二次根式及性质

教材：2011版课程标准北师大版八年级(上)

钱生来 银川市第六中学

一、教学内容解析 1．内容

二次根式与最简二次根式的概念，二次根式的性质以及二次根式的化简。 2．内容解析

《二次根式》是北师大版八年级上册《第二章 实数》的第7节，是在学习了勾股定理、算术平方根、平方根、立方根、无理数、实数等概念，会用根号表示数的平方根、立方根，了解了开方与乘方互为逆运算的基础上的进一步学习。二次根式既是实数加减乘除等运算的需要，也是将来九年级学习锐角三角函数以及一元二次方程、二次函数等内容的重要基础。在初中学段课程标准只要求学习根号下仅限于数的二次根式及其加减乘除四则运算，而不研究一般意义下的二次根式（根号下含字母），显然是在充实实数的学习，其核心是学习有无理数参与的实数加减乘除四则运算。教材共为本节设计了三个课时，分别是：第一课时，认识二次根式和最简二次根式的概念，探索二次根式的性质，并能利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式的形式；第二课时，基于二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算；第三课时，进一步进行二次根式的运算，发展学生的运算技能，并关注解决问题方式的多样化，提高学生运用法则的灵活性和解决问题的能力．本节课是第1课时，不仅是对实数的延续与扩充，还是为后继学习二次根式的四则运算奠定基础。

本课时的教学内容主要由概念性知识和程序性知识两部分构成。对于最简二次根式的概念以及二次根式的性质等概念性知识教材都没有直接给出，而是让学生从一定数量的具体例子中通过观察、分析、归纳、概括后形成，从而让学生充分体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学思想。化简二次根式的一般步骤是：把根号下大于1的带分数或小数化成假分数，把小于1的正小数化成真分数；被开方数是正整数的要因数分解；使被开放数不含分母；将被开方数中能开的尽方的因数用它的算术平方根代替后移到根号外面；化去分母中的根号、

约分。可见，化简二次根式不仅有助于优化学生的符号意识，还能体会化归思想在提高运算能力中的突出作用。

八年级学生对化简并不陌生，他们在七年级经历整式的加、减、乘、除等运算的学习时已经体会到整式运算的目标就是化简。同样，二次根式的加减乘除等运算的目标也是化简。因此，首要的是学生必需了解最简二次根式的概念，为二次根式的化简明确方向，并能化简二次根式。这样既能进一步优化学生的符号意识，又能提高学生的基本运算能力。所以，本节课的教学重点是：最简二次根式的概念与化简二次根式。

二、教学目标设置 （1）知识与技能

了解二次根式和最简二次根式的概念，探索并利用二次根式的性质化简简单的二次根式（根号下仅限于数）。

（2）过程与方法

经历二次根式和最简二次根式概念的形成以及二次根式性质的探索过程，体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学思想，发展学生的总结与归纳能力；经历化简二次根式的过程，进一步发展学生的符号意识．

（3）情感与态度

经历化简二次根式的过程，体验获得成功的乐趣，增强学生学习数学的自信心。 三、学生学情分析

八年级学生在学习本课之前已经经历了乘方、开方等运算以及算术平方根、平方根、立方根、实数等概念的学习．尤其在平方根的学习中，学生已经接触过大量的二次根式，虽然从未用提过“二次根式”，但是已经为“二次根式”概念的建立和化简奠定了必要的知识与技能基础。学生喜闻乐见二次根式这张“熟面孔”，情感上容易接纳，尤其有助于学习本课中的概念性知识。在以前的学习过程中，学生已经经历了大量的自主探究、合作学习的活动，积累了一些基本的数学活动经验，形成了一定的观察、分析、归纳、概括等能力，具备了在本课探索二次根式的性质和形成最简二次根式概念的认知基础。化简二次根式的关键在于将

被开方数中能开的尽方的因数用它的算术平方根代替后移到根号外面；使被开放数不含分母，化去分母中的根号、约分。其中与本节课联系最密切的既往知识是算术平方根与无理数，学生已经能够熟练地运用开平方与平方互为逆运算的关系求一个完全平方数的算术平方根，并能用根号表示一个无理数。但是有些学生对这里的正整数必需因数分解出完全平方数的这一特殊性要求会产生困难，从而造成学生化简不到位或化简过程繁琐冗长。

基于上述分析，本节课教学难点是：利用二次根式的性质化简被开方数是一个正整数或者分母不是完全平方数的分数的二次根式。

四、教学策略分析

1、用好的问题情境引入新课，激发学生的求知欲。

教材首先设置了一组用二次根号表示的代数式，运用算术平方根的知识明晰二次根式的概念。这样的教学引入平淡乏味，既难以激发学生学习的求知欲，又难以让学生了解学习本课的必要性。针对八年级学生的身心特点，我以本节课的第3道习题为蓝本创设了一个拼图活动，让学生在此问题情境中发现822，激发探索二次根式化简的求知欲，由此导入新课。

2、积极发挥小组合作学习的作用，让学生参与二次根式的性质与最简二次根式概念的生成过程。

要让概念性知识的生成教学成为学生体会从特殊到一般、从具体到抽象等数学思想方法的过程。在探索性质、概念的教学中，教师要用预设的问题串引领学生去主动观察、分析、归纳、概括。教学时应保障足够的时间让学生自主探究、合作交流。

3、渗透数学思维训练，提高例题教学的有效性。

化简二次根式既是教学重点又是教学难点，认识二次根式的性质是教学的根基，例题教学是运算技能训练的根本途径。例1简单直接，让学生自学即可，但仍要引导学生通过例1初步体会二次根式性质的作用——改变二次根式的运算顺序。例2是典型的化简二次根式，有一定难度，需要讲授。但是例2还缺了一类被开方数是小数的二次根式，需要补充。对例2教学时教师要注意训练学生的逻辑思维，不仅要让学生明白如何化简二次根式，还要让学生能明明白白地指出各步相应的算理依据，体会化归思想，提高学生基本的运算能力。

4、面向全体学生分层教学。

教学要让每个学生都能体验获得成功的乐趣，以增强学生学习数学的自信心。教材面向全体学生设置了例1、例2两个层次的典型例题，但是由于学习能力的差异性，有的学生学习例2时会有困难，有的学生却感觉简单。所以需要教师尽可能采取“小步子，缓坡度，层递进，勤小结”的办法进行精讲教学，同时教师还应补充更高层次的例3让学有余力的学生选学。还要设计最基础的练习让学困生也能学会化简二次根式。

5、及时反馈评价小结，适时调整教学预设。

在探索二次根式的性质和最简二次根式概念的教学中需要采用小组合作学习的方式，教师要参与到学生的活动中去，不仅要及时了解学生的学习状态，还要放手让学生进行同伴互相评价。教师要多创造机会让学生尤其是学困生公开汇报、展示学习成果、体会等，并给予适当的评价。学生在化简二次根式时容易出错，教师要及时指导、纠正学生的错误或失误，对于普遍存在的错误要利用实物投影仪或电子白板充分展示讲评，还应调整预设进行变式练习。在各个教学环节，教师都要及时小结。

6、充分运用西沃电子白板的交互性，引导学生自主学习，尽最大可能提升教学效率。 五、教学过程

环节 教学内容 学生活动 教师活动 媒体运用 先思索，再动手 一、情境引入 (3分钟) （2）小明的拼图如图2所示，这个拼图的面积等于 ，边长等于 ； （3）图2与图1的边长关系用等式可以表示为 。 1、问题1 ： （1）如图1，正方形纸片的面积为2，边长等于 ，至少需要 张这样的纸片就可以拼接（不裁剪）成一个大的正方形； 拼图验证，然后公开汇报。 1、提出问题： 用西沃白板导出PPT课件出示问题情境，让学生在问题是怎样变情境中发现8形得到的？ 22822，激发探索二次根式化简的求知欲。 2、引入新课。 1、观察、分析、 总结、概括； 5，11，7.2二、明晰二次根式的概念 (2分钟) 一般地，形如，49，121 1、组织学生自2、用自己的语言汇报与交流； 3、自学教材P.41.2、板书二次根式的概念。 学与交流； ， (cb)(cb)（其中b=24,c=25）上述式子有什么共同特征？ 2、二次根式的概念 a(a0) 二次根式的概念。 的式子叫做二次根式，a叫做被开方数。 1、(1)填空： 1、计算，分组观察、比较、分析、1、板书 三、探索二次根式的性质(5分钟) 49＝ ，49＝ ； 总结、概括； 2、分组（4人/组）abab(a0,b0)aba b， 1625＝ ，1625＝ ；交流； 3、自学教材P.41.阴影区域的二次根49＝ ，491625式的性质，并用语言＝ ； 表述。 (a0,b0) 1625＝ ，＝ ． 2、引导学生用自己的话描述性质； 3、提出问题：二次根式的性质的作用是什(2) 问题1： 观察上面的结果你可得出什么结论？ 2、(1)用计算器计算： 67＝ ，67＝ 么？ ； 4、讲授：二次67＝ ，67根式的性质的＝ ． 作用是改变了运算的顺序。 (2)问题2：问题1的结论在这里还适用吗？ 3、问题3：从你上面得出的结论，发现了什么规律？如果用字母怎么表示这个规律？其中的字母有条件吗？为什么呢？ 例1 化简（A层次）： 四、初步应用性质 (5分钟) （3）（2） 1、自学活动：先试做，再研读教材P.42.例1的解答过1、组织学生自学，并提示利用二次根式的性质； 2、提问数学能力层次偏低的学生，关注并引导学生进行有条理、清晰地叙 2、汇报各题的算法及其算理依据。 说各题的算理依据的具体内容。 让学生在比较中理解算法及其算理。 运用西沃白板的拍照上传功能，及时上传学生演算中出现的各类典型性错误， （1）81； 256； 程； 5。 9 1、问题1、 1、分组讨论问题1与问题2（4人一小1、组织并参与学生的小组讨论；及时表扬学生的亮点。 256五、发现最简二次根式(5分钟) 与56有什么异同？组）； 5与953呢？ 2、举例明2、汇报并总结、概晰最简二次根式的概念。 3、讲解化简二次根式的基本要3、自学教材P.42.求。 最简二次根式的概念，了解化简二次根式的基本要求。 括； 问题2、5同点？ 56与3有什么共2、最简二次根式的概念 一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。 1、例2.化简（B层次）: 1、跟随教师同步分析例题2动笔并化简（有能力的学生可1、引领学生一起分析例2的特运用西沃白板的拍照上传功能，及时上传(1)50 (2)27 点，并与例1类比后板书讲授； 学生演算中出现的各类典型2、及时小结化性错误， 让学生互评互助。 2、对例3做必要的启发提示：以上化简过程有何规律呢？ (3)六、深入应用性质（10分钟） 1.2 (4)13 以先做，然后与教师的讲解对比）； 简二次根式的基本方法。 2、分组交流例2后的思考题； 2、思考题：以上化简过程有何规律呢？ 3、例3.（选学）化简（C层次）： 3、例3仅供学有余力的学生选学 (1) (2)512 (3)98 化简： 七、练习巩固（10分钟） A：（1） 自主选择与自己水平相当层次的练习题练习。 1、巡视，并辅导学困生； 8； （2）0.5；(3)152、分别 组织选做同一层次练习的学B：（1）45；（2）1.5；(3)45生互批互评； 3、必要时要借助实物投影仪C（1）112（2）125； 16展示典型错误，并要公开讲评。 （3）3227. 1、本节课主要内容： 八、课堂小结 （5 1、从知识、技能、数学思想方一个性质、两个概念、三类化简题，用自己的话总结本重点是最简二次根式和化简二次根式； 2、本节课中用过的数学方法总结． 节课所学的内容，并谈自己的学习体会或感受 分钟） 2、总结化简二次根式的方向、方法及防错办法。 布置作业：P.43.习题2.9 必做第1、2题；选做第4题。 法三个方面总结； 运用西沃白板的思维导图功能，引领学生进行学习小结