2021-2022年高三一诊模拟考试数学(理)试题 含解析

【试卷综述】全卷重点考查中学数学主干知识和方法；侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。高中数学的主干知识如函数、导数、圆锥曲线、等仍然是支撑整份试卷的主体内容，尤其是解答题，涉及内容均是高中数学的重点知识。明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向.

【题文】一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）。 【题文】1．复数z=（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 【知识点】复数代数形式的乘除运算．L4

D．第四象限

【答案】【解析】D 解析：复数z===3﹣i，

复数z=（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点（3，﹣1）．在第四象限． 故选：D．

【思路点拨】化简复数为a+bi的形式，即可得到复数在复平面内对应的点所在象限． 【题文】2．已知集合，，若，则的取值范围是（ )

A． B． C． D． 【知识点】交集的运算.A1

【答案】【解析】C 解析：因为由可知，再根据集合中元素的互异性可得，所以的取值范围是，故选C.

【思路点拨】先由集合的交集的概念可知，再根据集合中元素的互异性可得即可。 【题文】3．设有算法如右图所示：如果输入，则输出的结果是（ ） A．144 B．3 C．0 D．12

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【知识点】程序框图.L1

【答案】【解析】B 解析：（1）A=144，B=39，C=27，继续循环； （2）A=39，B=27，C=12，继续循环； （3）A=27，B=12，C=3，继续循环； （4）A=12，B=3，C=0，退出循环． 此时A=3．故选B。

【思路点拨】由已知中的程序框图，我们可得这是一个利用循环，求最大公约数的程序，模拟程序的运行结果，即可得到． 【题文】4．下列命题错误的是（ ）

A．若命题P：∃x0∈R，x02﹣x0+1≥0，则￢P：∀x∈R，x2﹣x+1＜0， B．若命题p∨q为真，则p∧q为真

C．一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数都相同

D．根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为，若，，则 【知识点】命题的真假判断与应用．A2

【答案】【解析】B 解析：若命题P：∃x0∈R，x02﹣x0+1≥0，则￢P：∀x∈R，x2﹣x+1＜0，故A正确；

若命题p∨q为真，则命题p，q中存在真命题，但可能一真一假，此时p∧q为假，故B错误； 数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数均为3，故C正确； 回归直线必要样本数据中心点，当，，则，故D正确； 故选：B

【思路点拨】根据存在性命题的否定方法，可判断A；根据复合命题真假判断的真值表，可判断B；计算出数据的平均数、众数、中位数，可判断C；根据回归直线必要样本数据中心点，可判断D．

【题文】5.在等腰中，BAC120,ABAC2，，则的值为（ ）

A． B． C． D． 【知识点】平面向量数量积的运算．F3

【答案】【解析】A 解析：在等腰△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，， ∴=（）•（）=||2﹣||2•=×4﹣×4×2×2×（﹣）=﹣．

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故选：A

【思路点拨】在等腰△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，，再利用平面向量数量积的运算即可。 【题文】6 .定义在R上的函数满足f(x)f(x),f(x)f(x4)，且时，，则（ ） A．1 B． C． D． 【知识点】函数的周期性；函数的值．B1 B4

【答案】【解析】C 解析：∵定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x）， ∴函数f（x）为奇函数 又∵f（x﹣2）=f（x+2）

∴函数f（x）为周期为4是周期函数 又∵log232＞log220＞log216 ∴4＜log220＜5

∴f（log220）=f（log220﹣4）=f（log2）=﹣f（﹣log2）=﹣f（log2 ） 又∵x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+， ∴f（log2 ）=1 故f（log220）=﹣1 故选C.

【思路点拨】根据对数函数的单调性，我们易判断出log220∈（4，5），结合已知中f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2）且x∈（﹣1，0）时，利用函数的周期性与奇偶性，即可得到f（log220）的值．

【题文】7.若关于的方程有四个不同的实数解,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 【知识点】根的存在性及根的个数判断．B9

【答案】【解析】C 解析：要使方程有四个不同的实数解， 当x=0时，是方程的1个根，

所以只要方程有3个不同的实数解， 变形得=，设函数g（x）=， 如图

所以只要0＜＜4即可，所以k＞；故选C．

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【思路点拨】欲使方程有四个不同的实数解，当x=0时，是方程的1个根，则只要方程有3个不同的实数解，，结合函数g（x）=的图象可求．

【题文】8.数列共有11项,且。满足这种条件的不同数列的个数为( )

A. 100 B. 120 C. 140 D. 160 【知识点】数列的应用．D5

【答案】【解析】B 解析：∵|ak+1﹣ak|=1， ∴ak+1﹣ak=1或ak+1﹣ak=﹣1 设有x个1，则有10﹣x个﹣1

∴a11﹣a1=（a11﹣a10）+（a10﹣a9）+…+（a2﹣a1） ∴4=x+（10﹣x）•（﹣1） ∴x=7

∴这样的数列个数有=120． 故选：B．

【思路点拨】根据题意，先确定数列中1的个数，再利用组合知识，即可得到结论． 【题文】9．抛物线上两点关于直线对称，若，则的值是（ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 【知识点】直线与圆锥曲线的关系．H8

【答案】【解析】A 解析：由已知得kAB=﹣1，且AB的中点C（x0，y0）在直线y=x+m上， 设直线AB的方程为y=﹣x+n，联立，消去y并整理得2x2+x﹣n=0， 依题意得， ∴n=1．

又x1+x2=﹣，

∴x0=﹣，y0=﹣x0+1=．

∵C（x0，y0）在直线y=x+m上， ∴=﹣+m，

解得m=．所以2m=3，故选A.

【思路点拨】由已知先求出kAB，然后由AB的中点C（x0，y0）在直线y=x+m上，可设直线AB的方程为y=﹣x+n，联立直线AB与抛物线方程，根据方程的根与系数关系即可求解n，然后再由中点在直线y=x+m上，代入其中即可求m即可得到结论。 【题文】10. sin10sin50sin70 （ ） A．1 B． C． D．

【知识点】二项展开式；两角和与差的正弦公式J3 C7 【答案】【解析】B 解析：原式=sin1040444sin4600100sin4600100

4sin41003cos10021sin1002431cos100sin10022

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sin410029181cos4100cos2100sin2100sin4100 1616169cos4100cos4100cos21008140cos2100sin2100sin10 882cos2100sin2100sin4100 sin102029，故选B. 8【思路点拨】先利用二项展开式，再结合两角和与差的正弦公式展开即可。 ， 【题文】二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，请按要求作答5小题，共25分） 【题文】11.已知随机变量满足正态分布，且P，P，则P()=__________ ． 【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．I3

【答案】【解析】0.1 解析：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2）， ∴曲线关于x=1对称， ∵P（ξ＜2）=0.6，

∴P（0＜ξ＜1）=0.6﹣0.5=0.1， 故答案为0.1.

【思路点拨】随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），得到曲线关于x=1对称，根据曲线的对称性得到P（0＜ξ＜1）．

【题文】12.设为双曲线的左右焦点，以为直径作圆与双曲线左支交于两点，且.则双曲线的离心率为 __________ 【知识点】双曲线的应用．H6

【答案】【解析】 解析：∵以线段F1F2为直径的圆交双曲线左支于A，B两点，且∠AF1B=120°， ∴△OF1A是等边三角形 ∴|AF1|=c，， ∴∴= 故答案为。

【思路点拨】根据以线段F1F2为直径的圆交双曲线左支于A，B两点，且∠AF1B=120°，可得△OF1A是等边三角形，再利用双曲线的定义，即可求得离心率，从而可得结论．

，

【题文】13.设满足约束条件

3xy20xy0x0,y0，若目标函数的最大值为2，当的最小值为时，则

的图象向右平移后的表达式为_____________。

【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；简单线性规划．C4 E5

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【答案】【解析】 解析：设x、y的线性约束条件

3xy20xy0x0,y0

解得A（1，1）目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2 即：a+b=2 所以：

则：则y=sin（2x+）的图象向右平移后的表达式为：y=sin2x 故答案为：y=sin2x

【思路点拨】首先根据线性规划问题和基本不等式求出函数的最值，再利用正弦型函数的图象变换问题，求出结果．

【题文】考生注意：14~16题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．

【题文】14.如图，的角平分线的延长线交它的外接圆于点若的面积，则的大小为________ .

【知识点】与圆有关的比例线段。N1

【答案】【解析】 解析：∵△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于E， ∴∠BAE=∠CAD，

∵∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角， ∴∠AEB=∠ACD，

∴△ABE∽△ADC，∴，即AB•AC=AD•AE， ∵S=，且S=，

∴AB•AC•sin∠BAC=AD•AE， ∴sin∠BAC=1，

又∵∠BAC是三角形内角， ∴∠BAC=． 故答案为：．

【思路点拨】由题设条件推导出△ABE∽△ADC，从而得到AB•AC=AD•AE，再由S=，且S=，能求出sin∠BAC=1，由此能求出∠BAC．

【题文】15. 在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线（为参数）与曲线（为参数且）相切，则______．

【知识点】极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程；直线与圆的位置关系．N3 【答案】【解析】 解析：由，得，

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所以，即曲线C的方程为，又由得直线方程为

，则，解得或，因为，所以 ，故答案为。

【思路点拨】把极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程，根据直线和圆相切的性质求出m的值．

【题文】16.若不等式的解集不为，则实数的取值范围是______． 【知识点】绝对值不等式的解法．N4

【答案】【解析】 解析：∵|x﹣1|﹣|x﹣2|=|x﹣1|﹣|2﹣x|≤|x﹣1﹣x+2|=1 若不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥a2+a+1（x∈R）的解集不为空集， 即a2+a+1≥1，解得x≤﹣1或x≥0 ∴实数a的取值范围是 故答案为：

【思路点拨】根据绝对值的性质，我们可以求出|x﹣1|﹣|x﹣2|的最大值，结合不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥a2+a+1（x∈R）的解集不为空集，即a2+a+1≥1，解不等式可得实数a的取值范围． 【题文】三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 【题文】17.（本题满分13分） 已知等比数列{}的公比=3，前3项和=.若函数=（＞0,0＜＜）在处取得最大值，且最大值为。 （1）求函数的解析式. （2）若，，求的值。

【知识点】函数的解析式；三角函数的恒等变形.B1 C7 【答案】【解析】（1）；（2）

a1(1q3)a1(127)13S31q133得， 解析：（1）由

由已知有A=3，，。

（6分）

（2） 。

22270(,)(,)cos()263663

126sin()coscos()cos()cossin()sin26666666（13分）

【思路点拨】（1）先由得到得到，进而可得A以及的值，然后写出解析式即可；（2） 根据已知得到，再进行变角，结合两角差的余弦公式即可得到结果。

【题文】18. （本题满分13分）现有3所重点高校A,B,C可以提供自主招生机会，但由于时间

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等其他客观原因，每位同学只能申请其中一所学校，且申请其中任一所学校是等可能的。现某班有4位同学提出申请，求： （1）恰有2人申请A高校的概率； （2）4人申请的学校个数的分布列和期望. 【知识点】离散型随机变量的期望与方差．K6 【答案】【解析】（1）；（2）见解析。

解析：（I）由题意知本题是一个等可能事件的概率

试验发生包含的事件是4个人中，每一个人有3种选择，共有34种结果， 满足条件的事件是恰有2人申请A学校，共有种

∴根据等可能事件的概率公式得到P== （6分） （II）由题意知ξ的可能取值是1，2，3 P（ξ=1）=， P（ξ=2）=， P（ξ=3）=

∴ξ的分布列是： ξ 1 2 3 P ∴Eξ=

（13分）

【思路点拨】（1）所有可能的方式有34种，恰有2人申请A大学的申请方式有种，从而然后利用概率公式进行求解；（2）=1，2，3，然后分别求出相应的概率，列出分布列，根据数学期望公式进行求解即可；

3【题文】19. （本题满分13分） 已知函数（）． （1）求的单调递增区间； （2）在中，为锐角，且，，是边上一点，，试求周长的最大值．

【知识点】两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的单调性；正弦定理．C5 C6 C4

f(x)2sin(x)cosxsinxcosx3sin2x【答案】【解析】（1）（2）

13f(x)2(sinxcosx)cosxsinxcosx3sin2x22解析：（1）

2sinxcosx3(cos2xsin2x)

.

由，得（）.

单调递增区间为， (7分) （2）由得.又，则，从而 ，∴. 由知是正三角形，，

22k2x322k实用文档

∴，

43sin在中，由正弦定理，得

3BCsinBAC，即.

∵是边上一点，∴，∴，知.

当时，取得最大值8，周长最大值为。（13分） 【思路点拨】（1）利用两角和差的正弦公式、倍角公式、正弦函数的单调性即可得出； （2）利用（1）的结论可得B，得出三角形为等边三角形，再利用正弦定理即可得出．

f(x)ln(x1)【题文】20. （本题满分12分）已知函数（1）当时，求的最小值；

（2）若时，恒成立，求实数的取值范围。

【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值．B12 【答案】【解析】（1）0；（2） 解析：（1）的定义域为

2ax2x1（其中）。

f(x)ln(x1)当时，

2x2x1，

f(x)令

12x(x3)1x1(x1)2(x1)2=0得

且在上单调递减，在上单调递增，

此时的最小值为 （6分）

ln(x1)（2）由（1）知当时恒成立，即

2x20x1恒成立；

f(x)ln(x1)所以当，时，符合要求

22ax2ln(x1)x20x1x1

12ax2(2a1)xa1f(x)a22x1(x1)(x1)当时，

由于方程的，所以该方程有两个不等实根，且。由知。

在上单调递减。 若，则，矛盾；

若，则，也与条件矛盾。

综上可知，的取值范围为 （12分） 【思路点拨】（1）当a=1时，f（x）=lnx++x﹣3，定义域为（0，+∞）．．由此利用导数性质能求出函数f（x）的最小值．

（2）当a=1时，f（x）=lnx++x﹣3≥0恒成立；当a≥1且x∈[1，3]时，f（x）=lnx++ax﹣3+（a

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﹣1）x≥lnx++x﹣3≥0恒成立；当0＜a＜1时，=，由此利用导数性质能求出实数a的取值范围． 【题文】2 1. （本题满分12分）已知椭圆C中心为坐标原点，焦点在轴上，过点，离心率为。 （1）求椭圆C的方程。

（2）若为椭圆C上的动点，且（其中为坐标原点）。求证：直线与定圆相切。并求该圆的方程与面积的最小值。

【知识点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．H5 H8 【答案】【解析】（1）（2）

解析：（1）椭圆方程： （4分）

BOBcos(),OBsin()22,即BOBsin,OBcos。 （2）可由设，sin21cos2122cos,sin2244OAOB2将A,B代入椭圆方程后可得：

OAOB两式相加可得：=

AB边上的高为= AB与定圆相切

2OAOB22AB222OAOB

1同时：

OA21OB2524OAOB，

，当且仅当时取等。 （12分）

【思路点拨】（1）先设出椭圆方程，然后利用已知条件联立组成方程组即可；（2）先由，再将A,B代入椭圆方程，两式相加可判断出AB与定圆相切，再求出面积的最小值即可。 【题文】22. （本题满分12分）已知数列的前项之积满足条件：（1）为首项为2的等差数列；（2）。

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足，其前项和为。求证：对任意正整数，有 【知识点】数列的通项；数列的前n项和。D1 D4 【答案】【解析】（1）；（2）见解析 解析：（1）设数列公差为,则

112(n1)1n1,TnTnn1

由方程可得，

1Tnannn11Tn1n1n当时，，当时，符合

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（5分）

n2n2nn2()nnn(n2)n(n1)2n2n1bnan0n2n2n1nnnnn2n1n2n1（2）注意到：

同时，由上面可知：

n2n2n2n2n21111(n2)n(n1)2(n2)n(n1)2(n2)n(n1)2bn()nn2(n1)(n2)2n1n2nn22n1n1n2n1Snb1b2b31111()22n24bn11111()22334(11)n1n2 （12分）

【思路点拨】（1）设数列公差为,则

由方程可得，继而可得结果；（2）先判断出，再结合证明即可。

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