第四章 删繁就简 回避讨论

第一节 避开讨论因素

例题1：设00且a≠1,试比较loga1x与loga1x的大小。 分析与解：a为讨论因素，那么消去a，则避开了讨论因素。利用换底公式有

loga1xloga1xlog1x1xlog1x1xlog1x1xlog1x1x1， 21x1 1x =log1x 所以loga1xloga1x。

例题2：求过圆xyr上一点M（x0,y0）的切线方程。

分析与解：设方程为yy0kxx0就要涉及斜率，如果没有讨论，则是以偏概全，那 么可不可以避开讨论呢？可以

设P（x，y）为切线上任意一点，则OPOMPM, 即xyr+xx0yy0，

22222222222 整理得切线方程 x0xy0yr2。

第二节 变更主元位置

例题：已知方程ax2a3xa20中的a为负整数，试求使此方程的解至少有一个

2 为整数时的a值。

分析与解：如果我们按照通法，则xa3a94a，就要讨论a，繁冗。

如果我们把它看成a的方程，那么问题就好解决了。 由题有 x1a26x，显然x≠1故a226x ........II

x122 要a为负整数，则必有x126x，即x8x30，

2 解不等式得 413x413。 而x的允许值为2、3、4、5、6、7，

带入II可得 a=-10，-4.（不符号题意，已舍去）

第三节 利用换元替换 例题：解不等式x1x3。 分析与解：令x-1=u，则uu22

uu2或u2u1u2或2u1 2u20u40x14 1x5。

第四节 利用函数思想 例题：解不等式208xx2>x-5.

分析与解：如何避免对x-5正负的讨论，我们可以这样 设fx=208xx2-（x-5），

由函数定义域为［-10,2］知x-5<0，fx>0， 所以不等式的解为［-10,2］。

第五节 利用补集思想

例题：若关于x的方程：x4ax4a30,xa1xa0,x2ax2a0中

22222222 至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围。

分析与解：由于正面入手讨论是不可避免的，那么我们不如求使得三个方程都没有实根的a 的取值范围的补集。 过程略。

第六节 利用定题 例题1：解方程

x3x3≥。 2x112xx3≥0， 12x1. 22分析与解：不用讨论，直接用绝对值的定义有

即x312x012x0，方程解为-3≤x<

2例题2：设x44xlogxy2，求uxy3y2x的值。 分析与解：看似复杂，但是如果我们注意到根式，命题就好解决了； 由偶次根式知x=4y16，带入有u=1200.

kk例题3：设方程axbxc0的两根的k次方之和为skx1k1,2,3， x22 求证 as3bs2cs1=0.

分析与解：直接计算比较困难，但axbxc0，我们可以整体处理；

332 as3bs2cs1=ax1x2bx12x2cx1x2 22 =x1ax1bx1cx2ax2bx2c=0.

2例题4：设x2y2=25，求u8y6x508y6x50的最大值。

分析与解：由式子特征知道，若将25=xy带入根号，则可以构成两个两点间的距离， 这样就将代数问题转换为几何问题了，求解就简单了。 u =

22x2y28y6x25x2y28y6x25

x-32y42x32y42，

设P（x，y）、A（3，-4）、B（-3，-4）则我们有：uPAPB, 且A、B、P三点都在圆xy=25上； 故由正弦定理 有uPAPB=10（SinA +Sin B） =20Sin

22ABABCos 22 当且仅当A=B时，有最大值，此时P（0，5）， 故umax=610。