集合-基础知识点汇总与练习-复习版

集合知识点总结

一、集合的概念

教学目标： 理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问

题，掌握集合问题的常规处理方法．

教学重 点：集合中元素的 3个性质，集合的 3种表示方法，集合语言、

集合思想的运用．：

一)主要知识：

1．集合、子集、空集的概念；

2．集合中元素的 3个性质，集合的 3 种表示方法；

3. 若有限集A有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n 1，非空 子集有 2n 1个，非空真子集有 2n 2个． 二、集合的运算

教学目标： 理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性

质，能利用数轴或文氏图进行集合的运算，进一步掌 握集合问题的常规处理方法.

教学重点： 交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用. 一)主要知识：

1. 交集、并集、全集、补集的概念； 2. AI B A A B， AUB A A B；

3. CUAI CUB CU (AUB)， CU AUCU B CU(AI B). 二)主要方法：

1. 求交集、并集、补集，要充分发挥 数轴或文氏图 的作用；

2．含参数的问题 ，要有讨论的意识， 分类讨论 时要防止在空集上出 问题；

3．集合的化简 是实施运算的前提， 等价转化 常是顺利解题的关键．

考点要点总结与归纳

一、集合有关概念

1. 集合的概念：能够确切指定的一些对象的全体。

2. 集合是由元素组成的

集合通常用大写字母 A、B、C,…表示，元素常用小写字 母a b、c, …表示。

3. 集合中元素的性质：确定性， 互异性 ，无序性。

(1) 确定性：一个元素要么属于这个集合,要么不属于这个 集

合,绝无模棱两可的情况。如：世界上最高的山 (2)

互异性：集合中的元素是互不相同的个体,相同的元素 只能

出现一次。如：由 HAPPY 的字母组成的集合 {H,A,P,Y} ( 3)无序性：集合中的元素在描述时没有固定的先后顺序。 女口： {a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

4. 元素与集合的关系

(1) 元素a是集合A中的元素，记做a€ A，读作“ a属于集合A”； (2) 元素a不是集合A中的元素，记做a?A，读作“a不属于集合A”。

5. 集合的表示方法：自然语言法, 列举法,描述法,图示法。

( 1)自然语言法： 用文字叙述的形式描述集合。如大于等于 2 且小于 等于 8 的偶数

构成的集合。

(2)列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“ {}”括起来 表示集合的方法，一般适用于元素个数不多的有限集，简单、明了，能 够一目了然地知道集合中的元素是什么。

注意事项：①元素间用逗号隔开；②元素不能重复；③元素之间不用考 虑先后顺序；④元素较多且有规律的集合的表示： 表示不大于 100的自然数构成的集合。

( 3)描述法： 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，一般形式 是{ x€ I | p(x) }.

注意事项：①写清楚该集合中元素的代号；②说明该集合中元素的性质； ③不能出现未被说明的字母； ④多层描述时， 应当准确使用“且”、“或”； ⑤所有描述的内容都要写在集合符号内；⑥语句力求简明、准确。

( 4)图示法： 主要包括 Venn 图(韦恩图)、数轴上的区间等。 韦恩图法：画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合的方法，常 用于直观表示集合间的关系。

{0,123…，100}

6. 集合的分类：

有限集：含有有限个元素的集合 无限集：含有无限个元素的集合 空集：不含任何元素的集合 常用数集及其记法：

1)自然数集：又称为非负整数集，记做 N ；

(2)正整数集：自然数集内排除0的集合，记做N +或N 3) 整数集：全体整数的集合，记做 Z 4）有理数集：全体有理数的集合，记做 Q

例：{x|x2= — 5}

5）实数集：全体实数的集合，记做 R 、集合间的基本关系

7. 子集的概念：A中的任何一个元素都属于 B。记作：A B

① 任何一个集合是它本身的子集。 A A ② 如果 A B, B C ,那么 A C

8. 空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为① 规定: 空集是任何集合的子集；

空集是任何非空集合的真子集。

9. 相等集合：如果构成两个集合的元素一样，就称这两个集合相等，与元

素的排列顺序无关。如：A B且B A则A=B

10. 真子集:如果A B,且A B那就说集合A是集合B真子集。

记作： A B

1 1 .集合间的基本关系

1. “包含”关系—子集

注意：A B有两种可能（1） A是B的一部分、（2） A与B是同一集合。 反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A

2. “相等”关系：A=B （5>5,且 5<5,则 5=5）

实例：设 A={x|x2-1=0}

B={-1,1} “元素相同则两集合相等”

12.若有限集A有n个元素，则A的子集有2个，真子集有2n 1, 非空子集有 2n 1个，非空真子集有 2n 2个. 三、集合的运算

1、 交集：A B {x|x A且x B} 2、 并集.A B {x | x A或x B} 3、 补集：CuA {x |x U且x A}

运算类型 交集 由所有属于A且 并集 由所有属于集合 A或属于集合B 补集 设S是一个集 合，A是S的一 个子集，由S中 所有不属于A的 元素组成的集 合，叫做S中子 集A的补集（或 余集） 记作CSA，即 CSA= {x|x S,且x A 属于B的兀素所 组成的集合，叫做 的兀素所组成的 A,B的交集.记作 集合，叫做A,B 的并集.记作： A B (读作‘ A 并B',即A B ={x|x x B}). 核心词汇：全部 A ,或 A B (读作“ A 定义 交B”,即A B= { x|x A，且 x B}. 核心词汇：共有 韦恩 图示 a兄 Co) 图1 图2 A A=A A A=A A ①二A A B=B A (CuA) (CuB) A ①二① =Cu (A B) (CuA) (CuB) A B=B A 性质 ABA ABB A B A ABB =Cu(A B) A (CA)二U A (CA)二①. ★经典例题: 例一、判断下列集合是否为同一个集合 ① A 1,2 ,B 1,2

---------------- 不是，一个是点集，一个是数集

② A x N |0 x 5 ,B x R|0 x 5 --------------------------------------- 不是，元素范围不同 ③ A y|y 2x 1 ,B x, y | y 2x 1 -不是，一个是点集，一个是数集

④ A x|x5,B y | y 5 ----------------------------- 是，元素相同，均是实数，与代表

例二、用适当的符号填空：

a ； a

1,2,3 _ — 1,2,3,4 ；

a,b ； a

a ；

a ；

——

应该注意的问题： 集合与元素之间是 属于关系，集合与集合之间 的是包含关系，两者不能混淆。

例三、已知集合 M 0,1,2,4,5,7 ,N 1,4,6,8,9 ,P 4,7,9 ，

贝卩M I N U M I P等于 ____________ 【1,4,7】 解：M N 1,4 ,M P 4,7，故 M I N U M I P 例四、若集合A 1,3,x ,B 解：依题B A，则x2 x，或x2

1,4,7

x2,1 ,且B A,则x ___________ 【0或「3 ]

3，解出x 0,1, .3 ;

由于元素具有互异性，故舍去1。 例五、集合 A 0,2,a , B 【4]

a2 16

1,a2 ,若 AU B 0,1,2,4,16 ,则 a 的值为

解：T A 0,2, a ,B

1,a2 ,AUB 0,1,2,4,16 二

a 4

二 a 4

x,y y 1

| x

1

例六、 设集合 U (x,y) y x 1 ,A 【 0, 1 】 解:

A

1 y 1 x, y 1表示平面上满足直线 x

,则 CUA

1的无数点，其中

x

y 1

x 0,y

1 O

又U

(x,y) y x

1表示平面上满足直线 y x 1上的全部点，故补

集为0, 1，这组有序数对。

例七、已知集合A x1x4,B xx a，若AB，则实数a的取值 集合为 __________ 【a a 4】

解：步骤：①在数轴上画出已知集合；

② 由x a确定，应往左画（若为x a，则往右画），进而 开始实验；

③ 得到初步试验结果； ④ 验证端点。

A

L ]

1

4）——

4 a

试验得到：a 4，当a 4时，由于A集合也不含有4,故满足A B 综上所述， a a 4。

例八、设集合 M {m Z | 3 m 2}, N {n Z | 1 < n < 3},

贝卩M I N _______ 【101】

解：首先观察，两个集合均为数集，代表元素的不同不影响集合本身。 其次范围均为整数，

故M 2, 1,0,1 ,N 1,0,1,2,3，因此取交集后，得到的结果应为

101。

例九、A x| 1 x 3 , B x|x a，若 Al B ,

则实数a的取值范围是 ___________ 【a 3]

解：步骤：①在数轴上画出已知集合；

②由x a确定，应往左画（若为x a,则往右画），进而开始实验; ③得到初步试验结果；④验证端点

A I -1 ■ 试验得到的结果为a 3，验证端点，当a 3时，由于A集合不含有3, 满足交集为。

综上所述，a的取值范围是a 3。

注意：在画数轴时，要注意层次感和端点的虚实！

例十、满足1 M 1,2,3的集合M为 _______________ 【1 , 1,2 , 1,3 ] 解：因为1 M，因此M中必须含有1这个元素。又知道M 1,2,3 故得到1 ,

1,2 , 1,3。（ 1,2,3不满足真子集的要求）

例十一、已知集合A x x2 px 2 0 ,B

A B 2,0,1 ,

x x2 x q 0 , 且

求实数p,q的值。【q 0, p 1 ]

解：观察A集合，可知0 A，又有A B 2,0,1 ,贝卩0 B。

将0代入x2 x q 0 ,得到q 0，反解x2 x 0，得到x 0或1。 由于 A B 2,0,1 , B 0,1，贝卩 2 A。

将2代入x2 px 2 0 ,解得p 1。

例十二、已知集合A 2 ,B xx2 ax a2 12 0，若ABB，求实

数a的取值范围。【a 4或a 4】

解：①当B 时，方程x2 ax a2 12 0无解，0，解得a 4或a 4 ；

②当B

时，方程x2 ax a2 12 0有一个解，

0，同时将2代

入 x2 ax a2 12 0，解得 a 4 ； 综上所述a的取值范围为a 4或a 4。

练习题

1. 下列四组对象，能构成集合的是 （）

A某班所有高个子的学生 C一切很大的书

B著名的艺术家 D倒数等于它自身的实数

2集合｛a，b, c ｝的真子集共有 ____ 个。

1 .已知集合 M

t= ____________ .

1,3,t , P t2 t 1 ，若 M P M ，则

2. 设集合 M= x x — —,k Z , N= x x — — ,k Z , A. M=N B.

2

4

4 2

M N C. N M D. M I N=

3.如图所示，駅，丄匸，打是厂的三个子集，贝卩阴影部分所表示的集合 是（ ）

（A）上「_ 二

（C） （D）；『*」「「

（B）' ■

4 .设全集^ = {h2?3,<5）,若尸门©二⑵，（务尸）门0二⑷，

''

1 1 ，L；

■'

1

，则下列结论正确的是（ ）

（A）二二且一丄 （C） 1 且一；匸

（B）八…二且「「 （D） 1 二且一 '<■

5. 设全集为U,集合A、B是U的子集，定义集合A、B的运算：

A*B二{x|x€ A,或 x€ B且 x A A B}，则（A*B）*A 等于（ ）

A . A

B. B

C. （CU A） A B

D . AU （CU B）

6. 已知集合M x | m x m 1 , N x | n 3 x n，且M,N都是集

3

4

合x| 0 x 1的子集，如果把b a叫做集合x | a x b的“长度”，那 么M N的“长度”的最小值是 _______________________________ . 7. 已知集合 A

x | 2 x 5

, B x | m 1 x 2m 1，且 B A，求实

数m的取值范围.

8. 已知集合A

{x| 2k 6 x k2

3} , B {x k x k}且A是B的真

子集，求实数k的取值范围。 9.

x2— 5x+ 6= 0}, C

集合 A={ x I x2— ax+ 19= 0}, B={x|

={ x I x2 + 2x— 8= 0},若=AA B, AA C=，求 a 的值.

10. 设集合 A x | 2 x 4，集合 B x | x2 3ax 2a2 (1) 求使A B B的实数a的取值范围；

(2) 是否存在实数a，使A B 成立？若存在，求出实数范围；若不存在，请说明理由.

0 .

a的取值

高一数学第一章集合数学测试题

一、选择题(每小题5分，计5X 12=60分)

1. 下列集合中，结果是空集的为()

(A) — [ ； ■■■ - | ( B) Y --二--:;

(C)1 2. 设集合-

-

1

( D) '■ 「口，一

「，「；「、- ■，则厂 L -()

:

(A)丨—(B) —(C) 「 ■ ( D )；卩亠「-

3. 下列表示①」T②③二「④亠匚中,正确的个数为 ()

(A) 1 4. (A) 6

(B) 2

(C) 3

( D) 4

满足- ' 的集合\"的个数为()

(B) 7 (C) 8 (D) 9

7

5. 若集合几、止、U，满足.--I - - -1^ 的关系为()

，贝匸与二之间

(A) —「.

( B) 2 (C) --=「 ( D)厂=二

6.

的解集的是()

下列集合中，表示方程组 = l

(A) ：，. (B) 、一， v - i-

(C) 一 一 ;. (D)

7. 设八若工已，则实数盘的取值范 围是()

(A )—3. (B) —亠 (C—一 ( D) ：-

8. 已知全集合「―几 那么m是()

(A) K (B)「|-

(C)「「；」「/ 6 '

9. (A)

(C) '； 「：

已知集合 (B) .

■

I 了-“ J ,则就等于()

( D)二「厂、

(D) 、一「 一

10. 已知集合二一| , 那么() (A)(B)

丁丁 (C)

( D):―.

11. 女口图所示是■的三个子集，贝S阴影部分所表 示的集合是(

)

(A)『十… (B)_ ■ (C) m「二八(D)

(MriF)uQ£)

12. 设全集-i .-■■■■.■ i -,若“二■!, m ■, (务戸)门｛1 r 5］，贝y下列结论正确的是(

(A)—且 r L- ( B) 1 三二且一 二

)

(D)三迂一

(C) ： 「 且

二、填空题(每小题4分，计4X 4=16分)

13. 已知集合虽川匚引，0 =卜1\"“+\"”*｝，则 集合帀，———— 14.

述法表示平面内不在第一与第三象限的点的集合为

用描

――

15. 设全集 一一 ；「「：.，- 「一 ：，「厂:,贝嘔 的值为 16. 若集合”=何加+2“1 = 0,壮幻只有一个元素，则实数曲的 值为 ___

三、解答题（共计74分）

17. （本小题满分12分）若- 3曲沪+1｝，求实数曲的 值。

18.

设全集合 5=｛x|-3匸异，肋月务（如硏（本小题满分12分）,八胡,

（备4）门月

，求，，