求通项公式的习题

高考递推数列题型分类归纳解析

各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。我现在总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。 类型1 an1anf(n)

解法：把原递推公式转化为an1anf(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。

例1. 已知数列an满足a1

例2: 已知数列{an}中a11，且a2k=a2k－1+(－1)K, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,…….

（I）求a3, a5； （II）求{ an}的通项公式.

类型2 an1f(n)an 解法：把原递推公式转化为例1:已知数列an满足a1

例2:已知a13，an1

变式:（全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1，ana12a23a3(n1)an1 (n≥2)，则{an}

的通项

11，an1an2，求an。 2nnan1f(n)，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an2n，an1an，求an。 3n13n1an (n1)，求an。 3n2

1

类型3 an1panq（其中p，q均为常数，(pq(p1)0)）。

解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：an1tp(ant)，其中t再利用换元法转化为等比数列求解。

例1:已知数列an中，a11，an12an3，求an. 变式:（重庆,文,14）

在数列an中，若a11,an12an3(n1)，则该数列的通项an_______________

例2:（福建.22.本小题满分14分）

*已知数列an满足a11,an12an1(nN).

q， 1p（I）求数列an的通项公式； （II）若数列{bn}滿足414（Ⅲ）证明：

2

b1b214bn1(an1)bn(nN*),证明：数列{bn}是等差数列；

an1a1a2n...n(nN*). 23a2a3an12

nn类型4 an1panq（其中p，q均为常数，(pq(p1)(q1)0)）。（或an1panrq,其中p，

q, r均为常数） 。

解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以qn1，得：

an1pan1• qn1qqnq引入辅助数列bn（其中bnanp1bb），得：再待定系数法解决。 n1nnqqq例1:已知数列an中，a1

511n1,an1an()，求an。 632例2:（全国I,22,本小题满分12分） 设数列an的前n项的和Sn412an2n1，n1,2,3,333

n2n（Ⅰ）求首项a1与通项an；（Ⅱ）设Tn，n1,2,3,Sn

，证明：

Tii13 2类型5 递推公式为an2pan1qan（其中p，q均为常数）。

解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为an2san1t(an1san) 其中s，t满足

3

stp

stq

解法二(特征根法)：对于由递推公式an2pan1qan，a1,a2给出的数列an，方程

x2pxq0，叫做数列an的特征方程。若x1,x2是特征方程的两个根，当x1x2时，数列an的

n1n1通项为anAx1Bx2，其中A，B由a1,a2决定（即把a1,a2,x1,x2和n1,2，代入n1n1anAx1n1Bx2，得到关于A、B的方程组）；当x1x2时，数列an的通项为an(ABn)x1，n1其中A，B由a1,a2决定（即把a1,a2,x1,x2和n1,2，代入an(ABn)x1，得到关于A、

B的方程组）。

解法一（待定系数——迭加法）:

例1数列an：3an25an12an0(n0,nN)， a1a,a2b，求数列an的通项公式。

例2:已知数列an中，a11,a22,an2

变式:

*1.已知数列an满足a11,a23,an23an12an(nN).

21an1an，求an。 33（I）证明：数列an1an是等比数列；（II）求数列an的通项公式； （III）若数列bn满足414

2.已知数列

b1b21...4bn1(an1)bn(nN*),证明bn是等差数列

an中，a11,a22,an22an11an，求an

33 4

3.已知数列

an中，Sn是其前n项和，并且Sn14an2(n1,2,),a11，

⑴设数列bnan12an(n1,2,)，求证：数列bn是等比数列；

⑵设数列cnan,(n1,2,)，求证：数列cn是等差数列；⑶求数列an的通项公式及前n项和。 n2

类型6 递推公式为Sn与an的关系式。(或Snf(an))

S1(n1)解法：这种类型一般利用an与anSnSn1f(an)f(an1)消去Sn

SS(n2)n1n(n2)或与Snf(SnSn1)(n2)消去an进行求解。

例1：已知数列an前n项和Sn4an12n2.

（1）求an1与an的关系；（2）求通项公式an.

n（2）应用类型4（an1panq（其中p，q均为常数，(pq(p1)(q1)0)））的方法，上式两边同

乘以2n1得：2n1an12nan2

由a1S14a11a11.于是数列2nan是以2为首项，2为公差的等差数列，所以122n2nan22(n1)2nann1

2

5

例2:（陕西,理,20本小题满分12分)

已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an

例3: (,江西, ,22．本小题满分14分）

已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3()

类型7 an1pananb(p1、0，a0)

12n13(n3),且S11,S2,求数列{an}的通项公式.

2解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令an1x(n1)yp(anxny)，与已知递推式比较，解出x,y,从而转化为anxny是公比为p的等比数列。 例1:设数列an：a14,an3an12n1,(n2)，求an.

变式:（山东,文,22,本小题满分14分） 已知数列｛an｝中，a11在直线y=x上，其中n=1,2,3… 、点（n、2an1an）2的通项；(Ⅰ)令bnan1an3,求证数列bn是等比数列； (Ⅱ)求数列an

bn的前n项和,是否存在实数，、(Ⅲ)设Sn、Tn分别为数列an使得数列存在试求出 不存在,则说明理由.

SnTn为等差数列？若

n 6

r类型8 an1pan(p0,an0)

解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为an1panq，再利用待定系数法求解。 例1：已知数列｛an｝中，a11,an1

例2:（江西,理,21．本小题满分12分）

已知数列{an}的各项都是正数,且满足:a01,an112的通项公式. an(a0)，求数列ana1an(4an),nN. 2（1）证明anan12,nN; （2）求数列{an}的通项公式an.

例1:（山东,22,本小题满分14分）

已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，… （1） 证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；

（2） 设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；

记bn=

112，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1 anan23Tn1 7

类型9 an1

f(n)an解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为an1panq。

g(n)anh(n)例1：已知数列｛an｝满足：anan1,a11，求数列｛an｝的通项公式。

3an11

例2:（江西,理,22,本大题满分14分） 1.已知数列｛an｝满足：a1＝

3nan－13（n2，nN），且an＝

2an－1＋n－12（1） 求数列｛an｝的通项公式；

（2） 证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•……an2•n！

2、若数列的递推公式为a1

3、已知数列{an}满足a1

4、已知数列｛an｝满足：an

5、若数列｛an｝中，a1=1，an1=

3,112(n)，则求这个数列的通项公式。 an1an1,n2时，an1an2an1an，求通项公式。

an1,a11，求数列｛a｝的通项公式。

3an11n

2an n∈N，求通项an．

an2

8

类型10 an1panq

ranhpanq（其中p、q、r、h

ranh解法：如果数列{an}满足下列条件：已知a1的值且对于nN，都有an1均为常数，且phqr,r0,a1则hpxq），那么，可作特征方程x,当特征方程有且仅有一根x0时,rrxhanx11x是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时，则x是等比数列。 12anx0anx2an4,且a13,求{an}的通项公式.

2an3例1：已知数列{an}满足性质：对于nN,an1

例2：已知数列{an}满足：对于nN,都有an113an25.

an3（1）若a15,求an;（2）若a13,求an;（3）若a16,求an;（4）当a1取哪些值时，无穷数列{an}不存在？

例3:（重庆,22,本小题满分12分）

数列{an}满足a11且8an1an16an12an50(n1).记bn11an2(n1).

（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值； （Ⅱ）求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn.

9

n类型11 an1anpnq或an1anpq

解法：这种类型一般可转化为a2n1与a2n是等差或等比数列求解。 例1：（I）在数列{an}中，a11,an16nan，求an

n（II）在数列{an}中，a11,anan13，求an

类型12 归纳猜想法 解法：数学归纳法

例1:（全国II,理,22,本小题满分12分）

设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，… （Ⅰ）求a1，a2； （Ⅱ）｛an｝的通项公式

10

类型13双数列型

解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。 例2：已知数列an中，a11；数列bn中，b10。当n2时，

11an(2an1bn1), bn(an12bn1)，求an,bn.

33

类型14周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。

例1：若数列an满足an112a,(0a)n6n2，若a1，则a20的值为___________。

72a1,(1a1)nn2

例2:（湖南,，5）

已知数列{an}满足a10,an1an33an1(nN*)，则a20=

（ ）

A．0

B．3 C．3

D．

3 2 11