二项式定理应用常见类型及其解题方法

一、知识点回顾：

1．二项式定理：

0n1n1(ab)nCnaCnabrnrrCnabnnCnb(nN)，

2．基本概念：

n(ab)①二项式展开式：右边的多项式叫做的二项展开式。

rCn(r0,1,2,,n). ②二项式系数：展开式中各项的系数

③项数：共(r1)项，是关于a与b的齐次多项式

④通项：展开式中的第r1项

rnrrCnab叫做二项式展开式的通项。用

rnrrTr1Cnab表示。

3．注意关键点：

①项数：展开式中总共有(n1)项。

②顺序：注意准确选择a,b,其顺序不能更改。(ab)与(ba)是不同的。

nn③指数：a的指数从n逐项减到0，按降幂排列。b的指数从0逐项减到n，按升幂排列。各项的次数和等于n.

④系数：注意准确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是项的系数是a与b的系数（包括二项式系数，包含符号）。

012rnCn,Cn,Cn,,Cn,,Cn.4．常用的结论：

0122(1x)nCnCnxCnxa1,bx,令

rrCnxnnCnx(nN)

0122(1x)nCnCnxCnxa1,bx,令

rrCnxnn(1)nCnx(nN)

5．性质：

①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即

0nCnCn，·

kk1CnCn

012CnCnCnab1②二项式系数和：令,则二项式系数的和为

rCnnCn2n，

变形式

12CnCnrCnnCn2n1。

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：

0123CnCnCnCna1,b1在二项式定理中，令，则

n(1)nCn(11)n0，

从而得到：

0242r13CnCnCnCnCnCn12r1Cn2n2n12

④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

0n01n12n22(ax)nCnaxCnaxCnax00n122n2(xa)nCnaxCnaxn1Cnaxn0nCnaxa0a1x1a2x2nn0Cnaxanxnanxna2x2a1x1a0令x1, 则a0a1a2a3令x1,则a0a1a2a3①②得,a0a2a4①②得,a1a3a5an(a1)n①an(a1)n②(a1)n(a1)nan(奇数项的系数和)2(a1)n(a1)nan(偶数项的系数和)2

⑤二项式系数的最大项：

如果二项式的幂指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数C取得最大值。

n2n如果二项式的幂指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数Cn12n,Cn12n同时取得最大值。

⑥系数的最大项：

n(abx)求展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别

Ar1ArA1,A2,,An1为，设第r1项系数最大，应有Ar1Ar2，从而解出r来。

二、基本题型示例：

（一）、二项式定理的逆用问题

例1、

123CnCn6Cn62nCn6n1 .

解：

0123(16)nCnCn6Cn62Cn63nCn6n与已知的有一些差别，

123CnCn6Cn62nCn6n1112(Cn6Cn626nCn6n)

1012(CnCn6Cn62611nCn6n1)[(16)n1](7n1)66

例2、 的值等于（ ）．

A．111105 B．111111 C．12345 D．99999

分析 由已知式子的结构，可构造二项式．

原式．故选C．

练：

123Cn3Cn9Cnn3n1Cn .

解：设

123SnCn3Cn9Cnn3n1Cn，则

122333SnCn3Cn3Cn3nn012233Cn3CnCn3Cn3Cn3nnCn31(13)n1(13)n14n1Sn33

（二）、利用通项公式求x的系数问题

n例3、（l）若的展开式中，的系数是的系数的7倍，求；

（2）已知；

的展开式中，的系数是的系数与的系数的等差中项，求

（3）已知的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求．

解：（l）依题意，即，

由可整理，得，解得.

（2）依题意，

整理，得

∵

∴ ，解得.

（3）依题意，整理，得，

两边取对数，得，解得或.

∴ ，或.

点评 的展开式及其通项公式，是，，，四个基本量的统一体，已知与未

知是相对的，使用方程的思想方法，应会求其中居于不同位置，具有不同意义的未知数．

练：展开式中，的系数等于 ．

解：

．

所求项的系数即为展开式中含项的系数是：

例4、在二项式

(4132nx)3x的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有x的项的系数？

解：由条件知

n2Cn45，即

2Cn452，nn900，解得n9(舍去)或n10，由

Tr1C(x)r101410r(x)Cx23rr1010r2r4310r2r3,解得r3，由题意，

633T61C10x210x3x7则含有的项是第项,系数为210。

练：求

(x219)2x展开式中x9的系数？

解：

Tr1C9r(x2)9r(1r11)C9rx182r()rxrC9r()rx183r2x22，令183r9,则r3

13213C()9922。 故x的系数为

（三）、利用通项公式求常数项问题

12x例5、求二项式

(x2)10的展开式中的常数项？

解：

Tr1C(x)r10210rr1r20552818()C()xT9C10()20r022x2256 2，令，得r8，所以

1rr10练：求二项式

(2x16)2x的展开式中的常数项？

解：

rTr1C6(2x)6r(1)r(1rr6r1r62r)(1)rC62()x2x2，令62r0，得r3，所以

3T4(1)3C620

1(x2)nx的二项展开式中第5项为常数项，则n____. 练：若

1442n12T5Cn(x2)n4()4Cnxx解：，令2n120，得n6.

（四）、利用通项公式，再讨论而确定有理数项问题

93(xx)例6、求二项式展开式中的有理项？

解：Tr1C(x)(x)(1)Cxr9129r13rrr927r627rZ6，令,(0r9)得r3或r9，

27r4T(1)3C3x484x49r36所以当时，，4，

27r3T(1)3C9x3x39r96当时，，10。

（五）、奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和的问题

例7、若

(x213x2)n展开式中偶数项系数和为256，求n.

解：设

(x213x2)n展开式中各项系数依次设为a0,a1,an,

nn令x1,则有a0a1an0,①，令x1,则有a0a1a2a3(1)an2,②

将①-②得：

2(a1a3a5)2n,a1a3a52n1,

有题意得，2n125628，n9。

练：若

(3151n)xx2的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。

解：

0242r13CnCnCnCnCnCn2r1Cn2n1，2n11024，解得n11

所以中间两个项分别为n6,n7，

53T51Cn(1651561)(2)462x415xx，T61462x

（六）、最大系数，最大项问题

1(2x)n例8、已知2，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求

展开式中二项式系数最大项的系数是多少？

解：

465CnCn2Cn,n221n980,解出n7或n14，当n7时，展开式中二项式系数

3531434134T的系数C()2,T的系数C4757()270,T4和T5222最大的项是，当n14时，展开式中

7177T的系数C814()23432T82二项式系数最大的项是，。

2n(ab)练1、在的展开式中，二项式系数最大的项是多少？

解：二项式的幂指数是偶数2n，则中间一项的二项式系数最大，即第n1项。

T2n21Tn1，也就是

x1(3)nx的展开式中，练2、在2只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？

n1552解：只有第项的二项式最大，则，即n8,所以展开式中常数项为第七项等于1C86()272

7(ab)练3、写出在的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？

解：因为二项式的幂指数7是奇数，所以中间两项(第4,5项)的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有

343T4C7ab的系数最小，

434T5C7ab系数最大。

1(2x)n练4、若展开式前三项的二项式系数和等于79，求2的展开式中系数最大的项？

11121212(2x)()(14x)2解：由CCC79,解出n12,假设Tr1项最大，2

0n1n2nrrr1r1Ar1ArC124C124rrr1r1Ar1Ar2C124C124，化简得到9.4r10.4，又0r12，r10，展开式

11210101010T()C4x166x11122中系数最大的项为T11,有

练5、在(12x)的展开式中系数最大的项是多少？

10解：假设

Tr1项最大，

rTr1C102rxr

rrr1r1Ar1Ar2(11r)rC102C102rr解得r1r1AAC2C2,r12(10r)，化简得到6.3k7.3，又r1r2101077770r10，r7，展开式中系数最大的项为T8C102x15360x.

（七）、非二项式结构式问题

25例9、求当(x3x2)的展开式中x的一次项的系数？

2525Tr1C5r(x22)5r(3x)r(x3x2)[(x2)3x]解法①：，，当且仅当r1时，Tr1的展

开式中才有x的一次项，此时

144C5C4232401Tr1T2C5(x22)43x144C5x，所以得一次项为C423x

它的系数为。

解法②：

05145051455(x23x2)5(x1)5(x2)5(C5xC5xC5)(C5xC5x2C52)

55CxC52Cx24240xx 故展开式中含的项为，故展开式中x的系数为240.

1练：求式子

(x2)3x的常数项？

(x12)316解：

x(xx)，设第

r1项为常数Trrr1C6(1)x6r(1x)r(1)6Cr62r6x，得62r0,r3, T331(1)3C620.

（八）、乘积式中二项式定理应用问题

例10、

求(12x)3(1x)4展开式中x2的系数. 解：

(12x)3的展开式的通项是Cmm3(2x)mC32mxm,

(1x)4的展开式的通项是Cn(x)nCnnn441x,其中m0,1,2,3,n0,1,2,3,4,令mn2,则m0且n2,m1且n1,m2且n0,因此(12x)3(1x)4x2的系数等于C0C2111)1C2203204(1)2C321C4(32C4(1)06.求(13x)6(114x)10展开式中的常数项.

项，练

则

：

的展开式中

mn4m3n110mnmn(13x)(14)展开式的通项为C6x3C10x4C6C10x12x解：

6m0,m3,m6,其中m0,1,2,,6,n0,1,2,,10,当且仅当4m3n,即或或n0,n4,n8,003468时得展开式中的常数项为C6C10C6C10C6C104246.

练：

已知(1xx2)(x1n*)的展开式中没有常数项,nN且2n8,则n___.3x

解

(x1nnrn4r)展开式的通项为Crx3rCr,通项分别与前面的三项相乘可得nxnx3x：

n4rn4r1n4r2Cr,Cr,Cr,展开式中不含常数项,2n8nxnxnx

n4r且n4r1且n4r2，即n4,8且n3,7且n2,6,n5.

例11、（1）在的展开式中，若第3项与第6项系数相等，则

（2）

(xx1n)3x 的展开式奇数项的二项式系数之和为128，则展开式中二项式系数

最大项是 ．

分析：（1）由已知，所以．

（2）由已知，而，

∴

展开式中二项式系数最大项是第5项．

（九）、构造法证明等式问题

例12、证明下列各式

(1)

n1n123nCn4n13Cn9Cn3n1Cn.

(2)

021222n2n(Cn)(Cn)(Cn)(Cn)C2n.

证：(1)构造二项展开式

0n1n12n22nn(ab)nCnaCnabCnabCnb.

12n(13)n1Cn3Cn32Cn3na1，b3令得

即

12n1n13Cn9Cn3n1Cn3nCn4n.

nn2n(1x)(1x)(1x)(2)构造恒等式 .

0n1n12n2n0nnCnCnCnCnCnCnCnCnC2n x两边含项的系数相等，即

∵

CmCnmnn， 0mn

∴

(C02(C1222nnnn)n)(Cn)(Cn)C2n.

（十）、展开式中奇数项的系数和与偶数项的系数和问题

例

13、

在(x2)2006的二项展开式中,含x的奇次幂的项之和为S,当x2时,S__.设(x2)2006=a120a1xa2xa3x3a2006x2006-------①

(x2)2006=a120a1xa2xa3x3a2006x2006-------②

①②得2(a1xa33xa5x5a2005x2005)(x2)2006(x2)2006

(x2)2006展开式的奇次幂项之和为S(x)12[(x2)2006(x2)2006]

32006x2时,S(2)1[(222300822)2006(22)2006]22

（十一）、赋值法应用问题

例14、 （1）已知，

那么=_________.

解：当 （2）=___________.

分析 ：（1） 令，得，

令，得，

∴．

（2）在二项展开式中，

令，则左式，右式

∴ .

点评 这是一组求二项展开式的各项系数和的题目，求解的依据是

与

等式，所以赋予字母，及以某些特定数值时，等式依然成立．

. 这两个等式都是恒

1(33x)nx的展开式的各项系数的和为p，所有二项式系数的和为s,若 例15、设二项式

ps272,则n等于多少？

1(33x)na0a1xa2x2anxn0nSCnCn2nPa0a1anx解：若，有，，

n令x1得P4，又

ps272,即4n2n272(2n17)(2n16)0解得

2n16或2n17(舍去)，n4.

13xx的展开式中各项系数之和为，则展开式的常数项为多少？ 练：若

n13xx的展开式中各项系数之和为2n，所以n6，则展开式x1解：令，则

n的常数项为

3C6(3x)3(13)x0.

练：

若(12x)2013a0a1x1a2x2a3x3a2013x2013(xR),则aa1a222013的值为2013222解：

a2013a2013aaa1a21令x,可得a0120,a022222201322222013

aa1a2220131.2222013

在令x0可得a01,因而练：

若(x2)5a5x5a4x4a3x3a2x2a1x1a0,则a1a2a3a4a5____.

解：令x0得a032,令x1得a0a1a2a3a4a51,

a1a2a3a4a531.

（十二）、整除问题

例16、 除以100的余数是 ．

分析：转化为二项式的展开式求解．

．

上式中只有最后两项不能被100整除为81，所以

除以100的余数为81．

．8281除以100的余数

2n2*38n9(nN)能被整除 例17、证明：

2n2n1n138n998n9(81)8n9 证：

0n11nn12n1n1CnCn1818Cn18Cn18Cn18n9

0n11nn120n11nn12CnCnCn18Cn181818Cn188(n1)18n9Cn18

2n2*38n9(nN)能被整除 因为各项均能被整除

（十三）、近似值问题

例18、的近似值（精确到0.001）是 ．

分析

（十四）、不等式证明问题

116

例19、若实数x，y满足xy1，求证：

x5y5证：令

x11111521yx5y5()5()554222216216. ,,则

例20、已知等差数列{an}及等比数列{bn}中，a1b1，a2b2，且这两个数列都是递增的正项数列，求证：当n2时，anbn

证：设 a1b1a，a2b2b, 则ana(n1)(ba),

baban1ban1ba21ba2bna()n1a()a(1)a[1CnC()1n1aaaaa

ban1ba)]a[1(n1)]aaa(n1)(ba)an

(利用二项式定理证明不等式，采用“对称法”（例18）及“减项放缩法”（例19）较为普遍。

1当nN且n>1时,2<13.n练;证明：

n101121证明：1CCCnnnnnn01121CnCnCn2nn2n21Cnnnn

1n(n1)(n2)(nk1)1nk11C•k•k•knk!nk!nk!kn111011n11CnCnCn2nnnn2!3!11111223n121n13222221故213.nnn1n!

n证明：当n3时，求证：22(n1). 练：

证明：原命题等价于2n1n1.012n1(11)n1Cn1Cn11Cn11,n3,1Cn1n12.n1Cn12n11212n2(n1).1n1.

三、知识巩固：

1、(x－1)11展开式中x的偶次项系数之和是

f(1)f(1)(2)11/210242解：设f(x)=(x-1)11, 偶次项系数之和是

0122nnC3C3C3Cn 2、 nnn2、

解：4n

120)5的展开式中的有理项是展开式的第 项 3、

(35解：3,9,15,21

4、(2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是

解：(2x-1)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5展开式系数之和，故令x=1，则所求和为35 5、求(1+x+x2)(1-x)10展开式中x4的系数 21039(1xx)(1x)(1x)(1x)解：,要得到含x4的项，必须第一个因式中的1与(1-x)9

展开式中的项的系数是

4C9(x)4作积，第一个因式中的－x3与(1-x)9展开式中的项C9(x)作积，故

1x4

4C19C9135 6、求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数 (1x)[1(1x)10](x1)11(x1)(1x)(1x)（1x）1(1x)x解：=，原式中x3实为这分

210子中的x4，则所求系数为C117

mnf(x)(1x)(1x)(mnN)展开式中，x的系数为21，问m、n为何值时，7、若

x2的系数最小？

212399).24因n∈N，

解：由条件得

m+n=21，x2的项为Cmx222C2nx，则

2C2mCn(n故当n=10或11时上式有最小值，也就是m=11和n=10，或m=10和n=11时，x2的系数最小 8、自然数n为偶数时，求证：

1234n1nn112CC2CC2CC32nnnnnn

01(CnCnCn2nn1n1证明：原式=223.2135Cnn1Cnn)(CnCnCnCnn1)

9、求80被9除的余数 1111110111101080(811)C81C81C81181k1(kZ), 111111解：

∵k∈Z,∴9k-1∈Z，∴81被9除余8 1110、在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数 2555(x3x2)(x1)(x2)解：

在(x+1)5展开式中，常数项为25=32，含

x的项为

4C152x80x1，含x的项为

C155x，在(2+x)5展开式中，常数项为

∴展开式中含x的项为 1(80x)5x(32)240x，此展开式中x的系数为240 11、求(2x+1)12展开式中系数最大的项 解：设Tr+1的系数最大，则Tr+1的系数不小于Tr与Tr+2的系数，即有

rr1rr113rC122C12C12212rC122r12rr111rrr1C2C1212122C12C12

113r4,r433

44416Cx7920x12∴展开式中系数最大项为第5项，T5=