江西省重点中学协作体2014届高三第二次联考数学(理)试题

江西省重点中学协作体2014届高三第二次联考数学（理）试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集UR,集合A{x|ylog2(1x)},B{x||x|a,aR},(CUA)则实数a的取值范围是( )

A．(,1) B．(,1] C．(0,1) D．(0,1] 2.函数yB,

ln(1x)1的定义域是（ ） x1xA.[1,0)(0,1) B.[1,0)(0,1] C.(1,0)(0,1] D.(1,0)(0,1)

3.已知i为虚数单位,若复数z满足z(i2)12i,则z的共轭复数是( )

33iiA．i B．i C．5 D．5

4.关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的个数为（ ）

①将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望与方差均没有变化； ②在线性回归分析中，相关系数r越小，表明两个变量相关性越弱；

③已知随机变量服从正态分布N(5,1)，且P(46)0.6826,则P(6)0.1587;

④某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人．为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为15人.

A．1 B．2 C．3 D．4 5.已知锐角,满足：sincos1,tantan3tantan3，则,的大小关系是（ ） 6A． B． C．

4 D.

4

6.程序框图如下图所示，该程序运行后输出的S的值是（ ）

1S 是 nn1 Sn2014S3 n1 开始 1S否

输出S 结束

1

11A．3 B．2 C．3 D．2

7.等比数列{an}是递减数列，其前n项积为Tn，若T124T8，则a8a13( )

A．1 B．2 C．1 D．2 8.已知在二项式(3x2x)n的展开式中，仅有第9项的二项式系数最大，则展开式中，有理项的项数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 已知函数f(x)2xx2，Q(1,0)，过点P(1,0)的直线l与f(x)的图像交于A,B两点，则SQAB的最大值为（112A. 1 B.2 C. 3 D. 2

y 10.如图，过原点的直线l与圆x2y21交于P,Q两点，点P在第 P 一象限，将x轴下方的图形沿x轴折起，使之与x轴上方的图形成 直二面角，设点P的横坐标为x，线段PQ的长度记为f(x)，则 o x Q 函数yf(x)的图像大致是( )

二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答.若两题都做，则按所做的第一题评阅记分，本题共5分. 11（1）．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点(2,6)且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( )

A.3sin B.3cos C.sin3 D.cos3

11（2）．（不等式选讲选做题））若存在xR,,使|2xa|2|3x|1成立,则实数a的取值范围是( ) A. [2,4] B. (5,7) C. [5,7] D. (,5][7,)

2

）

第Ⅱ卷

注意事项：第Ⅱ卷须用黑色签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效. 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上. 12.已知a2,e为单位向量，当a,e的夹角为

2时，ae在ae上的投影为 . 3213.若一组数据1,2,0,a,8,7,6,5的中位数为4，则直线yax与曲线yx围成图形的面积为 .

x2y2y2x214.已知双曲线C1:221和双曲线C2:221，其中ba0,，且双曲线C1与C2的交点在两坐标轴上的

abab射影恰好是两双曲线的焦点，则双曲线C1的离心率是 . 15.对于定义在D上的函数f(x)，若存在距离为d的两条直线ykxm1和ykxm2，使得对任意xD都有

kxm1f(x)kxm2恒成立，则称函数f(x)(xD)有一个宽度为d的通道.给出下列函数： 1lnx2①f(x)；②f(x)sinx；③f(x)x1；④f(x)

xx其中在区间[1,)上通道宽度可以为1的函数有 (写出所有正确的序号).

四、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）

如图，设P1，P2，…，P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现从这六个点中任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S． （1）求S3的概率；

2（2）求S的分布列及数学期望E(S)．

17.(本小题满分12分）

P5 P6 O P4

P3

P2

P1

在ABC中，2sin2AcosAsin3A3cosA3. (1)求角A的大小；

(2)已知a,b,c分别是内角A,B,C的对边，若a1且sinAsin(BC)2sin2C, 求ABC的面积.

3

18．（本小题满分12分）

若数列an的前n项和为Sn，对任意正整数n都有6Sn12an. （1）求数列an的通项公式；

（2）若c10,且对任意正整数n都有cn1cnlog1an,

2求证：对任意n2,nN*都有 19．（本小题满分12分）

11c2c313cn4.

如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，AD2,AB1，ABC60， PA面ABCD，设E为PC中点，点F在线段PD上且PF2FD． （1）求证：BE//平面ACF；

（2）设二面角ACFD的大小为，若|cos|求PA的长．

42， 14

4

20.（本小题满分13分）

x2y222已知椭圆C:221ab0的左焦点F与抛物线y4x的焦点重合，直线xy0与以原点O为

ab2圆心,以椭圆的离心率e为半径的圆相切.

（1）求该椭圆C的方程；

（2）过点F的直线交椭圆于A,B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D,E两点．记

GFD的面积为S1，OED的面积为S2．试问：是否存在直线AB，使得S1S2？说明理由．

21．（本小题满分14分）

(xa)2已知函数f(x)（其中a为常数）.

lnx(1)当a0时，求函数的单调区间；

（2）当a1时，对于任意大于1的实数x，恒有f(x)k成立，求实数k的取值范围； (3)当0a1时，设函数f(x)的3个极值点为x1，x2，x3，且x1x2x3. 求证：x1x3＞

2 e 5

6

三、填空题：

37(ae)(ae)a2e2413712.【解析】ae在ae上的投影为：.

27|ae|7412(ae)13.

9a5【解析】由中位数的定义可得4,a3，∴直线yax与曲线yx2围成图形的面积22323031S(3xx)dx(x2x3)02314.

9. 251【解析】由题意,可得两双曲线在第一象限的交点为2 7

3． (4分) 所以，PS31232C65（2）S的所有可能取值为3，3，33．

424S3的为顶角是120的等腰三角形（如△PP，共6种， 12P3）4所以，PS3633． (6分)

4C610S33的为等边三角形（如△PP，共2种， 13P5）4所以，PS33231， ( 8分) 4C610 8



sinAsin(BC)2sin2C, sin(BC)sin(BC)4sinCcosC,

2sinBcosC4sinCcosC,,

cosC0或sinB2sinC， (8分)

①当cosC0时,C2,B6,batanB33, S1133ABC2ab2136; 9

(10分)(2)

②当sinB2sinC时,由正弦定理可得b2c, 又

由

余

弦

定

理

a2b2c22bccosA,可得

当n2时，cn(cncn1)(cn1cn2)(c2c1)c1

(2n1)(2n3)30n21 ， (9分)

11c1(11n1)n(n1)(n1)2n1 (10分) 1c111(111111111n11n1) 2c3cn232435n2n12(1121n1n1)3412(1n13n1)4 . (12分) 10

分)

所以3ycz0，取m(0,c,3)．

x3ycz0(9分)由|cos|nm4214，得23nmc242．

4c2314c47c2440，c2，所以PA2. (12分)

|00220. 【解析】(1) 依题意，得c1,e2|122,

11

PD(1,3,c)，

即

ca12,a2,b1, 所求椭圆C的方程为x2y2431. (5分) |GF||DG||GF||DG|||OE||OD|,|OE||OD|(DG||OD|)2, 即

S1S(|DG|2S1S2,|GD||OD|, (11分) 2|OD|),又 所以

(k24k223k2k24k234k23)(4k23)4k23， 整理得 8k290,因为此方程无解，

所以不存在直线AB，使得 S1S2． (13分) 21．【解析】(1) f'(x)x(2lnx1)ln2x 12

△GFD∽△OED，

13

当0a1时，h(a)2lna0，h(1)a10，

∴ 函数f(x)的递增区间有(x1,a)和(x3,)，递减区间有(0,x1)，(a,1)，(1,x3)， 此时，函数f(x)有3个极值点，且x2a； ∴当0a1时，x1,x3是函数h(x)2lnxax1的两个零点， 14

(0,1e]上单调递增,

1FxF0

e∴当0a1时，x1x3

2e. (14分)

15