导数复习

导数复习

一、知识纲要

⒈导数的概念其几何意义：

(1)导数的概念(略)

（2）导数的几何意义：函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率．

⒉常用的导数公式：

(1)C'0； (2)(xn)'nxn1(nQ)； (3)(sinx)'cosx； (4)(cosx)'sinx；

1logaex．

(5)(ex)'ex; (6)(ax)'alna； (7)

x(lnx)'1x； (8)

(logax)'⒊导数的运算法则： ⑴两个函数四则运算的导数： ①(uv)'u'v'； ②(uv)'u'vuv'； ③

u'vuv'uv2v'(v0)u'x．⑵复合函数的导数：y'xy'u·．

4．导数的应用

[1]切线的斜率:根据导数的几何意义，函数f(x)在点x0处的导数就是曲线f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线斜率。因此，求函数在某点处的切线斜率，只要求函数在该点处的导数。

[2]函数的单调性:当函数y=f(x)在某个区间内可导时，如果f＇(x)>0，则函数y=f(x)在这个区间

上为增函数；如果f＇(x)<0，则函数y=f(x)在这个区间上为减函数．对于某个区间上的可导函数，利用导数来判断函数单调性是普遍适用的方法。

[3]函数的极值:对于可导函数f(x)判断其极值的方法为；

○1如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么，f(x0)是极大值；

○2如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么，f(x0)是极小值.

注意：可导函数f(x)在极值点处的导数是0；导数为0的点不一定是极值点．例如，对于函数

f(x)x3，x=0点处的导数是0，但它不是极值点．

[4]函数的最值:闭区间[a，b]上连续函数f(x)必有最大值与最小值，其求法为：

○1求函数f(x)在(a，b)内的极值；

○2将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

二、例题分析

1x例1、曲线

y和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是 .

例2.已知a0，函数f(x)lnxax2,x0.（f(x)的图像连续不断），求f(x)的单调区间；

32f(x)xaxbxc在x2处取得极值，并且它的图象与直线y3x3在点（1，0）例3．已知函数

处相切，求a、b、c的值.

x例4．求证：ex1

例32f(x)2x3ax3bx8c在x1及x2时取得极值． 5.设函数

2f(x)cx[0，3]（Ⅰ）求a、b的值； （Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．

例6．设

exf(x)1ax2，其中a为正实数（Ⅰ）当a43时，求f(x)的极值点；（Ⅱ）若f(x)为R上的

单调递增函数，求a的取值范围。

fxx3ax2bx1的导数fx满足f(1)2a,f(2)b,其中常数a,bR.

例7．设

（Ⅰ）求曲线

yfx.gx1,f(1)gxf(x)ex.在点处的切线方程。（Ⅱ）设求函数的极值。

例8． 已知函数f(x)(xk)e。（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的x(0,)，都有

f(x)≤e，求k的取值范围。

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