代数式的概念和运算

代数式的概念和运算

知识要点：

重点、难点：

1、代数式的分类：代数式包括有理式和无理式。有理式包括整式和分式；整式包括单项式和多项式。

[注]（1）有理式和无理式的区别，要看字母出现的位置，如果字母出现在根号下面，这个代数式就是无理式。

（2）整式与分式的区别，同样看字母出现的位置，如果字母出现在分数线下面，这

个代数式是分式。

x1（3）易混的概念：如代数式x是无理式，而不应是分式，因为根号下出现了字母

“x”，就应属无理式，而不是有理式，也就不会是分式。

2、正整数指数幂的几个公式：（以下这几个公式是整式乘除法的基础必须熟练掌握）

mnmna·aa（1）同底数的幂乘法：（a0，m，n是正整数）

（2）幂的乘方：amnam·n(a0，m，n是正整数）

nnnaba·b（3）积的乘方：（a·b0，m,n是正整数）

mnmn（4）同底数的幂相除：aaa （a0，m，n是正整数）

ananb（a0，b0，n是正整数） （5）分式的乘方：bn0（6）零指数幂：a1（a0）

（7）负整数指数幂：

ap1ap（a0，P是正整数）

3、整式的乘除法：

（1）单项式乘以单项式：系数相乘，结果是积的系数，同底数的幂相乘，单独因式

写入积里。

（2）单项式除以单项式：系数相除，同底数的幂相除，作为商的因式，被除式单有的字母，连同它的指数也作为商的一个因式。

（3）单项式乘以多项式：mabcmambmc。

（4）多项式除以单项式：把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

（5）多项式乘以多项式：

用一个多项式的每一项乘法另一个多项式的每一项所得的积相加。

（6）常用的乘法公式：

ababa2b2ab2a22abb2aba2abb2a3b3

4、代数式的求值：

注意：首先化简所给的代数式，然后代入字母的值；在求代数式的值时，可有向几种情况，第一种情况是字母的值直接给出的，第二种情况是通非负数和为零的情况给出的；如：

当a2b30，求关于含有a，b的代数式的值；第三种情况可能通过方程形式

2给出，如a3a40时，求某代数式的值。因此求某代数式的值有时也是一道小综合题，

2需要寻求某个字母的值，或者整体代入求值。

5、因式分解：

因式分解的概念；把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。

因式分解的方法：

（1）提公因式法：mambmcmabc

（2）运用公式法：

a2b2ababa22abb2ab2a3b3aba2abb2

（3）十字相乘法：

x2abxabxaxb

（4）分组分解法：多于三项的多项式，应考虑分组分解法。

分组以后提出各组的公因式或应用公式进行分解。

[注]：因式分解的步骤：

（1）多项式各项有公因式时应先提取公因式。

（2）多项式是否能用公式分解：两项的考虑平方差公式或立方和立方差公式；三项的考虑完全平方公式。

（3）如果上述方法不能分解，再看能不能用十字相乘分解因式。

（4）对于多于三项的多项式，一般应考虑运用分组分解法分解因式。

（5）在指定数（有理数，实数）的范围内进行因式分解，一定要分解到不能分解为止，题目中没有指定数的范围，一般是指在有理数范围内分解。

（6）因式分解后，如果有相同的因式，在写成幂的形式，并且把各个因式化简。

6、分式：

A（1）形如B的式子叫做分式，其中A，B均为整式，B中含字母，注意：B的值不能

为零，分式属于有理式的范畴，当分母不等于零时，分式有意义，当分子等于零时，但分母不等于零时分式的值为零。

（2）分式的基本性质：

分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式分式的值不变。

AAMAAMBBM，BBM，（其中，M是不等于零的整式）

（3）分式的运算：

ababc； ①分式加减法：ccacabbcbd； bdacac·②分式乘法：bdbd；

acadad·③分式除法：bdbcbc；

ananb （n为正整数） ④分式乘方：bn7、二次根式：

（1）式子a，（a0）叫做二次根式；当被开方数大于等于零时二次根式有意义。

（2）二次根式的主要性质：

①a(a0)是一个非负数。

②

a2aa0

a(a)a2aa(a0) ③

④aba·ba0，b0

a⑤baba0，b0

（3）最简二次根式和同类二次根式：

最简二次根式是指满足下列条件的二次根式：

①被开方数的因式是整数，因式是整式。

②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，同类二次根式是指化成最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式。

（4）二次根式的化简：

二次根式的化简，首先要转化成绝对值的形式，然后再去掉绝对值，题型通常分三类： ①给出字母的取值范围，在给定的条件下去绝对值：如，当m1时，

m12=m11m；

②没有给出字母的取值范围，但隐含在题目中，需要先判断出字母的取值范围，再去掉绝对值。

333xx·xxx x如：化简，因为x0，所以x0，因此

③字母没有范围或给出范围，需要分类讨论：

xy，x0xyxyxy，x0 如：

2（5）分母有理化：

把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

方法是：分子、分母同时乘以分母的有理化因式，常用的有理化因式有以下几类：

①ab与ab

②ab与ab③ab与ab