半角模型题

半角模型题

Prepared on 24 November 2020

半角模型

例1(海淀201405-8) 如图，点P是以O为圆心， AB为直径的半圆的中点，AB=2，等腰直角三角板45°角的顶点与点P重合， 当此三角板绕点P旋转时，它的斜边和直角边所在的直线与直径AB分别

相交于C、D两点．设线段AD的长为x，线段BC的长为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是

A B C D

例2.(海201311-24)．已知在△ABC中，ACB90，CACB62，

ACODBPCDAB于D，点E在直线CD上，DECD，点F在线段AB上，M是DB的中点，直线AE与直线CF交于N点.

（1）如图1，若点E在线段CD上，请分别写出线段AE和CM之间的位置关系和数量关系：___________，___________；

（2）在（1）的条件下，当点F在线段AD上，且AF2FD时，求证：

12CNE45；

（3）当点E在线段CD的延长线上时，在线段AB上是否存在点F，使得

CNE45．若存在，请直接写出AF的长度；若不存在，请说明理由．

CCNEAFDMBA

DB

图1 备用图 24. （本小题满分8分）

（1）AE⊥CM，AE=CM

（2）如图，过点A作AG⊥AB,且AG=BM,，连接CG、FG,延长AE交CM于H.

∵ACB90,CACB62,

∴∠CAB=∠CBA=45°，AB=CA2CB212. ∴∠GAC=∠MBC=45°. ∵CDAB,

∴CD=AD=BD=AB6. ∵ M是DB的中点, ∴BMDM3. ∴AG3. ∵AF2FD,

∴AF4，DF2.

∴FMFD+DM2+3=5. ∵AG⊥AF,

∴FGAG2+AF232+42=5.

∴FGFM.

在△CAG和△CBM中， ∴△CAG≌△CBM．

∴CGCM,ACGBCM．

∴MCGACM+ACGACM+BCM90．在△FCG和△FCM中， ∴△FCG≌△FCM． ∴FCGFCM． ∴FCH45.

由（1）知AE⊥CM， ∴CHN90 ∴CNE45. （3）存在.

AF=8.

GHNEC12AFDMB例3．(平谷201405-24)（1）如图1，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，∠EAF=45°，连接EF，

则EF、BE、FD之间的数量关系是：EF=BE+FD．连结BD，交AE、AF于点M、N，且MN、BM、DN满足MN2BM2DN2，请证明这个等量关系；

（2）在△ABC中， AB=AC，点D、E分别为BC边上的两点．

①如图2，当∠BAC=60°，∠DAE=30°时，BD、DE、EC应满足的等量关系是__________________；

1②如图3，当∠BAC=，(0°<<90°)，∠DAE=时，BD、DE、EC应满足

2的等量关系是____________________．【参考：sin2cos21】

B24． (1) 在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，

E∠ABM=∠ADN=45°．

把△ABM绕点A逆时针旋转90°得到ADM． 连结NM．则DMBM，AM'AM，,

ADMABM45，DAMBAM．

C ∵∠EAF=45°，∴∠BAM+∠DAN=45°,

∠DAM′+∠DAF=45°, M'ANMAN45． ∴AM'N≌AMN． ∴M'N=MN．

在DM'N中，M'DNADNADM'90, ∴MN2DN2BM2

（2）① DE2BD2BDECEC2； - ② DE2BD22cosBDECEC2

AMNM'FD例4.半角模型的应用: (2012西城期末改编)．如图1，平面直角坐标系xOy中，

1抛物线yx2bxc与x轴交于A、B两点，点C是AB的中点，CD⊥

2AB且CD=AB．直线BE与y轴平行，点F是射线BE上的一个动点，连接

AD、AF、DF.

9（1）若点F的坐标为（，1），AF=17. 2 ①求此抛物线的解析式；

②点P是此抛物线上一个动点，点Q在此抛物线的对称轴上，以点A、

F、P、Q为顶点构成的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐

标；

（2）若2bc2，b2t，且AB的长为kt，其中t0．如图2，当∠

DAF=45°时，求k的值和∠DFA的正切值.