郧西县实验中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

一、选择题

1． 已知集合A={0，1，2}，则集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（ ） A．1

B．3

C．5

D．9

ann2，则a3a5等于（ ）

25256131A． B． C． D．

9161615xy20y3． 已知变量x,y满足约束条件x1，则的取值范围是（ ）

xxy7099A．[,6] B．(,][6,) C．(,3][6,) D．[3,6]

552． 数列{an}中，a11，对所有的n2，都有a1a2a34． 若变量x，y满足：

，且满足（t+1）x+（t+2）y+t=0，则参数t的取值范围为（ ）

A．﹣2＜t＜﹣ B．﹣2＜t≤﹣ 5． 设0＜a＜1，实数x，y满足

C．﹣2≤t≤﹣ D．﹣2≤t＜﹣

，则y关于x的函数的图象形状大致是（ ）

A． B． C． D．

6． 设等比数列{an}的前项和为Sn，若A．2 B．

S6S3，则9（ ） S3S678 C. D．3 337． 已知函数f（x）=m（x﹣）﹣2lnx（m∈R），g（x）=﹣，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，则实数m的范围是（ ） A．（﹣∞，]

B．（﹣∞，） C．（﹣∞，0]

D．（﹣∞，0）

8． 已知命题p：存在x0＞0，使2

＜1，则￢p是（ ）

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A．对任意x＞0，都有2x≥1 C．存在x0＞0，使2

B．对任意x≤0，都有2x＜1

＜1

、

≥1 D．存在x0≤0，使2

9． 在“唱响内江”选拔赛中，甲、乙两位歌手的5次得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别

，则下列判断正确的是（ ）

A．＜，乙比甲成绩稳定 B．＜，甲比乙成绩稳定

C．D．＞，甲比乙成绩稳定 ＞，乙比甲成绩稳定

10．已知集合M={x|x2＜1}，N={x|x＞0}，则M∩N=（ ） A．∅ 可．

B．{x|x＞0} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}

二、填空题

211．若函数f(x1)x1，则f(2) ．

12．设函数f(x)x3(1a)x2ax有两个不同的极值点x1，x2，且对不等式f(x1)f(x2)0 恒成立，则实数的取值范围是 ． 13．已知双曲线的标准方程为为 ．

，则该双曲线的焦点坐标为， 渐近线方程

1，则|a2b| ．

33x（0,1）15．当x时，函数fxe1的图象不在函数g(x)x2ax的下方，则实数a的取值范围是

14．已知|a|2，|b|1，2a与b的夹角为___________．

【命题意图】本题考查函数图象间的关系、利用导数研究函数的单调性，意在考查等价转化能力、逻辑思维能力、运算求解能力．

16．设幂函数fxkx的图象经过点4,2，则k= ▲ ．

三、解答题

17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC=2AB=2AD=4BE，平面PAB⊥平面ABCD，

（Ⅰ）求证：平面PED⊥平面PAC；

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（Ⅱ）若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为，求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．

18．（本小题满分13分）

11，数列{an}满足：a1，an1f(an),nN．

21xa1（Ⅰ）若1,2为方程f(x)x的两个不相等的实根，证明：数列n为等比数列；

an2（Ⅱ）证明：存在实数m，使得对nN，a2n1a2n1ma2n2a2n．

设f(x)

）

19．（本小题满分12分）

12x(a3)xlnx. 2（1）若函数f(x)在定义域上是单调增函数，求的最小值；

已知函数f(x)第 3 页，共 19 页

（2）若方程f(x)(a)x(a4)x0在区间[,e]上有两个不同的实根，求的取值范围.

20．（本小题满分12分） 已知椭圆C的离心率为

1221e2，A、B分别为左、右顶点， F2为其右焦点，P是椭圆C上异于A、B的 2动点，且PAPB的最小值为-2. （1）求椭圆C的标准方程；

C于M、N两点，求F2MF2N的取值范围. （2）若过左焦点F1的直线交椭圆

21．已知函数f（x）=alnx﹣x（a＞0）． （Ⅰ）求函数f（x）的最大值；

（Ⅱ）若x∈（0，a），证明：f（a+x）＞f（a﹣x）；

（Ⅲ）若α，β∈（0，+∞），f（α）=f（β），且α＜β，证明：α+β＞2α

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22．【南京市2018届高三数学上学期期初学情调研】已知函数f（x）＝2x3－3（a+1）x2＋6ax，a∈R． （Ⅰ）曲线y＝f（x）在x＝0处的切线的斜率为3，求a的值；

（Ⅱ）若对于任意x∈（0，+∞），f（x）＋f（－x）≥12lnx恒成立，求a的取值范围； （Ⅲ）若a＞1，设函数f（x）在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M（a）、m（a）， 记h（a）＝M（a）－m（a），求h（a）的最小值．

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郧西县实验中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参）

一、选择题

1． 【答案】C

【解析】解：∵A={0，1，2}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}， ∴当x=0，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为0，﹣1，﹣2； 当x=1，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为1，0，﹣1； 当x=2，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为2，1，0； ∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，

∴集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5个． 故选C．

2． 【答案】C 【解析】

试题分析：由a1a2a3ann，则a1a2a32n2，所以a1)，两式作商，可得ann1(n2(n1)2325261a3a522，故选C．

2416考点：数列的通项公式． 3． 【答案】A 【解析】

B(1,6)，试题分析：作出可行域，如图ABC内部（含边界），表示点(x,y)与原点连线的斜率，易得A(,)，

yx5922kOA969y92，kOB6，所以6．故选A． 5515x2第 6 页，共 19 页

考点：简单的线性规划的非线性应用． 4． 【答案】C

【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由（t+1）x+（t+2）y+t=0得t（x+y+1）+x+2y=0， 由

，得

，即（t+1）x+（t+2）y+t=0过定点M（﹣2，1），

则由图象知A，B两点在直线两侧和在直线上即可， 即[2（t+2）+t][﹣2（t+1）+3（t+2）+t]≤0， 即（3t+4）（2t+4）≤0， 解得﹣2≤t≤﹣，

即实数t的取值范围为是[﹣2，﹣]， 故选：C．

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【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，属于中档题．

5． 【答案】A 【解析】解：0＜a＜1，实数x，y满足轴对称， 故选：A．

，即y=

，故函数y为偶函数，它的图象关于y

在（0，+∞）上单调递增，且函数的图象经过点（0，1），

【点评】本题主要指数式与对数式的互化，函数的奇偶性、单调性以及特殊点，属于中档题．

6． 【答案】B 【

解

析

】

考

点：等比数列前项和的性质. 7． 【答案】 B

【解析】解：由题意，不等式f（x）＜g（x）在[1，e]上有解， ∴mx＜2lnx，即＜令h（x）=

在[1，e]上有解，

，

，则h′（x）=

∵1≤x≤e，∴h′（x）≥0，

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∴h（x）max=h（e）=， ∴＜h（e）=， ∴m＜．

∴m的取值范围是（﹣∞，）． 故选：B．

【点评】本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．

8． 【答案】A

【解析】解：∵命题p：存在x0＞0，使2故选：A

9． 【答案】A

【解析】解：由茎叶图可知

=（75+86+88+88+93）=故选：A

【点评】本题主要考查茎叶图的应用，根据平均数和数据的稳定性是解决本题的关键．

10．【答案】D

【解析】解：由已知M={x|﹣1＜x＜1}， N={x|x＞0}，则M∩N={x|0＜x＜1}， 故选D．

=（77+76+88+90+94）==86，则

＜

，

，

＜1为特称命题，

x

∴￢p为全称命题，即对任意x＞0，都有2≥1．

乙的成绩主要集中在88附近，乙比甲成绩稳定，

【点评】此题是基础题．本题属于以不等式为依托，求集合的交集的基础题，

二、填空题

11．【答案】0 【解析】111]

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考点：函数的解析式． 12．【答案】(,1]【解析】

1,2 23322试题分析：因为f(x1)f(x2)0,故得不等式x1x21ax1x2ax1x20,即

xxx1x21223x1x21ax1x22x1x2ax1x20,由于

f'x3x221axa,令f'x0得方程3x221axa0,因4a2a10 , 故

22xx1a11232a12a5a20a2，，代入前面不等式,并化简得,解不等式得或1aa2xx12311因此, 当a1或a2时, 不等式fx1fx20成立,故答案为(,1],2.

22考点：1、利用导数研究函数的极值点；2、韦达定理及高次不等式的解法.

【思路点晴】本题主要考查利用导数研究函数的极值点、韦达定理及高次不等式的解法，属于难题.要解答本题首先利用求导法则求出函数fx的到函数，令f'x0考虑判别式大于零，根据韦达定理求出数的取值范围.111] 13．【答案】 （±

【解析】解：双曲线c=

=2

，

，0），

，0） y=±2x ．

的a=2，b=4，

x1x2,x1x2的值，代入不等式f(x1)f(x2)0，得到关于的高次不等式，再利用“穿针引线”即可求得实

可得焦点的坐标为（±

渐近线方程为y=±x，即为y=±2x． 故答案为：（±

，0），y=±2x．

【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是焦点的求法和渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．

14．【答案】2

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【解析】解析：本题考查向量夹角与向量数量积的应用．a与b的夹角为∴|a2b|2，ab1， 3(a2b)2|a|24ab4|b|22．

15．【答案】[2e,)

1x2ex1x2ex【解析】由题意，知当x时，不等式e1xax，即a恒成立．令hx，（0,1）xxx1x1ex．令kxx1ex，k'x1ex．∵x0,1，∴k'x1ex0,∴kxh'x2xx2在x0,1为递减，∴kxk00，∴h'xx1x1exx20，∴hx在x0,1为递增，∴

hxh12e，则a2e．

16．【答案】【解析】

3 213试题分析：由题意得k1,42k

22考点：幂函数定义

三、解答题

17．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AB⊥PA ∴PA⊥平面ABCD 结合AB⊥AD，可得

分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系o﹣xyz，如图所示… 可得A（0，0，0）D（0，2，0），E（2，1，0），C（2，4，0）， P（0，0，λ） （λ＞0） ∴得

∴DE⊥AC且DE⊥AP，

∵AC、AP是平面PAC内的相交直线，∴ED⊥平面PAC． ∵ED⊂平面PED∴平面PED⊥平面PAC （Ⅱ）由（Ⅰ）得平面PAC的一个法向量是

设直线PE与平面PAC所成的角为θ，

，

， ，

，

，

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则得λ=±2

∵λ＞0，∴λ=2，可得P的坐标为（0，0，2） 设平面PCD的一个法向量为

=（x0，y0，z0），

由

，

，得到=（1，﹣1，﹣1）

，

，

，解之

令x0=1，可得y0=z0=﹣1，得∴cos＜

，

由图形可得二面角A﹣PC﹣D的平面角是锐角， ∴二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值为

．

【点评】本题在四棱锥中证明面面垂直，并且在线面所成角的正弦情况下求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．着重考查了线面垂直、面面垂直的判定定理和利用空间向量研究直线与平面所成角和二面角大小的方法，属于中档题．

18．【答案】

221110111【解析】解：证明：f(x)xxx10，∴2，∴． 2221012211an111an111an121an1an12∵， （3分）

1an121aaa22n22n2n221ana110，10，

a1222∴数列an1为等比数列． （4分）

an2第 12 页，共 19 页

51，则f(m)m． 21231由a1及an1得a2，a3，∴0a1a3m．

2351an（Ⅱ）证明：设m∵f(x)在(0,)上递减，∴f(a1)f(a3)f(m)，∴a2a4m．∴a1a3ma4a2，（8分） 下面用数学归纳法证明：当nN时，a2n1a2n1ma2n2a2n．

①当n1时，命题成立． （9分）

②假设当nk时命题成立，即a2k1a2k1ma2k2a2k，那么 由f(x)在(0,)上递减得f(a2k1)f(a2k1)f(m)f(a2k2)f(a2k) ∴a2ka2k2ma2k3a2k1

由ma2k3a2k1得f(m)f(a2k3)f(a2k1)，∴ma2k4a2k2， ∴当nk1时命题也成立， （12分）

由①②知，对一切nN命题成立，即存在实数m，使得对nN，a2n1a2n1ma2n2a2n.

19．【答案】（1）；（2）0a1.1111] 【解析】

则

1f'(x)0对x0恒成立，即a(x)3对x0恒成立，

x1而当x0时，(x)3231，

x∴a1.

若函数f(x)在(0,)上递减，

则f'(x)0对x0恒成立，即a(x)3对x0恒成立， 这是不可能的. 综上，a1. 的最小值为1. 1

1x第 13 页，共 19 页

（2）由f(x)(a)x(a2)x2lnx0， 得(a)x(2a)x2lnx，

1221221(1)x22x(lnxx)lnxxlnxx1x2lnxxr(x)即a，令，， r'(x)2233xxxx得1x2lnx0的根为1，

考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数零点问题及不等式恒成立问题.

【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数零点问题及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数af(x)恒成立（af(x)min即可）或af(x)恒成（af(x)max即可）；②数形结合；③讨论最值f(x)min0或f(x)max0恒成立；④讨论参数.本题（2）就是先将问题转化为不等式恒成立问题后再利用①求得的最小值的.

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.

x2y21；（2）F2MF2N[2,7). 20．【答案】（1）42【解析】

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题解析：（1）根据题意知ca22，即c21a22，

∴a2b2a212，则a22b2， 设P(x,y)，

∵PAPB(ax,y)(ax,y)，

x2a2y2x2a2a2x21(x2a2222)，

∵axa，∴当x0时，(PAPB)a2min22， ∴a24，则b22.

∴椭圆C的方程为x24y221. 第 15 页，共 19 页

试

11

11]

4(k21)42k2设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则x1x2，x1x2，

12k212k2∵F2M(x12,y1)，F2N(x22,y2)，

∴F2MF2Nx1x22(x1x2)2k2(x12)(x22)

(1k2)x1x2(2k22)(x1x2)2k22 4(k21)42k22(1k)2(k1)2k22 2212k12k97.

12k2121. ∵12k1，∴0212k9[2,7). ∴712k2综上知，F2MF2N[2,7).

2考点： 1、待定系数法求椭圆的标准方程；2、平面向量的数量积公式、圆锥曲线中的最值问题.

【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.

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21．【答案】 【解析】解：（Ⅰ）令

，所以x=a．

易知，x∈（0，a）时，f′（x）＞0，x∈（a，+∞）时，f′（x）＜0． 故函数f（x）在（0，a）上递增，在（a，+∞）递减． 故f（x）max=f（a）=alna﹣a．

（Ⅱ）令g（x）=f（a﹣x）﹣f（a+x），即g（x）=aln（a﹣x）﹣aln（a+x）+2x． 所以

，当x∈（0，a）时，g′（x）＜0．

所以g（x）＜g（0）=0，即f（a+x）＞f（a﹣x）． （Ⅲ）依题意得：a＜α＜β，从而a﹣α∈（0，a）．

由（Ⅱ）知，f（2a﹣α）=f[a+（a﹣α）]＞f[a﹣（a﹣α）]=f（α）=f（β）． 又2a﹣α＞a，β＞a．所以2a﹣α＜β，即α+β＞2a．

【点评】本题考查了利用导数证明不等式的问题，一般是转化为函数的最值问题来解，注意导数的应用．

22．【答案】（1）a＝

118（2）（－∞，－1－]．（3） 2e27【解析】

f（x）＋f（－x）＝－6（a＋1）x2≥12lnx对任意x∈（0，+∞）恒成立， 所以－（a＋1）≥令g（x）＝

（2）

212lnx2lnx，x＞0，则g（x）＝． x2x3令g（x）＝0，解得x＝e．

当x∈（0，e）时，g（x）＞0，所以g（x）在（0，e）上单调递增； 当x∈（e，＋∞）时，g（x）＜0，所以g（x）在（e，＋∞）上单调递减．

2lnx． 2x第 17 页，共 19 页

1， e11所以－（a＋1）≥，即a≤－1－，

ee1所以a的取值范围为（－∞，－1－]．

e所以g（x）max＝g（e）＝（3）因为f（x）＝2x3－3（a＋1）x2＋6ax，

所以f ′（x）＝6x2－6（a＋1）x＋6a＝6（x－1）（x－a），f（1）＝3a－1，f（2）＝4． 令f ′（x）＝0，则x＝1或a． f（1）＝3a－1，f（2）＝4．

②当

5＜a＜2时， 3

当x∈（1，a）时，f （x）＜0，所以f（x）在（1，a）上单调递减； 当x∈（a，2）时，f （x）＞0，所以f（x）在（a，2）上单调递增．

又因为f（1）＞f（2），所以M（a）＝f（1）＝3a－1，m（a）＝f（a）＝－a3＋3a2， 所以h（a）＝M（a）－m（a）＝3a－1－（－a3＋3a2）＝a3－3a2＋3a－1． 因为h （a）＝3a2－6a＋3＝3（a－1）2≥0． 所以h（a）在（

5，2）上单调递增， 3第 18 页，共 19 页

所以当a∈（

558，2）时，h（a）＞h（）＝． 3327③当a≥2时，

当x∈（1，2）时，f （x）＜0，所以f（x）在（1，2）上单调递减， 所以M（a）＝f（1）＝3a－1，m（a）＝f（2）＝4， 所以h（a）＝M（a）－m（a）＝3a－1－4＝3a－5， 所以h（a）在[2，＋∞）上的最小值为h（2）＝1． 综上，h（a）的最小值为

8． 27点睛：已知函数最值求参数值或取值范围的一般方法：（1）利用导数结合参数讨论函数最值取法，根据最值列等量关系，确定参数值或取值范围；（2）利用最值转化为不等式恒成立问题，结合变量分离转化为不含参数的函数，利用导数求新函数最值得参数值或取值范围.

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