经典的微积分习题库

习题1—2

1．确定下列函数的定义域：

1（1）y；

2x9（4）y32．求函数

1sinyx0(x0)(x0)（2）ylogaarcsinx；

（3）y2； sinx1x1loga(2x3)；（5）yarccosloga(4x2) x22

的定义域和值域。

3．下列各题中，函数f(x)和g(x)是否相同？

（1）f(x)x,g(x)x2；

（2）f(x)cosx,g(x)12sin2（4）f(x)x,g(x)x0。 x2；

x21（3）f(x),g(x)x1；

x14．设f(x)sinx证明：

f(xx)f(x)2sinxxcosx 225．设f(x)ax2bx5且f(x1)f(x)8x3，试确定a,b的值。

6．下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是既非奇函数又非偶函数？

1x22223（1）yx(1x) （2）y3xx； （3）y； 21xaxax（4）yx(x1)(x1)； （5）ysinxcosx1 （6）y。

27．设f(x)为定义在(,)上的任意函数，证明：

（1）F1(x)f(x)f(x) 偶函数； （2）F2(x)f(x)f(x)为奇函数。

8．证明：定义在(,)上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。 9．设f(x) 定义在(L,L)上的奇函数，若f(x)在(0,L)上单增，证明：f(x)在(L,0)上也单增。

10．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期： （1）ycos(x2) （2）ycos4x； （3）y1sinx； （4）yxcosx； （5）ysin2x （6）ysin3xtanx。

11．下列各组函数中哪些不能构成复合函数？把能构成复合函数的写成复合函数，并指出其定义域。

（1）yx3,xsint

（2）yau,ux2； （3）ylogau,u3x22；

（6）ylogau,ux22。

（4）yu,usinx2 （5）yu,ux3 12．下列函数是由哪些简单函数复合而成的？ （1）y3(1x)21

（2）y3(x1)；

1

2

（3）ysin2(3x1)

（4）y3logacos2x。

2x（3）yx。

2113．求下列函数的反函数： （1）y2sinx；

（2）y1loga(x2)；

习题1—3

1．利用数列极限定义证明：如果limunA，则lim|un||A|，并举例说明反之不然。

nn

习题1—4

x2(x1)1．设f(x)

x1(x1)（1）作函数yf(x)的图形； （2）根据图形求极限limf(x)与limf(x)；

x1x1（3）当x1时，f(x)有极限吗？ 2．求下列函数极限：

xx（1）lim； （2）lim2；

x0x|x|x0|x|3．下列极限是否存在？为什么？ （1）limsinx；

x（3）limx0x。 2x|x|1； x（2）limarctanx；

x

（3）limcosx0（4）lim(1ex)；

x（5）lim|x1|；

x1x1（6）limex。

x

习题1—5

求下列极限

1112n11．lim； 2. ； lim222x12x23n(n1)nnnx22x14．lim；

x1x21

x253. lim； x2x33

(xh)2x25. lim； h0h 6. limx1x1。 x1习题1—6

1．求下列极限：

sinax（1）lim(b0)；

x0sinbx2xtanx（4）lim；

x0sinx1（7）lim1；

tt

t（2）limtanxsinx； 3x0x（3）lim1cosx；

x0xsinx2； xx

arcsinx（5）lim；

x0x1（8）lim1xx2

x3

（6）lim1xx0 ；

（9）lim(1tanx)cotx；

xa（10）lim；

xxax

x2（11）limxx211； 2x211； （12）lim12。

xnn2．利用极限存在准则证明：

111（1）limn222xnn2nn（2）数列2,22,222，…的极限存在； （3）lim

xx211。 x1习题1—7

1．当n无限增加时，下列整标函数哪些是无穷小？

(1)n12n11cosn（1）2； （2）； （3）； （4）。

n1nnn2．已知函数

11xsinx,2,,ln(1x),ex,ex

xx（1）当x0时，上述各函数中哪些是无穷小？哪些是无穷大？ （2）当x时，上述各函数中哪些是无穷小？哪些是无穷大？

1（3）“是无穷小”，这种说法确切吗？

x3．函数yxcosx在(,)是是否有界？又当x地，这个函数是否为无穷大？为什么？

4．求下列极限 !000n（1）lim2；

xn1(|a|1,|b|1)

（2）limxn2n1aa2an； （3）limx1bb2bnn2 ；

(2)n2n4x21x3（4）lim； （5）lim； （6）lim2；

16x5x1x(2)n13n1x1x1x25．求下列极限：

sinx（1）limex；

xx（2）limxcosx01； x（3）limnnsinn；

exarctanx（4）lim； （5）lim； （6）limexarctanx。

xxarctanxxx6．下列各题的做法是否正确？为什么？ (x29)x29limx9 （1）limx9x9lim(x9)x9（2）lim(x111112)limlim20 x1x1x1x1x1x13

cosx1limcosxlim0。

xxxxx7．证明：当x0时，arcsinx~x，arctanx~x。 8．利用等价无穷小的性质，求下极限：

sin2xsin2x（1）lim； （2）lim；

x0sin3xx0arctanxsinxnx（3）lim（m,n为正整数）；（4）lim。 mx0(sinx)x01cosx（3）lim9．当x1时，x33x2是x1是多少阶无穷小？

x1110．当x时，4是是多少阶无穷小？

x1x11111．当x时，sin是是多少阶无穷小？

xxx

习题1—8

1．研究下列函数的连续性，并画出函数的图形： x（1）f(x)；

x

x2(0x1)（2）f(x)；

2x(1x2)x2(|x|1)|x|(x0)（3）f(x)； （4）(x)。

1(x0)x(|x|1)2．指出下列函数的间断点，说明这些间断点属于哪一类？如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续。

x21n1（1）y2； （2）y； （3）ycos2。

x3x2tanxxex(0x1)3．a为何值时函数f(x)在[0，2]上连续？

ax(1x2)1x2nx的连续性，若有间断点，判断共类型。 4．讨论函数f(x)limn1x2n

习题1—9

1．设f(x)连续，证明|f(x)|也是连续的。

2．若f(x)在[a,b]上连续，且在[a,b]上f(x)恒为正，证明：连续。

3．求下列极限：

1在[a,b]上迹f(x) 4

（1）limx0x22x5； （2）lim(sin2x)3； （3）limx4sin5xsin3x；

x0sinx（6）limaxabsinxsina(a0)； （4）lim； （5）limxbxbxaxasinx（7）lim2； （8）limthx；

x0xxx（10）limx2ln(13x)；

x0x3（9）lim(x2x1)；

xx2x22；

x4ln(ax)lna（12）lim。

x0x

（11）limxxxx1x

习题1—10

1．证明：方程x53x1在区间（1，2）上至少有一个根。

x1,x2,,xn是[a，2．设f(x)在闭区间[a，b]上连续，b]内的n个点，证明：[a,b]，使得

f()

f(x1)f(x2)f(xn)

n习题2—1

1．用导数定义求下列函数的导数： （1）yaxb （a,b是常数）；

（2）f(x)cosx；

（3）y1。 x2．下列各题中假定f(x0)存在，按照导数定义观察下列极限，指出A表示什么？ （1）lim（3）limx0f(x0x)f(x0)f(x)A； （2）limA，其中，f(0)0；

x0xxf(x0h)f(x0h)A。

h0h3．利用幂函数求导数公式，求下列函数的导数：

（1）yx2x； （3）yxx2

（2）yx1.63x2； （4）yx23xx5； 。

1，求f(1),f(2)。 x5．已知函数f(x)x，求f(2),f(4)。

16．自由落体运动sgt2（g=9.8米/秒2）。

2（1）求在从t5秒到（tt）秒时间区间内运动的平均速度，设t1秒，0.1秒，

4．已知函数f(x) 5

0.001秒；

（2）求落体在5秒末的瞬时速度； （3）求落体在任意时刻t的瞬时速度。

7．函数在某点没有导数，函数所表示的曲线在该点是不是就没有切线？举例说明。

x2(x1)8．设函数f(x)为了使函数f(x)在x1处连续可导，a，b应取什

axb(x1)么值？

2

9．求曲线ysinx在x及x处的切线斜率。

3

10．求曲线yx3上取横坐标为x11及x23的两点，作过这两点的割线。问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？

1xsin(x0)12．证明函数数f(x)在x0处连续，但不可导。 x(x0)013．函数y|sinx|在x0处的导数是否存在，为什么？ 14．讨论下列函数在指定点处的连续性与可导性：

12xsin(x0)（1）f(x)在点x0处； x(x0)0x1（2）y在点x1处；

x1（3）y|x2|在点x2处。

习题2—2

1．求下列函数的导数： （1）yax2bxc； （4）yx2cosx； （7）y

（2）yx2(2x)； （5）()sin； （8）s1sint；

1sint（3）f(v)(v1)2(v1)；

2（6）y3ax；

x（9）y(2sect)sint。

121xx2．求下列函数在指定点处的导数：

（1）f(x)anxnan1xn1a1xa0，求f(0)，f(1)；

；

（2）yx2sin(x2)，求y(2)。

3．求下列函数的导数（其中x，t是自变量，a,b是大于零的常数）： （1）y1a2x2；

（2）yx2x2a2；

（3）y1ln2x； （6）ycosx2；

（4）ytanx； 2（5）y1ex； ；（8）ysin26

（7）y12x

11x2xxcot； （9）ysin2(2x1)； 32

（10）ysin1x2； （11）ycot31x2；

1； x（12）ysinex2x2； 1； x（13）ycos2(cos2x)； （14）yx2sin（16）y2x/lnx；

3（15）y1tanx

（17）yt33t （18）yln(1x2xx2)；

（21）yln[ln(lnt)]；

（19）yesinx；

1（22）yarccos；

x（20）yln3(x2)；

（23）yarccos13x； （24）yxarctanx；

21（25）yxarccosx1x （26）y； （27）yarccosex；

x1x2arcsinx2（28）yarcsin1xarcsinx； （29）yln(arctan1x2)；（30）y； 1xarccosxxxb1abxarcsinxxyearctaneyarccos（31）ycos；（32）；（33） ；bxax（34）yesin21x； （35）ych(shx)； （38）yarctan(thx)

（36）yth(lnx)； （39）yln(chx)（37）yshxechx；

12chx2。

4．求与曲线yx25相切且通过点（1，2）的直线方程。

5．求曲线yxlnx的平行于直线2x2y30的法线方程。 6．抛物线yx2上哪一点的切线与直线3xy10交成45°角。

7．求过曲线ye2xx2上横坐标x0的点处的法线方程，并求从原点到该法线的距离。

dy8．设f(x)对x可导，求：

dx（1）yf(x2)； （2）yf(ex)ef(x)；

（3）yf[f(x)]

（4）yf(sin2x)f(cos2x)。

习题2—3

1．求下列函数的二阶导数： （1）yxcosx； （4）ytanx； （7）ylnsinx；

（2）yax；

222x3x4（3）y；

xx（5）y(1x2)arctanx； （6）ye；

（8）ysinxsin2xsin3x；（9）yln(xx2a2)。

2．验证函数yC1exC2ex(,C1,C2是常数）满足关系式y2y0。 3．验证函数yexsinx满足关系式y2y2y0。

4．求下列函数的高阶导数： （1）yx2e2x，求y(20)； （2）yx2sin2x，求y(50)。

7

5．若f(x)存在，求下列函数y的二阶导数（1）yf(x2)

d2ydx2：

（3）yln[f(x)]。

（2）yf(sin2x)；

d2xydx16．试从。 导出23dyydy(y)

习题2—4

dy： dx（1）x2y2R2； （2）x2xyy2a2；

1．求下列方程所确定的隐函数y的导数

（4）xyyx

（5）xcosysin(xy)；

（3）xyexy；

y（6）arctanlnx2y2。

x（3）y1xx2．利用对数求导法求下列函数的导数： （1）y2xx；

cosx（2）y(lnx)； ； （5）yx ； (x1)2（4）y(sinx)3x2；

(52x)(x1)（6）y3x(x21)。

3．求圆(x1)2(y3)217过点（2，1）的切线方程。 4．设ysin(xy)，求y。 5．设s1tes，求st。

xt2dyd2y6．已知， 求 。 ,2dxdxy4t3dyd2yxacost7．已知星形线， 求 。 ,23dxdxyasintxa(sin)dyd2y8．已知摆线，求 。 ,2ya(1cos)dxdx9．求下列曲线在给定点处的切线和法线方程：

3atxxacos1t2（1），在处； （2），在t2处。 2ybsin43aty1t22x12tt10．已知质点运动方程为

2y4t（1）求质点出发时所在的位置；

（2）t2秒时的水平与铅直方向的速度； （3）求水平方向加速度与铅直方向加速度。

8

txesint11．验证参量方程，

tyecost所确定的函数y满足关系式

dy2(xy)2xy。 dx2dx12．一架直升机离开地面时，距离一观察者120米，它以40米/秒的速度垂直上飞，求起飞后15秒时，飞机飞离观察者的速度？

13．将水注入深8米、上顶直径8米的正圆锥形容器中，其速率每分钟4立方米，当水深为5米时，其表面上升的速度为多少？

14．有一长为5米的梯子，靠在墙上，若它的下端沿地板以3米/秒的速度离开墙脚滑动，问：

（1）当其下端离开墙脚多少米，梯子的上、下端滑动的速率相同？ （2）它的下端离开墙脚1.4米时，梯子上端下滑的速率是多少？ （3）何时它的上端下滑的速率为4米/秒？

d2y习题2—5

1．求下列函数的微分 （1）y5x23x1； yarcsin(2x21)；

（2）y(x22x)(x4)；

（3）

（4）y2ln2xx； （5）yln(secttant)； 2．求下列函数在指定点的微分：

21（1）yarcsinx，在x和x时(||2)；

22x（2）y，在x0和x1处。 21x3．求下列函数在指定条件下的微分：

161x（1）yx2x,x10,x0.1； （2）y，当从变到时。 23606(tanx1)4．若函数yx21，

（1）在x1处，x0.01，试计算dy,y及ydy；

（2）将点x处的微分dy，增量y和ydy在函数图形上标出。 5．填空：

11)2dx； （1）d(（2）d(（3）d()2xdx； )dx

xxdx)exdx； （5）d()（4）d(（6）d( )sin2xdx；

2xd(（7）

)exdx2(2)dx；（8）d(sinxcosx)d()d(cosx)()dx。

9

习题3—1

551．验证F(x)lnsinx在,上满足Rolle定理的条件，并在,上，找出使6666f()0的。

2．以定义在[1，3]上的函数f(x)(x1)(x2)(x3)为例，说明Rolle定理是正确的。

3．已知函数f(x)13x2,f(1)f(1)，但在[-1，1]没有导数为零的点，这与Rolle定理是否矛盾？为什么？

4．验证函数f(x)arctanx在[0，1]上满足Lagrange中值定理的条件，并在区间（0，1）内找出使f(b)f(a)f()(ba)成立的。

15．当ab0时，对于函数f(x)在（a，b）上能否找到满足有限增量公式的点？

x这与Lagrange中值定理是否矛盾？

6．不用求出函数f(x)(x1)(x2)(x3)(x4)的导数，说明方程f(x)0有几个实根？并指出它们所在的区间。

7．证明恒等式：arcsinxarccosx8．若方程anxnan1xn1(1x1)。 2a1x0有一个正根xx0，证明：方程

annxn1an1(n1)xn2a10必有一个小于x0的正根。

9．若函数f(x)在(a,b)上具有二阶导数，且f(x1)f(x2)f(x3)其中，ax1x2x3b，证明：在（x1,x3）上至少有一点，使得f()0。

12．证明下列不等式：

（1）|sinx2sinx1||x2x1|； （2）|arctanx2arctanx1||x2x1|；

（3）当x1时，exex。

习题3—2

1．求下列各题的极限：

3x3aln(1x)(a0)； （1）lim； （2）limxax0xxa2exex（4）lim； （5）limx2e1/x；

x0x0sinx1x（7）limlnxln(x1)；（8）lim；

x1x1x1lnx（3）limx0lnsin3x；

lnsinx1ln1x（6）lim；

xarccotx（9）limxsinx；

x0x3xsinx1（10）lim； （11）limx(a1,n0)； （12）lim。

x0xxax0xxsinx2．验证lim存在，但不能用LHospital法则计算。

xxcosx

10

tanxn

习题3—3

1．将x的多项式x45x3x23x4表为（x4）的多项式。

2．应用Maclaurin公式，将函数f(x)(x33x1)3表示为x的多项式。 3．当x04时，求函数yx的三阶Taylor公式。

14．当x01时，求函数f(x)的n阶Taylor公式，并写出拉格朗日型余项。

x

习题3—4

1．判定函数f(x)xcosx(0x2)的单调性。 2．证明：yx3x单调增加。

3．判定函数f(x)arctanxx的单调性。

x214．证明：y在不含点x0的任何区间都是单调增加的。

x5．求下列函数的单调区间： （1）y2x36x218x7； （2）y(x2)5(2x1)4；

10（3）y3； （4）y3(2xa)(ax)2(a0)； 24x9x6x（5）y2x2lnx； （6）yln(x1x2)。 6．证明下列不等式：

1（1）1x1x (x0)； （2）1xln(x1x2)1x22（3）sinxtanx2x0x； （4）arctanxx(x0)。

27．试证方程sinxx只有一个实根。

8．试确定方程x33x29x20的实根个数，并指出这些根所在范围。 9．单调函数的导函数是否必为单调函数？（研究：f(x)xsinx）

(x0)；

习题3—5

1．求下列函数的极值： （1）y2x33x2；

1xx（2）y13x45x2；

（3）yxln(1x2)； （6）yxtanx。

（4）y； （5）y2exex； 2．求下列函数在指定区间上的最大值和最小值： （1）yx55x45x31， （2）y

11

[1,2]； [0,1]；

1xx21xx2,

a2b2（3）y， x1x（4）yx1x，

(0,1),(ab0)； [5,1]； 2,2； （5）ysin2xx， （6）yarctan1x， 1x（7）f(x)|x23x2|，

[0,1]； [10,10]。

3．将8分为两部分，怎样分才使它们的立方之和为最小？ 4．设一球的半径为R，内接于此球的圆柱体的最高为h，问h为多大时圆柱的体积最大？

5．过平面上一已知点P(1,4)引一条直线，要使它在二坐标轴上的截距都为正，且它们之和为最小，求此直线的方程。

6．对某个量x进行n次测量，得到n个测量值x1,x2,,xn，试证：当x取这n上数的算术平均值

x1x2xn时，所产生的误差的平方和：

n(xx1)2(xx2)2(xxn)2为最小。

7．有一杠杆，支点在它的一端，在距支点0.1m处挂一重量为49kg的物体，加力于杠杆的另一端，使杠杆保持水平（图3.5.3），如果杠杆本身每米的重量为5kg，求最省力的杆长？

8．从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形做成一个漏斗（图3.5.4）。问留下的扇形的中心角为多大时，做成的漏斗的容积最大？

习题3—6

1．求下列各函数的凹凸区间及拐点： （1）yx5x3x5； （3）yx5；

32

（2）yx322x3a（4）y(x1)4ex；

（a为任意正数）；

（5）yearctanx； （6）yln(x21)； （8）yxex。

（7）yx4(12lnx7)；

2xt3．求曲线的拐点。

3y3tt

2．问a和b为何值时，点（1，3）为曲线yax3bx2的拐点？

12

4．试确定yk(x23)2中的k的值，使曲线的拐点处的法线通过原点。

习题3—7

求下列曲线的渐近线：

11．y2；

x4x5x2．y；

(1x)(1x)23．y4．yx4(1x)x2x123； ； x。 25．y2xarctan

习题3—8

描绘下列函数的图形：

11．y(x46x28x7)。

512．y4x2。

x3．ye(x1)。 4．yln(x21)。 5．y9a3222xa6．yexsinx(x0)。

(a0)。

习题3—9

1．求抛物线yx24x3在顶点处的曲率及曲率半径。 2．计算曲线ychx上点（0，1）处的曲率。

3xacost3．求曲线在tt0处的曲率。

3yasintxa(costtsint)4．求曲线在t处的曲率。

2ya(sinttcost)y2x5．证明曲线yach在任何一点处的曲率半径为。

aa

13

习题3—10

1．试证明方程x55x10在区间（1,0）内有惟一的实根，并用切线法求这个根的近似值，使误差不超过0.01。

2．求方程xlgx1的近似根，使误差不超过0.01。

习题4—1

1．定积分

ba介于曲线yf(x)，x轴与xa,xb之f(x)dx的几何意义可否解释为：

间的曲边梯形的面积？

2．设物体沿x轴，在变力FF(x)的作用上，由点a移到点b(ab)，试用定积分概念（积分和式的极限）来表示变力F所作的功W

3．利用定积分的几何意义，说明下列等式：

（1）（3）

102xdx1；

（2）（4）

101x2dx4；

sinxdx0；

cosxdx22220cosxdx。

4．把下列定积分写成积分和式的极限：

11（1）； （2）dxsinxdx。

01x205．根据定积分的性质，说明下列积分哪一个的值较大？

（1）（3）

102xdx与

210xdx；

223 （2）（4）

21xdx与

x221x2dx；

1lnxdx与

y01(lnx)dx；

xdx与2311123xdx。 dy。 dx6．求由

et2dt0cos(t2)dt0 确定的隐函数y对x的导数

7．计算下列各导数：

dxsint（1） dt；

dx1td0（3）1x4dx；

dyy8．计算下列各定积分：



d（2）

dxd（4）

dx（2）（4）

lnx1x2xetdt；

22etdt。

（1）（3）

31x3dx； dx1xx2

94x(1x)dx；

31212；

dxx21/31；

（5）（7）

10edx

（6）

40tan2d；

(x1)，求(x1)20|sinx|dx；

2x（8）设f(x)23x14

20f(x)dx。

9．求下列极限 （1）lim1x0x0sinxcos(t2)dt；

（2）lim2x0(arctant)2dtx12x

x210．设f(x)x(0x1)，

(1x2)求(x)x0f(t)dt在[0，2]上的表达式，并讨论(x)在（0，2）内的连续性。

3211．求极限

nlim(123n)n。

习题4—2

1．求下列不定积分（其中，a，m，n，g为常数）：

dx（1）xxdx； （2）； 2xx0.6dh11udu（4）3； （5）； u2ghu （3）

mxndx；

（6）

(x2)2dx；

（7）

(x21)dx；

2（8）

(（9）x1)(x1)dx；

310x33x4dx；

（10）（13）（16）（19）

(1x)2xxdx； （11）

3x43x21x21tt32（12）dx；

1x21x2dx； exe12dx； （14）xaedt； （15）

23x52x3xdx；

（17）secx(secxtanx)dx；cos2xdx； 2tan2xdx； （18）

（20）

cos2xdx； （21）

cosxsinxdx；

1cos2xcos2xcos2xsin2xdx。

12．e2x,exshx和exchx是否都是e2x的原函数？

23．已知曲线上任意一点的切线的斜率为切点横坐标的二倍，求满足上述条件的所有曲线方程，并求出过点（0，1）的曲线方程。

4．一物体由静止开始运动，经t和后的速度是3t2（米/秒），问： （1）在3秒后物体离开出发点的距离是多少？ （2）物体走完360米需要多少时间？

15

习题4—3

1．计算下列不定积分： （1）e5tdt； （4）（7）

 （2）（5）（8）

(12x)5dx； sinttdt；

（3）

dx； 32xx82xdx；

（6）exedx； （9）tan10xsec2xdx； axdx； dx；

ax（10）dxsinxcosx；

13）x2（4x6dx； （16）ex(1ex)1e2xdx；

（19）2x11x2dx；

（22）

dx4x2；

（25）cos2xdx；

（28）102arccosxx； 1x2d（31）

x2dx；

a2x2（34）

x29xdx； 2．计算下列定积分

（1）1dxsin2x；

21（4）4dx01sin2x；

（7）

22282ydy；（10）

3dx1x21x2； t2（13）

1tet0dt； xlnxlnlnx（11）dxexex； （14）x21x3dx；

（17）cos4xsin3xdx；（20）x39x2dx； （23）

dx2x21；

（26）cos2(wt)dt；（29）cos3xcos5xdx；（32）

dxxx2； 1（35）dx12x； （2）0dx2x22x2； （5）

/22/6cosudu；

（8）

a20xa2x2dx

（11）

3dx0x(1x)； （14）e2dx1ln； 1x16

12）xcos(x2)dx； 15）

2x14xdx；

18）cosxsinx1cos2xdx； 21）xx42x25dx；

24）

dx(x1)(x2)；

27）tan3xsecxdx； 30）dx；(arcsinx)21x233）

dx

(x21)3；36）

dx11x2。

3）4dx11x；

6）10x1xdx；

9）

21x21/2x2dx；

12）

2axdx03a2x2；

15）

2cosxcos2xdx；

2（（ （（（ （ （

（（（（（ （

（

（16）

2（17）cosxcosxdx；

320（18）1cos2xdx；

10dxex1。

3．利用函数的奇偶性计算下列积分 （1）（3）

x4sinxdx；

（2）（4）

4cos224d；

dx。

1x4．设f(x)为连续函数，证明：

1212(arcsinx)22dx；

55x3sin2xx2x1421xf(x)dx025．设f(x)在[b,b]上连续，证明：

a32a20xf(x)dxbb(a0)。

7．证明：8．证明：9．证明：

1x1bbf(x)dx0f(x)dx。

6．对于任意常数a，证明：

a0f(x)dxaf(ax)dx。

1dxx2mx1dx1x2(x0)。

110x(1x)dxn0xn(1x)mdx。

0sinnxdz220sinnxdx。

10．设f(x)是以2l为周期的连续函数，证明：11．若f(x)是连续函数且为奇函数，证明： 若f(x)连续函数且为偶函数，证明：

alalf(x)dx的值与a无关。

x0f(t)dt是偶函数；

x0f(t)dt是奇函数。

习题4—4

1．计算下列不定积分：

（4）xln(x1)dx； （7）xtanxdx；

lnxdx； （10）(1x)（1）xcosmxdx；

22（2）te2tdt；

（5）x（8）x

22lnxdx； cosxdx；

（6）xarctanxdx； （9）(lnx)dx；

（3）arcsintdt；

22（11）(x21)sin2xdx；（12）xsinxcosxdx；



17

(lnx2)dx； （13）x2（16）e（19）

（14）e2xsinxdx； （15）eaxsinnxdx； 2（18）(arcsinx)2dx；

2x1dx； dx；

（17）xcos2xdx；

e11ln(x1)x1（20）x2（21）arctanxdx。 x2a2dx；

02．计算下列定积分： （1）

xlnxdx； （2）（5）（8）

x4sin2xdx；

3（3）

(xsinx)2dx；

ln(1x)（4）dx；

0(2x)2（7）

212x（6）2ecosxdx； arctanx1dx；

20e1sin(lnx)dx；

40exdx；

（9）

ee1|lnx|dx。

习题4—5

1．求下列不定积分：

2x3x5x48（1）dx； （2）dx； 32xxx3x10x21xdxdx； （4）；（5）

(x1)(x2)(x3)(x1)2(x1)dxdx（7）； （8）

(x21)(x2x)x41dxdx（10）； （11）；

1tanx1sinxcosx（3）

1dx（6）；

x(x21)1（9）dx；

x41dx（12）；

31x1x33dx

（13）（16）

(x)31x1dx； （14）（17）

x11x111x(1x)dx； （15）

21x4xdx；

1xdx； 1xdx； （18）

x1x2x2dx。

2．用学过的方法求下列不定积分

x11xdx； （1）（2）dx； 633(6x)(1x)lnlnxdx（4）（5）； dx； 225/2x(ax)（7）

xsinxdx； 1cosxdx；

sinx（8）ln(1x2)dx； （11）

（10）

(1xx382)dx；

1cosxdx；

xsinx1dx； （6）

42x1xxcosxdx； （9）3sinxx11（12）8dx； 4x3x2（3）

 18

（13）

1xx24dx； （14）

xcos4（15）

2dx； sin3xx(3x3xxlnx)dx； dx；

（16）esinsin2xdx； （19）

2（17）[ln(x1x2)]2dx；（18）

(1x23/21x212sinx（22）； （23）dxdx； 442cosxsinxcosx

1xarcsinxdx；（20）

2x2arccosxdx； （21）

1tanxdx；

sin2xsinxcosxdx。

sinxcosx（24）

习题5—2

1．求由下列各曲线所围图形的面积： （1）ylnx,ye1x及直线y0；

（2）yex,yex及直线x1；

（3）ylnx,y轴与直线ylna,ylnb(0ab)；（4）yx2与直线yx及y2x。

2．求由下列曲线所围图形的面积：

（1）r2acos； （2）xacos3t,yasin3t； （3）r2a(2cos)。 3．求下列各曲线所围图形的公共部分的面积： （1）r1及r1sin； （2）r2sin及r2cos2。

习题5—3

1．设D曲线y1sinx与三角直线x0,x,y0围成的曲边梯形，求D绕x轴旋转一周所成的旋转体积。

2．求yx2与yx3围成的图形绕x轴旋转所成的旋转体体积。 12x23．有一铸件，系由抛物线yx,y1与直线y10围成的图形绕y轴旋转而

1010成的旋转体。试算出其质量（长度单位是10-2m，铸件密度7.8×103kg/m3）。

4．求下列曲线围成的图形沿给定轴旋转产生的旋转体之体积：

（1）yx2，xy2，绕y轴； （2）x2(y5)216，绕x轴。

5．设有截锥体，高为h上、下底为椭圆，椭圆的轴长分别为2a，2b和2A，2B，求截锥体的体积。

6．计算底面是半径为R的圆，而垂直于底而上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的体积（图5.3.5）。

习题5—4

1．计算曲线ylnx上相应于3x8的一段弧的长度。

19

2．计算曲线y3．求曲线yx(3x)上相应于1x3的一段弧的长度。 3xcosxdx的弧长。

24．计算星形线xacos3t,yasin3t的全长。 5．计算渐伸线xa(costtsint),ya(sinttcost)上相应于t从0到的一段弧的长度。

6．求对数螺线rea自0到的一段弧长。

347．求曲线r1自到的一段弧长。

438．求心形线ra(1cos)的全长。

19．计算曲线xarctant,yln(1t2)从t0到t1的弧长。

2

习题5—6

1．直径为20厘米，高为80厘米的圆柱体内充满压强为10Newton/厘米2的蒸气，设温度保持不变，要使蒸气体积缩小一半，问需要做多少功?

2．一物体按规律xct3作直线运动，媒质的阻力与速度的平方成正比，计算物体在由x0移至xa时，克服媒质阻力所做的功。

3．洒水车上的水箱是一个横向的椭圆柱体，尺寸如图5.6.5所示，当水箱装满水时，计算水箱的一个端面所受的压力。

4．有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10米和6米，高为20米，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力。

5．一高为5米的圆柱形贮水桶，其底半径为3米，桶内装满了水，问把桶内的水全部吸收需要做多少功?

6．一底为8厘米，高为6厘米的等腰三角形片，铅直地沉没在水中，顶在上，底在下且与水面平行，而顶离水面3厘米，试求它每面所受的压力。

7．边长为a和b(ab)的矩形薄板，与液面成角斜沉于液体内，长边平行于液面而位于深ｈ处，试求薄板每面所受的压力(假设液体比重为重力加速度为ｇ)。

8．设有长为l，线密度为的均匀细棒，在与棒的一端垂直距离为a单位处有一质量为m的质点M，试求细棒对质点M的吸引力。

9．设有一半径为R，中心角为的圆弧形细棒，其线密度为常数，在圆心处有一质量为m的质点M，试求这细棒对质点M的引力F。

20

习题5—7

1．一物体以速度v3t22t（米/秒）作直线运动，算出它在t0到t3秒这段时间内的平均速度。

2．求函数ya2x2在区间[a,a]上的平均值。

习题6—1

判断下列广义积分的敛散性，如果收敛，则计算广义积分的值。

dxdx1．； 2. 。

11x4x

习题6—2

判别下列广义积分的敛散性，如果收敛，则计算广义积分的值。 1．

20dx；

x2x2 2.

10dxxx1dx(1x)22；

3．

eaxdx(a0)；

4. ；

习题7—1

1．在空间直角坐标系中，画出下列各点：

(0,0,4),(0,3,4),(2,1,2)。

2．求点(a,b,c)关于（1）各坐标面，（2）各坐标轴，（3）坐标原点的对称点的坐标。 3．自点P0(x0,y0,z0)分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标。 4．一边长为a的立方体放置在xOy面上，其底面的中心在坐标原点，底面的顶点在x轴和y轴上，求它各顶点的坐标。

5．求点P(4,3,5)到各坐标轴的距离。

6．在yOz面上，求与三个已知点A(3,1,2)，B(4,2,2)和C(0,5,1)等距离的点。 7．证明：以三点A(4,1,9)，B(10,1,6)，C(2,4,3)为顶点的三角形是等腰三角形。

习题7—2

1．设向量a与x同和y轴的夹角相等，而与z同的夹角是前者的两倍，求向量a的方向余弦。

2．设向量的方向余弦分别满足下列条件，试问这些向量与坐标轴、坐标面的关系如

21

何？

（1）cos0； （2）cos1； （3）coscos0

3．分别求出向量a(1,1,1),b(2,3,5)及c(2,1,2)的模，并写出单位向量a0,b0,c0。

4．设向量i(1,0,0),j(0,1,0),k(0,0,1)，证明i,j,k两两正交。

习题7—3

1．设a,b为非零向量，问它们分别满足什么条件时，下列等式成立？ ab。 |a||b|2．设uab2c,va3bc，试用a,b,c表示2u3v。

（1）|ab||ab|； （2）

3．在ABC中，设M，N，P分别为BC，CAAB的中点，试用aBC,bCA,cAB表示向量AM，BN，CP。

1(OAOB)。 25．已知两点M1(0,1,2)和M2(1,1,0)，用坐标表示式表示向量M1M2及2M1M2。

4．设AMMB，证明：对任意一点O，有OM6．向量a4i4j7k的终点B的坐标为（2，-1，7），求它的始点A的坐标，并求

a的模及其方向余弦。

7．已知三力F1(1,2,3),F2(2,3,4),F3(3,4,5)同时作用于一点，求合力F的大小和方向余弦。

8．求平行于向量a(6,7,6)的单位向量。

习题7—4

1．判别下列结论是否成立，为什么？

（1）若ab0，则aO或bO；（2）(ab)ca(bc)；（3）(ab)2|a|2|b|2。 2．设a3ij2k,bi2jk，求 （1）ab及ab；

（2）ab的夹角的余弦。

23．设向量a和b的夹角，又|a|3，|b|4，试计算(3a2b)(a2b)。

34．已知a,b,c为单位向量，且满足abcO，计算abbcca。 5．已知向量a,b,c满足条件abcO，证明abbcca。

6．求与a3i6j8k及x轴都垂直的单位向量，这样的向量共有几个？

7．设质量为100千克的物体从点M1(3,1,8)沿直线移动到M2(1,4,2)，计算重力所作的功（长度单位为米，重力的方向为z轴负方向）。

8．已知|a|3,|b|26,|ab|72，计算ab。

9．已知|a|3,|b|5，问为何值时ab与ab互相垂直？

22

10．已知向量a2i3jk,bij3k和ci3j，计算 （1）(ab)c(ac)b； （2）(ab)(bc)； 11．已知OAi3j,OBj3k，求OAB的面积。

（3）(ab)c。

习题8—1

1．一动点与两定点（2，3，1）和（4，5，6）等距离，求这动点的轨迹方程。 2．动点到点F1(a,0,0)与到点F2(a,0,0)距离的平方和等于常量4a2，求动点轨迹方程。

3．方程x2y2z22x4y2z0表示什么曲面？

4．动点到点（2，0，0）的距离为到点（-4，0，0）的距离的一半，求动点的轨迹方程。

习题8—2

1．平面A1xB1yC1zD10与平面A2xB2yC2zD20平行（但不重合）的条件是什么？

2．指出下列平面的特殊位置，并画出各平面： （1）x0； （2）3y10；

（3）2x3y60；

（4）x3y0； （5）yz1； （6）6x5yz0 3．求过点（3，0，-1）且与平面3x7y5z120平行的平面方程。 4．求过点M（2，9，-6）且与连接坐标原点的线段OM垂直的平面方程。 5．求过（1，1，-1），（-2，-2，2）和（1，-1，2）三点的平面方程。

，求它的方程。 37．一平面过点（1，0，-1）且平行于向量a(2,1,1)和b(1,1,0)，求平面方程。 8．分别按下列条件求平面方程

（1）平行于xOz而且经过点（2，-5，3）； （2）通过z轴和点（-3，1，-2）；

（3）平行于x轴且经过两点（4，0，-2）和（5，1，7）。

6．一平面过z轴且与2xy5z0的夹角为

习题8—3

1．求点（1，2，1）到平面x2y2z100的距离。

x3z1的直线方程。 y253．确定下列各组中的直线和平面间的位置关系：

2．求过点（4，-1，3）且平行于直线

（1）

yx3y4zxz和4x2y2z3； （2）和3x2y7z8； 27332723

（3）

x2y2z3和xyz3。 3144．求过两点M1（3，-2，1）和M2（-1，0，2）的直线方程。 xyz15．用对称式方程及参数方程表示直线。

2xyz4xy3z06．求直线和平面xyz10间的夹角。

xyz0xt27．求过点M（1，2，-1）且与直线y3t4垂直的平面方程。

zt15x3y3z902x2yz2308．求二直线L1:和L2:的夹角的余弦。

3x2yz103x8yz1805x3y2z59．直线在平面15x9y5z12内吗？

5x3yz210．求过点（0，2，4）且与两平面x2z1和y3z2平行的直线方程。 11．求过点（3，1，-2）且通过直线

x4y3z的平面方程。 521x1x1y2z112．求与直线y1t及都平行且过原点的平面方程。 121z2t13．求点（-1，2，0）在平面x2yz10上的投影。 xyz1014．求点P（3，-1，2）到直线距离。

2xyz402x4yz015．求直线在平面4xyz1上的投影直线的方程。

2xy2z90

习题9—1

1．指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形？ （1）x2；

（2）yx1；

（3）x2y24；

24

（4）x2y21；

2．指出下列方程在平面解析几何中与在空间解析几何中分别表示什么图形？ y5x1（1）；

y2x3

x2y21（2）4 9y33．将xOz坐标面上的抛物线z25x绕x轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。 4．将xOz坐标面上的圆x2z29绕z轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。 5．将xOy坐标面上的双曲线4x29y236分别绕x轴及y轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。

习题9—2

1．画出下列方程所表示的曲面： aa（1）xy2；

222

x2y2（2）1；

49x2y2（3） 1；

942．说明下列旋转曲面是怎样形成的？ x2y2z2（1）1；

499（3）x2y2z21；

（4）y2z0 y2（2）xz21

4（4）(za)2x2y2

2

3．画出下列方程表示的曲面： x2y2（1）z21；

94（3）16x24y2z2。

zx2y2（2）； 349

习题9—3

1．画出下列曲线在第一卦限内的图形 x1（1）；

y2

z4x2y2（2）；

xy0222xya（3）。

222xza2．分别求母线平行于x轴及y轴而且通过曲线

2222xyz16 222xzy0的柱面方程。

3．求在yOz平面内以坐标原点为圆心的单位圆的方程（任写出三种不同形式的方程）。

4．将下面曲线的一般方程化为参数方程

25

x2y2z20（1）；

yx5．求螺旋线

(x1)2y2(z1)4（2）

z0xacosyasin zb在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程。

6．求曲线

x2y23yz2x3z30 yz10在zOx面上的投影曲线的方程。

7．指出下列方程所表示的曲线

x2y2z225（1）

x3x24y2z225（3）；

x3y2z21（5）9。 4x20

x24y29z230（2）；

z1y2z24x80（4）；

y4习题10—1

1．已知函数f(x,y)x2y2xytanx，试求f(tx,ty)。 y2．已知函数f(u,v,w)uwwuv。试求f(xy,xy,xy)。 3．求下列各函数的定义域：

111（1）u； xyz（2）uR2x2y2z24．函数z

y22xy2x21xyzr2222(Rr0)。

在何上是间断的？

习题10—2

1．设函数zx2xyy，

（1）求函数在点(x0,y0)处的偏增量xz,yz和全增量x；

26

（2）当x从2变到2.1，y从2变到1.9时，求xz,yz与z的值各为多少？ 2．设z(1xy)y，求

zxx1y1及

zyx1y1

3．设f(x,y)xyx2y2，求fx(2,4)。

zy4．设zlnx，求

y2x。

x1y05．设f(x,y)exsin(x2y)，求fx0,及fy0,。

446．设uln(1xy2z3)，当xyz1时，求uxuyuz。 7．求下列函数的偏导数

x（1）zlntan； （2）zarcsin(yx)；

y1（4）z3y/x（3）zsinyxcos； yx；

（5）zxyesinxy；

（6）zln(xlny)；

（7）zxsiny； （8）uetet； （9）uecos() xz1x2y28．求曲线在点(1,1,3)处的切线与纵轴正向所成的角度。

x19．求下列函数的全微分：

xy（1）zexyln(xy)； （2）zarctan （3）zsin(xy)

1xy（4）zx2y2x2y2；

（5）z2xey3xln3； （6）uex(x（8）uln(3x2yz)；

2y2z2)；

（7）uxyx； （9）uarctan(xy)2。

10．求下列函数在给定点处的全微分： （1）zx4y44x2y2，（1，1）；

（2）zxsin(xy)exy,,。

4411．试示当x2，y1，x0.02，y0.01时，函数zx2y3的全微分及全增量的值。

习题10—3

1．设zu2vuv2,uxcosy,vxsiny,求2．设zu2lnv,u3．设zarctan

zz,。 xyxzz,v3x2y，求,。 yxyx,xuv,yuv，证明 y27

zzuv。 2uvuv2x2zz,xu2v,yv2u，求,。 4．设zyuv5．设z(2xy)2xy，求6．设zyf(xy)22zz,。 xy，其中f 可微函数，验证

1z1zz2。 xxyyy7．设zF(x,y),xrcos,yrsin，求8．设zydz。 ,xet,y1e2t，求

xdtdz。 dtzz。 ,r9．设zex2y,xsint,yt3，求

10．设zarcsin(xy),x3t,y4t3，求11．设zarctan(xy),yex，求

dz。 dxdz。 dt1dz12．设ztan(3t2x2y),x,yt，求。

tdt13．设ueax(yz)a21,yasinx,zcosx，求

du。 dx14．设zln15．设zxx2y2y，xcost,ysint，在t2处，求全导数的值。

1xyln,xsect,2sint，在t处，求全导数的值。 2xyyzdz。 ,yx2，求,xxdxzdz。 ,xdx16．设zarctan17．设zxy,y(x)，求

习题10—4

1．设

x2a2y2b21，求

dy。 dx28

2．设sin(xy)exyx2y0，求3．设lnx2y2arctandy。 dxydy，求。 xdxzz4．设x2yz2xyz0，求,。

xy5．设ezxyz0，求

zz和。 yxzz和。 yx6．设x2y2z22axyz0，求7．设

xzzzln，求和。 zyyx8．求由方程2xz2xyzln(xyz)0所确定的函数zz(x,y)的全微分。

9．求由方程组

22zxy 222x2y3z20所确定的隐函数的导数

10．地由方程组

dydz和。 dxdxxuyv0 yuxv1所确定的隐函数的偏导数

uuvv和,。 ,xyxy习题10—5

1．求下列函数的二阶偏导数： （1）zsin(axby) （4）zylnx；

x（2）zarcsin(xy)； （5）z33xyza3；

（3）zx2y；

（6）xyze(xyz)。

2z2z2．设ze(cosyxsiny)，验证。 xyyx3．设f(x,y,z)xy2yz2zx2，求fxx(0,0,1),fxx(1,0,2)，及fzxy(2,0,1)。

2u2u2u,,4．设uf(x,xy,xyz)，求。 yxzyxz5．设uf(xyz)，求

2222ux2。

29

6．设uf(s)g(t),sxy,txy，验证

2ux22uy2。

习题10—6

1．求函数zx2xy2y2在点（1，2）沿着与x轴正向构成60角的方向导数。 2．求函数zx22x2yxy21在点（1，2）沿着从该点到点（4，6）的方向导数。 3．求函数zlnx2y2在点（1，1）沿着第一象限角平分线的方向导数。 4．求函数uxyyzzx在点（2，1，3）沿着从该点到点（5，5，15）的方向导数。

习题11—1

t1．求曲线xtsint,y1cost,z4sin在点1,1,22处的切线及法平面方程。

22t1t22．求曲线x在点t1处的切线及法平面方程。 ,y,zt2t1t3．求曲线xacost,yasint,zbt在t处的切线及法平面方程。

44．在曲线xt,yt2,zt3上求一点，使在该点的切线平行于平面x2yz4。 5．求曲面ezzxy3在点（2，1，0）处的切平面及法线方程。 6．求曲面3x2y2z227在点（3，1，1）处的切平面及法线方程。 7．求曲面x2xy8xz50在点（2，-3，1）处的切平面及法线方程。

8．求曲面zax2by2在点（x0,y0,z0）处的切平面及法线方程。

9．求椭球面3x2y2z216上点（1，2，3）处的切平面与平面z0的夹角。

习题11—2

1．求函数f(x,y)4(xy)x2y2的极值。

2．求函数f(x,y)(2axx2)(2byy2)的极值，其中，ab0。 3．求函数f(x,y)e2x(xy22y)的极值。 4．求下列已知函数在指定条件下的极值： （1）zxy，若xy1； （3）uxyz，若

（2）zx2y2，若

xy1， ab111，x0,y0,z0。 xyz5．从斜边长为l的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形。 6．在半径为a的半球内求一个体积最大的内接长方体。

30

习题12—1

1．证明Riemann积分中值定得。

习题12—2

1．求2．求3．求

D0x1。 xexydxdy的值，其中，D:1y01x2D:的值，其中，。 23y4(xy)dxdy0x1。 exydxdy的值，其中，D:0y1DD4．求

D0xx2ycos(xy2)dxdy的值，其中，D:2。

0y25．按照下列指定的区域D将二重积分

f(x,y)dxdy化为累次积分：

D（1）D:xy1,xy1,x0所围成的区域；

（2）D:yx,y3x,x1,x3所围成的区域；

（3）D:y2x0,2yx0,xy2在第一象限中所围成的区域； （4）D:x3,x5,3x2y40,3x2y10所围成的区域； （5）D:(x2)2(y3)24所围成的区域。 6．改变下列累次积分的积分次序： （1）（3）（5）

dy01yyf(x,y)dx; （2）

e1dxlnx0f(x,y)dy；

11dx1x20f(x,y)dy； （4）

10dxx20f(x,y)dy2ax2axx231dx1(3x)20f(x,y)dy；

11dx1x21x2f(x,y)dy； （6）

2a0dxf(x,y)dy。

7．计算下列二重积分： （1）（2）（3）（4）

(x6y)dxdy,D:yx,y5x,x1所围成的区域；

DDydxdy,D:y2x,yx,x4,x2所围成的区域； xydxdy,D:y2,yx,xy1所围成的区域； xDD(x2y2)dxdy,D:yx,yxa,ya,y3a(a0)所围成的区域。

8．把下列直角坐标形式的累次积分变为极坐标形式的累次积分：

31

（1）（3）

2R0dyR22Ryy20f(x,y)dx； （2）dxR0dxR2x20f(x2y2)dy；

1R0dxRx0yfdyxRR1R2R2x20yfdy。 x9．将下列二重积分变成极坐标形式，并计算共值： （1）（2）（3）

Dln(1x2y2)dxdy，D为圆x2y21所围在第一象限中的区域； R2x2y2dxdy，D为圆x2y2Rx所围在第一象限中的区域；

DDDarctanydxdy，D为圆x2y24,x2y21及直线yx,y0围成的第一x象限内的区域；

（4）

sinx2y2dxdy,D:x2y342,x2y22。

习题12—3

1．利用下列给出的积分区域，把

f(x,y,z)dxdydz化为三次积分：

V（1）由曲面zx2y2及平面z1所围成的区域V； （2）由曲面zx22y2及z2x2所围成的区域V。 2．计算下列三重积分：

1x1dxdydzV:（1），其中，1y2； 3(xyz)1z2VV（2）

(1xyz)Vdxdydz3，其中，V:x0,y0,z0,xyz1所围成的四面体。

3．利用柱面坐标计算下列三重积分： （1）

z其中，柱面y2xx2及平面z0,za(a0)，x2y2dxdydz，V：

y0所围成的区域；

dxdydz（2），其中，V：锥面x2y2z2及平面z1所围成的区域。 22xy1VV4．利用球面坐标计算下列三重积分： （1）

(xV2其中，V：半球面zA2x2y2,za2x2y2y2)dxdydz，

（Aa0）及平面z0所围成的区域；

（2）

(x2y2z2)dxdydz，其中，V：球面x2y2z21围成的区域。

32

5．适当选择坐标计算下列三重积分： （1）

Vxydxdydz，其中，V：柱面x2y21及平原z1,z0,x0,y0所围

成的在第一卦限内的区域；

zln(x2y2z21)dxdydz，其中，V：球面x2y2z21所围成的（2）222xyz1V区域。

习题12—4

1．求锥面zx2y2被柱面z22x所截下部分的曲面面积。 2．求球面x2y2z2a2为平面z3．计算平面

aa,z所夹部分的曲面面积。 42xyz1被三个坐标面所割出部分的面积。 abc4．求直线yx上，由x0至x4的一段线段绕x轴旋转所得的旋转曲面的面积。

5．求抛物柱面yx,y2x及平面z0,zx6所围成的物体（密度为1）的质量。

6．求由球面x2y2z21围成的，密度为x2y2的球面的质量。 7．求旋转抛物面zx2y2及平面z1(x0,y0)所围成的物体的质量（密度为

。 xy）

8．求由圆锥面z1x2y2与平面z0所围立体的重心（密度1）。 9．求由旋转抛物面zx2y2与平面z1所围立体的重心（密度1）。

10．求半径为R，高为h，密度1的均匀圆柱体，绕过中心而平行于母线的轴的转动惯量。

11．求半径为R，高为h，密度1的均匀圆柱体，绕过中心而垂直于母线的轴转动时的转动惯量。

12．一个物体是由两个半径各为R和r(0r1R)的同心球面围成的，已知材料的密度与到球心的距离成反比，且在距离等于1处时，密度为r，求物体的全部质量。 13．球面x2y2z22Rz上任一点的密度在数量上等于此点到坐标原点的距离的平方，试求球体的重心。

习题12—5

2．求1．求3．求

Ldl，其中，L是点A（0，2）到点B（4，0）的直线段。 xyxydl，其中，L是由x0,y0,x4,y2所围成的矩形路线。

Lxacost(0t2)。 (x2y2)ndl，其中，L为圆周Lyasint33

4．求5．求6．求

xa(costtsint)(0t2)。 (x2y2)dl，其中，L为曲线Lya(sinttcost)L(xy)dl，其中，L为以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形的边。

Lydl，其中，L为抛物线y22px由点O(0,0)到点A(x0,y0)的一段弧。

xtcost7．求zdl，其中，为有界的螺线ytsint(0tt0)。

zt8．求

xacostzdl，其中，为螺线yasint(0t2)。 22xyzat2习题12—6

1．求

f(x,y,z)dS，其中，S为抛物面z2(xS2y2)，在xOy平面上的部分，

f(x,y,z)分别如下：

（1）f(x,y,z)1； 2．求3．求

（2）f(x,y,z)x2y2；

（3）f(x,y,z)3z。

S4xyzz2xydS，其中，S为平面=1在第一卦限中的部分。

3234(1xy)SdS2，其中，S为平面xyz1及三个坐标所围成的四面体的表面。

4．求

S(xyz)dS，其中，S为上半球面za2x2y2。

习题13—1

1．求曲线r(t)tit2jt3k上的点，使该点的切线平行于平面x2yz4。 2．求曲线r(t)etcostietsintjetk在t0处的切线和法平面方程。 3．已知

d2X2dt4．一质点以常角速度在圆周rae(t)上运动，其中e(t)为圆函数。证明其加速度为

wv2a2r，

20(PsintQcost)R，其中，P,Q,R均为常向量，求函数X(t)。

其中，v为速度v的模。

5．设rasiniacosjbk，求S

12(rr)d。

34

习题13—2

1．指出下列数量场所在的空间区域，并指出其等值面： （1）u1；

AxByCzD （2）uarcsinzxy22。

x2y22．求数量场u经过点M(1,1,2)的等值面方程。

z13．求数量场uln对应于u1的等值面，其中，

rr(xa)2(yb)2(zc)2。

习题13—3

1．求一段弧。

2．求

L(x2y2)dx，其中，L是抛物线yx2上从点O（0，0）到点A（2，4）的

Lydx，其中，L是由直线x0,y0,x2,y4围成的按逆时针方向绕行的

矩形回路。

3．求

(1,1)(0,0)xydx(yx)dy，沿曲线：

（1）yx； 4．求

（2）yx2；

（3）y2x；

（4）yx3。

L其中，L为圆周xRcost,yRsint由t10到t2ydxxdy，

2的弧段。

5．求

Lydxzdyxdz，其中，为曲线xacost,yasint,zbt上从t10到

t22的曲线弧段。

6．求

(y2z2)dx2yzdyx2dz，其中，为曲线xt,yt2,zt3上从t10到t21的曲线弧段。

7．求

xdxydy(xy1)dz，其中，是从点（1，1，1）到点（2，3，4）

L的直线段。

8．把第二类曲线积分

P(x,y)dxQ(x,y)dy化成第一类曲线积分，其中，L为沿

35

抛物线yx2从点（0，0）到点（1，1）的曲线弧段。

9．把第二类曲线积分

PdxQdyRdz化为第一类曲线积分，其中，为曲线

xt,yt2,zt3上相应于t从0变到1的曲线弧段。

习题13—4

1．应用Green公式将曲线积分

Lx2y2dxy[xyln(xx2y2)]dy

化为边界线L所围成区域D上的二重积分，其中，L依逆时针方向，且域D不包含原点。

2．应用Green公式计算曲线积分

其中，L为按逆时针方向绕椭圆

3．计算曲线积分

IL(xy)dx(xy)dy，

x2ax2y2b21一周的路径。

(eANOsinymy)dx(excosym)dy，

其中，ANO为由点A(a,0)到点O(0,0)的上半圆周x2y2ax。

4．利用曲线积分计算星形线xacos3t,yasin3t(0t2)所围成的图形的面积。 5．验证沿分段光滑的任意闭路的曲线积分

其中，(x),(y)为连续函数。

L(x)dx(y)dy0，

6．验证沿分段光滑的任意闭路的曲线积分

7．证明

Lf(xy)(ydxxdy)0，

其中，f(xy)关于中间变量uxy有一阶连续偏导数。

ydxxdyLx2只与L的起止点有关而与所取的路径无关，其中，L不经过y轴，并求曲线积分

I的值。

(1,2)yd(2,1)xxdyx2

36

8．证明

L(x44xy3)dx(6x2y25y4)dy只与L的起止点有关而与所取的路径无

关，并求曲线积分

I(3,0)(2,1)(x44xy3)dx(6x2y25y4)dy

的值。

9．力F在坐标轴上的投影为Xxy2,Y2xy8，由该力构成力场，证明质点在此场内移动时，场力所做的功与路径无关。

k10．设在半平面x0中有力F2(xiyj)构成力场，其中k为常数，rx2y2。

r证明在此力场中力所做的功与所取路径无关，而只与起止点有关。

11．验证下列P(x,y)dxQ(x,y)dy在整个xOy平面内是某一函数u(x,y)的全微分，并求出这样的一个函数u(x,y)：

（1）(x2y)dx(2xy)dy；

（2）2xydxx2dy；

（3）4sinxsin3ycosxdx3cos3ycos2xdy； （4）(3x2y8xy2)dx(x38x2y12yey)dy； （5）(2xcosyy2cosx)dx(2ysinxx2siny)dy。

习题13—5

1．计算外侧为正。

2．计算3．计算

xS3dydz，其中，S为椭球面

x2a2y2b2z2c21(x0)的部分，取椭球面的

SSx2y2zdxdy，其中，S为球面x2y2z2R2的下半部的下侧。

其中，S为三个坐标面及平面x1，y1，(xyz)dxdy(yz)dydz，

z1围成的正方体表面的外侧。

4．把第二类曲面积分曲面积分：

（1）S是平面3x2y23z6在第一卦限的部分的上侧； （2）S是抛物面z8(x2y2)在xOy平面上方的部分的上侧。

P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy化为第一类

S习题13—6

1．应用Stokes公式计算下列曲线积分：

37

（1）

(yz)dz(zx)dy(xy)dz，其中，为椭圆x2z2a2,xy ab1(a0,b0)，若从x轴正向看去时，该椭圆取逆时针方向；

（2）

2ydx3xdyz2dz，其中，是圆周x2y2z29,z0，若从z轴正

向看去，取逆时针方向。

2．应用O—G公式计算下列曲面积分：

（1）(x2yz)dydz2x2ydzdxzdxdy，其中，S是由平面xa,ya,za及

S三个坐标面围成的正方体表面外侧(a0)；

（2）（3）

SSxdydzydzdxzdxdy，其中，S为球面x2y2z2R2的外侧；

3x dydzy3dzdxz3dxdy，其中，S为球面x2y2z2a2的外侧。

习题13—7

1．直接应用方向导数公式和作为梯度在该方向上的投影这两种方法求数量场uxyyzzx在点M(1,2,3)处沿其向径方向的方向导数。

2．求数量场ux22y23z2xy3x2y6z在点Ml1(0,0,0)与M2(1,1,1)处梯度的模和方向余弦。在哪些点处的梯度为零？

3．证明：u是线性函数uaxbyczd的充分必要条件是gradu是常向量。 4．证明：数量场uu(M)沿等值面上任一曲线的方向导数都等于零。

习题13—8

1．设向量场 Ayzizxjxyk，求

（1）求过圆柱x2y2a2 （0zh）的侧表面的通量； （2）穿过此圆柱体全表面的通量。 2．求divA在给定点处的值：

（1）Ax3iy3jz3k在M(1,0,1)处； （2）A4xi2xyjz2k在M(1,1,3)处； （3）Axyz(xiyjzk)在M(1,3,2)处。

习题13—9

1．求向量场Ayixjck沿下列曲线正向的环量：

38

（1）圆周：x2y2R2,z0； （2）圆周：(x2)2y2R2,z0。

2．求向量场Axyz(ijk)在点M(1,3,2)处的旋度。 3．已知向量AP(x,y)iQ(x,y)j，求rotA。

习题14—1

根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的敛散性： 1．3．

n1(n1n)。

2. 3.

n11。

(2n1)(2n1)n11。

n(n1)(n2)sinn1n。 6习题14—2

1．判定下列级数的敛散性： 88283（1）23；

9991111（3）；

343333（2）

1111； 36912（4）1!2!3!4!；

111111（5）23；

2e3e4e1821831823。 （6）236996962．证明：如果函数

un1n收敛，

vn1n发散，那么级数

(un1nvn)发散。

习题14—3

1．利用比较判别法，判定下列级数的敛散性： （1）

n11； 2n1 （2）

n11；

(n1)(n4)1 （3）

nn1n2n!n；

1（4）1cos；

nn1（5）

1an1n(a0)； （6）

lnn。

12．利用比值判别法，判定下列级数的敛散性：

39

（1）

n1n22n；

5n（2）；

n!n1 （3）

n12nn!nn；

25(3n1)（4）；（5）ntann；

15(4n3)2n1n1 （6）

n1x2n。 n!3．用根值判别法判定下列级数的敛散性：

n2n1（1）n；

（2）

（3）nn12n11n1(ln(n1))n；

n13n1（4）

n2n1n；

n1n（5）bn，其中ana(n),an,b,a均为正数，且ba。 n1an4．用适当的方法判定下列级数的敛散性： （1）

1n1nab(a0,b0)； （2）3nn!； （3）

n1n1nnn1n； （4）2nsin （5）

n13n； n2nn12ncos3。

习题14—4

判别下列级数的敛散性，如果是收敛的，指出是条件收敛还是绝对收敛： n11．1112134(1)n。

2．

1ln21ln31ln41(1)n1ln5ln(n1)。 3．

112sin213sin34sin4(1)n1n1sinn1。

4．

(1)n1n2n1n!2。 40

；

5．

n1n(n1)(1)2n102n。

习题15—2

1．求下列级数的收敛域： （1）

nxn1n； （2）

n1n!x；

n（3）

n1(1)nn2xn；

（4）

n3n1n1xnn； （5）

n1(x5)nn； （6）

(1)n1n1(x1)n 5n（7）

(lnx)n；

xx2x3xn（8）。

2242462462n2．求下列级数的和函数 （1）

n1x4n1； 4n1（2）

n1nxn1； （3）

n1n(n1)n1x。 23．求幂级数

n1x2n11的和函数，并求级数的和。 n2n1n1(2n1)2习题15—3

1．将下列函数展开成Maclaurin级数。 （1）ex； x10（4）；

1x2

（2）cos2x； （5）

；

（3）cosx2； （6）（9）

x1x2x2x0xx25x61x。 1x；

（7）

xarctant0tdt； （8）

dt1t4；

2．将函数f(x)cosx展开成x的幂级数。

313．将函数f(x)展开成(x4)的幂级数。

1x14．将函数f(x)2展开成(x2)的幂级数。

x4x8

41

习题15—4

利用函数的幂级数展开式计算下列各数的近似值，使误差不超过0.0001。

0.511．4245。 2. sin。 3. dx。 40201x4．

1120exdx

2（这里取

1。 0.519）

习题16—1

1．（1）将函数

0(x0)f(x)

1(0xx)展开成Fourier级数；

111（2）求级数 1的和。

3572．将函数

0(x0)f(x)

x(0xx)展开成Fourier级数。

3．利用

11121与，求级数的和S。 228(2n1)(2n)2n14n2nn1n1n11习题16—2

1．将函数

1(x0)f(x)0(x0)

1(0xx)展开成Fourier级数。

2．将函数

f(x)|x|(x)

展开成Fourier级数。

习题16—3

1．展开f(x)e2x (0x)为余弦级数。

42

2．展开f(x)sin

x1 （0x）为正弦级数。 2习题16—4

1．将下列各周期函数展开成Fourier级数（下面给出函数在一个周期内的表达式）

11（1）f(x)1x2,(x)；

22x(1x0)1（2）f(x)1(0x)；

21(1x1)22x1(3x0)（3）f(x)

1(0x3)2．将下列函数分别展开成正弦级数及余弦级数：

1x(0x)2（1）f(x)； （2）f(x)x2

llx(xl)23．将函数

x(x)22 f(x)3x(x)22展开成Fourier级数。

(0x2)。

习题16—5

1．设f(x)是周期为2的周期函数，它在区间[1，1上的表达式为f(x)ex。试将f(x)展开成指数形式的Fourier级数。

2．设u(t)是周期为T的周期函数。已知它的Fourier级数的指数形式为

hhu(t)Tn1nisinenT2ntT(t)。

试与出u(t)的Fourier级数的实数形式。

习题17—1

1．指出下列微分方程的阶：

dy（1） y3x3；

dx（3）(y)2(y)3yx8；

（2）3x2dy2y4dx0； （4）yyxnyy。

43

2．指出下列各题中的函数是否为所给方程的解，若是解，是否是通解？

c2x2（1）(xy)dxxdy0,y； （2）yy0，y3sinx4cosx；

2x1（3）yx2y2,y；

x（4）y(12)y12y0,yC1e1xC2e2x。

习题17—2

1．求下列微分方程的通解： （1）xsecydx(x1)dy0； （3）yylny；

dy10zy； dx（4）tanydxcotxdy0。

（2）

2．求下列微分方程满足给定初始条件的解

（1）y2dx(x1)dy0,y(0)1； （2）yy(y1),y(0)1；

ydyx（3）（4） dx0,y(0)1； sinycosxdycosysinxdx,y(0)；

1y1x4（5）(y2xy2)dx(x2yx2)dx0,y(1)1。

3．一曲线通过点（2，3），它在两坐标轴间的任意切线线段均被切点平分，求该曲线

的方程。

4．设将质量为m的物体在空气中以速度v0竖直上抛，空气阻力为k2v2，这里k为常数，v为运动速度，求速度v与时间t的函数关系。

习题17—3

1．求下列微分方程的解：

yy（2）xycosdxxcosdy0；

xxxyy（3）xyyxtan； （4）xyy(xy)ln。

xx2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解：

xydy（1）y,y(1)2； （2）(x2y2)2xy,y(0)1；

yxdx（1）x2ydx(x3y3)dy0

（3）xyx2y2y,y(1)1； 3．求下列微分方程的通解：

（4）x(lnxlny)yy,y(1)1

yx2；

xy4y2（1）y2xy1；

2 （2）y（3）(3y7x7)dx(7y3x3)dy0； （4）

44

dy1。 dxxy1

习题17—4

1．求下列微分方程的通解：

dy（1）cos2xytanx；

dx22x1x；

（2）xyyx； lnx（3）xyyxe （4）xyysinx。 2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解：

dy23x2dy（1） （2）y1,y(1)0； ytanxsecx,y(0)0； 3dxdxx1dI1（3）y（4）y2(x2)2,y(1)2； 6I10sin2t,I(0)。

x2dt23．一曲线的切线在纵轴上的截距总等于切点的横坐标，求此平面曲线的方程。

dydy（1） （2）yy2(cosxsinx)； 3xyxy2；

dxdxdy1（3）y2xyxy40； （4）。 dxxyx2y35．常数变易法是推导一些微分方程的解的常用方法之一。该方法是我们已知一阶线性齐次主程（2）的通解后，则猜想一阶线性非齐次方程（1）的解可以把（2）的通解中的常数C换成待定未知函数C(x)而得到，即（1）有形如

yC(x)ep(x)dx

的解。试用这种方法推导出一阶线性非齐次方程（1）的解。

习题17—5

1．解下列微分方程：

（1）2xydx(x2y2)dy0；

（2）2x(1x2y)dxx2ydy0；

（3）eydx(2yxey)dy0； （4）(1y2sin2x)dxycos2xdy0；

y（5）dx(y3lnx)dy0；

xn112y2xy（6）xm2xy2dxdy0(m,n1)； xyxdyydx（7）xdxydy 0； （8）(xcosycosx)yysinxsiny0。

x2y22．试用观察的方法，找出下列方程的一个积分因子，然后求解方程： （1）(xy)(dxdy)dxdy； （3）a(xdy2ydx)xydy

（2）(x2y22x)dx2ydy0；

(a0)； （4）y(2xyex)dxexdy0。

45

习题17—6

1．求下列微分方程的通解：

1（1）yy； （2）yyx；

x（3）yy(y)2y2y0； （4）y3y10。 2．求下列微分方程满足所给初值条件的特解： （1）ya(y)20,y(0)0,y(0)1(a0)； （2）y(y)21,y(0)0,y(0)0； （3）(1x2)y2xy,y(0)1,y(0)3。

3．设有一质量为m的物体，在空气中由静止开始下落，如果空气阻力为Rk2v2，其中v为物体运动速度，k为一常数，试求物体下落的距离s与时间t的函数关系。

习题17—8

1．求下列各微分方程的通解： （1）y9y20y0； （3）y7y12y5； （5）ya2yex；

（7）y3y2y3xex；

（2）yy0； （4）2yyy2ex； （6）2y5y5x22x1； （8）y2y5yexsin2x；

（9）yyexcosx； （10）yy(2x23)4sinx。 2．求下列各微分方程满足已给定初始条件的特解： （1）y2yyex，y(0)0,y(0)0； （2）y3y2ye3x,y(0)1,y(0)0； （3）yysin2x,y()1,y()1；

（4）y3y3yy1,y(0)y(0)y(0)0。

习题17—9

求下列Euler方程的通解： 1．x2yxyy0； 3．x2yxy2yxlnx；

2. x2y4xy6yx

4. x3y2xy2yx2lnx3x。

习题18—1

1．用数列极限的定义证明：

1(1)n1（1）lim（2）lim(1n)1； 0；

nnn103n2n24（3）limn3；

46

（4）limn23n9n372．用数列极限的定义证明数列{(1)n}发散。

n0； （5）lim2n1n0；

（6）limqn0(|q|1)。

n3．设a0，用数列极限的定义证明极限limna1。

n4．用数列极限的定义证明数列极限的夹逼准则。

5．下述几种说法与数列{un}极限是A的定义是否等价，并说明理由。

（1）对于任意给定的0，存在正整数N，使得当nN时，有|unA|； （2）存在正整数N，对任意给定的0，使得当nN时，有|unA|； （3）对于任意给定0，存在实数M，使得当nM时，有|unA|； （4）对于01，存在正整数N，使得当nN时，有|unA|；

（5）对于任意给定的0，有正整数N使得当nN时，有|unA|K，其中K是与无关的常数；

1（6）对于任意给定的正整数m，都有正整数N，使得当nN时，有|unA|。

m

习题18—2

1．用X,语言表述函数极限或无穷大的定义。填写下表： xx0 xx0 xx0 f(x)A f(x) f(x) f(x) 0,0，使得当0|xx0|时，有|f(x)A| x x x M0,X0使得当|x|X时，有|f(x)|M x21x21 2．用函数极限的定义证明： 2x12（1）lim；

x3x13（2）limx1； （3）limxa(a0)；

xax41（4）limcosxcos； （5）lim（6）limex0。 4；

xx1x1x3．用函数极限的定义证明下列命题：

（1）如果limf(x)A,limg(x)B，则lim[f(x)g(x)]AB；

xx0xx0xx0（2）如果limf(x)A,limg(x)B,(B0)，则

xx 47

xlimf(x)A。 g(x)B4．用H ine定理证明函数极限的四则运算法则。 5．证明极限limxsinx不存在。

x

习题19—1

1．写出以下各数集的上、下确界： （1）E{x|axb}；

1.x（2）E； 21xnn1,2,； （4）E{正无理数}。 （3）E1nsin22．设函数f(x)在D上有界，证明：

sup{f(x)}inf{f(x)}

xDxD3．若{xn}是一个无界数列，证明：存在子列{xnk}，使得xnk(k)。 4．设{xn}是发散的有界数列，证明：存在两个子列{xnk}与{xmk}，分别收敛于不同的极限。

5．用有限覆盖定理证明区间套定理。 6．用区间套定理证明上确界存在原理。

7．证明单调有界函数的间断点是第一类间断点。

习题19—2

1．若f(x)在[a,)上连续，且limf(x)存在，证明：f(x)在[a,)上有界。

x2．设f(x)在(a,b)上连续，又limf(x)A,limf(x)B，且AB，则(A,B)，

xaxbx0(a,b)，使得f(x0)。

3．设f(x)在[a,b]上连续，如果xn[a,b]，数列{xn}收敛，且limf(xn)，证明：

xx0(a,b)，使得f(x0)。

4．用一致连续定义验证

（1）yx2在[0,2]上一致连续；

（2）yxsinx在(,)上一致连续。

5．若f(x)在[a,)上连续，limf(x)A，证明：f(x)在(a,)上一致连续。

x

48

习题20—1

1(x为有理数)f(x)

1(x为无理数)证明：|f(x)|在任意区间[a,b]上可积，而f(x)在[a,b]上不可积。 2．讨论下面的函数在相应区间上是否可积。 （1）f(x)[x]x[a,b]；

1．设

0（2）f(x)1n(x0)(11x)n1nx[0,1]；

（3）f(x)在[2,2]上有界，它的不连续点是

1 （n=1，2，…） n11[](0x1)3．已知f(x)x，证明：f(x)在[0，1]上可积。 x(x0)0

习题20—2

1．下列函数在指定的区间上是否可只？

1x(x1)211（2）f(x)1x(x)；

2211(1x)2（1）f(x)1x(|x|1)；

(x0)01（3）f(x)； （4）f(x)sgn(sinx)(0x)；

(0x1)x（5）f(x)max{(x),(x)},axb，其中(x)和(x)都是[a,b]上的连续函数；

（6）f(x)max{f(x),0},f(x)min{f(x),0},axb，其中f(x)是[a,b]上的连续函数。

2．设函数f(x)在[a,b]上可积，函数g(x)与f(x)只在有限多个点上不相等。证明：函数g(x)在[a,b]上也可积，并且

bag(x)dxbaf(x)dx。

3．讨论闭区间[a,b]上的函数f(x),|f(x)|,f2(x)三者之间可积性的关系。

习题21—1

1．若级数

un1n收敛，将其各项重排，使每一项离开原来位置不超过m个位置（m是

项先指定的正整数），则新级数与原级数的和相同。

2．利用公式

49

111Clnn， 23n其中，C是常数，n0(n)，证明：

111111111110。

246831012141653．设将级数

11111111 122222222

2436851012的各项重新排列成下述级数

11111 122222

23456n分别表示级数（1）和（2）的前3n项部分和与前2n项部分和。 令S3n与S21 （1）

（2）

证明 lim

S3n1。

xS2n习题21—2

1．设函数序列{un(x)},un(x)一致收敛。

2．证明：级数

x2(1x)2，验证级数

un1n(x)在区间[0，1]上收敛但不

xn112n2在区间(,)上一致收敛。

习题21—3

1．求级数2x2x2x33x4的和函数。 2．求级数

n0xn的和函数。 23n习题22—1

1．判别下列广义积分的收敛性：

dx（1）； （2）

321xx12dx（3）； （4）

1(lnx)32．用函数或B函数表示下列积分：

1xmdx； 1x1sinxdx。

0（1）（3）

0xenh2x2dx(h0,n0)；

（2）

0exdx(n0)

n10dx1x1/4。

50

习题22—2

1．求下列函数的极限 （1）limx020y2cos(xy)dy；

（2）limx01xx11xy22dy。

2．设(x)3．设F(y)xln(10y0xy)ydy，计算(x)。

(xy)f(x)dx，其中f(x)为可微函数，求F(y)。

4．计算积分I20ln(cos2x2sin2x)dx (0)。

5．设一元函数f(x)在[a,b]上连续，求证：函数

1xy(x)f(t)sink(xt)dt (c,x[a,b])

ck满足微分方程

yk2yf(x)。

习题22—3

1．证明下列积分在指定区间上一致收敛 （1）L(t)0etxdx2t[t0,),t00；

（2）L(Q)0eaxcosxdx[0,)00。

2．计算 L()0excosxdx。

23．计算积分 L0exe2xdx。 x4．设f(t)当t0时连续，如果L()0tf(t)dt当,b时都收敛。证明：函数

0tf(t)dt在[a,b]上一致收敛。

51

习题参考解答

第一章

习题1—2

1．（1）(,3)(3,)； （2）(0,1]； （3）{x|xk,k0,1,2,}；

3 （4）(,2)(2,)； （5）[1,2)。

22．定义域(,)；值域[1,1]。 3．（1）不同，值域不同； （2）相同； （3）不同，定义域不同； （4）相同。 5．a4,b1。 6．（1）偶函数； （2）既非奇函数，又非偶函数； （3）偶函数； （4）奇函数； （5）既非奇函数，又非偶函数； （6）偶函数。

10．（1）2； （2）； （3）2； （4）非周期函数； （5）；

2（6）2。 11．（1）ysin2t，定义域(,)； （2）yax，定义域为(,)； （3）yloga(3x22)定义域为R； （4）不能； （5）y3x22，定义域[0,]；

（2）y3u,u(x1)2；

（6）yloga(x22)，定义域为(,2)(2,)。 12．（1）y3u,u(1x2)1；

（3）yu2,usin(3x1) （4）y3u,ulogav,vcos2x

xx13．（1）yarcsin； （2）yax12； （3）ylog2(0x1)。

21x

习题1—4

1．（2）f(10)1,f(10)2； 3．（1）否； （2）否；

（3）否。

2.（1）1； （2）1； （3）-1。

（5）否；

（6）0。

（3）否；

（4）否；

习题1—5

1．1； 2.

1； 2. 9； 24. 0； 5. 2x； 6.

2。 3习题1—6

52

1．（1）

a1； （2）； b21（7）； （8）e；

e

（3）

1； 2（4）1； （5）1；

（6）e2；

（9）e；

（10）ea； （11）e； （12）1。

习题1—7

1．（1）是； （2）是；

（4）是。

112．（1）x0时，xsinx,ln(1x)是无穷小量；2,是无穷大量；

xx11（2）x时，2,,ex是无穷小量；ln(1x),ex是无穷大量；

xx（3）否，须指明x的变化趋势。

1b13．否；否。 4.（1）0； （2）1； （3）； （4）； （5）； （6）4。

1a35．（1）； （2）0； （3）0； （4）0； （5）不存在； （6）0。 6．均不正确。

28．（1）； （2）2； （3）0(mn)，1(mn),(mn)； （4）2。

39．二阶。 10. 三阶。 11. 二阶。

（3）否；

习题1—8

1．（1）f(x)在(,0)(0,)上连续，x0为可去间断点； （2）f(x)在[0,2]上连续；

（3）f(x) (,1)(1,)上连续x1为第一类间断点； （4）f(x)在(,0)(0,)上连续，x0为第一类间断点。 2．（1）x1为可去间断点；x2为第二类间断点； 2（3）x0为第二类间断点。 3．ae1。 4. x1为第一类间断点。

（2）x0及xk为可去间断点；这里k1,2,； xk为第二类间断点；

习题1—9

3．（1）5； （7）1；

（2）1； （8）1；

（4）cos； （5）ablna（6）3；

11（9）； （10）； （11）1； （12）。

2a（3）2；

53

第二章

习题2—1

1．（1）a； （2）sinx；

x2．（1）Af(x0)； （2）Af(0)；

34155x； 3．（1）x2； （2）1524．f(1)1；

f(2)3（3）12。

（3）A2f(x0)。

5719

31（3）x2； （4）x6。

26211。 5. f(2)； f(4)。

4446．（1）53.90米/秒，49.49米/秒，49.2米/秒，49.0049米/秒；（2）49米/秒；（3）gt。

17．不一定。 8. a2,b1。 9. 1,。

210．12xy160,x12y980。 11. （2，4）。 13. 不存在。 14．（1）在x0处连续且可导；（2）在x1处不连续当然不可导；（3）在x2处连续但不可导。

习题2—2

1．（1）y2axb；

5（2）y4xx2；

23（3）f(v)3v22v1；

11（4）y2xcosxx2sinx； （6）y3axlna（8）s2cost(1sint)22x2；

1（5）()2sin2cos；

212x（7）y； 22(1xx)（9）ysec2t2cost。 ； （2）y(2)4。 x32a2x(xa)223；

n2．（1）f(0)a1； 3．（1）

x(ax)223f(1)kak1k ； （2）； （3）

lnxx1lnx2；

1xxcotsec2； （4）422（5）

exx； （6）

xsinx22

（7）

112xcosx21ex12x1xx； （8）sinxcotsin2csc2；

332232(1x2)3（9）2sin(4x2)；

（10）

xcos1x21x

2； （11）2xcsc2(31x2)3(1x)32；

（12）(2x1)ex2x2cos(ex2x2)；（13）sin(2cos2)xsin2x；（14）2xsin11cos； xx1x(x21)sec2(x)x； （16）2lnxln2(lnx1)； （17）3t23tln3； （15）

ln2x122x1tan(x)x（18）

12 （19）3sinxcosxe（22）

1|x|x122sin3x2xx1（21）；

tlntln(lnt)6ln2(x2)； （20）；

x； （23）

323x9x2；

（24）

arctanx2xx1x2； （25）arccosx； （26）

1x2xarcsinx(1x)23；

1111； arccos； （28）

22x|x|x1x2|x1|xx1x（29）；（30）； （31）；

22322221x(arccosx)(2x)1xarctan1x2x（27）exarccos（32）

earcsinx1x2ex1e2x2；

abxaab（33）()x()a()b[ln()](x0)；

bxabxx2sin（34）2sinexxchx11()x；

（35）chxsh(shx)； （36）

1xch2(lnx)；

1sh2x（37）e(chxshx)； （38）； （39）thx；

2ch4x12sh2x3114．2xy40；6xy40。 5. xy20。6. (1,1);(,)。

416e27．x2y20；d。

58．（1）2xf(x2)； （2）ef(x)[f(ex)f(x)exf(ex)]；

21 （3）f[f(f(x))]f(f(x))f(x)； （4）sin2x[f(sin2x)f(cos2x)]。

习题2—3

1．（1）2sinxxcosx； （2）

a2(a2322x)；

3（3）4x28x3；

4； （6）

(x1)e4xx2x5（4）2secxtanx； （7）csc2x；

2（5）2arctanx2x1x2； x （8）sin2x4sin4x9sin6x；（9）55

(xa)23。

4．（1）y(20)220e2x(x220x95)；

1225sin2x)； 25．（1）2f(x2)4x2f(x2)； （2）f(sin2x)sin22x2f(sin2x)cos2x；

（2）y(50)250(x2sin2x50xcos2x （3）

f(x)f(x)[f(x)]2[f(x)]2。

习题2—4

x1．（1）；

y

2xy（2）；

x2y （3）

exyyxexy；

xylnyy2 （4）；

xylnxx（5）

cosycos(xy)xy； （6）。

xsinycos(xy)xyx2．（1）xx1221(2lnx)； （2）(lnx)（3）(1lnx)xx； ln(lnx)；

lnx1 （4）[cotxcosxsinxln(sinx)](sinx)cosx； （5） （6）

123x2213；

(52x)(x1)3x252xx143x46x21x(x21)3x(1x)(x1)22。 sin(xy)3．x4y60。 4. y[cos(xy)1]3。 5. Ste2s(3s)(2s)3。

d2yd2y11dy2dy6．； 7. ； 。 ； tant2324dxtdxdxtdx3acostsintd2y1dy8．。 cot； 2a(1cos)dx2dx2b22a2b(xa)；法线方程：yb(xa)。 2a22b212461236 （2）切线方程：ya(xa)；法线方程：ya(xa)。

535510．（1）（1，0）；（2）水平速度为-2，铅直速度为16；（3）水平方向加速度为-2；铅直方向加速度为8。

2001612．米/秒。 13. 米/分。

2526514．（1）米； （2）0.875米/秒； （3）下端离墙4米时。

2

9．（1）切线方程：y 56

习题2—5

1．（1）(10x3)dx；

2xdx|x|1x2 2dx1x2dx1x2（2）3x24x8dx； (1x0)（3）

；

(0x1)24（4）lnx1dx； （5）sectdt；

x2sin2xcosxcos2xdx。 （6）21sinx(1sinx)121dx； 2．（1）当x时，dydx；当x时，dy222||2 （2）当x0时，dydx；当x1时，dy0。

3．（1）1.9； （2）4．（1）dy0.02； 5．（1）x2C； （4）exC

222701503y0.0201；

0.0059。

ydy0.0001。

1C x（2）lnxC； （5）（3）1cos2xC； （6）xC； 2 （7）exC;2xex；

（8）sinxC;cosxsinx。

第三章

习题3—1

。 3. 否。 4. 2（3，4）上。

1．

41 5. 否；否。 6. 三个实根，分别在（1，2）、（2，3）、

习题3—2

1．（1）1； （2）

263a1 （7）0； （8）；

2

； （3）1； （9）1；

（4）2； （10）1；

（5）； （11）0；

（6）1； （12）2。

习题3—3

1．5621(x4)37(x4)211(x4)3(x4)4。 2．f(x)x69x530x445330x29x1。

57

111(x4)2(x4)33．x2(x4)451215(x4)44!16[4(x74)]2(01)。

(x1)n112nn1(01)。 4．[1(x1)(x1)(x1)](1)x[1(x1)]n2

习题3—4

1．单调增加。 3. 单调减少。 5．（1）在(,1),[3,)上单调增加，在[1,3]上单调减少；

111111 （2）在(,),,上单调增加，在,上单调减少；

21821811 （3）在(,0),(0,],[1,)上单调减少，在[,1]上单调增加；

2222 （4）在(,a],[a,]上单调减少，在[a,a]上单调减少；

3311（5）在(0,]上单调减少，在[,)上单调增加；

22（6）在(,)上单调增加； （7）在(,)上单调增加。

8．有三个实根，分别于(,1)(1,3)、(3,)上。

9．单调函数的导函数可能不是单调函数，例如函数f(x)xsinx的导函数就不是单调的。

习题3—5

1．（1）极大值y(0)0，极小值y(1)1

121 （2）极大值y()205；

510 （3）无极值；

（4）极大值y(e)1ee；

1 （5）极小值y(ln2)22；

2 （6）无极值。 2．（1）最大值y(1)2，最小值y(1)10；

13 （2）最大值y(0)y(1)1，最小值y()；

25a2 （3）y无最大值，最小值y(ab)；

ab3（4）最大值y=1.25，最小值y(5)56；

4（5）最大值y，最小值y；

2222

58

（6）最大值y(0)，最小值y(1)0； 4（7）最大值f(10)132，最小值f(1)f(2)0。 3．4，4． 4.

23R。

5.

xy1。 367. 杆长为1.4（米）。 8. 26 。3习题3—6

5552501．（1）在(,]上是凸的，在[,)上是凹的，拐点(,）；

33273 （2）在(,3a),(0,3a)上是同凹的，在(3a,0),(3a,)上是凸的，拐点99(3a,a)，(0,0)，(3a,a)；

44 （3）在(,0)上是凸的，在(0,)上是凹的，拐点（0，0）； （4）处处是凹的，没有拐点；

1arctan211) （5）在(,]上是凹的，在[,)上是凸的，拐点(,e222 （6）在(,1),[1,)上是凸的，在[1,1]上是凹的，拐点(1,ln2),(1,ln2)； （7）在(0,1]上是凸的，在[1,)上是凹的，拐点（1，-7）；

2（8）在(,2]上是凸的，在[2,)上是凹的，拐点(2,2)。

e2392．a,b。 3. 拐点（1，-4），（1，4）。 4. k。

822

1习题3—7

1．y0。

2. y0,x1,x1。

3. yx3,x1. 5. y2x4．x1,x1,yx,yx。

2,y2x2。

习题3—8

1．k2,R

21。 2. k1。 3. k。

3asin2t024. k2。 |a|习题3—10

1．0.20x00.19。

2. 2.50x02.51。

59

第四章

习题4—1

1．否。 2. lim5．（1）较大。

4221dysinx2xexex。（1）；（2）；（3）（4） 1y4；eycos(x2)。 7.

dxx2lnx18．（1）30；（2）45；（3）；（4）；（5）1e1；（6）1（7）4；（8）8。

36x3(0x1)239．（1）-1；（2）。 10. (x)2，(x)在（0，2）上连续。

2x1(1x2)26211．。

3

0F()xii1ni. 4.（1）lim2301i1n12ixi；（2）lim0sinxii1ni。

x10 （2）xdx较大；

21 （3）xdx较大；

21 （4）lnxdx较大；

1123dx6．

习题4—2

21．（1）x2C；

521522（2）xC；

33mx（3）

nmnmmC；

152hC； （4）u56u23lnuC；（5）g253(x2)3（6）C；

3x32222x523xxxC；（7）（9）10ln|x|x3C； xxC （8）

3535324x3arctanxC;0（（10）x2x22x2C；（11） 12） 3arctanx2arcsinxC；

535etat2（14）C； （15）2xC；

ln2ln331lna1（16）tanxsecxC；（17）tanxxC （18）tanxC；

21（19）(xsinx)C；（20）sinxcosxC；（21）(cotxtanx)C。

22．是。 3. yx2C；y2x21 4.（1）27米； （2）33607.11秒。

5311（13）eC；

xxx 60

习题4—3

e5t1．（1）C；

53 （2）

1(12x)6C； 12（3）1ln|32x|C； 2x1 （4）(82x)2C；（5）2costC； （6）eeC；

3x1 （7）aarcsina2x2C；（8）ln|lnlnx|C；（9）tan11xC；

a111（10）ln|tanx|C； （11）arctanexC； （12）sin(x2)C；

221x31（13）arctanC； （14）(1x3)2C； （15）arcsin(2x)C；

962ln2x291x21x2x2arcsine1eC；（16）（20）ln(x9)C；（21）arctanC；

22423112x（22）lnC； （23）

42x221x2C； C； （24）ln3x12x12x1sin3xt11（25）sinx（26）（27）sec3xsecxC； C；sin2(t)C；

32431111（28）（29）(sin2xsin8x)C；（30）102arccosxC；C；

2ln1044arcsinx2xaxx1C； （31）（33）arcsina2x2C； （32）arccosC；

22a2x1x（34）x293arccos（36）arcsinx2．（1）

3C； （35）2xln(12x)C； x2x11xC。

（3）22ln（6）

4； 152； 351； 5121 （4）arctan2；

2； 23（5）；

（2）

68 （7）2(2)； （10）2（13）1e（16）

（8）

23； 312162（11）；

3a4；

（9）14；

（12）(31)a； （15）

2； 32 1e；

（14）2(31)； （17）22； 3（2）；

261

4； 3

（18）1ln3．（1）0；

3（3）；

324（4）0。

习题4—4

11xsinmx2cosmxC； mme2t1 （2）(t)C；

221．（1）

（3）tarcsint1t2C； 1111（4）x2ln(x1)x2xln(x1)C；

242211（5）x2lnxx3C；

39111（6）x3arctanxx2ln(x21)C；

3661（7）x2xtanxln|cosx|C；

2（8）x2sinx2xcosx2sinxC； （9）x(lnx)22xlnx2xC； lnx1xlnC； 1xx13x（11）(x2)cos2xsin2xC；

22211（12）xcos2xsin2xC；

481（13）(22lnxln2x)C；

x2xx（14）e2x(cos4sin)C；

17221ax（15）2e(asinnxncosnx)C； 2an（10）

（16）(2x11)e2x1C；

1x1（17）x2sin2xcos2xC；

448（18）x(arcsinx)221x2arcsinx2xC； （19）21x[ln(1x)2]C；

a22x2a422（20）xaxln(xa2x2)C；

88（21）(x1)arctanxxC。 12．（1）(e21)；

41（4）ln2；

3

131ln3； （2）49222（5）ln(23)；

362

（3）

364；

1（6）(e2)；

5

1（7）(esin1ecos11)； （8）2(e21)；

2

1（9）21。

e习题4—5

1．（1）ln|x2|ln|x5|C；

11 （2）x3xx8ln|x|4ln|x1|3ln|x1|C；

32|x1|2x13arctanC； （3）ln23xx1(x2)41C； （4）ln2|(x1)(x3)3| （5）

11ln|x21|C； x12|x|C； （6）ln21x1x41arctanxC； （7）ln224(1x)(1x)22x22x122ln2arctan(2x1)arctan(2x1)C； （8）844x2x11x11（9）lnarctanxC；

4x121（10）(xln|sinxcosx|)C；

2x（11）ln|1tan|C；

23（12）3(1x)233x13ln31xC；

2123（13）x2xxC

23（14）x4x14ln(1x1)C；

（15）2x44x4ln(4x1)C； （16）2arctan（17）ln(x（18）2．（1）

1211x1x2C； 1x1x(x1))C； 2[ln|x|ln(2x44x2x2)]C。

1C； 1x63

2(1x)2

（2）166(6x)2(6x) （3）ln|xsinx|C； （4）lnx[ln(lnx)1]C；

162C；

13xx3 （5）4223a(a2x2)3axC；  （6）(1x2)33x31x2C；

x （7）(42x)cosx4xsinxC； （8）xln(1x2)2x2arctanxC；

11 （9）xcsc2xcotxC；

22xx（10）2lncsccotC；

22（11）

x48(1x8)1arctanx4C； 84414x1C （12）xln44x211x1（13）lnarctanxC；

31x21x1x（14）cotxcsc2C；

4282|x|C； （15）ln66(x1)（16）esin2xC；

（17）xln2(x1x2)21x2ln(x1x2)2xC；

xlnxln(x1x2)C； （18）

1x21xx222（19）(arcsinx)1xarcsinC；

42411（20）1x2(x22)arccosxx(x26)C；

391（21）(tanxln|tanx|)C；

2(tan2x1)(tan4xtan2x1)（22）C；

3tan3x41x（23）ln(2cosx)arctan(tan)C；

233

（24）

12sin(x4)122ln[sec(x2)tan(x4)]C。

第五章

习题5—2

1．（1）

3； 2（2）e12； e（3）ba； （3）18a2。

（4）

7。 63（2）a2；

81353．（1）2； （2）。

624

2．（1）a2；

习题5—3

1．

2(83)。 2.

2。 353. 741103kg。

6.

433R。 334. （1）； （2） 1602。

1015．h[2(abAB)aBAb]。

6

习题5—4

1．(65ln)(165)3ln22a24．6a。 5. 。 6.

2

1ln3。 22. 234。 33. 4。

1a2a35(e1). 7. ln. 8. 8a. 9. ln(21)。 a212习题5—6

27KC3a3（其中K为比例常数）1．800ln2（焦耳）。 2. 。 73．17.3（千牛）。 4. 14373（千牛）。 5. 1103248（焦耳）。 6. 1.65（牛）。

17．pgab(2hbsina)。

211;FGml （其中G为引力8．取y轴通过细棒，FyGmxa22alaa2l2常数）。

2Gm9．引力的大小Fsin，方向由点M指向圆弧形细棒的中心（其中G为引力

R2常数）。

65

27

习题5—7

1．12（米/秒）。

2.

4a。

第六章

习题6—1

11．。

3

2. 发散。

习题6—2

1．

2ln2。 32.

. 2 3.

1。 a4. 发散。

习题7—1

2．（1）(a,b,c)关于xOy面的对犯法点的坐标为(a,b,c)；

(a,b,c)关于yOz面的对犯法点的坐标为(a,b,c)； (a,b,c)关于xOz面的对犯法点的坐标为(a,b,c)； （2）(a,b,c)关于x轴的对称点的坐标为(a,b,c)；

(a,b,c)关于y轴的对称点的坐标为(a,b,c)； (a,b,c)关于z轴的对称点的坐标为(a,b,c)；

（3）(a,b,c)关于坐标原点的对称点的坐标为(a,b,c)。

3．xOy面上的垂足为(x0,y0,0)；yOz面上的垂足为(0,y0,z0)；zOx面上的垂足

为(x0,0,z0)；x轴上的垂足为(x0,0,0)；y轴上的垂足为(0,y0,0)；z轴上的垂足为(0,0,z0)。

4．((0,222222a,0,0),(a,0,0),(0,a,0),(0,a,0),(a,0,a),(a,0,a)，22222222a,a),(0,a,a)。 225．x轴：34；y轴：41；z轴：5。

6. （0，1，-2）。

习题7—2

2,cos0或coscos0,cos1。 22．（1）垂直于x轴，平行于yOz平面；（2）指向与y轴正向一致，垂直于xOz平面；

1．coscos 66

（3）平行于z轴，垂直于xOy平面。

1113．|a|3； |b|38； |c|3； a0,,； 3332351220 b0； ,,c,,。 333383838

习题7—3

1．（1）a与b垂直；（2）a与b平行且同向。 2. 5a11b7c。

1113．AMca,BNab,CPbc。 5. (1,2,2),(2,4,4).

2224476．A点坐标为（-2，3，0），|a|9；cos,cos,cos。

9992147．F大小为：21，方向余弦：cos。 ,cos,cos2121216676678．,,,,,。

111111111111

习题7—4

1．（1）否；（2）否；（3）否。 2.（1）3；（5，1，7）；（2）34346．0,,,0,,。

55553221； 3. –61； 4. 9. 3. 53。 27. 5880焦耳。 8. 30.

10．（1）（-3，-13，-33）；

（2）（4，-1，-4）； （3）7。 11.

91. 2第八章

习题8—1

1．4x4y10z630。

2. x2y2z2a2

3．以点（1，-2，-1）为球心，6为半径的球面。 4. x2y2z28x0。

习题8—2

A1B1C1D1。 A2B2C2D22．（1）yOz平面； （3）平行于z轴的平面；

1．

（2）平行于xOz的平面； （4）通过z轴的平面；

67

（5）平行于x轴的平面； （6）通过原点的平原。 3．3x7y5z40。 4. 2x9y6z1210。 5．x3y2z0。 6. 3xy0或x3y0。 7．xy2z40。 8．（1）y50； （2）x3y0； （3）9yz20。

习题8—3

x4y1z3。 3.（1）平行； （2）垂直； （3）在平面内。 215x325x3yz2x1yz2;yt4．. . 5.

213421z23t1．1． 2.

6．0 7. x3yz40。 8. cos0。 9. 在平面内。

y2z4x10．。 11. 8x9y22z590. 12. xyz0. 23112x15y33z11703252213．,,。 14. 。 15. 

4xyz102333

第九章

习题9—1

1．（1）直线，平面；（2）直线，平面；（3）圆，圆柱面；（4）双曲线，双曲线柱面。 2．（1）一点，一直线；（2）一点，一直线。 3. y2zh25x. 4. x2y2z20。 5．绕x轴：4x29(y2z2)36；绕y轴：4(x2z2)9y236。

习题9—2

x2y22（1）xOy平面上椭圆1绕x轴旋转而成；

49y22 （2）xOy平面上的双曲线x1绕y轴旋转而成；

4 （3）xOy平面上的双曲线x2y21绕x轴旋转而成； （4）yOz平面上的直线zya绕z轴旋转而成。

习题9—3

2．母线平行于x轴的柱面方程：3y2z216；母线平行于y轴的柱面方程：3x22x216。

68

222y2z21x2y2z21xyz13．；； 。

22x0x0yz13xcost2x13cos34．（1）y（2）y3sincost(0t2)； (02)。

2z0z3sintzzx2y2a2x24z22x2z20yasinxacos5．； b；b。 6.z0y0x0y07．（1）圆； （2）椭圆； （3）双曲线； （4）抛物线； （5）双曲线。

习题参考解答

第十章

习题10—1

1．t2f(x,y)。

2. (xy)xy(xy)2x。

3．（1）(x,y,z)|x0,y0,z0； 4．(x,y)|y22x。

（2）(x,y,z)|r2x2y2z2R2。

习题10—2

1．（1）xz(2xy)x(x)2； yz(1x)y； z(2xy)x(1x)yxy(x)2； （2）xz0.21;yz0.1;z0.32。 2．1；1+2ln2. 7．（1）

2. 113. 5. 1,0; 6. . 225z2x；

2xyy2siny1. 4.

zx22xysiny,（2）（3）

yz,x2x(1xy)2zx； 2y1xyyy1yzxx2sinsincoscos； xxyxyxy69

y1yzxxx2coscossinsin； yyxxyxyyyyzz1x23xln3,3ln3； （4）xyxxz（5）yesinxy(1xycosxy)，

xz xesinxy(1xycosxy)；

yz1z1（6）； ,xxlnyyy(xlny)yyyyz1z1（7）sincos,cos；

x2xxxxxyxxuuu（8）et1,et,tete；

tu（9）e[cos()sin()]，

u e[cos()sin()]。

8．

。 6dy； yxyxy11yedxxe9．（1）dzxyxdydx（2）dz； 221x1y（3）dz(xdydx)cos(xy)；

4xy(xdyydx)（4）dz； 222(xy)（5）dz(2ey（6）duex(x2232x)dx2xeydy；

yz2)[(3x2y2z2)dx2xydy2xzdz]；

（7）duxxy[y(1lnx)dxxlnxdy]；

3dx2dydz（8）du d；

3x2yz2(xy)(dxdy)（9）du。 41(xy)10．（1）dz4(dxdy)； （2）dz2dxdy。 11．dz0.2,z0.20404。

70

习题10—3

z3x2sinycos(cossiny)， xz x3(sin3ycos3y)2x3sinycosy(sinycosy)。

y1．

z2x3x2ln(3x2y)2．， xy2(3x2y)y2z2x22x23ln(3x2y) 。 yy(2x2y)y2z2(u2v)(u3v)z(2vu)(9u2v)4．。 ,uv(u2u)2(v2u)2z2(2xy)2xy[ln(2xy)1]， xz (2xy)2xy[ln(2x)1]。

yzFFzFF7．cossin,rcosrsin。

rxyyxdz8．etet。

dt4dz9．esint2t(cost6t2)。

dtdz312t210．。 32dt1(3t4t)5．

dzex(1x)11．。 dt1x2e2xdz41223sec3tt12．。 32dttt2tdu13．eaxsinx。 14. 1。 15. 2。

dxyzdz116．。 2,xxy2dx1x217．

yzdzyxy1,xy(x)lnx。 xdxx习题10—4

dyb2x2。 1．dxaydyy[cos(xy)exy2x]2. dxx[xexycos(xy)]3．

dyxy。 dxxy 4.

zyzxyz,xxyzxy71

zxz2xyz。 yxyzxy

yzzz,xexyzazyx6．,xzaxy5．

xyz。 zyexyzaxzy。 yzaxyzzzz2,7．。 xxzyy(xz)8．dzdxdy。

2x2z2x2yzx2xyz2xy2zydyx(6z1)dzx9．。 ,dx2y(3z1)dx3z1xuyvxvyuxuyvuuxvyvvu10．。 2,,,xyx2y2xyxy2x2y2x2y2

2xz22xyz2z2xyz2z习题10—5

1．（1）

2zx22zy2asin(axby),b2sin(axby)；

22zx2yabsin(axby)，

x3y2z12z（2）2； ,,2223223223xyxy(1xy)(1xy)(1xy)2zxy3（3）（4）

2xx22y(2y1)x2y22z2z(2y1),2x(12ylnx),4x2yln2x； 2xyy2zlnxlny1lnx2zlnx(lnx1)lnx,y,y； xyxyy2y22xx22zlny(lny1)x22xy3zylnx2x3yz2zz(z42xyz2x2y2)2z,,2（5）22； 32323xyx(zxy)(zxy)y(zxy)2z2z20。 （6）2xyyx3．2，2，0．

2uxyf222xyzf23zf3xzf31xyz2f33， f2xf214．

yx2z2ux2yzf33， xf3x2yf32zy2uxy2f23xy2zf33。 xf3xyf13xz2u5．24x2f(x2y2z2)2f(x2y2z2)。

x

72

习题10—6

1．

93 2 2.

2. 5 3.

2. 24.

68. 13第十一章

习题11—1

x(211)1．切线方程：

y1z22。 12 法平面方程：xy2zx24。

12y2z1， 2．切线方程：012 法平面方程：2zy0。

2ya4zb2xa， aa4b 法平面方程：22a(xy)b(4zb)0。

3．切线方程：

1114．P1(1,1,1)或P2(,,)。

39275．切平面方程：x2y40，

x2y1z 法线方程：。

1206．切平面方程：9xyz270，

x3y1z1 法线方程：。 9117．切平面方程：x2yz50，

x2y3z1 法线方程：。 1118．切平面方程：2ax0x2by0yzz00，

xx0yy0zz0 法线方程：。 2ax02by0139．arccos。

22

习题11—2

1．极大值：(2,1)8。

2. 极大值：。

73

1e3．极小值：f(,1)。

221114．（1）极大值：z(,)；

2242aba2ba2b2 （2）极小值：z(2； ,)2ab2a2b2ab2（3）极小值：u(3,3,3)9。

l5．当两直角边都等于时，三角形周长最大。

22aa6．当长、宽为，高为时，内接长方体体积最大。

33

第十二章

习题12—2

11．。

e2. ln14. 33. (e,1)2.

4. 16.

105．（1） （2） （3）

0dx1xx1f(x,y)dy101dyyy10f(x,y)dxdy31y0f(x,y)dx；

3110dx3xx2xx/2f(x,y)dyf(x,y)dy3dy1f(x,y)dx93dyy/3f(x,y)dx；

dx121dx22/xx/2f(x,y)dy

 （4） （5）6．（1） （3）（5）（6）

dy052yy/2f(x,y)dx1dy2/yy/2f(x,y)dx；

3dx(3x4)/2(3x1)/2f(x,y)dy13/25dy(2y1)/33f(x,y)dx

813/2dy(2y1)/3(2y4)/3f(x,y)dx19/28dy5(2y4)/3f(x,y)dx；

401dx34(x2)234(x2)2xf(x,y)dy51dy24(y3)224(y3)210f(x,y)dx。

0dxx2f(x,y)dy；

1y2 （2）（4）

11ydyeeyf(x,y)dx；

10dy1y2f(x,y)dx；

01dy32yyf(x,y)dx；

01a0dy1y21y2f(x,y)dxdy01yf(x,y)dx；

f(x,y)dxdyaa2y2y2/2af(x,y)dxa0dy2aaa2y22aady2ay2/2af(x,y)dx。

74

7．（1）76/3； 8．（1） （3）

（2）9； （3）

27； （4）14a4。

/20R0d2Rsin0f(rcos,rsin)rdr； （2）f(tan)d。

20dR0f(r2)rdr；

rdrarctanR0R329．（1）(2ln1)； （2）()；

3234

232（3）； （4）62

习题12—3

1．（1）

11dx1x21x2dy1x2y2（2）f(x,y,z)dz；

11dx1x21x2dy2x2x22y2f(x,y,z)dz。

1152．（1）(ln52ln2)； （2）ln2。

221683．（1）a2； （2）(ln22)；

924414．（1）(A5a5)； （2）x。 5. （1）； （2）0。

1558

习题12—4

1．2。

24885．6. 6. .

51529．(x,y,z)(0,0,).

32.

a2.

12．2r(R2r2).

1224. 162. abb2c2c2a2.

2417. . 8. (x,y,z)(0,0,). 1hR4hR22h210. . 11. (R).

243513. (x,y,,z)(0,0,R).

43.

习题12—5

1．5ln2. 2. 24. 3. 2a2n1. 122)p3]. 6．[(p2y03p

3

34. 22a3(122).

35. 12.

122)222]. 7. [(t038.

823a. 3习题12—6

1．（1）

13； 3（2）3.

149； 30（3）

111。 102．461。

33(31)ln2。 275

4. a3。

第十三章

习题13—1

1111．(1,1,1)与(,,)。

3927x1y0z12．切线方程：；法平面方程：xyz20。 1113．X(t)(QcostPsint)Rc1tc2，其中，c1，c2为任意常矢量。

5．sa2k。

习题13—2

（1）场所在空间区域是除去平面AxByCzD0以外的全部空间，场的等值面

1C1是平面AxByCzD0平行的一族平面，AxByCzD10；

AxByCzDC1（2）场所在区域是坐标满足z2x2y2及x2y20的点组成的空间部分，场的等值面为z2(x2y2)sin2c，是顶点的坐标原点的一族圆锥面（但不含原点）。

2．过M的等值面是族转抛物面zx2y2。 3．等值面为：(xa)2(yb)2(zc)2e2。

习题13—3

11173. （1）； （2）； （3）

12330114．0． 5. a2。 6. . 7. 13.

35P(x,y)2xQ(x,y)P2xQ3yRdl。 8．9. dl。 222LL14x9y14x

1．

56。 152. 8。 （4）1。 20习题13—4

1．

Dydxdy。

22. 2ab. 3. Ia2m8. 4.

32a. 83。 8. I62. 21111．（1）x22xyy2； （2）x2y； （3）cos2xsin3y；

22 （4）x3y4x2y212ey12yey； （5）y2sinxx2cosy。

7．I 76

习题13—5

21．a3bc。

52.

27R. 105 3. 1.

4．（1）

S3223(PQR)dS； （2）555S2xP2yQR14x4y22dS。

习题13—6

2121．（1）2a(ab)； （2）9。 2. （1）a3a4a5； （2）4R3； （3）a3。

35

习题13—7

1．

ulM2214。

213262．在M1与M2处的梯度依次为7与35；方向斜弦依次为,，，,与

777550。梯度为0的点是(2,1,1)。

习题13—8

1．（1）0； （2）0。 2. （1）6。 （2）8； （3）36。

习题13—9

1．（1）2R2， （2）2R2。 2. rotA(1,3,2)i3j4k. QP3.rotA(x,y,0)xyk.



第四十章

习题14—1

1．发散。

2. 收敛。

3. 发散。

4. 收敛。

习题14—2

1．（1）收敛； （2）发散； （3）发散； （4）收敛； （5）发散； （6）收敛。

77

习题14—2

1．（1）发散； （2）收敛； （3）收敛； （4）收敛。 （5）a1时，收敛0a1，发散； （6）发散。 2．（1）收敛； （2）收敛； （3）收敛； （4）收敛； （5）收敛； （6）收敛。 3．（1）收敛； （2）收敛； （3）收敛； （4）收敛； （5）ba时，收敛；ba时发散。

4．（1）发散； （2）发散； （3）发散； （4）收敛； （5）收敛。

习题14—4

1．条件收敛。 2. 条件收敛. 3. 绝对收敛。

4. 发散。

5. 绝对收敛。

第十五章

习题15—2

1（1）（1，1）； （2）{0}； （5）[4，6)； （6）(0，2]；

（3）[1，1]； 1

（7）,e；

e

（4）[3，3)； （8）R。

11x12．（1）lnarctanxx(1x1)；

41x211 （2） （3）(1x1);(1x1)。 23(x1)(1x)11x3．ln(1x1)，

21x(2n1)2n11n2ln(12)。 2

习题15—3

1．（1）ex2(1)n2nxn!n0(xR)

(xR)；

11(4)n2nx（2）cosx22n0(2n)!2(1)n4nx（3）cosx(2n)!n02(xR)；

x10（4）1x

xn0x10(1x1)；

78

x1nn（5）[1(2)]x1x2x23n0(11x)； 22x3n2nn（6）2xx5x6n06n(2x2)；

（7）（8）

xarctant0t(1)ndt22n1n0(2n1)x(1x1)；

1t4135131357 xx17(1x1)；

132461724681x（9）12(1)nxn(1x1)。

1xn00xdtx15139xx 52924(1)nx2n(1)n3x2n12． f(x)2(2n)!2(2n1)!n0(xR)。

1(1)n(x4)n3．f(x)3n03n(1x7)。 (4x0)。

(x2)2n(1)4．f(x)4n1n0

n习题15—4

1．3.9563

2. 0.15。 3. 0.4940。 4. 0.2603

第十六章

习题16—1

121．（1）f(x)2sin(2n1)x2n1n0(x0,0x)，在x0,时，f(x)的

Fourier级数收敛

（2）

1； 2。 42cos(2n1)x(1)n1sinnx2．f(x)4n0(2n1)2nn0Fourier级数收敛于

(x)，x时，f(x)的

。 2 79

3．

26。

习题16—2

1．f(x)敛于0。

2．f(x)

24sin(2n1)x(x0,0x),x0,时，f(x)的Fourier级数收

2n1n04cos(2n1)x2n0(2n1)(x)。

习题16—3

e2x14n21．e[(1)ne21]cosnx(0x)。 2214n4(1)n1x2n[(1)1)2．sin1sinnx(0x)。

2n04n21n

2x习题16—4

1111．（1）1x2122(1)n1cos2nx2nn0(x)；

1（2）f(x)

4n2sinn1(1)2 22nn0nn12cos2sinnxcosnx n1(x2k,sk,k0,1,2,)；

211在x2k时，f(x)的Fourier级数收敛于,x2k时，f(x)的Fourier级数收敛

22于O(k0,1,2,)。

1nx6nx6n(1)n1sin（3）f(x)22[1(1)]cos

2n0n3n3(x3(2k1),k0,1,2,)；

在x3(2k1)时f(x)的Fourier级数收敛于2(k0,1,2,)。

80

第十七章

习题17—1

1．（1）1； （2）1； （3）； （4）2。 2．（1）是解，但不是通解； （2）是解，但不是通解； （3）不是解； （4）是解，当12时是通解；12时，不是通解。

习题17—2

1．（1）xln(x1)sinyC； （2）10x10yC0；

yxy （3）sinCx； （4）lnCx。

xx2．（1）y22x2(lnx2)； （2）y2yx20；

yy （3）arcsinln|x|及yx； （4）y1ln。

x2x3．（1）y2Ce2arctany2x1；

（2）(x3)2(y1)2Cearctany1x3；

（3）(yx1)2(yx1)5C； （4）xyCey。

习题17—4

1．（1）ytanx1Cetanx； （3）yex1x（2）yx(lnlnxC)；

1(cosxC)。 x21（2）yx31e1/x1；

21（4）I(cos2t3sin2t)。

2Ce1x；

（4）y2．（1）yxsecx；

 （3）yx36x213x10； 3．yx(Cln|x|)。 4．（1）y1sinxCe；

2x

（2）(13y132x2)eC；

y221 （3）y3Ce3x1；

2

（4）x(2y2Ce1。

习题17—5

1．（1）3yxyC； （3）xeyy2C；

22

2（2）x(x2y)2C；

3（4）2xy2cos2xC；

2381

xm1yn114 （5）ylnyC； （6）x2y2ln|xy|= C

m1n14x （7）x2y22arctanC； （8）xsinyycosxC。

y12．（1）积分因子，通解xyln|xy|C；

xy1 （2）积分因子2，通解xln(x2y2)C； 2xy1 （3）积分因子，通解(x2y)aCey；

xy1 （4）积分因子2，通解x2yexCy。

y

习题17—6

11 （2）yC1exx2xC2； C1x2C2；

22y （3）ln （4）C1y21(C1xC2)2。 C1xC2；

C1y12．（1）yln(ax1)； （2）ylnchx； （3）yx33x1。

1．（1）y3．S

mkgt。 lnchmk2习题17—8

1．（1）yC1e4xC2e5x； （2）yC1ex1xe2C1cos33xC3sinx； 22 （3）yC1e3xC2e4x （4）yC11xe2C25； 12exex；

ex （5）yC1cosaxC2sinax； 21a13327xxx； 35253 （7）yC1exC2e2xx23xex；

21 （8）yex(C1cos2xC2sin2x)xexcos2x；

4 （6）yC1C2

82

5xe2

exx （9）yC1cosxC2sinxsinx；

22 （10）yC1cosxC2sinx2x272xcosx。

1512．（1）yx2ex； （2）yex2e2xe3x；

222111 （3）ycosxsinxsin2x； （4）y11xx2ex。

233

习题17—9

1．yC1xC2。 x1x。 23．yx(C1coslnxC2sinlnx)xlnx。

14．yC1xx(C1coslnxC2sinlnx)x2(lnx2)3xlnx。

2

2．yC1x2C2x3第十八章

习题18—1

5．（1）等价； （4）等价；

（2）等价； （3）等价； （5）等价； （6）等价。

第十九章

习题19—1

1．（1）supEb,infEa； （3）supE,infE；

（2）supE1,infE0； （4）supE,infE0。

第二十章

习题20—1

2．（1）可积；

（2）可积； （3）可积；

83

习题20—2

1．（1）不可积； （2）可积； （3）不可积； （4）可积； （5）可积； （6）可积。

第二十一章

习题21—3

1．

12x。 2. (|x|1)。 (|x|1)3x(1x)1x2第二十二章

习题22—1

1．（1）收敛； （2）m0时，收敛；m0时，发散； （3）发散； （4）收敛。 1n111n12．（1）设th2x2,n1； （2）设tx,； （3）4B4,。

nn2h22

习题22—2

8211．（1）； （2）。 2. ln(1x2)。 3. 3f(x)2yf(y). 4. ln.

x342

习题22—3

12．e4。 3. ln2。

2 1．（1）收敛； （2）m0时，收敛；m0时，发散； （3）发散； （4）收敛。

1n111n12．（1）设th2x2,n1； （2）设tx,； （3）4B4,。

nn2h22

2习题22—2

8211．（1）； （2）。 2. ln(1x2)。 3. 3f(x)2yf(y). 4. ln.

x342

84

习题22—3

12．e2

24。 3. ln2。

85