等差等比数列知识点梳理及经典例题

A、等差数列知识点及经典例题

一、数列

由an与Sn的关系求an

由Sn求an时，要分n=1和n≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不

(n1)S1anSnSn1(n2)。 能，则用分段函数的形式表示为

a〖例〗根据下列条件，确定数列n的通项公式。

分析：（1）可用构造等比数列法求解；

（2）可转化后利用累乘法求解；

（3）将无理问题有理化，而后利用an与Sn的关系求解。

解答：（1）

1

数列知识点梳理及经典习题 出题人：

（2）

……

故

（3）

二、等差数列及其前n项和

（一）等差数列的判定

1、等差数列的判定通常有两种方法：

2

累乘可得，

数列知识点梳理及经典习题 出题人：

第一种是利用定义，anan1d(常数)(n2)，第二种是利用等差中项，即2anan1an1(n2)。

2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断。

（1）通项法：若数列{an}的通项公式为n的一次函数，即an=An+B,则{an}是等差数列；

（2）前n项和法：若数列{数列。

an}的前n项和

Sn是

SnAn2Bn的形式（A，B是常数），则{an}是等差

注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。

12

〖例〗已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足

1SnSnSn12SnSn10(n2),a1（1）求证：{}是等差数列；

（2）求an的表达式。

11分析：（1）SnSn12SnSn10Sn与Sn1的关系结论；

（2）由

1Sn的关系式Sn的关系式an

1Sn11Sn1Sn1Sn11Sn1S11a1解答：（1）等式两边同除以SnSn1得首项，以2为公差的等差数列。

-+2=0，即-=2（n≥2）.∴{}是以==2为

3

数列知识点梳理及经典习题 出题人：

（2）由（1）知

1Sn=

1S111+（n-1）d=2+(n-1)×2=2n,∴Sn=2n,当n≥2时，an=2Sn·Sn1=2n(n1)。

12an11a12n(n1)2，不适合上式，故又∵

(n1)(n2)。

【例】已知数列{an}的各项均为正数，a1＝1.其前n项和Sn满足2Sn＝2pa2则{an}n＋an－p(p∈R)，的通项公式为________．

∵a1＝1，∴2a1＝2pa21＋a1－p，

即2＝2p＋1－p，得p＝1.

于是2Sn＝2a2n＋an－1.

22当n≥2时，有2Sn－1＝2a2n－1＋an－1－1，两式相减，得2an＝2an－2an－1＋an－an－1，整理，得

1

2(an＋an－1)·(an－an－1－)＝0.

2

11n＋1

又∵an>0，∴an－an－1＝，于是{an}是等差数列，故an＝1＋(n－1)·＝. 222

（二）等差数列的基本运算

n(a1an)n(n1)na1d22，共涉及五个

1、等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d及前n项和公式

Sn量a1，an，d,n, Sn,“知三求二”，体现了用方程的思想解决问题；

4

数列知识点梳理及经典习题 出题人：

2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。

SnSndddna1a1(n1)22，故数列{n}是等差数列。 注：因为n2〖例〗已知数列{}的首项=3，通项

xnx1xn2npnq(nN,p,q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列。求：

（1）p,q的值；

（2）数列{xn}的前n项和Sn的公式。

分析：（1）由x1=3与x1，x4，x5成等差数列列出方程组即可求出p,q；（2）通过xn利用条件分成两个可求和的数列分别求和。

解答：（1）由x1=3得2pq3……………………………………①

又

x424p4q,x525p5q,且x1x52x45532p5q2p8q…………………② ，得

由①②联立得p1,q1。

（2）由（1）得，

xn2nn

5

数列知识点梳理及经典习题 出题人：

（三）等差数列的性质

1、等差数列的单调性：

等差数列公差为d，若d>0,则数列递增；若d<0,则数列递减；若d=0,则数列为常数列。

★2、等差数列的简单性质：略

典型例题

1．等差数列an中, 若Sn25,S2n100，则S3n225；

a2.（厦门）在等差数列n中， a2a84,则 其前9项的和S9等于 （ A ）

A．18 B 27 C 36 D 9

a3、（全国卷Ⅰ理） 设等差数列n的前n项和为Sn，若S972,则a2a4a9= 24

4、等差数列{an} 的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为( C )

(A)130 (B)170 (C)210 (D)160

An7n45Bnn3anbn5.(湖北卷)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且数的正整数n的个数是（ D ）

，则使得为整

6

数列知识点梳理及经典习题 出题人：

A．2 B．3 C．4 D．5

6、在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3(n≥1)，则该数列的通项an＝________.

由an＋1＝2an＋3，则有an＋1＋3＝2(an＋3)，

即

an＋1＋3an＋3

＝2.

所以数列{an＋3}是以a1＋3为首项、公比为2的等比数列，即an＋3＝4·2n－1＝2n＋1，所以an＝2n＋1－3.

7、已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0等于________．

1

的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|的值

4

如图所示，易知抛物线y＝x2－2x＋m与y＝x2－2x＋n有相同的对称轴x＝1，它们与x轴的四个交点依次为A、B、C、D.

17

因为xA＝，则xD＝.

44

35

又|AB|＝|BC|＝|CD|，所以xB＝，xC＝.

44

7

数列知识点梳理及经典习题 出题人：

17351

故|m－n|＝|×－×|＝.

44442

8、在等差数列{an}中，a1＝－3,11a5＝5a8－13，则数列{an}的前n项和Sn的最小值为________．

设公差为d，则11(－3＋4d)＝5(－3＋7d)－13，

5∴d＝.

9

∴数列{an}为递增数列．

532

令an≤0，∴－3＋(n－1)·≤0，∴n≤，

95

∵n∈N*.

29

∴前6项均为负值，∴Sn的最小值为S6＝－. 3

Sn7n3a8anbnSnTnTn3bnn86.若两个等差数列和的前项和分别为和，且满足，则 6 . 7．（北京卷）（16）（本小题共13分） 已知an为等差数列，且a36，a60。

8

数列知识点梳理及经典习题 出题人：

（Ⅰ）求an的通项公式；

（Ⅱ）若等差数列bn满足b18，b2a1a2a3，求bn的前n项和公式

解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差d。

因为a36,a60

a12d6 所以a15d0 解得a110,d2

所以an10(n1)22n12

（Ⅱ）设等比数列{bn}的公比为q

因为b2a1a2a324,b8

所以8q24 即q=3

b1(1qn)Sn4(13n)1q所以{bn}的前n项和公式为

★等差数列的最值：

若

an是等差数列，求前n项和的最值时，

9

数列知识点梳理及经典习题 出题人：

an0（1）若a1>0,d>0,且满足an10，前n项和Sn最大；

an0（2）若a1<0,d>0，且满足an10，前n项和Sn最小；

（3）除上面方法外，还可将

an的前n项和的最值问题看作Sn关于n的二次函数最值问题，利用

二次函数的图象或配方法求解，注意nN。

〖例〗已知数列

an是等差数列。

（1）若amn,anm(mn),求amn;

（2）若Smn,Snm(mn),求Smn.

解答：设首项为a1，公差为d，

nm1mn

（1）由amn,anm，

d∴amnam(mnm)dnn(1)0.

n(n1)n2m2mnmnmna1da12mn,.nmam(m1)dd2(mn)12mn（2）由已知可得解得

10

数列知识点梳理及经典习题 出题人：

Smn(mn)a1(mn)(mn1)d(mn)2

【例】已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n∈N*，满足关系式2Sn＝3an－3.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设数列{bn}的通项公式是bn＝，前n项和为Tn，求证：对于任意的正整数n，

log3an·log3an＋1

总有Tn<1.

1

(1)解 ①当n＝1时，由2Sn＝3an－3得，2a1＝3a1－3，

∴a1＝3.

②当n≥2时，由2Sn＝3an－3得，

2Sn－1＝3an－1－3.

两式相减得：2(Sn－Sn－1)＝3an－3an－1，即2an＝3an－3an－1，

∴an＝3an－1，又∵a1＝3≠0，∴{an}是等比数列，∴an＝3n.

验证：当n＝1时，a1＝3也适合an＝3n.

∴{an}的通项公式为an＝3n.

11

数列知识点梳理及经典习题 出题人：

(2)证明 ∵b11

n＝log3an·log3an＋1＝log33n·log33

n＋1 ＝

1

11

(n＋1)n＝n－n＋1

， ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn

＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n－1n＋1

) ＝1－

1

n＋1

<1.

等差数列习题 1. 设｛an项和，SSnn｝为等差数列，Sn为｛an｝的前7＝7，S15＝75，已知Tn为数列｛n 项数，求Tn．

2．已知数列an是等差数列，其前n项和为Sn，a36,S312．

1（１）求数列a11n的通项公式；（２）求

S1S2Sn．

12.解：设数列｛a｝的公差为d，则S＋1

nn＝na12

n（n－1）d．

12

n｝的前 数列知识点梳理及经典习题 出题人：

7a1＋21d＝7 a1＝－2

∵S7＝7，S15＝75，∴， ∴

15a1＋105d＝75d＝1

11

∴ ＝a1＋ （·n－1）d＝－2＋ （·n－1） n22

Sn1Sn1∴ － ＝ ∴数列｛ ｝是等差数列，其首项为－2，公差为 ， n＋1n2n2

Sn+1Sn∴Tn＝n·(－2)＋

n（n－1）1

219

2 · ＝ n－ n．

244

a12d6323ad121an214．解：（１）设数列的公差为ｄ，由题意得方程组 ，解得

a12d2，∴数列an的通项公式为ana1(n1)d2n，即an2n．

（２）∵an2n，∴

Snn(a1an)n(n1)2．

111111Sn1223n(n1) ∴S1S21111111()()()11223nn1n1．

B、等比数列知识点及练习题

13

数列知识点梳理及经典习题 出题人：

等比数列及其前n项和

（一）等比数列的判定

判定方法有：

an1aq(q为非零常数)或nq(q为非零常数且n2)aan1（1）定义法：若an，则n是等比数列；

anan0且a2n1an（2）中项公式法：若数列中，

an2(nN)a，则数列n是等比数列；

（3）通项公式法：若数列通项公式可写成列；

ancqn(c,q均为不为0的常数，nN)a，则数列n是等比数

a（4）前n项和公式法：若数列n的前n项和Snkqnk(k为常数且k0,q0,1)a，则数列n是等比

数列；

注：（1）前两种方法是判定等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空中的判定；（2）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定其任意的连续三项不成等比数列即可。

a〖例〗在数列n中，a12,an14an3n1,nN。

（1） 证明数列ann是等比数列；

a（2） 求数列n的前n项和Sn；

14

数列知识点梳理及经典习题 出题人：

（3） 证明不等式Sn14Sn对任意nN皆成立。

解答：（1）由题设

an14an3n1,得

an1(n1)4(ann),nN。又a111,所以数列ann是首项为

1，且公比为4的等比数列。

anaan4n1n，于是数列的通项公式为。所以数列n的前n项和

（2）由（1）可知

4n11n(n1)Sn32。

ann4n1nN（3）对任意的，

4n11(n1)(n2)4n1n(n1)1Sn14Sn4[](3n2n4)032322，所以不等式Sn14Sn对任意nN皆成立。

（二）等比数列的的运算

等比数列基本量的运算是等比数列中一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，显然，“知三求二”，通常列方程（组）求解问题。解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程。

注：在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式。

ba〖例〗设数列n的前n项和为Sn，且bn=2-2Sn；数列n为等差数列，且a614,a720。

15

数列知识点梳理及经典习题 出题人：

b（1） 求数列n的通项公式；

c（2） 若cnanbn(nN)，Tn为数列n的前n项和，求证：

Tn72。【放缩法】

2解答：（1）由bn=2-2Sn，得b122S1，又S1=b1，所以b1=3，由bn=2-2Sn……………………①

得bn122Sn1……………………………………………………②

21b，∴n是以3为首项，以3为公比的等比数列，所

②-①得bn1bn2bn1，∴

21nbn3(3)以=·。

a（2）∵n为等差数列，∴

da7a5375，∴

从而

1115()28()33331(3n1)()n]3………………………………③

∴

Tn2[21111Tn2[2()25()38()4333∴311(3n4)()n(3n1)()n1]33…………………④

③-④得

16

数列知识点梳理及经典习题 出题人：

=

∴

∴

（三）等比数列性质的应用

★在等比数列中常用的性质主要有：

（1）对于任意的正整数

；

若，则特别地，若

（2）对于任意正整数有；

a（3）若数列n是等比数列，则

can(c0),ana2n,1anb也是等比数列，若n是等比数列，则

anbn也是等比数列；

（4）数列

仍成等比数列；

17

数列知识点梳理及经典习题 出题人：

（5）数列是等比数列（q≠-1）；

★（6）等比数列的单调性

注：等比数列中所有奇数项的符号相同，所有偶数项的符号也相同。

a1.（全国卷2理数）（4）.如果等差数列n中，a3a4a512，那么a1a2...a7

（A）14 （B）21 （C）28 （D）35

【考查点】考查等差数列的基本公式和性质.

7(a1a7)7a4282

【解析】

a3a4a53a412,a44,a1a2a72. （辽宁理数）（6）设{an}是有正数组成的等比数列，Sn为其前n项和。已知a2a4=1, S37,则S5

18

数列知识点梳理及经典习题 出题人：

15313317（A）2 (B)4 (C)4 (D)2

【考查点】等比数列的通项公式与前n项和公式。

111(3)(2)0S3a1(1qq2)7q2，qq又因为，联力两式有，

【解析】由a2a4=1可得

4(11所以q=2,所以

a12q41，因此

a1S51)25311412，

3. （辽宁卷）（14）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S33，S624，则a9 15 。

解：

32S3ad3132a11S6a65d24612,解得d2，a9a18d15.

4. （天津卷）（15）设{an}是等比数列，公比q2，Sn为{an}的前n项和。记

Tn0Tn17SnS2n,nN*.an1设

为数列{Tn}的最大项，则n0= 。

【解析】本题主要考查了等比数列的前n项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等题。

17a1[1(2)n]a1[1(2)2n]1(2)2n17(2)n161212Tn•na1(2)12(2)n(2)n116•[(2)n17]n12(2)因为

16(2)n≧8，当且仅当(2)n=4，即n=4时取等号，所以当n=4时T有最大值。 0n

19

数列知识点梳理及经典习题 出题人：

*a5. （上海卷）已知数列n的前n项和为Sn，且Snn5an85，nN

(1)证明：an1是等比数列；

S(2)求数列n的通项公式，并求出使得Sn1Sn成立的最小正整数n.

解析：(1) 当n1时，a114；当n≥2

5an1(an11)6时，anSnSn15an5an11，所以，

又a1115≠0，所以数列{an1}是等比数列；

5an1156(2) 由(1)知：

n15an1156，得

n15Sn756，从而

n1n90(nN*)；

由

5Sn1>Sn，得6n125，

nlog562114.925，最小正整数n15．

【其他考点题】

1、设｛an｝（n∈N*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S6，S6S7S8，则下列结论错误的是（C）

A.d＜0 B.a7＝0

C.S9＞S5

D.S6与S7均为Sn的最大值

解析：由S50，又S6=S7，∴a1+a2+…

20

数列知识点梳理及经典习题 出题人：

+a6=a1+a2+…+a6+a7，∴a7=0，由S7>S8，得a8<0，而C选项S9>S5，即a6+a7+a8+a9>02（a7+a8）>0，由题设a7=0，a8<0，显然C选项是错误的。

123n2、nlimn2＝（C）

1(A) 2 (B) 4 (C) 2 (D)0

ac3、已知a、b、c成等比数列，a、x、b和b、y、c都成等差数列，且xy≠0，那么xy的值为（B （A）1 （B）2 （C）3 （D）4

4、已知等差数列an的前n项和为Snpn22nq(p,qR),nN

（Ⅰ）求q的值；

（Ⅱ）若a1与a5的等差中项为18，bn满足an2log2bn，求数列的{bn}前n项和。

(Ⅰ)解法一：当n1时，a1S1p2q,

当n2时,a2nSnSn1pn22nqp(n1)2(n1)q2pnp2.

an是等差数列, p2q2pp2, q0·4分

解法二：当n1时,a1S1p2q,

21

。 ）

数列知识点梳理及经典习题 出题人：

anSnSn1pn22nqp(n1)22(n1)q2pmp2n2当时,.

当n3时,a1an12pnp2[2p(n1)p2]2p.

a2p2q2p3p2q.

又a22p2p23p2,

所以3p2q3p2,得q0.·4分

a1a52,a318.

(Ⅱ)解：

a3又a36pp2, 6pp218, p4 an8n6·8分

又

an2log2bn得

bn24n3.

bn124(n1)14n32416bb12bn2,,即n是等比数列。

2(116n)2nT(161)nbn11615所以数列的前n项和.

22