2012年 四川高考 理科数学 试题及答案 word版

2012年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）

数 学（理工类）

参考公式：

如果事件互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) S=4pR2

如果事件相互，那么 其中R表示球的半径 P(A?B)P(A)P(B) 球的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么 V=43pR3 在n次重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径

Pkkn(k)=Cnp(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)

第一部分 （选择题 共60分）

注意事项：

1、选择题必须使用2B铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。 2、本部分共12小题，每小题5分，共60分。

一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、(1x)7的展开式中x2的系数是（ ）

A、42 B、35 C、28 D、21

(1i)22、复数

2i（ ） A、1 B、1 C、i D、i

x293、函数f(x)x3,x3在x3处的极限是（ ）

ln(x2),x3A、不存在 B、等于6 C、等于3 D、等于0

4、如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE1，连接EC、ED，则sinCED（ DCEAB

A、31010 B、1010 C、5510 D、15 1

）

5、函数yax1(a0,a1)的图象可能是（ ） a

A B C D 6、下列命题正确的是（ ）

A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

ab7、设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）

|a||b|A、ab B、a//b C、a2b D、a//b且|a||b|

8、已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2,y0)。若点M到该抛物线焦点

的距离为3，则|OM|（ ）

A、22 B、23 C、4 D、25 9、某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产

品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ） A、1800元 B、2400元 C、2800元 D、3100元

2

10、如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面内，过点O作平面的垂线交半球面于点A，过圆O

的直径CD作平面成45角的平面与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为B，该

交线上的一点P满足BOP60，则A、P两点间的球面距离为（ ）



A、RarccosRR23 B、 C、Rarccos D、

434311、方程ayb2x2c中的a,b,c{3,2,0,1,2,3}，且a,b,c互不相同，在所有这些方程所表示的曲

线中，不同的抛物线共有（ ）

A、60条 B、62条 C、71条 D、80条 12、设函数f(x)2xcosx，{an}是公差为

2[f(a3)]a1a3（ ）

的等差数列，f(a1)f(a2)f(a5)5，则8A、0 B、

12113 C、2 D、2 16168第二部分 （非选择题 共90分）

注意事项：

（1）必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，

确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。 （2）本部分共10个小题，共90分。

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题纸的相应位置上。） 13、设全集U{a,b,c,d}，集合A{a,b}，B{b,c,d}，则(CUA)(CUB)___________。

M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN 14、如图，在正方体ABCDA1BC11D1中，

所成角的大小是____________。

D1A1DAB1NCBC1M

3

x2y215、椭圆直线xm与椭圆相交于点A、B，当FAB的周长最大时，FAB 1的左焦点为F，

43的面积是____________。

16、记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]2，[1.5]1，[0.3]1。设a为正整数，数列{xn}

ax[nx]n(nN)，现有下列命题： 满足x1a，xn12①当a5时，数列{xn}的前3项依次为5,3,2； ②对数列{xn}都存在正整数k，当nk时总有xnxk； ③当n1时，xna1；

④对某个正整数k，若xk1xk，则xn[a]。 其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号）

三、解答题（本大题共6个小题，共74分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。） 17、（本小题满分12分）

某居民小区有两个相互的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为

1和p。 1049，求p的值； 50（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为

（Ⅱ）设系统A在3次相互的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数

学期望E。

4

18、（本小题满分12分）

函数f(x)6cos2x23cosx3(0)在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，

B、C为图象与x轴的交点，且ABC为正三角形。

（Ⅰ）求的值及函数f(x)的值域； （Ⅱ）若f(x0)10283，且x0(,)，求f(x01)的值。

335

19、（本小题满分12分）

如图，在三棱锥PABC中，APB90，PAB60，ABBCCA，平面PAB平面ABC。

（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成角的大小； （Ⅱ）求二面角BAPC的大小。

PCA

B

20、(本小题满分12分) 已知数列{an}的前n项和为Sn，且a2anS2Sn对一切正整数n都成立。

（Ⅰ）求a1，a2的值； （Ⅱ）设a10，数列{lg

10a1}的前n项和为Tn，当n为何值时，Tn最大？并求出Tn的最大值。 an 5

21、(本小题满分12分)

BA2MAB如图，动点M到两定点A(1,0)、B(2,0)构成MAB，且M（Ⅰ）求轨迹C的方程；

，设动点M的轨迹为C。

（Ⅱ）设直线y2xm与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ||PR|，求

值范围。

|PR|的取|PQ|yMAOBx

22、(本小题满分14分)

an已知a为正实数，n为自然数，抛物线yx与x轴正半轴相交于点A，设f(n)为该抛物线

22在点A处的切线在y轴上的截距。 （Ⅰ）用a和n表示f(n)；

f(n)1n3（Ⅱ）求对所有n都有成立的a的最小值； 3f(n)1n1（Ⅲ）当0a1时，比较

k1n27f(1)f(n)1与的大小，并说明理由。 4f(0)f(1)f(k)f(2k) 6

参

一、选择题：本题考查基本概念和基本运算。每小题5分，满分60分。

1. D 2. B 3. A 4. B 5. D 6. C 7. C 8. B 9. C 10. A 11. B 12. D

二、填空题：本题考查基础知识和基本运算。每小题4分，满分16分。

13. {a,c,d} 14. 90 15. 3 16. ①③④ 三、解答题

17. 本小题主要考查相互事件、重复实验、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相

关计算，考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力。 解：（I）设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么

1P(C)1解得p

149p 10501

…………………………………………………………………………4分 5

0（II）由题意，P(0)C3(131) 101000127112P(1)C3()(1)

10101000P(2)C3211243(1)2 1010100013729) 1010003P(3)C3(1所以，随机变量的概率分布列为

 P 0 1 2 3 1 100027 1000243 1000729 1000故随机变量的数学期望：

E012724372927123…………………………..12分 10001000100010001018．本小题主要考查三角函数的图像与性质、同角三角函数的关系、两角和的正（余）弦公式、二倍角

7

公式等基础知识，考查运算能力，考查数形结合、化归与转化等数学思想。 解：（I）由已知可得，f(x)3cosx3sinx23sin(x又正三角形ABC的高为23，从而BC4 所以函数f(x)的周期T428，即

3)

28,4

函数f(x)的值域为[23,23]………………………………………………..6分 （II）因为f(x0)83，由（I）有 5f(x0)23sin(由x0(所以cos(故

x0x483，即sin(0) )4335x102,)，知0(,) 334322x043)1()2 4355x0x)23sin[(0)]443434xx23[sin(0)coscos(0)sin]

43443442327623()52525f(x01)23sin(……………………………………………………………………………………12分

19. 本小题主要考查线面关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查思维能力、空间想象能力，

并考查应用向量知识解决数学问题的能力。 解法一：

（I）设AB的中点为D，AD的中点为O，连接PO、CO、CD，

由已知，PAD为等边三角形， 所以POAD

又平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABCAD， 所以PO平面ABC

所以OCP为直线PC与平面ABC所成的角

不妨设AB4，则PD2,CD23,OD1,PO3 在RtOCD中，COOD2CD213 8

所以，在RtPOC中，tanOCPPO339 CO131339………………………….6分 13故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arctan（II）过D作DEAP于E，连接CE

由已知可得，CD平面PAB 根据三垂线定理知，CDPA

所以CED为二面角BAPC的平面角 由（I）知，DE3 在RtCDE中，tanCEDCD232 DE3故二面角BAPC的大小为arctan2…………………………………………12分

解法二：

（I）设AB的中点为D，作POAB于点O，连结CD

因为平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AD， 所以PO平面ABC 所以POCD

由ABBCCA，知CDAB

设E为AC中点，则EO//CD，从而OEPO,OEAB

如图，以O为坐标原点，OB、OE、OP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Oxyz，不妨设PA2，由已知可得，AB4,OAOD1,OP3,CD23 所以O(0,0,0),A(1,0,0),C(1,23,0),P(0,0,3)

所以CP(1,23,3)，而OP(0,0,3)为平面ABC的一个法向量

设a为直线PC与平面ABC所成的角，

CPOP0033||则sina| |4CPOP163故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arcsin3…………………………….6分 4（II）由（I）有，AP(1,0,3),AC(2,23,0)

设平面APC的一个法向量为n(x1,y1,z1)，则

9

(x1,y1,z1)(1,0,3)0nAP0nAP nACnAC0(x1,y1,z1)(2,23,0)0x13z10从而

2x123y10取x13，则y11,z11，所以n(3,1,1) 设二面角BAPC的平面角为，易知为锐角 而面ABP的一个法向量为m(0,1,0)，则

cos|nm15 ||||n||m|53115………………………………………….12分 5故二面角BAPC的大小为arccos20. 本小题主要考查等比数列、等差数列、对数等基础只是，考查思维能力、运算能力、分析问题与解决

问题的能力，考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想 解：

（I）取n1，得a2a1S2S12a1a2 ①

取n2，得a222a12a2 ② 由②①，得a2(a2a1)a2 ③ （1）若a20，由①知a10

（2）若a20，由③知a2a11 ④ 由①、④解得，a121,a222；或a112,a222 综上可得，a10,a20；或a121,a222；或a112,a222……5分 （II）当a10时，由（I）知a121,a222

当n2时，有(22)anS2Sn,(22)an1S2Sn1， 所以(12)an(22)an1，即an2an1(n2)， 所以ana12令bnlgn1(21)(2)n1

1110010a1n1，则bn1lg(2)1(n1)lg2lgn1

222an1lg2），从而 2所以数列{bn}是单调递减的等差数列（公差为 10

b1b2...b7lg10lg10 811001lglg10， 21282当n8时，bnb8故n7时，Tn取得最大值，且Tn的最大值为

T77(b1b7)7(113lg2)217lg2……………………………………….12分 22221. 本小题主要考查直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识，考查思维能力、运算能力，考查函数、

分类与整合等数学思想，并考查思维的严谨性。 解：

（I）设M的坐标为(x,y)，显然有x0，且y0

当MBA90时，点M的坐标为(2,3)

当MBA90时，x2，由MBA2MAB，有

|y|2tanMAB|y|x1 tanMBA，即21tanMABx21(|y|)2x12化简可得，3x2y230

而点(2,3)在曲线3xy30上

综上可知，轨迹C的方程为3xy30(x1)…………………………………5分

2222y2xm,（II）由2消去y，可得 23xy30x24mxm230 （*）

由题意，方程（*）有两根且均在(1,)内，设f(x)x4mxm3

224m2122所以f(1)14mm30

(4m)24(m23)0解得，m1，且m2

设Q、R的坐标分别为(xQ,yQ),(xR,yR)，由|PQ||PR|有

xR2m3(m21),xQ2m3(m21)

11

1)2|PR|xR2m3(m1)4m1所以

|PQ|xQ2m3(m21)1123(12)23(12)mm223(1由m1，且m2，有

11423(11)2m743且1423(11)2m7

所以

|PR|的取值范围是(1,7)(7,743)………………………………………..12分 |PQ|22. 本小题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识，考查思维能力、运算能力、分析问题与解决

问题的能力和创新意识，考查函数、转化与化归、特殊与一般等数学思想方法。 解：

1an（I）由已知得，交点A的坐标为(,0)，对yx2an求导得y2x，则抛物线在点A处的切

22an线方程为y2a(x)，即y2anxan，则f(n)an……………3分

2nf(n)1n3n3（II）由（I）知f(n)a，则成立的充要条件是a2n1 3f(n)1n1n即知，a2n1对所有n成立，特别地，取n2得到a17 当a17，n3时，

123an4n(13)n1Cn3Cn32Cn33...

n31231Cn3Cn32Cn33

112n3n[5(n2)2(2n5)]

22n31

当n0,1,2时，显然(17)n2n31

f(n)1n3故a17时，对所有自然数n都成立 3f(n)1n1所以满足条件的a的最小值为17…………………………………………………..8分 （III）由（I）知f(k)a，则

kk1nn11f(1)f(n)aan k,2kf(k)f(2k)k1aaf(0)f(1)1a 12

n下面证明：

1f(k)f(2k)27f(1)f(n)4f(0)f(1) k1首先证明：当0x1时，127xx24x 设函数g(x)274x(x2x)1,0x1 则g(x)814x(x23) 当0x23时，g(x)0；当23x1时，g(x)0 故g(x)在区间(0,1)上的最小值g(x)2ming(3)0 所以，当0x1时，g(x)0，即得

1xx2274x 由0a1知0ak1(kN*)，因此

1aka2k274ak，从而

n1n1k1f(k)f(2k)k k1aa2k27n4ak k127aan141a 27aan41a 274f(1)f(n)f(0)f(1)…………………………………………………14分13