4人，每人分得1张，则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件 【正确答案】：D

【解析】：由互斥事件和对立事件的概念可判断结论．

【解答】：解：把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”

由互斥事件和对立事件的概念可判断两者不可能同时发生，故它们是互斥事件， 故选：D．

【点评】：本题考查事件的概念，考查互斥事件和对立事件，考查不可能事件，不可能事件是指一个事件能不能发生，不是说明两个事件之间的关系，这是一个基础题．

⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2𝐷𝐶7.（单选题，5分）已知△ABC的边BC上有一点D满足 ⃗𝐵𝐷𝐴𝐷 可表示为（ ） ⃗⃗⃗⃗⃗ +2𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ A. ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷=−𝐴𝐵

12

⃗⃗⃗⃗ B. ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷=3⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵+3⃗𝐴𝐶

3𝜋

2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃

2×3𝑐𝑜𝑠𝜃×𝑐𝑜𝑠𝜃

3

⃗⃗⃗⃗⃗ −⃗⃗⃗⃗⃗ C. ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷=2𝐴𝐵𝐴𝐶

21

⃗⃗⃗⃗ D. ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷=3⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵+3⃗𝐴𝐶

【正确答案】：A

【解析】：由已知得出向量BC与向量BD的关系，再利用平面向量基本定理即可求解．

⃗⃗⃗⃗⃗ ， ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2𝐷𝐶【解答】：解：因为△ABC的边BC上有一点D满足 ⃗𝐵𝐷

1

⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 ⃗⃗⃗⃗⃗ =⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 ⃗𝐵𝐷𝐵𝐶𝐵𝐷𝐷𝐶=2⃗𝐵𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ −⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ +2𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ， ⃗⃗⃗⃗⃗ =⃗⃗⃗⃗⃗ 所以 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷=⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵+⃗𝐵𝐷𝐴𝐵+2𝐵𝐶𝐴𝐵+2(𝐴𝐶𝐴𝐵)=−𝐴𝐵故选：A．

【点评】：本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了学生的运算转化能力，属于基础题． 8.（单选题，5分）如图程序框图是为了求出满足3n-2n＞2021的最小偶数n，那么

和两个空白框中，可以分别填入（ ）

A.A＞2021和n=n+1 B.A＞2021和n=n+2 C.A≤2021和n=n+1 D.A≤2021和n=n+2 【正确答案】：D

【解析】：由已知中的程序语句可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

【解答】：解：∵程序框图为当型循环，

∴当A满足条件，才会进行循环，显然判断框中，不能填A＞2021，故排除A、B， ∵输出n为偶数，且n的初始值为0， ∴处理框中应填n=n+2．

故选：D．

【点评】：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，是基础题． 9.（单选题，5分）已知 𝑡𝑎𝑛(𝛼+𝛽)= ， 𝑡𝑎𝑛(𝛽−)= ，那么 𝑡𝑎𝑛(𝛼+) 等于（ ） A. 23 B. C. D. 18 【正确答案】：A

【解析】：直接利用三角函数关系式的恒等变换，正切函数的差角变换的应用求出结果．

【解答】：解：由于 𝑡𝑎𝑛(𝛼+𝛽)=5 ， 𝑡𝑎𝑛(𝛽−4)=4 ， 所以tan（ 𝛼+故选：A．

【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正切函数的差角变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

10.（单选题，5分）2021年某省实施新的“3+1+2”高考改革方案，“3”即为语文、数学、英语3科必选，“1”即为从物理和历史中任选一科，“2”即为从化学、生物、地理、政治中任选2科，则该省某考生选择全理科（物理、化学、生物）的概率是（ ） A. 10 B. 5 C. 10 D. 【正确答案】：D

312

【解析】：基本事件总数n= 𝐶3𝐶2𝐶4 =12，该省某考生选择全理科（物理、化学、生物）包112733

𝜋

）=tan[（α+β）-（ 𝛽4

3

𝜋

1

131

613237

35

𝜋4

14

𝜋4

−

𝑡𝑎𝑛(𝛼+𝛽)−𝑡𝑎𝑛(𝛽−)−𝜋4 ）]= = 31𝜋41+×1+𝑡𝑎𝑛(𝛼+𝛽)𝑡𝑎𝑛(𝛽−)

4𝜋31

=23 ．

7

含的基本事件个数m=1，由此能求出该省某考生选择全理科（物理、化学、生物）的概率．

【解答】：解：“3+1+2”高考改革方案，“3”即为语文、数学、英语3科必选， “1”即为从物理和历史中任选一科，“2”即为从化学、生物、地理、政治中任选2科，

312

基本事件总数n= 𝐶3𝐶2𝐶4 =12，

该省某考生选择全理科（物理、化学、生物）包含的基本事件个数m=1， 则该省某考生选择全理科（物理、化学、生物）的概率是P= = ． 故选：D．

【点评】：本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

11.（单选题，5分）已知单位向量 𝑚⃗⃗ ， 𝑛⃗ 满足 𝑚⃗⃗ ⊥ 𝑛⃗ ，若向量 𝑐 = √7 𝑚⃗⃗ + √2 𝑛⃗ ，则向量 𝑚⃗⃗ 与向量 𝑐 夹角的正弦值为（ ） A. B. 3 C. D. 9 【正确答案】：B

【解析】：根据题意，设向量 𝑚⃗⃗ 与向量 𝑐 夹角为θ，求出 𝑚⃗⃗ • 𝑐 和| 𝑐 |的值，由数量积的夹角公式可得cosθ的值，进而计算可得答案．

【解答】：解：根据题意，设向量 𝑚⃗⃗ 与向量 𝑐 夹角为θ， 向量 𝑐 = √7 𝑚⃗⃗ + √2 𝑛⃗ ，则| 𝑐 |= √7+2 =3， 𝑚⃗⃗ • 𝑐 = √7 𝑚⃗⃗ 2+ √2 𝑚⃗⃗ • 𝑛⃗ = √7 ， 则有cosθ= |𝑚 = 3 ， ⃗⃗⃗ ||𝑐 |

又由0≤θ≤π，则sinθ= √1−𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 3 ； 故选：B．

【点评】：本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．

12.（单选题，5分）已知函数 𝑓(𝑥)=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)(𝐴＞0，𝜔＞0，|𝜑|＜，𝑥∈𝑅) 在一个周期内的图象如图所示．则y=f（x）的图象，可由函数y=cosx的图象怎样变换而来（纵坐标不变）（ ）

𝜋

2

√2⃗⃗⃗ •𝑐 𝑚

√7√2√79√2√73

𝑚𝑛

112

1𝜋

A.先把各点的横坐标缩短到原来的 2 倍，再向左平移 6 个单位

B.先把各点的横坐标缩短到原来的 倍，再向右平移 个单位 C.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移 个单位 D.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移 6 个单位 【正确答案】：B

【解析】：由图知，A=1，最小正周期T=π，ω=2，把点（ 12 ，1）代入函数可求得φ= 3 ，然后将f（x）变形为f（x）=cos2（x- ），再结合函数图象的变换法则，即可得解．

【解答】：解：由图知，A=1，最小正周期T=4×[ 12 -（- 6 ）]=π， ∴T= 𝜔 =π，即ω=2，

把点（ 12 ，1）代入函数中，有1=sin（2• 12 +φ）， ∴ 6 +φ= 2 +2kπ，k∈Z，即φ= 3 +2kπ，k∈Z， ∵|φ|＜ ，∴φ= ，

∴函数f（x）=sin（2x+ 3 ）=sin（2x- 6 + 2 ） =cos（2x- 6 ）=cos2（x- 12 ），

函数y=cosx的图象横坐标缩短为原来的 ，得到y=cos2x， 再将其向右平移 12 个单位，得到y=cos2（x- 12 ）． 故选：B．

【点评】：本题考查利用图象求函数解析式，三角函数的图象变换，熟练掌握函数图象的变换法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

13.（填空题，5分）如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷10个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计黑色部分的面积为 ___ ．

𝜋

𝜋12

𝜋

𝜋𝜋

𝜋

𝜋

𝜋2

𝜋3

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

2𝜋

𝜋

𝜋

𝜋12

𝜋

𝜋

𝜋𝜋12

12𝜋12

【正确答案】：[1]5

【解析】：根据题意，设黑色部分的面积为S，求出正方形二维码的面积，由几何概型计算公式可得 = =1-

【解答】：解：根据题意，设黑色部分的面积为S， 正方形二维码的边长为3，则其面积S′=3×3=9， 则有 = =1- 解可得S=5， 故答案为：5．

【点评】：本题考查几何概型的应用，涉及概率的模拟计算，属于基础题．

⃗ =（1，2），实数λ满足| 𝑎⃗ |= √5 ，则14.（填空题，5分）已知 𝑎 =（2，0）， 𝑏 −𝜆𝑏λ=___ ．

【正确答案】：[1] −5 或1

⃗ 的坐标即可求出 𝑎⃗ 2=5，𝑎⃗ =2 ，而对 |𝑎⃗ |=√5 【解析】：根据向量 𝑎 ，𝑏 2=4，𝑏 •𝑏 −𝜆𝑏两边平方即可得出关于λ的方程，解出λ即可．

⃗ 2=5，𝑎⃗ =2 ； 【解答】：解：∵ 𝑎 2=4，𝑏 •𝑏

⃗ |=√5 得， (𝑎⃗ )=𝑎⃗ 2−2𝜆𝑎⃗ =4+5 λ2-4λ=5； ∴由 |𝑎 −𝜆𝑏 −𝜆𝑏 2+𝜆2𝑏 •𝑏∴5λ2-4λ-1=0； 解得 𝜆=−5 或1． 故答案为： −或1 ．

【点评】：考查向量数量积的运算，向量坐标的数量积运算．

15.（填空题，5分）甲、乙两名学生的六次数学测验成绩（百分制）的茎叶图如图所示． ① 甲同学成绩的中位数小于乙同学成绩的中位数； ② 甲同学的平均分比乙同学的平均分高；

1

51

2

1

𝑆𝑆′

𝑆9

484

， 10

𝑆𝑆′

𝑆9

484

，解可得10

S的值，即可得答案．

③ 甲同学的平均分比乙同学的平均分低； ④ 甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差． 上面说法正确的是 ___ ．

【正确答案】：[1] ① ③ ④

【解析】：根据茎叶图中的数据，对题目中的命题进行分析、判断正误即可．

【解答】：解：根据茎叶图中数据知，

对于 ① ，甲同学成绩的中位数是 ×（80+82）=81，乙同学成绩的中位数是 ×（87+88）=87.5，

所以甲的中位数小于乙的中位数， ① 正确；

对于 ② ，甲同学的平均分为 ×（72+76+80+82+86+90）=81， 乙同学的平均分为 ×（69+78+87+88+92+96）=85， 所以甲同学的平均分比乙同学的平均分低， ② 错误； 对于 ③ ，甲同学的平均分比乙同学的平均分低， ③ 正确；

对于 ④ ，计算甲的方差为 6 ×[（-9）2+（-5）2+（-1）2+12+52+92]= 乙的方差为 ×[（-16）2+（-7）2+22+32+72+112]= 所以甲的方差小于乙的方差， ④ 正确． 所以正确的命题序号是 ① ③ ④ ． 故答案为： ① ③ ④ ．

【点评】：本题考查了利用茎叶图中的数据计算中位数、平均数和判断方差大小的应用问题，是基础题．

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | ，则 16.（填空题，5分）已知P、M、N是单位圆上互不相同的三个点，且满足 |𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 ___ ． 𝑃𝑀•⃗𝑃𝑁【正确答案】：[1] [−，4)

1

2

16

244

， 3

1

107

， 3

1

6

16

12

12

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的模以及它们的夹角表示【解析】：利用单位圆的半径为1，结合三角函数将向量 𝑃𝑀出来，最终将所求范围转化为三角函数的值域问题．

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | ，可设∠MPO=∠MPN=α， 【解答】：解：如图：设圆心为O，由圆的性质以及 |𝑃𝑀𝛼∈(0，2) ，

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2𝑐𝑜𝑠𝛼 ，连接OP，OM，ON，则OP=OM=ON=1，且PM=PN=2cosα，即 |𝑃𝑀∠MPN=2α，

⃗⃗⃗⃗⃗ =4cos2α•cos2α=2（1+cos2α）•cos2α=2（cos2α）2+2cos2α= 2[(𝑐𝑜𝑠2𝛼+所以 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑀•⃗𝑃𝑁

12

)2

𝜋

−4] ，cos2α∈（-1，1），

1

1

1

由二次函数的性质可知：当cos2α→1时，原式→4，当 𝑐𝑜𝑠2𝛼=−2 时，原式取得最小值 −2 ， ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 [−1，4) ． 故 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑀•⃗𝑃𝑁2故答案为： [−2，4) ．

1

【点评】：本题考查数量积的运算、性质以及三角函数的性质，属于中档题．

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 17.（问答题，10分）已知 𝑒⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ 1 ， 𝑒2 是平面内两个不共线的非零向量 𝐴𝐵 =2 𝑒1 + 𝑒2 ， 𝐵𝐸 =- 𝑒1 ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ 𝑒⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ 2 ， 𝐸𝐶 =-2 𝑒1 + 𝑒2 ，且A，E，C三点共线． （Ⅰ）求实数λ的值；

⃗⃗⃗⃗⃗ （Ⅱ）若 𝑒⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ 1 =（2，1）， 𝑒2 =（2，-2），求 𝐵𝐶 的坐标；

（Ⅲ）已知D（3，5），在（Ⅱ）的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．

【正确答案】：

【解析】：（Ⅰ）可得出 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐸=𝑒⃗⃗⃗ 𝑒2 ，然后根据A，E，C三点共线可得出 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐸=1+(1+𝜆)⃗⃗⃗

3⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而可得出 (1+2𝑘)⃗⃗𝑘𝐸𝐶𝑒⃗ 𝑒2 ，然后即可求出 𝜆=−2 ； 1=(𝑘−1−𝜆)⃗⃗⃗

⃗⃗ =−3𝑒（Ⅱ）可得出 ⃗⃗⃗𝐵𝐶⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ 𝑒2 的坐标即可； 1−2𝑒2 ，然后代入 𝑒1，⃗⃗⃗

⃗⃗ ，可设A（x，y），然后可得出 {3−𝑥=−7 ，然后解出x，y（Ⅲ）根据题意得出 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷=⃗⃗⃗𝐵𝐶

5−𝑦=−2的值，从而可得出点A的坐标．

⃗⃗⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗ 【解答】：解：（Ⅰ） ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐸=𝐴𝐵𝐵𝐸=(2𝑒⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ 𝑒2 ， 1+𝑒2)+(−𝑒1+𝜆𝑒2)=𝑒1+(1+𝜆)⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐸=𝑘𝐸𝐶即 𝑒⃗⃗⃗ 𝑒2=𝑘(−2𝑒⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ 𝑒⃗ 𝑒2 ， 1+(1+𝜆)⃗⃗⃗ 1+𝑒2) ，得 (1+2𝑘)⃗⃗1=(𝑘−1−𝜆)⃗⃗⃗ 因为 𝑒⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ 1 ， 𝑒2 是平面内两个不共线的非零向量，

131+2𝑘=0

所以 { ，解得 𝑘=−2 ， 𝜆=−2 ；

𝑘−1−𝜆=0

1

⃗⃗ =⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ =−3𝑒（Ⅱ） ⃗⃗⃗𝐵𝐶𝐵𝐸+⃗𝐸𝐶⃗⃗⃗ −𝑒⃗⃗⃗ =(−6，−3)+(−1，1)=(−7，−2) ； 122

1

⃗⃗ ， （Ⅲ）因为A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷=⃗⃗⃗𝐵𝐶设A（x，y），则 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷=(3−𝑥，5−𝑦) ， ⃗⃗ =(−7，−2) ，所以 {因为 ⃗⃗⃗𝐵𝐶即点A的坐标为（10，7）．

【点评】：本题考查了向量加法的几何意义，共线向量和平面向量基本定理，相等向量的定义，考查了计算能力，属于基础题．

18.（问答题，12分）某公司餐厅为了完善餐厅管理，提高餐厅服务质量，随机调查了50名就餐的公司职员．根据这50名职员对餐厅服务质量的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40，50），[50，60），…，[90，100]． （I）求频率分布直方图中a的值；

（Ⅱ）若采用分层抽样的方式从评分在[40，60），[60，80），[80，100]的公司职员中抽取10人，则评分在[60，80）内的职员应抽取多少人？

（Ⅲ）该公司规定：如果职员对公司餐厅服务质量的评分低于75分，将对公司餐厅进行内部整顿．用每组数据的中点值代替该组数据，试估计该公司职员对餐厅服务质量评分的平均分，并据此回答餐厅是否需要进行内部整顿．

3−𝑥=−7𝑥=10

，解得 { ，

5−𝑦=−2𝑦=7

【正确答案】：

【解析】：（Ⅰ）由频率分布直方图的性质列方程，能求出a．

（Ⅱ）由频率分布直方图求出评分在[40，60），[60，80），[80，100]内公司职员人数之比为1：5：4，由此利用分层抽样能求出评分在[60，80）内的公司职员应抽取的人数．

（Ⅲ）由题中数据求出公司职员对餐厅服务质量评分的平均分，从而得到餐厅不需要内部整顿．

【解答】：解：（Ⅰ）由（0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018）×10=1，解得a=0.006． （Ⅱ）由频率分布直方图可知，

评分在[40，60），[60，80），[80，100]内公司职员人数之比为：

（0.004+0.006）×10：（0.022+0.028）×10：（0.022+0.018）×10=1：5：4， 所以评分在[60，80）内的公司职员应抽取 10×1+5+4=5 （人）． （Ⅲ）由题中数据可得公司职员对餐厅服务质量评分的平均分为： 𝑥=45×0.004×10+55×0.006×10+65

×0.022×10+75×0.028×10+85×0.022×10+95×0.018×10=76.2． 因为76.2＞75．所以餐厅不需要内部整顿．

【点评】：本题考查频率、频数、平均数的运算，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解等能力，体现基础性，导向对发展数算、数据处理等核心素养的关注，是基础题． 19.（问答题，12分）设函数 𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥−（Ⅰ）求ω；

3𝜋

)(𝜔＞0)的最小正周期为𝜋 4

5

（Ⅱ）若 𝑓(2+

𝛼

3𝜋)8

=25 ，且 𝛼∈(−2，2) ，求sin2α的值．

24𝜋𝜋

（Ⅲ）画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象（完成列表并作图）．

【正确答案】：

【解析】：（Ⅰ）根据函数的周期为π，利用周期公式可得ω的值． （Ⅱ）根据 𝑓(2+

【解答】：解：（Ⅰ）∵函数 𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥−∴

2𝜋𝜔

3𝜋

)(𝜔＞0)的最小正周期为𝜋 ， 4

𝛼

3𝜋

)8

=25 ，求出sinα的值，即可求解sin2α的值．

24

（Ⅲ）利用列表，描点，即可得图象．

=𝜋 ．

∴ω=\"2\"．

∴函数的解析式为： 𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛(2𝑥−（Ⅱ）由（Ⅰ）知 𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛(2𝑥−由 𝑓(2+

𝛼

3𝜋

)8

24

𝛼

3𝜋

) ， 4

3𝜋

) ， 43𝜋8

=25 ，即sin（ 2×2+

×2−

3𝜋24 ）= 425

得： 𝑠𝑖𝑛𝛼=25 ． ∵ −＜𝛼＜ ∴ 𝑐𝑜𝑠𝛼=25

故得sin2α=\"2\"sinαcosα=

336

． 625

3𝜋

) ，于是有（1）列表 4

7

𝜋

2

𝜋2

24

（Ⅲ）由（Ⅰ）知 𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛(2𝑥−

x y − √2 2𝜋 8-1 3𝜋 8 𝜋𝑥∈[0，] 21 7𝜋 8 π −√2 2描点，连线，函数y=f（x）在区间[0，π]上图象如下：

【点评】：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，解题时应根据画三角函数的图象的基本步骤画出图形，是基础题．

20.（问答题，12分）某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同一个常数： ① sin212°+cos242°+sin12°cos42°； ② sin215°+cos245°+sin15°cos45°； ③ sin220°+cos250°+sin20°cos50°； ④ sin230°+cos260°+sin30°cos60°．

（Ⅰ）试从上述式子中选择一个，求出这个常数；

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

【正确答案】：

【解析】：（Ⅰ）选择 ④ 式计算，可得常数为 4 ．

（Ⅱ）一般性的命题为 𝑠𝑖𝑛2𝛼+𝑐𝑜𝑠2(𝛼+30°)+𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠(𝛼+30°)=4 ，利用两角和与差的余弦公式，二倍角公式化简，即可证明命题成立．

【解答】：解：（Ⅰ）由 ④ 式可得 𝑠𝑖𝑛30°+𝑐𝑜𝑠60°+𝑠𝑖𝑛30°𝑐𝑜𝑠60°=

12

2

2

12(2)12(2)3

3

++

×2=4 ，

34

13

（Ⅱ）由（Ⅰ）的计算结果可得推广的三角恒等式为 𝑠𝑖𝑛2𝛼+𝑐𝑜𝑠2(𝛼+30°)+𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠(𝛼+30°)= ．

证明：左边=sin2α+cos2（α+30°）+sinαcos（α+30°） =

1−𝑐𝑜𝑠2𝛼

2

+

1+𝑐𝑜𝑠(2𝛼+60°)

+2

𝑠𝑖𝑛𝛼(𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝑠30°−𝑠𝑖𝑛𝛼𝑠𝑖𝑛30°)

= −

12𝑐𝑜𝑠2𝛼21

++𝑐𝑜𝑠2𝛼−

1

1214√3

𝑠𝑖𝑛2𝛼4

1

+

√3

𝑠𝑖𝑛2𝛼4

−𝑠𝑖𝑛2𝛼

1

3

12

= 1−4𝑐𝑜𝑠2𝛼−2𝑠𝑖𝑛2𝛼 = 1−4(1−2𝑠𝑖𝑛2𝛼)−2𝑠𝑖𝑛2𝛼 = 4 =右面， ∴原式得证．

【点评】：本题考查了简单推理的应用问题，也考查了两角和与差的余弦公式的应用问题，是基础题．

21.（问答题，12分）如图，单位圆O：x2+y2=1与x轴的非负半轴相交于点P，圆O上的动点Q从点P出发沿逆时针旋转一周回到点P，设∠POQ=x（0≤x＜2π），△OPQ的面积为y（当O，P，Q三点共线时，y=0），y与x的函数关系为如图所示的程序框图．

（Ⅰ）写出程序框图中 ① ② 处的函数关系式； （Ⅱ）若输出的y值为 4 ，求点Q的坐标．

【正确答案】：

【解析】：（Ⅰ）根据已知条件结合程序框图，分x∈[0，π]和x∈（π，2π）两种情况，直接求出程序框图中 ① ② 处的函数关系式．

（Ⅱ）根据已知条件，分x∈[0，π]和x∈（π，2π）两种情况，求解即可．

【解答】：解：（Ⅰ）当x∈[0，π]时， 𝑦=⋅|𝑂𝑃|⋅𝑠𝑖𝑛𝑥=𝑠𝑖𝑛𝑥 ， 当x∈（π，2π）时， 𝑦=2⋅|𝑂𝑃|⋅|𝑠𝑖𝑛(2𝜋−𝑥)|=−2𝑠𝑖𝑛𝑥 ，

故程序框图中 ① ② 处的函数关系式分别是 𝑦=2𝑠𝑖𝑛𝑥 ， 𝑦=−2𝑠𝑖𝑛𝑥 ．

1

1

1

1

12

12

√2（Ⅱ）当x∈[0，π]时，令 𝑠𝑖𝑛𝑥=所以点Q的坐标为 (2，

√212√2 ，则 𝑠𝑖𝑛𝑥4

=

√2 ，所以 𝑥2

= 或 𝑥=

𝜋43𝜋 ， 4

√2√2√2) 或 (−，) ， 2221

√2 ，则 𝑠𝑖𝑛𝑥4

当x∈（π，2π）时，令 −2𝑠𝑖𝑛𝑥=所以点Q的坐标为 (−故点Q的坐标为 (±

√2，2

=−

√2 ，所以 𝑥2

=

5𝜋

或 𝑥4

=

7𝜋

， 4

−

√2√2√2) 或 (，−) ， 222

√2√2，±) ． 22

【点评】：本题为程序框图与函数的综合应用，需要学生一定的综合能力，属于基础题． 22.（问答题，12分）设某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系，经过调查得到如下数据： 间隔时间x（分钟） 10 11 12 13 14 15 23 25 26 29 30 32 等候人数y（人） 调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数 𝑦̂ ，再求 𝑦̂ 与实际等候人数y的差，若差值的绝对值不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”．

（Ⅰ）从这6组数据中随机选取4组数据后，求剩下的2组数据的间隔时间不相邻的概率； ̂𝑥+𝑎（Ⅱ）若选取的是前面4组数据，求y关于x的线性回归方程 𝑦̂=𝑏̂ ，并判断方程是否是“恰当回归方程”．

𝑥𝑖𝑦𝑖−𝑛𝑥𝑦̂𝑥+𝑎̂ = ∑𝑖=1附：回归直线 𝑦̂=𝑏̂ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 𝑏2 = 𝑛2

∑𝑖=1𝑥𝑖−𝑛𝑥∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖−𝑥)(𝑦𝑖−𝑦)̂ 𝑥 ， ∑4 ， 𝑎̂ = 𝑦 - 𝑏𝑛𝑖=1𝑥𝑖2∑𝑖=1(𝑥𝑖−𝑥)𝑛

𝑦𝑖=1194 ．

【正确答案】：

【解析】：（1）设“从这6组数据中随机选取4组数据后，剩下的2组数据不相邻”为事件A，记这六组数据分别为1，2，3，4，5，6，写出剩下的两组数据的基本事件，求出相邻的事件数，然后求解概率．

（2）列出前面4组数据，求解样本中心坐标，回归直线方程的系数，然后推出回归直线方程，比较x=14时，当x=15时，的残差，即可判断求出的线性回归方程是否是“恰当回归方程”．

【解答】：解：（1）设“从这6组数据中随机选取4组数据后，剩下的2组数据不相邻”为事件A，

记这六组数据分别为1，2，3，4，5，6，

剩下的两组数据的基本事件有12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共15种，

其中相邻的有12，23，34，45，56共5种， 所以 𝑃(𝐴)=1−15=3 ． （2）前面4组数据是：

间隔时间（x分钟） 等候人数（y人） 因为 𝑥=̂=所以 𝑏

10+11+12+134∑𝑛𝑖=1𝑥𝑖𝑦𝑖−𝑛𝑥𝑦2∑𝑛𝑖=1𝑥1−𝑛𝑥252

10 23 23+25+26+294

11 25 12 26 13 29 =11.5 ， 𝑦 = =

1194−4××534−4×

242=25.75 ． ∑4𝑖=1𝑥𝑖𝑦𝑖=1194 ， ∑𝑖=1𝑥𝑖=534 ，

23103

24232̂𝑥=1.9 ， 𝑎̂=𝑦‾−𝑏‾=25.75−1.9×11.5=3.9 ，

所以 𝑦̂=1.9𝑥+3.9 ．

当x=14时， 𝑦̂=1.9×14+3.9=30.5 ，30.5-30=0.5＜1 当x=15时， 𝑦̂=1.9×15+3.9=32.4 ，32.4-32=0.4＜1 所以求出的线性回归方程是“恰当回归方程”．

【点评】：本题考查回归直线方程的求法与应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．