平均值关系在不等式有关问题中的应用

JournalofYanglingVocational&TechnicalCollege

杨凌职业技术学院学报

Vol.7󰀁No.2Jun.2008

平均值关系在不等式有关问题中的应用

沈积怀1,李芳霞2

(1.杨凌职业技术学院,陕西杨凌󰀁712100;2.杨凌中学,陕西杨凌󰀁712100)

摘󰀁要:不等式的证明及应用,是数学中的重要内容。本文从证明方法、应用思路方面对此作了讨论,扩充了平均值不等式的应用范围,密切了相关知识联系,突出了󰀁平均值󰀁的思想方法。关键词:平均值;不等式证明;应用

中图分类号:O122.3󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁文献标识码:A󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁文章编号:1671-9131(2008)02-0048-04

TheApplicationofMeanValueRelationinInequalityProblems

SHENJ-ihuai1,LIFang-xia2

(1.YanglingVocationalandTechnicalCollege,Yangling,Shaanxi712100,China;

2.YanglingMiddleSchool,Yangling,Shaanxi712100,China)

Abstract:Theproofandapplicationofinequalityareofimportanceinmathematics.Thepaperdiscussedtheproofmethodsandapplicationconceptsofinequalitytoenlargetheapplicationfieldofinequalityofmeanvalues,connecttherelatedknowledgeandemphasizethethoughtwaysof󰀁meanvalues󰀁.

Keywords:meanvalue;proofofinequalities;application

󰀁󰀁众所周知,不等式内容中,算术平均值-几何平均值的关系是十分重要和基本的一个定理。如果进一步分析,这一关系中所蕴含的󰀁平均值󰀁思想,是解决一类不等式问题的重要方法,本文就此做一些初步探讨,不妥之处望大家多加指正。

1󰀁算术平均值-几何平均值定理的证明

由任何实数的平方均为非负数,可引出:

a+b󰀁ab󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁(1)2

证明:由任何实数的平方均为非负数之结论,可知在时,则

2a+b(a-b)󰀁0󰀁󰀁ab2

很显然,在上式中等号仅在时成立。

a+b+c3

命题2:若a>0,b>0,c>0,则󰀁abc󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁(2)

3

证明:设A=a+b+c,则在a>0,b>0,c>0时有

3

a+b+cA=>0󰀁a+b+c=3A

3

a+b+c+A1a+bc+A故a+b+c+A=4A󰀁A==+

4222

由于及A均为正数,故逐次应用(1)式结论有:

41a+b+c+A󰀁1ab+1cA󰀁ab󰀁cA=abcA

22222命题1:若a>0,b>0,则(a-b)󰀁0󰀁

2

*

收稿日期:2005-12-09

作者简介:沈积怀(1955-),男,陕西岐山县人,副教授。第2期󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁沈积怀等:平均值关系在不等式有关问题中的应用

3

49

于是有A󰀁abc

󰀁󰀂A󰀁abc

a+b+ca+b+c3

代入A=,可得󰀁abc

33

这样,我们就证得了三个正数的算术-几何平均值关系。同样,对于四个正数,五个正数,󰀁󰀁等对应的算术-几何平均值关系均可仿上述证明方法证之,其核心是构造算术平均值应用公式(1)。对于奇数个正数的算术-几何平均值关系的证明,可用类似于命题2证明方法证之,故此处不再推证。

nnn-1

命题3:若a、b均为实数,且a>0,a+b>0,则(a+b)󰀁a+nab󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁(3)

2222

证明:(用数学归纳法证)当n=2时,我们即有:(a+b)=a+2ab+b󰀁a+2ab,此时(3)式成立。

kkk-1

设n=K时,(3)式成立,即(a+b)󰀁a+Kab,

k+1k

由此可知当n=K+1时,由(a+b)=(a+b)(a+b)应用归纳假设,可得:

k+1kK+1K+1KK-12

(a+b)󰀁(a+Kab)(a+b)=a+(K+1)ab+Kab

K-12K+1K+1K

又由a>0可知Kab󰀁0,故可得(a+b)󰀁a+(K+1)ab。由归纳法原理知,对一切n󰀁2,命题3均成立。

a1+a2+󰀁+ann+

命题4:若n󰀁N,ai>0,i=1,2,3󰀁󰀁,n,则󰀁a1a2󰀁an

n

a1+a2+󰀁+an

证明:设An=,Gn=a1a2󰀁an,则

n

当n=2时,由命题1知该命题成立;当n=3时,由命题2知该命题也成立;设n=K时,命题成立,即Ak󰀁Gk

a1+a2+󰀁+ak

则n=K+1当时,由K个正数的算术平均值Ak=可得

K

a1+a2+󰀁+ak=Kak而

a1+a2+󰀁ak+ak+1KAk+ak+1(K+1)Ak+ak+1-Akak+1-Ak

Ak+1====Ak+

K+1K+1K+1K+1ak+1-Ak

即Ak+1=Ak+

K+1

对上式两边取(K+1)次乘方,由以上所证之命题和归纳假设,可得

aK+1-AKK+1aK+1-AK

(AK+1)K+1=(AK+)󰀁(AK)K+1+(K+1)(AK)K=aK+1(AK)󰀁aK+1(GK)K

K+1K+1

即󰀁(AK+1)K+1󰀁aK+1󰀁a1󰀁a2󰀁󰀂aK󰀁󰀂AK+1󰀁a1󰀁a2󰀁aK󰀁aK+1󰀁

即证得AK+1󰀁GK+1,其中等号可由aK+1-AK=0及a1=a2=󰀁=aK推得仅当a1=a2=󰀁=aK=aK+1

时等号成立。

na1+a2+󰀁+an

综上所述,对于n󰀁2的一切自然数,󰀁a1a2󰀁an式都成立。

n

K+13

2󰀁应用举例

著名美籍匈牙利数学家、教育家波利亚在其重要著作󰀁数学的发现󰀁一书中指出:󰀁任何一门学问都是由知识和技能所组成󰀁。󰀁在数学中,技能比仅仅掌握一些知识重要得多󰀁。虽然算术-几何平均值关系非常简明,如果恰当运用,则可解决许多看似繁难的问题,如果形式的应用,也可能达不到解决问题的目的。所以运用的技能和依据的思维方法显得至关重要。

例1󰀁a,b,c为实数,且a+2b+3c=12,求a2+2b2+3c2的最小值。

12解:对于本题的解决,若把条件a+2b+3c=12看作是a+b+b+c+c+c=12,取其平均值=2,作如

6

下处理:设a=x+2,b=y+2,c=z+2,则

a+2b+3c=(x+2)+2(y+x)+3(z+2)=12由此得x+2y+3z=0。

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杨凌职业技术学院学报󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁第7卷

第2期󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁沈积怀等:平均值关系在不等式有关问题中的应用

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󰀁󰀁cos10󰀁+4󰀁(1)5󰀁5cos2󰀁

2165151故sin10󰀁󰀁sin2󰀁-4󰀁()5,cos10󰀁󰀁cos2󰀁-4󰀁()5

162162101052215

󰀁󰀂sin󰀁+cos󰀁󰀁16(sin󰀁+cos󰀁)-2󰀁4󰀁(2)

1即󰀁sin10󰀁+cos10󰀁󰀁

16

a1+a2+󰀁+ann

现在,我们给出󰀁a1a2󰀁an式的另一种证明方法。这个方法象上面例4、例5所作那

n

样,适当增添了有关项,以便于应用于平均值关系的已知结论,同时又象本文开始那样,突出了两个正数算术平均值不小于几何平均值的关系应用。依然用数学归纳法证明。

a1+a2

证:n=2时,有-a1a2=1[(a1)2+(a2)2-2a1a2]=1[a1-a2]2󰀁0

222

a1+a2

󰀁󰀂󰀁a1a2

2

即󰀁n=2该式成立。

假设当n=K时,命题成立,则有

以上两项均为正数,利用两正数的算术-平均关系,于是我们得到:K󰀁

K

K

aa2󰀁aK+K󰀁

K2K

KaK+1󰀁(a1a2󰀁aKaK+1)K+1󰀁aK+1󰀁(a1a2󰀁aKaK+1)K+1=

K-1K-1K-1K-1K󰀁W2󰀁K󰀁2󰀁K󰀁2󰀁K󰀁

2K2K

aa2󰀁aK󰀁

aa2󰀁aKaK+1󰀁(a1a2󰀁aKaK+1)K+1=aa2󰀁aKaK+1K+1+1=aa2󰀁aKaK+1K+1=

12K2󰀁K󰀁(a1a2󰀁aKaK+1)K+12󰀁K󰀁故a1+a2+󰀁+aK+aK+1󰀁2K󰀁

K+1

K+1

a1a2󰀁aKaK+1

a1a2󰀁aKaK+1-(K-1)󰀁

K+1

K+1

a1a2󰀁aKaK+1=

󰀁(K+1)󰀁a1a2󰀁aKAK+1

a1+a2+󰀁+aK+aK+1K+1

󰀁󰀂󰀁a1a2󰀁aKaK+1

K+1

a1+a2+󰀁+ann即󰀁a1a2󰀁an也适用于n=K+1的情况。

n

a1+a2+󰀁+ann

由数学归纳法可知,󰀁a1a2󰀁an对n󰀁2,n󰀁N均成立。式中的等号仅在

n

a1=a2=󰀁=aK及aK+1=a1a2󰀁aKaK+1时成立。当然,平均值不等式关系还有许多应用,其󰀁平均值󰀁思想方法对于解决以上所举类型问题,方法简练且有规律可循。有鉴于此,故笔者列举出来,与大家共同探讨。

k+1