高中数学数列知识点总结

高中数学数列知识点总结

1.等差数列的有关概念：

（1）等差数列的判断方法：定义法an1and(d为常数）或an1ananan1(n2)。

（2）等差数列的通项：ana1(n1)d或anam(nm)d。

如等差数列{an}中，a1030，a2050，则通项an ；

n(a1an)n(n1)Snna1d22，。

（3）等差数列的前n和：

Sn（4）等差中项：若a,A,b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且

Aab2。

提醒：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、

d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，a2d,ad,a,ad,a2d…（公差为d）；偶数个数成等差，可设为…，a3d,ad,ad,a3d,…（公差为2d）

2.等差数列的性质：

（1）当公差d0时，等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n和

Snna1n(n1)dddn2(a1)n222是关于n的二次函数且常数项为0.

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（2）若公差d0，则为递增等差数列，若公差d0，则为递减等差数列，若公差d0，则为常数列。

（3）当mnpq时,则有

amanapaq，特别地，当mn2p时，则有

aman2ap.

(4) 若是等差数列，则Sn,S2nSn,S3nS2n ，…也成等差数列

如等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 。

Anf(n)AnBn{an}{bn}Bn（5）若等差数列、的前和分别为、，且n，

an(2n1)anA2n1f(2n1)b(2n1)bBn2n1则n.

anSn3n1SnTnanbnbT4n3n如设{}与{}是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若n，那么n___________；

(6)“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，

an0an0或a0a0n1n1确定出前多少项为非负n前项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组（或

非正）；法二：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性nN。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？

*3.等比数列的有关概念：

an1an1aq(q为常数）n（1）等比数列的判断方法：定义法an，其中q0,an0或anan1(n2)。

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（2）等比数列的通项：

ana1qn1或

anamqnm。

如设等比数列{an}中，a1an66，a2an1128，前n项和Sn＝126，求n和公比q.

a1(1qn)a1anqSnSna1qq1q11q。 1；当（3）等比数列的前n和：当时，n时，

如等比数列中，q＝2，S99=77，求a3a6a99；

特别提醒：等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分q1和q1两种情形讨论求解。

（4）等比中项：若a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项。

4.等比数列的性质：

amanapaqamanap2mn2pmnpq（1）当时，则有，特别地，当时，则有.

如①在等比数列{an}中，a3a8124,a4a7512，公比q是整数，则a10=___；

②各项均为正数的等比数列{an}中，若a5a69，则log3a1log3a2log3a10 。

(2) 若{an}是等比数列，则数列Sn,S2nSn,S3nS2n ，…也是等比数列。

如在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，若S3013S10,S10S30140，则S20的值为___ ；

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(3)若a10,q1，则{an}为递增数列；若a10,q1, 则{an}为递减数列；若a10,0q1 ，则{an}为递减数列；若a10,0q1, 则{an}为递增数列；若q0，则{an}为摆动数列；若q1，则{an}为常数列.

(4)如果数列{an}既成等差数列又成等比数列，那么数列{an}是非零常数数列，故常数数列{an}仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。

5.数列的通项的求法：

⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

11113,5,7,9,如已知数列481632试写出其一个通项公式：__________；

⑵已知

Sn（即

a1a2anf(n)）求

an，用作差法：

anS1,(n1)SnSn1,(n2)。

如①已知{an}的前n项和满足log2(Sn1)n1，求an；

11aa122{an}2②数列满足21a2n5nn2，求an

f(1),(n1)f(n)an,(n2)f(n1)a1a2a3...anf(n)an⑶已知求，用作商法：。

如数列

{an}a1a2a3ann2a1,n21中，对所有的都有，则a3a5______ ；

⑷若an1anf(n)求an用累加法：an(anan1)(an1an2)(a2a1)

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a1(n2)。

1n1n(n2)，则an=________ ；

如已知数列{an}满足a11，

anan1an1aaf(n)annn1an1an2⑸已知an求an，用累乘法：

a2a1a1(n2)。

如已知数列

{an}Snn2anSna2n1中，，前项和，若，求an

⑹已知递推关系求

an，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如

ankan1b、

ankan1bn（k,b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an。

如已知a11,an3an12，求an；

an1kan1b的递推数列都可以用倒数法求通项。

（2）形如

an如已知

a11,anan13an11，求an；

注意：（1）用anSnSn1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n2，当n1时，a1S1）；

（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式anSnSn1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解。

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5a4,SSan11nn1{an}3如数列满足，求an；

6.数列求和的常用方法：

（1） 公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，

特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：

123n1n(n1)12222，

n21n(n1)(2n1)1323336，

n3[n(n1)2]2.

如等比数列{an}的前n项和Sｎ

＝2ｎ－１，则a12222a2a3an＝_____ ；

（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.

如求和：

Sn1357(1)n(2n1)

（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n和公式的推导方法）.

x2111f(x)f(1)f(2)f(3)f(4)f()f()f()21x234如 已知，则＝______；

（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n和公式的推导方法）.

如 设{an}为等比数列，Tnna1(n1)a22an1an，已知T11，T24，①求数列{an}的首项和公比；

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②求数列{Tn}的通项公式.；

（5）裂项相消法：如果数列的通项可“成两项差”的形式，且相邻项后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：

11111(11)①n(n1)nn1； ②n(nk)knnk；

111447如①求和：

1(3n2)(3n1) ；

②在数列{an}中，

an1nn1，且Sｎ＝９，则n＝_____ ；

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