2014年高考真题——理科数学(天津卷)Word版含答案

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2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学（理工类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷

注意事项：

1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2本卷共8小题，每小题5分，共40分。 参考公式：

•如果事件A，B互斥，那么

•如果事件A，B相互，那么

P(AB)P(A)P(B) P(AB)P(A)P(B).

•圆柱的体积公式VSh. •圆锥的体积公式V1Sh. 3其中S表示圆柱的底面面积， 其中S表示圆锥的底面面积，

h表示圆柱的高. h表示圆锥的高.

一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.

（1）i是虚数单位，复数

7i34i（ ）

（A）1i （B）1i （C）

17253117i （D）25725i 7xy20,（2）设变量x，y满足约束条件xy20,则目标函数zx2y的最小值为（ ）

y1, （A）2 （B）3 （C）4 （D）5

（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值为（ ）

（A）15 （B）105

（C）245 （D）945 （4）函数fx（A）0,（C）2,log1x224的单调递增区间是（ ）

（B） （D）

,0 ,2 0,b0的一条渐近线平行于直线l：y2x10，双曲线的一

x2（5）已知双曲线2ax2（A）

53x2（C）

25（6）如图，

y2b21a个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（ ）

y2203y2100x21 （B）

203x21 （D）

100y253y2251 1

ABC是圆的内接三角形，BAC的平分线交圆于点D，

交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分CBF；②FB③AECE2ACFDFA；

BEDE；④AFBDABBF.

BDFE则所有正确结论的序号是（ ）

（A）①② （B）③④ （C）①②③ （D）①②④ （7）设a,bR，则|“ab”是“aabb”的（ ）

（A）充要不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充要也不必要条件 （8）已知菱形ABCD的边长为2，BAD120，点E,F分别在边BC,DC上，BEBC，

DF（A）

DC.若AEAF1，CECF2，则3（ ）

1257 （B） （C） （D） 236122第Ⅱ卷

注意事项：

1．用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2．本卷共12小题，共110分。

24244正视图侧视图二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）

（9）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采

俯视图

用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生.

（10）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_______m.

（11）设an是首项为a1，公差为-1的等差数列，Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列，则a1的值为__________. （12）在

内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知bABC中，

3c1a，2sinB4则cosA3sinC，

的值为_______.

（13）在以O为极点的极坐标系中，圆等边三角形，则a的值为___________. （14）已知函数fx4sin和直线sina相交于A,B两点.若AOB是

x23x，xR.若方程fxax10恰有4个互异的实数根，则实

数a的取值范围为__________.

三、解答题（本题共6道大题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） （15）（本小题满分13分） 已知函数fxcosxsinx（Ⅰ）求fx的最小正周期； （Ⅱ）求fx在闭区间

32，xR. 3cosx34,上的最大值和最小值. 44

（16）（本小题满分13分）

某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学. 在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院. 现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）. （Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；

（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.

（17）（本小题满分13分） 如图，在四棱锥PABCD中，PADC；

底面ABCD，ADAB，AB//DC，ADDCAP2，

AB1，点E为棱PC的中点.

（Ⅰ）证明 BE（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值； （Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF求二面角F

AC，

ABP的余弦值.

（18）（本小题满分13分）

x2y2设椭圆221（ab0）的左、右焦点为F1,F2，右顶点为A，上顶点为B.已知

abAB3F1F2. 2（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点的直线l与该圆相切. 求直线的斜率.

（19）（本小题满分14分）

已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M0,1,2,,q1，集合

,n.

Axxx1x2qxnqn1,xiM,i1,2,（Ⅰ）当q（Ⅱ）设s,t

2，nA，s3时，用列举法表示集合A；

a1a2qanqn1，tb1b2qbnqn1，其中

（20）（本小题满分14分） 已知函数fxxaexaR，xR.已知函数yfx有两个零点x1,x2，且x1x2.

（Ⅰ）求a的取值范围； （Ⅱ）证明

x2随着a的减小而增大； （Ⅲ）证明

x1x1x2随着a的减小而增大.

参及解析

一、选择题

题号 答案 1 A 2 B 3 B 4 D （ ）

5 A 6 D 7 C 8 C （1）i是虚数单位，复数

7i34i （A）1i （B）1i （C）

73i34i4i34i2517253117i （D）25725i 7解：A

7i34i25i251i.

xy20,（2）设变量x，y满足约束条件xy20,则目标函数zx2y的最小值为（ ）

y1, （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 解：B 作出可行域，如图

结合图象可知，当目标函数通过点1,1时，z取得最小值3. （3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值为（ ） （A）15 （B）105 （C）245 （D）945 解：B iy21O-22x1时，T7，S23，S105，i3；i2时，T105.

5，S15；

i3时，T4输出S（4）函数fx（A）0,（C）2,解：D x2log1x2 （B） （D）

4的单调递增区间是（ ）

,0 ,2 2或x2.由复合函数的单调性知fx的

40，解得x单调递增区间为

,2.

y2b21ax2（5）已知双曲线2a0,b0的一条渐近线平行于直线l：y2x10，双曲线的一

个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（ ）

x2（A）

53x2（C）

25y2203y2100x21 （B）

203x21 （D）

1002a5a2b2，所以ay253y22521 1

b解：A 依题意得cc2程为

5，b220，双曲线的方

x52y202A1.

（6）如图，

ABC是圆的内接三角形，BAC的平分线交圆于点D，

BDFEC交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分CBF；②FB③AECE2FDFA；

BEDE；④AFBDABBF.

则所有正确结论的序号是（ ）

（A）①② （B）③④ （C）①②③ （D）①②④ 解：D 由弦切角定理得FBD所以

EAC又BFDBAE，所以BFD∽AFB，AFB，

BFAFBD，即AFBDABABBF，排除A、C.

又FBD（7）设a,bEACDBC，排除B.

b”是“aaR，则|“abb”的（ ）

（A）充要不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充要也不必要条件 解：C 设fx“aaxx，则fxx2,xx,x200，所以fx是R上的增函数，“ab”是

bb”的充要条件.

120，点E,F分别在边BC,DC上，BE（8）已知菱形ABCD的边长为2，BADBC，

DF（A）

DC.若AEAF1，CECF2，则3（ ）

1257 （B） （C） （D） 23612120，所以ABAD解：C 因为BADABADcos1202.

因为BEBC，所以AE1，所以ABABAD，AFABAD.

因为AEAFADABAD1，即223 ① 2同理可得

2 ②，①+②得35. 6第Ⅱ卷

注意事项：

1．用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2．本卷共12小题，共110分。

二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.） （9）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生.

解：60 应从一年级抽取30024242444556正视图侧视图60名.

（10）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_______m. 解：

3

俯视图20 该几何体的体积为341322220m3. 3（11）设an是首项为a1，公差为-1的等差数列，Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列，则a1的值为__________. 解：

12 依题意得S22S1S4，所以2a112a14a16，解得a1c1a，2sinB41. 2则cosA3sinC，

（12）在

内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知bABC中，

的值为_______. 解：

1 因为2sinB4b2c2a22bc3sinC，所以2b1. 43c，解得b3c，a22c.

所以cosA（13）在以O为极点的极坐标系中，圆等边三角形，则a的值为___________.

4sin和直线sina相交于A,B两点.若AOB是

解：3 圆的方程为x2因为

y224，直线为ya.

a,a，代入圆的方程可得a3yAOB是等边三角形，所以其中一个交点坐标为

x23x，x3.

（14）已知函数fxR.若方程

fxax10恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围

为__________. 解：0显然a

（ⅰ）当y实数根. （ⅱ）当直线y此时fxa0.

1或a9

3O1xax1与yx23x相切时，a1，此时fxax10恰有3个互异的

ax1与函数yx23x相切时，a9，yax1a0恰有2个互异的实数根. 1或a9. x23x.

x14t5.

，

结合图象可知0解2：显然a1，所以at令tx1，则a4t4t5y3O1x因为t所以t,4,14,9,.

91Ot写

结合图象可得0

a1或a9.

三、解答题（本题共6道大题，满分80分．解答应出文字说明，证明过程或演算步骤．） （15）（本小题满分13分） 已知函数fxcosxsinx（Ⅰ）求fx的最小正周期；

32，xR. 3cosx34

（Ⅱ）求fx在闭区间,上的最大值和最小值. 44（15）本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式与余弦公式，三角函数的最小正周期、单调性等基础知识. 考查基本运算能力. 满分13分. （Ⅰ）解：由已知，有fxcosx1sinx23cosx23cos2x2cos2x3cos2x3 43 43 4

1sinxcosx21sin2x41sin2x41sin2x2314

3cos2x 43.

所以，fx的最小正周期T（Ⅱ）解：因为fx在区间

224,12.

上是减函数，在区间

,上是增函数. 124f41，f4121，f2444,1. 4所以，函数fx在闭区间

（16）（本小题满分13分）

上的最大值为

11，最小值为. 42某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学. 在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院. 现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）. （Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；

（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.

（16）本小题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识. 考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. 满分13分. （Ⅰ）解：设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A，则

PA12C3C703C3C73C1049. 60

所以，选出的3名同学来自互不相同学院的概率为所以，fx的最小正周期T49. 6022.

（Ⅱ）解：随机变量X的所有可能值为0，1，2，3.

Px

kk3C4C63C10kk0,1,2,3.

所以，随机变量X的分布列是

X P 随机变量X的数学期望EX

（17）（本小题满分13分） 如图，在四棱锥P0 1 2 3 1 601611 21223103 1031301 306. 5ABCD中，PADC；

底面ABCD，ADAB，AB//DC，ADDCAP2，

AB1，点E为棱PC的中点.

（Ⅰ）证明 BE（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值； （Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF求二面角F

（17）本小题主要考查空间两条直线的位置关系，二面角、直线与平面所成的角，直线与平面垂直等基础知识. 考查用空间向量解决立体几何问题的方法. 考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力. 满分13分. （方法一）

依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系（如图），可得

AC，

ABP的余弦值.

zPEyDCB1,0,0，C2,2,0，D0,2,0，P0,0,2.由E为棱PC的中点，得E1,1,1. （Ⅰ）证明：向量BEABx0,1,1，DCDC.

2,0,0，故

BEDC0. 所以，BE

（Ⅱ）解：向量BD设n1,2,0，PB1,0,2.

nBDnPB0,0,即

x,y,z为平面PBD的法向量，则

1，可得nnBEnBE6xx2y2z0.0,

不妨令y2,1,1为平面PBD的一个法向量.于是有

223. 33. 3cosn,BE 所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为（Ⅲ）解：向量BC1,2,0，CPCP，02,2,2，AC1.

.

2,2,0，AB1,0,0.

由点F在棱PC上，设CF故BF由BFBCCFBCCP0，

12,22,2AC，得BFAC因此，2122220，解得

3.即BF4n1ABn1BF0,0,113,,. 222x即

0,1x21y23z20.

设n1x,y,z为平面FAB的法向量，则

不妨令z1，可得n10,3,1为平面FAB的一个法向量. 0,1,0，则

3101310. 10310. 10取平面ABP的法向量n2cosn1,n2n1n2n1n1易知，二面角F（方法二）

ABP是锐角，所以其余弦值为

（Ⅰ）证明：如图，取PD中点M，连接EM，AM. 由于E,M分别为PC,PD的中点， 故EM//DC，且EM又由已知，可得EM//AB且EM形，所以BE//AM. 因为PA底面ABCD，故PA1DC，2AB，故四边形ABEM为平行四边CD，而CDDA，从而CDCD.

平面PAD，因为AM平

面PAD，于是CDAM，又BE//AM，所以BE

（Ⅱ）解：连接BM，由（Ⅰ）有CD又因为AD平面BEM平面PAD，得CDPD，而EM//CD，故PDEM.

AP，M为PD的中点，故PD平面PBD.

AM，可得PDBE，所以PD平面BEM，故

所以直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，而BE直线BE与平面PBD所成的角. 依题意，有PDEM，可得EBM为锐角，故EBM为

22，而M为PD中点，可得AMEMBEABBE3. 32，进而BE2.

3. 3故在直角三角形BEM中，tanEBM1，因此sinEMB2 所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为（Ⅲ）解：如图，在于点H. 因为PA底面ABCD，故FH过点F作FH//PA交ACPAC中，

底面ABCD，从而平面FHB，因此

FHACAC.又BFBH.

AC，得AC在底面ABCD内，可得CH3HA，从而CF3FP.在

平面PDC内，作FG//DC交PD于点G，于是DG3GP.

由于DC//AB，故GF//AB，所以A,B,F,G四点共面. 由ABPA，ABAD，得ABAB平面PAD，故ABAG.

所以PAG为二面角F在

P的平面角.

1PD42，APG2310. 10PAG中，PA2，PG45，

由余弦定理可得AG10，cosPAG2所以，二面角FABP的斜率值为310. 10（18）（本小题满分13分）

x2y2设椭圆221（ab0）的左、右焦点为F1,F2，右顶点为A，上顶点为B.已知

abAB3F1F2. 2（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点的直线l与该圆

相切. 求直线的斜率.

（18）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识. 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质. 考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.满分13分. （Ⅰ）解：设椭圆的右焦点F2的坐标为c,0.由AB3F1F2，可得a22b23c2，又

b2a2c2c，则2a21. 22. 2所以，椭圆的离心率ea2b23c，所以2a22c22c，b23c2，解得a222c，e2. 2（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知a设Px0,y0.由F1由已知，有FPFB11x2c.故椭圆方程为22cy2c21.

c,0，B0,c，有F1P0，即x0ccy0cx0c,y0，F1B0，故有

c,c.

0.又cx0y0c0. ①

又因为点P在椭圆上，故

x022c2y02c21. ②

2由①和②可得3x0坐标为

4cx00.而点P不是椭圆的顶点，故x04c，代入①得y03c，即点P的34cc,. 33设圆的圆心为Tx1,y1，则x14c325c. 302c，y13c32c2c，进而圆的半径3rx102y1c2设直线l的斜率为k，依题意，直线l的方程为ykx.

由l与圆相切，可得整理得k2kx1k2y11kr，即42c3k212c35c， 38k10，解得k15.

所以，直线l的斜率为4

（19）（本小题满分14分）

15或415.

已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M0,1,2,,q1，集合

,n.

Axxx1x2qxnqn1,xiM,i1,2,（Ⅰ）当q（Ⅱ）设s,t2，nA，s3时，用列举法表示集合A；

a1a2qanqn1，tb1b2qbnqn1，其中ai,biM，

i1,2,,n. 证明：若anbn，则st.

（19）本小题主要考查集合的含义和表示，等比数列的前n项和公式，不等式的证明等基础知识和基本方法. 考查运算能力、分析问题和解决问题的能力. 满分14分. （Ⅰ）解：当q可得，A2，n3时，M0,1，Axxx12x24x3,xiM,i1,2,3.

0,1,2,3,4,5,6,7.

A，sa1a2qanqn1，tb1b2qbnqn1，ai,bi（Ⅱ）证明：由s,tM，

i1,2,,n及anbn，可得

st

a1b1a2b2qan1bn21qn2anbnqn1

q1q1q1q1qnqn1

qn1

q11qn1q10.

所以，s

t.

（20）（本小题满分14分） 已知函数fxxaexaR，xR.已知函数yfx有两个零点x1,x2，且x1x2.

（Ⅰ）求a的取值范围；

（Ⅱ）证明

x2随着a的减小而增大； x1x2随着a的减小而增大.

（Ⅲ）证明 x1（20）本小题主要考查函数的零点、导数的运算、利用导数研究函数的性质等基础知识和方法. 考查函数思想、化归思想. 考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力. 满分14分.

（Ⅰ）解：由fxxaex，可得fx1aex.

下面分两种情况讨论： （1）a f（2）a 由f0时

x0在R上恒成立，可得fx在R上单调递增，不合题意. 0时，

x0，得xlna.

当x变化时，fx，fx的变化情况如下表：

x ,lna ＋ ↗ 0 lna － lna, fx fx lna1 ↘ 这时，fx的单调递增区间是于是，“函数y1°f,lna；单调递减区间是lna,.

fx有两个零点”等价于如下条件同时成立：

lna0；2°存在s1lna,,lna，满足fs10.

a0；

3°存在s2由f且fs1，满足fs2lna0，即lna10，解得0e1，而此时，取s10，满足s1,lna，

a2ae2a0；取s22lna2a2ln，满足s2alna,，且

fs2e12a0.

所以，a的取值范围是0,e（Ⅱ）证明：由fx设gx当x.

xaex1exx0，有a，知gx在

x. exx，由gxex,1上单调递增，在1,时，gx上单调递减. 并且，

,0时，gx0；当xgx1，a0,0.

1由已知，x1,x2满足agx2. 由a0,e，及gx的单调性，可得x10,1，

x21,.

对于任意的a1,a20,e1，设a1a2，g1g2a1，其中0112；

g1g2a2，其中0112.

1因为gx在0,1上单调递增，故由a1又由1,1a2，即gg1，可得

11；类似可得22.

0，得

212121.

所以，

x2随着a的减小而增大. x1aex1，x2aex2，可得lnx1（Ⅲ）证明：由x1故x2lnax1，lnx2lnax2.

x1lnx2lnx1lnx2. x1设

x2x1

t，则t1，且

x2x2tx1,x1lnt,解得x1lnt，x2t1tlnt.所以， t1x1x2t1lntt1. ①

令hxx1lnxx12lnx，xx21,，则hx2x11x.

令ux当x2lnxx1，得uxxx1. x上单调递增，故对于任意的x上单调递增.

1,u1时，ux0.因此，ux在1,0，故hx在1,1,，

ux0，由此可得hx因此，由①可得x1x2随着t的增大而增大.

x2随着a的减小而增大.

而由（Ⅱ），t随着a的减小而增大，所以x1