(完整)矩形(基础)知识讲解

矩形(基础）

【学习目标】

1. 理解矩形的概念。

2。 掌握矩形的性质定理与判定定理。 【要点梳理】

要点一、矩形的定义

有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。

要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角。即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 要点二、矩形的性质

矩形的性质包括四个方面：

1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2。矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角；

4。矩形是轴对称图形,它有两条对称轴。

要点诠释:（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形。过中心的任意直线可将矩形分成完

全全等的两部分。

（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对

角线的交点（即对称中心)。

（3）矩形是特殊的平行四边形,矩形具有平行四边形的所有性质,从而矩形的性质可以归结为

从三个方面看：从边看,矩形对边平行且相等;从角看,矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.

要点三、矩形的判定

矩形的判定有三种方法:

1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2.对角线相等的平行四边形是矩形。 3。有三个角是直角的四边形是矩形。

要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角\"或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.

要点四、直角三角形斜边上的中线的性质

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般

三角形不可使用。

(2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方

和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半. （3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题。

【典型例题】

类型一、矩形的性质 1、(2015•云南)如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB=3∠CBN．

（1）求证：∠PNM=2∠CBN； (2）求线段AP的长．

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【思路点拨】（1)由MN∥BC，易得∠CBN=∠MNB，由已知∠PNB=3∠CBN，根据角的和差不难得出结论；

（2）连接AN,根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，由（1）知∠PNM=2∠CBN=2∠PAN,由AD∥MN，可知∠PAN=∠ANM，所以∠PAN=∠PNA，根据等角对等边得到AP=PN，再用勾股定理列方程求出AP． 【答案与解析】

解：(1）∵四边形ABCD是矩形，M,N分别是AB，CD的中点， ∴MN∥BC，

∴∠CBN=∠MNB, ∵∠PNB=3∠CBN， ∴∠PNM=2∠CBN； （2）连接AN，

根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN， ∵MN∥AD，

∴∠PAN=∠ANM，

由（1）知∠PNM=2∠CBN， ∴∠PAN=∠PNA， ∴AP=PN，

∵AB=CD=4，M，N分别为AB,CD的中点， ∴DN=2，

设AP=x，则PD=6﹣x， 在Rt△PDN中 PD+DN=PN， ∴（6﹣x）+2=x, 解得:x=所以AP=

2

2

2

2

2

2

．

【总结升华】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理等知识的综合运用，难度不大，根据角的倍差关系得到∠PAN=∠PNA,发现AP=PN是解决问题的关键． 举一反三：

【变式】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P为AB边上任一点，过P分别作PE⊥AC于E，

PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是 _________ ．

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【答案】；

提示：因为ECFP为矩形，所以有EF＝PC。PC最小时是直角三角形斜边上的高。 类型二、矩形的判定

2、（2016•济宁一模）如图，在△ABC中,D是BC边上的一点，E是AD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD,连接BF． (1）求证：D是BC的中点．

(2）如果AB=AC,试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．

【思路点拨】

（1）因为AF∥BC，E为AD的中点，即可根据AAS证明△AEF≌△DEC，故有BD=DC；

(2）由（1）知，AF=DC且AF∥DC,可得四边形AFDC是平行四边形，又因为AD=CF,故可有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定．

【答案与解析】

（1）证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DCE（1分） ∵E是AD的中点， ∴AE=DE．(2分) ∵∠AEF=∠DEC，

∴△AEF≌△DEC．(3分） ∴AF=DC, ∵AF=BD ∴BD=CD，

∴D是BC的中点；(4分)

（2）四边形AFBD是矩形，（5分） 证明：∵AB=AC，D是BC的中点, ∴AD⊥BC,

∴∠ADB=90°，(6分） ∵AF=BD，AF∥BC,

∴四边形AFBD是平行四边形,（7分） ∴四边形AFBD是矩形．

【总结升华】本题考查矩形的判定和全等三角形的判定与性质．要熟知这些判定定理才会灵活运用，根据性质才能得到需要的相等关系．

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举一反三:

【变式】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形.

求证：四边形ADCE是矩形。

【答案】

证明:∵四边形ABDE是平行四边形， ∴AE∥BC,AB＝DE,AE＝BD ∵D为BC的中点， ∴CD＝BD

∴CD∥AE，CD＝AE

∴四边形ADCE是平行四边形 ∵AB＝AC ∴AC＝DE

∴平行四边形ADCE是矩形。

3、如图所示,ABCD四个内角的角平分线分别交于点E、F、G、H． 求证:四边形EFGH是矩形．

【思路点拨】AE、BE分别为∠BAD、∠ABC的角平分线，由于在ABCD中，∠BAD+∠ABC＝180°，易得∠BAE+∠ABE＝90°，不难得到∠HEF＝90°，同理可得∠H＝∠F＝90°． 【答案与解析】

证明：在ABCD中,AD∥BC， ∴ ∠BAD＋∠ABC＝180°,

∵ AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC，

11 ∴ ∠BAE＋∠ABE＝∠BAD＋∠ABC＝90°．

22 ∴ ∠HEF＝∠AEB＝90°． 同理：∠H＝∠F＝90°． ∴ 四边形EFGH是矩形．

【总结升华】 (1)利用角平分线、垂线得到90°的角,选择“有三个直角的四边形是矩形”来判定．（2）本题没有涉及对角线,所以不会选择利用对角线来判定矩形． 类型三、直角三角形斜边上的中线的性质

4、如图,△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8,AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点,连接DE，则△CDE的周长为（ )

A．20 B．12 C．14 D．13

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【答案】C； 【解析】

解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，

1∴AD⊥BC,CD＝BD＝BC＝4，

2∵点E为AC的中点，

1∴DE＝CE＝AC＝5，

2∴△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝4＋5＋5＝14．

【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 举一反三：

【变式】如图所示,已知平行四边形ABCD，AC、BD相交于点O，P是平行四边形ABCD外一点，且∠APC＝∠

BPD＝90°．求证:平行四边形ABCD是矩形．

【答案】 解:连接OP．

∵ 四边形ABCD是平行四边形． ∴ AO＝CO,BO＝DO，

∵ ∠APC＝∠BPD＝90°，

11∴ OP＝AC，OP＝BD，

22∴ AC＝BD．

∴ 四边形ABCD是矩形．