2019全国新课标II卷试题+解析 WORD版

2019全国新课标II卷试题+解析

一.选择题：本题共12道，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的。

1.设集合 ， ，则 =（ ） . ∞ . . . ∞ 【解析】考察一元二次不等式，一元一次不等式的解法，集合的运算 【详解】解得集合A={x|x2或x3}，集合B={x|x1}，取公共部分 = ∞ ，选A

2.设 ，则在复平面z对应的点位于（ ）

第一象限 .第二象限 .第三象限 .第四象限 【解析】考察复数的共轭，及其坐标表示

【详解】∵ ，∴z=-3-2i，对应坐标（-3，-2），是第三象限。选C ， =1，则 （ ） 3.已知 ，

【解析】考察向量的坐标运算，向量的减法，求模，数量积等基本公式，此题只要依题意进行公式套入即可。

，则BCACAB(1,t3)，【详解】∵ ， （2,3）·（1,0）=2，选C |BC|12(t3)21，解得t=3，则

4.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类史上首次月球表面软着陆，我

国航天事业取得又一重大成就.实现月球表面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 点的轨道运行. 点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为 ，月球质量为 ，地月距离为 ， 点到月球的距离为 ，根据牛顿运动定律和万有引力定律， 满足方程：（ ）

设 .由于 的值很小，因此在近似计算中为

，则 的近似值

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【解析】此题题干过于繁冗，需提炼重要条件，已知

然后利用公式：

，

，

，整理出r。

【详解】由 ，的Rr，将其代入到

中，可整理出：

M22(1)31M1,继续整理将α2(1)放在式子一端：得：

M2M2(1)3123334533，整理出r=R,故选D 33M1M1(1)2(1)2

5.演讲比赛共有 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从 个原始评分中去掉 个最高分、 个最低分，得到 个有效评分， 个有效评分与 个原始评分相比，不变的数学特征是 （ ）

中位数 平均数 方差 极差

【解析】考察统计中各个数据的含义，此题需理解中位数的求法即可。 【详解】9个数的中位数去掉两端的两个数据后，新7个数的中位数和原来相同，故选A

6.若 ，则（ ）

【解析】此题看似不等式，实则是考察函数的单调性，通过函数单调性比较函数值的大小关系。

【详解】由于yx3是增函数，故a3b3，故选C 设 为两个平面，则//的充要条件是（ ）

. 内有无数条直线与β平行 . 内有两条相交直线与 平行 . 平行于同一条直线 . 垂直于同一平面 【解析】此题考察面面平行的判定定理。

【详解】判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行。故选B

若抛物线 的焦点是椭圆

的一个焦点，则 （ ）

【解析】圆锥曲线，考察抛物线和椭圆的焦点坐标，代入焦点坐标公式中即可求解，难度中等。注意识别焦点位置。

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p【详解】易知抛物线的焦点为(,0)，故椭圆焦点在x轴上，由

2pc2a2b23pp2p，则()22p，解得p=8，故选D

2 下列函数中，以 为周期且在区间 单调递增的是（ ）

. 【解析】考察图像变换中的含绝对值的图像变换，则利用图像判断函数单调区间 【详解】将f(x)|cos2x|的图像变换，“下翻上”，如图可知在区间 上是增函数，故选A

已知(0,)， ，则 （ ）

2 .

【解析】考察三角函数的恒等变换，利用二倍角公式，可化简求tanα，进而

求sinα

1【详解】2sin2cos212cos2，又si可求tan， n22sincos，

25又∵(0,)，则sin，故选B

52 设 为双曲线 : ， 的右焦点， 为坐标原点，以 为直径的圆与圆 交于 两点，若 ，则 的离心率为（ ） 【解析】此题考察双曲线的离心率的求法，根据题意做出图像，已知条件中的

PQ=OF ，寻找关于a，b，c的等量关系，变形整理出离心率，是难题

c【详解】依题意做出图形，设M为圆心，|OF||PQ|，∴|OM||MP|，|OP|a

2c2c2c2∴()()a，整理出e2，故选A

22a

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12. 设函数 的定义域为 ，满足 ，且当 时，

，若对任意 ∞ ，都有 ，则 的取值范围是

（ ） . ∞ ∞ ∞ ∞

【解析】此题是“类周期函数”函数每向右一个单位，纵坐标总扩大2倍，做出函数图像，解出相应的函数解析式，再根据恒成立的条件，可求m的取值范围。 【详解】如图：设与红线交点（左）为x1

8f(x)，即mx1，根据第三段与x轴交点为2,3，可求第三段解析式为

9877f(x)4(x2)(x3)=，解得x1，则m，故选B

933

二、填空题：本题共 小题，每小题 分，共 分。

我国高铁发展迅速，技术先进，经统计，在经停某站的高铁列车中，有 个车次的正点率为 ，有 个车次的正点率为 ，有 个车次的正点率为 ，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为__________.

【解析】统计问题，考察频率分布中的平均值的求法，方法：频率乘相应数据再求和

111【详解】xp1x1p2x2p3x30.970.980.990.98，故填0.98

424

已知 是奇函数，且当 时， .若 ，则 . 【解析】考察函数的奇偶性，及指数对数的计算。根据已知区间的函数值，利用奇函数性质转换到未知区间的函数值，可求参数a

【详解】∵ln20,ln20，又函数为奇函数，则f(ln2)f(ln2)8，则ealn28，∴2a8，∴a=-3，故填-3

的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .若 ， ， ，则 的面积为 .

【解析】此题考查解三角形中余弦定理，面积公式的应用。应用余弦定理课解出a和c，在用面积公式可解

【详解】由余弦定理b2a2c22accosB，代入已知条件，解得：c23，

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a3，则由面积公式S

1acsinB，得S63。故填63 2

中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 ）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图 是一个棱数为 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 .则该半正多面体共有 个面，其棱长为 .（本题第一空 分，第二空 分.）

【解析】本题考察数学文化，注重社会主义核心价值观，并将5分拆成2+3分两部分，利于学生拿分；第一空，应用题中“对称”二字，可数出面数；第二空，恰当做出截面是关键，把立体图形的放在平面几何中研究，是解决立体几何的重要手段

【详解】（1）上层8个，中层8个，下层8个，上下底各1个。共26个面

1a（2）设棱长为a，如图做出该几何体的截面。CD=，CE=1，又△CDE为等腰

21a直角三角形。则2a，解得a21，则棱长为21，故填21

2

三、解答题： 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 题

为必考题，每个试题考生都必须作答。第 、 题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共 分。 （12分）

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如图，长方体 的底面 是正方形，点 在棱 上， .

⑴证明： 平面 ；

⑵若 ，求二面角 的正弦值.

【解析】

（1）问考察线面垂直的判定定理，找到与BE垂直的两条相交直线

（2）问考察空间向量中二面角的求法，注意此题问的是正弦值，还需将余弦值转化为正弦值。 【详解】

（1）证明：∵长方体ABCDA1B1C1D1中，C1B1平面ABB1C1 ∴BEB1C1,又∵BEEC1,B1C1EC1C1 ∴BE平面EB1C1

（2）由题意知，△AB1E,△ABE,△BB1E均为等腰直角三角形

设AA12,A1B11,以C为坐标原点，CD，CB,CC1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，此时

C(0,0,0),B(0,1,0),E(1,1,1),C1(0,0,2)

EC(1,1,1),CB(0,1,0),CC1(0,0,2)

设平面BEC的法向量为n1(x1,y1,z1)，平面ECC1的法向量为n2(x2,y2,z2)

nEC0∴1，得n1(1,0,1)，同理n2(1,1,0) n1CB0∴cosn1,n2n1n2|n1||n2|31，∴sin，

223 26

即二面角 的正弦值为

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18. 分制的乒乓球比赛，每赢一球得一分，当某局打成 平后，每球交换发球权，先多的 分的获胜，该局比赛结束，甲，乙两位同学进行单打比赛假设甲发球时，甲得分的概率为 ，乙发球时甲得分的概率为 ，各球的结果相互，在某局双方 平后，甲先发球，两人又打了 个球后概率比赛结束。 ⑴求P(X2)

⑵求事件“ 且甲获胜”的概率。

【解析】

事件的概率，也叫“积事件”，同时考察数学的应用能力，（1）问中x=2，说明甲得2分或者乙得2分。（2）问需分析好情况，4球后甲获胜的情况是双方打成11平后甲连赢2球。 【详解】

甲发球时，甲得分的概率为 ，则甲发球时，乙得分的概率为 ； 乙发球时，甲得分的概率为 ，则乙发球时，乙得分的概率为 .6； （1） 0.5×0.6+0.5×0.4=0.5。故P(X2)=0.5 （2）P(X4)=0.5×0.4×0.5×0.4+0.5×0.6×0.5×0.4=0.1

故事件“ 且甲获胜”的概率为0.1

19.已知数列 和 满足 ， ， ，

⑴证明： 是等比数列； 是等差数列 ⑵求 和 的通项公式 【解析】

（1）考察证明数列是等比等差的方法，都是用定义法，即用后一项比（减）前一项等于常数；

（2）方程组法求通项公式；求出 与 的通项公式，解方程组即可； 【详解】

（1）4an13anbn4① 4bn13bnan4② ①+②得：4(an1bn1)2(anbn) ∴

an1bn11，又a1b11

anbn2∴ 是首项为1，公比为

1的等比数列 2①-②得：(an1bn1)(anbn)2，又a1b11

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∴ 为首项为1，公差为2的等差数列

1（2）易求anbn()n1

2anbn2n1；

11两式相加得：an()nn

2211两式相减得：bn()nn

2220.已知函数

⑴讨论函数 的单调性，并证明函数 有且只有两个零点；

⑵设 是 的一个零点，并证明曲线 在 出的切线也是曲线 的切线 【解析】

（1）利用导数判断函数单调性，零点存在定理的应用

（2）设而不求的的思想应用极值点，未知切点的切线方程的求法。此题是难题 【详解】

（1）∵x(0,1)(1,)

12x21f'(x)0

x(x1)2x(x1)2

∴f(x)在(0,1)和(1,)上的增函数

111e22210 又∵f(2)ln222ee1ee111 f()ln30

22∴f(x)在(0,1)内有唯一零点； 又∵f(e)lne221e20 e1e11e22120 f(e)lne2e1e1∴f(x)在(1,)内有唯一零点， 综上，f(x)有且仅有两个零点。 （2）由（1）只lnx0x01 x018

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则切线方程为ylnx0112(xx0)，即yx x0x0x01

令yex的切线的切点为(x1,ex1) 则切线方程为：yex1ex1(xx1) 当

1ex1时，x1lnx0 x0111xlnx0 x0x0x0即yex的切线为y整理得：y12x，得证。 x0x01 已知 ， 为坐标系内任意一点，且满足直线 和 的斜率之积为 ，设 的轨迹为曲线

⑴求 的曲线，并说明表示什么曲线

⑵过原点的直线交于 于 ，点 在第一象限， 轴，垂足为 ，连接 并延长交 于

①证： 是直角三角形 ②证： 面积最大值 【解析】

（1）求轨迹方程，通过已知条件的斜率之积为定值，可整理出x，y的关系式，即可

(2)利用斜率之积为-1证明直角三角形；利用几何关系的转化△PQG的面积=△PQE的面积+△PGE的面积,再利用对号函数求出最值，此题运算量较大。 【详解】

1yy1（1）：kMAkMB，

2x2x22x2y21（x2） 整理得：42

M点的轨迹为：去掉左右顶点的椭圆 （2）①证明：设P(x0,y0)，则Q(x0,y0),E(x0,0)

:y QE y0(xx0) 2x0222y0y0y02 与曲线C联立化简得：(12)xx40

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2y0322x03x0y0x0 xQxG xG 222y02x0y0122x0

3y0 代入QE直线，得yG2 22x0y03y0y022x02x0y0 322x03x0y0y0x0222x0y0 kPG kPGkPQ1 即PQG为直角三角形

(2) ②SPQGSPQESPGE =

11y02x0y0(x1x0) 221kx0(x0x1) 2直线QG和直线PG连立求出

3k22xG2x0

k2ykx42得： x20222k1x2y4k28k(k1)k18t8 =2(k21)2k22(k)2t22t2k21tk1（令t2(0,]）

k12116∴t=时取得最大值为，当且仅当k=1时等号成立

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（二）选考题，共 分。请考生在第 ， 题中任选一题作答，如果多做，则按所做题的第一题计分

22.【选修 ：坐标系与参数方程】（10分）

在极坐标系中， 为极点，点 在曲线 上，直线 过 且与 垂直，垂足为

28⑴当 ，求 及 的极坐标方程

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⑵当 在 上运动且 在线段 上时，求 点轨迹的极坐标方程

【解析】

（1）考察极坐标与直角坐标的转化

（2）极坐标在解析几何中的应用，利用极坐标表示P点直角坐标，利用垂直条件整理出P点轨迹方程 【详解】

（1）M点在曲线C上，且03

04sin23

3 M (23,)，直角坐标为M(3,3)

3 kOM3 kl3 3 l:x3y40 即：sin(6)2

（2）设P (,)，直角坐标为P(cos,sin) kOMkPA1，sintan1

cos4化简得：4cos

又：P在线段OM上， ,

42 综上：P点轨迹的极坐标方程为：4cos（,）

4223.【选修 ：不等式选讲】（10分） 已知

（1）当 时，求不等式 的解集；

（2）若 ∞ 时， ，求 的取值范围。

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【解析】

（1）分类讨论解不等式；或利用分段函数图像解不等式；

（2）分类讨论处理含绝对值不等式恒成立问题，根据a≥1和a<1两种情况。 【详解】

（1）：当a=1时，

2(x1)2…x1f(x)x1xx2(x1)2(x1)…1x22(x1)2…x2

,1。

根据f(x)图像可知，f(x)0的解集为

（2）①当a1且x,1时， f(x)2(xa)(x1)

,1上恒为负

根据f(x)图像可知，f(x)在

a1满足题意。 ②当a1时，

f(a)0，不满足题意 综上，a的取值范围为1,。

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