数学文科卷·山东省淄博市2010届高三上学期期末考试(2009.12)

文科数学试卷

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：

1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置. 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答；不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效.

4. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

第Ⅰ卷(共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设全集I是实数集R， M{x|x2}与N{x|阴影部分所表示的集合为 A．xx2 C．x1x2

x3（如图所示）， 则0}都是I的子集

x1 B．x2x1 D．x2x2

2．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是

A．y2x B． ylgxx21

xxC． y22 D． ylg1 x143．若曲线f(x)xx在点P处的切线平行于直线3xy0，则点P的坐标为

A．（1，0） B．（1，5） C．（1，－3） D．（－1，2）

4．在ABC中，a、b分别是角A、B所对的边，条件“ab”是使 “cosAcosB”成立的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

x2y21的右焦点重合，则p的值为 5. 若抛物线y2px的焦点与椭圆622 A．－4 B．4 C．－2

第 1 页 共 14 页

D．2

6. 已知函数f(x)sin(x

6)cos(x6),则下列判断正确的是

A．f(x)的最小正周期为2，其图象的一条对称轴为xB．f(x)的最小正周期为2，其图象的一条对称轴为xC．f(x)的最小正周期为，其图象的一条对称轴为xD．f(x)的最小正周期为，其图象的一条对称轴为x12

6

2 2 1262 2 正视图

2 2 侧视图

7. 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A．223 B．4232 C．627 D．6272 8. 若直线l:axby10 始终平分圆M：

俯视图

2（第7题图）

x2y24x2y10的周长，则a2b2的最小值为

A．5

B．5

C．25

D．10

29. 设b、c表示两条直线，、表示两个平面，下列命题中真命题是

A．若c∥，c⊥，则 C．若b，c∥，则b∥c 10. 已知数列{xn}满足

B．若b，b∥c，则c∥ D．若c∥，，则c

，

xn3xnxn2|xn1xn|(nN)，若x11，

x2a (a1,a0)，则数列{xn}的前2010项的和S2010为

A．669

B．670

C．1338

D．1340

11. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量OAa,OBb,其中a(3,1),b(1,3).若OCab,且01，C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是

A．

B．

C．

D．

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x2y212．已知点F是双曲线221(a0,b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过

abF且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲

线的离心率e的取值范围是

A． 1,

B．1,2

C．1,12

D．2,12

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13. 对任意非零实数a、b，若ab的运算原理如图所

开始 输入a、b 是 否 1 示，则log28______．

2AC1， 14．在ABC中，已知AB4，2a≤b SABC3,则ABAC的值为 ．

输出b1 a输出a1 b15. 设Sn表示等差数列an的前n项和，且S918，

Sn240，若an430n9，则n= ．

16. 已知两个不相等的实数a、b满足以下关系式：

结束 （第13题图）

a2sinacosb2sinbcos40， 0，

422则连接Aa,a、 Bb,b两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是 ．

三、解答题：本大题共6个小题，共74分. 17．（本小题满分12分）

已知函数f(x)sinxcosx3cos2x． （Ⅰ）求f(x)的最小正周期；

（Ⅱ）求f(x)在区间,上的最大值和最小值． 62E

B

18．本小题满分12分）

如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，ACD是 正三角形，ADDE2AB，且F是CD的中点．

A 第 3 页 共 14 页

C

F

(第18题图)

D

（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE； （Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE． 19．（本小题满分12分）

已知数列an的首项a15，前n项和为Sn，且Sn12Snn5(nN)． （Ⅰ）设bnan1，求数列bn的通项公式； （Ⅱ）求数列an的前n项和Sn． 20．（本小题满分12分）

如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB3米，AD2米．

(第20题图)

（I）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？ （II）当DN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值． 21．（本小题满分12分）

已知函数f(x)lnxa2x2ax(aR)．

（Ⅰ）当a1时，证明函数f(x)只有一个零点；

（Ⅱ）若函数f(x)在区间1,上是减函数，求实数a的取值范围． 22．（本小题满分14分）

31x2y2已知椭圆C：221ab0过点A(1,)，且离心率e．

22ab （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线l：ykxmk0与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN 的垂直平分线过定点G(,0)，求k的取值范围．

18文科数学试卷参及评分标准

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共11页，满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第 4 页 共 14 页

注意事项：

1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置. 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答；不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效.

4. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

第Ⅰ卷(共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设全集I是实数集R， M{x|x2}与N{x|阴影部分所表示的集合为 A．xx2 C．x1x2

x3（如图所示）， 则0}都是I的子集

x1 B．x2x1 D．x2x2

2．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是

A．y2x B． ylgxx21

xxC． y22 D． ylg1 x143．若曲线f(x)xx在点P处的切线平行于直线3xy0，则点P的坐标为

A．（1，0） B．（1，5） C．（1，－3） D．（－1，2）

4．在ABC中，a、b分别是角A、B所对的边，条件“ab”是使 “cosAcosB”成立的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

x2y21的右焦点重合，则p的值为 5. 若抛物线y2px的焦点与椭圆622 A．－4 B．4 C．－2 D．2

6. 已知函数f(x)sin(x

6)cos(x6),则下列判断正确的是

A．f(x)的最小正周期为2，其图象的一条对称轴为x12

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B．f(x)的最小正周期为2，其图象的一条对称轴为xC．f(x)的最小正周期为，其图象的一条对称轴为xD．f(x)的最小正周期为，其图象的一条对称轴为x6

2 2 1262 2 正视图

2 2 侧视图

7. 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A．223 B．4232 C．627 D．6272 8. 若直线l:axby10 始终平分圆M：

俯视图

2（第7题图）

x2y24x2y10的周长，则a2b2的最小值为

A．5

B．5

C．25

D．10

29. 设b、c表示两条直线，、表示两个平面，下列命题中真命题是

A．若c∥，c⊥，则 C．若b，c∥，则b∥c 10. 已知数列{xn}满足

B．若b，b∥c，则c∥ D．若c∥，，则c

，

xn3xnxn2|xn1xn|(nN)，若x11，

x2a (a1,a0)，则数列{xn}的前2010项的和S2010为

A．669

B．670

C．1338

D．1340

11. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量OAa,OBb,其中a(3,1),b(1,3).若OCab,且01，C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是

A． B．

C．

D．

x2y212．已知点F是双曲线221(a0,b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过

abF且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的

离心率e的取值范围是

第 6 页 共 14 页

A． 1, B．1,2

C．1,12

D．2,12

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13. 对任意非零实数a、b，若ab的运算原理如图所

开始 输入a、b 是 否 1 示，则log28___1___．

2AC1， 14．在ABC中，已知AB4，2a≤b SABC3,则ABAC的值为 ±2 ．

输出b1 a输出a1 b15. 设Sn表示等差数列an的前n项和，且S918，

Sn240，若an430n9，则n= 15 ．

16. 已知两个不相等的实数a、b满足以下关系式：

结束 （第13题图）

a2sinacosb2sinbcos40， 0，

422则连接Aa,a、 Bb,b两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是 相交 ．

三、解答题：本大题共6个小题，共74分. 17．（本小题满分12分）

已知函数f(x)sinxcosx3cos2x． （Ⅰ）求f(x)的最小正周期；

（Ⅱ）求f(x)在区间,上的最大值和最小值． 62解：（Ⅰ）∵ f(x)sinxcosx3cos2x 132sinxcosxcos2x1 22133sin2xcos2x „„„„„3分 222  sin2x3 „„„„„5分 32第 7 页 共 14 页

∴ 函数f(x)的最小正周期T2． „„„„„6分 24（Ⅱ）∵ x，02x

3362∴ 3sin2x1， „„„„„9分 23∴ 0sin2x3323， 13222∴ f(x)在区间23，最小值为0．„„„„„12分 ,上的最大值为26218．（本小题满分12分）

如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，ACD是正三角形，ADDE2AB，且F是CD的中点． （Ⅰ）求证：AF∥平面BCE； （Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE． 解：（Ⅰ）取CE中点P，连结FP、BP，

∵F为CD的中点，

C

A F

(第18题图)

D

B

E

1DE. 21又AB∥DE，且AB=DE.

2∴FP∥DE，且FP=∴AB∥FP，且AB=FP，

∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP．„„„„4分 又∵AF平面BCE，BP平面BCE， ∴AF∥平面BCE „„„„6分 （Ⅱ）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD

∵AB⊥平面ACD，DE//AB

∴DE⊥平面ACD 又AF平面ACD ∴DE⊥AF

又AF⊥CD，CD∩DE=D

∴AF⊥平面CDE „„„„10分 又BP∥AF ∴BP⊥平面CDE

C

F

（第18题图）

D

P A B

E

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又∵BP平面BCE

∴平面BCE⊥平面CDE „„„„12分 19．（本小题满分12分）

已知数列an的首项a15，前n项和为Sn，且Sn12Snn5(nN)． （Ⅰ）设bnan1，求数列bn的通项公式； （Ⅱ）求数列an的前n项和Sn． 解：（Ⅰ）由Sn12Snn5(nN)

得 Sn2Sn1n15(nN,n2)

两式相减得 an12an1 „„„„„„„„„„„„ 3分 ∴ an112an1

即 bn12bn(nN,n„„„„„„„„„„„„„„ 4分 2 ) 又a2S2S1S115a1611 ∴ b2a2112，b1a116

∴ b22b1 „„„„„„„„„„„„„„ 6分 ∴ 数列bn是首项为6，公比为2的等比数列

∴ bn62n132n „„„„„„„„„„„„„ 8分

（Ⅱ）法一

由（Ⅰ）知an32n1 „„„„„„„„„„„„ 9分 ∴ Sna1a2an323232n

2n322n121n

62nn632n1n6． „„„„„„„„„ 12分

（Ⅱ）法二

由已知Sn12Snn5(nN) ① 设Sn1cn1d2Sncnd

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整理得 Sn12Sncndc ②

对照① 、②，得 c1,d6 „„„„„„„„„„„„„„8分 即①等价于 Sn1n162Snn6

∴ 数列Snn6是等比数列，首项为S116a11612，公比为q2 ∴ Snn6122n132n1

∴ Sn32n1n6． „„„„„„„„„„„„„„ 12分 20．（本小题满分12分）

如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB3米，AD2米．

(第20题图)

（I）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？ （II）当DN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值． 解：（I）设DN的长为x（x0）米，则ANx2米

∵

DNANDCAM，∴AM3x2， „„„„„„„„2分 x2∴ SAMPN3x2 ANAMx3x232得 32 ，

x2 由SAMPN

2又x0，得 3x20x120，

2 或 x6 32即DN长的取值范围是(0，)(6，+) „„„„„„„„7分

3解得：0x （II）矩形花坛AMPN的面积为

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3x23x212x1212y3x12

xxx23x121224 „„„„„„„„10分 x12即x2时,矩形花坛AMPN的面积取得最小值24． x2当且仅当3x故，DN的长度是2米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为24平方米．„12分 21．（本小题满分12分）

已知函数f(x)lnxa2x2ax(aR)．

（Ⅰ）当a1时，证明函数f(x)只有一个零点；

（Ⅱ）若函数f(x)在区间1,上是减函数，求实数a的取值范围． 解：（Ⅰ）当a1时，f(x)lnxx2x，其定义域是(0,)

12x2x1∴ f(x)2x1 „„„„2分

xx2x2x110，解得x或x1． 令f(x)0，即2x Qx0，∴ x舍去． 当0x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0．

∴ 函数f(x)在区间0,1上单调递增，在区间1,上单调递减 ∴ 当x =1时，函数f(x)取得最大值，其值为f(1)ln1110． 当x1时，f(x)f(1)，即f(x)0．

∴ 函数f(x)只有一个零点． „„„„„„„„6分

（Ⅱ）显然函数f(x)lnxaxax的定义域为(0,)

2221212a2x2ax1(2ax1)(ax1)2∴ f(x)2axa „„„7分

xxx① 当a0时，f(x)10,f(x)在区间1,上为增函数，不合题意„„8分 x② 当a0时，fx0x0等价于2ax1ax10x0，即x此时f(x)的单调递减区间为,．

1 a1a第 11 页 共 14 页

11,依题意，得a解之得a1．

a0. „„„10分

③ 当a0时，fx0x0等价于2ax1ax10x0，即x此时f(x)的单调递减区间为1 2a1,， 2a111∴2a 得a

2a0综上，实数a的取值范围是(,]U[1,) „„„„12分 法二：

①当a0时，f(x)1210,f(x)在区间1,上为增函数，不合题意„„8分 x②当a0时，要使函数f(x)在区间1,上是减函数，只需fx0在区间

1,上恒成立，x0只要2a2x2ax10恒成立，

a121解得a1或a 4a22a2a10综上，实数a的取值范围是(,]U[1,) „„„„12分 22．（本小题满分14分）

1231x2y2已知椭圆C：221ab0过点A(1,)，且离心率e．

22ab （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线l：ykxmk0与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN 的垂直平分线过定点G(,0)，求k的取值范围．

181c1解：（Ⅰ）由题意e，即e，a2c，

2a222222∴ bac2cc3c

2x2y2∴ 椭圆C的方程可设为221„„„„„„„„„„„„„ 3分

4c3c第 12 页 共 14 页

33122c1 代入A(1,)，得2 解得1224c3c2x2y21． „„„„„„„„„„„„„„„ 6分 ∴ 所求椭圆C的方程是43（Ⅱ）法一

22xy由方程组431 消去y，得

ykxmk2 34x228kmx4m12 „„„0 4分

由题意，△8km434k22224m2120

整理得：34km0① „„ 7分

设Mx1,y1、Nx2,y2，MN的中点为P(x0,y0)，则

x0x1x24km3mykxm， „„„„„„„ 8分 00234k234k2由已知，MNGP 即kMNkGP1

3m0234k即 k1 4km134k2834k2整理得：m „„„„„„„„„ 10分

8k代入①式，并整理得：k215， 即 |k| „„„„„„„„„12分 2010∴ k,（Ⅱ）法二

55, „„„„„„ 14分 101022xy由方程组431, 消去y，得

ykxmk2 34x228kmx4m12 „„„0 4分

由题意，△8km434k224m2120

第 13 页 共 14 页

整理得：34km0 ① „„ 7分 设Mx1,y1、Nx2,y2，MN的中点为P(x0,y0)，则

22x12y12431y031 整理得：  ② x2y2x4k022134y01又MNGP ∴  ③ „„„„9分

1kx081x02由②、③解得 

3y08k34k2代入ykxmk0，得 m „„„„„„„„„ 12分

8k代入①式，并整理得： k215， 即 |k| 2010∴ k,法三：

55, „„„„„„ 14分 1010221328k1

由P(x0,y0)在椭圆内部，得：

43整理得： k215， 即 |k| 201055∴ k,10, „„„„„„ 14分 10

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