2.2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）（答案版）

数学(理)

第Ⅰ卷(选择题 60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合M0,1,2，Nx|x23x20，则MN（ ） A. 1

B. 2

C. 0,1

D. 1,2

2.设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z12i，则z1z2（ ） A. 5

B. 55

C. 4i

D. 4i

3.设向量a,b满足ab10，ab6，则ab（ ） A. 1

B. 2

C. 3

D. 5

4.钝角三角形ABC的面积是1，AB1，BC22 ，则AC（ ）

D. 1

A. 5

B.

5 C. 2

5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概

率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）

A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45

6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A. 17 B. 5 C. 10 D.

279271 37.执行右图程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

8.设曲线yaxlnx1在点0,0处的切线方程为y2x，则

a（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

xy709.设x，y满足约束条件x3y10，则z2xy的最大值为（ ）

3xy50A. 10 B. 8 C. 3 D. 2

10.设F为抛物线C:y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为（ ） A.

3393 C. 63 D. 9

B.

4328411.直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，

BCCACC1，则BM与AM所成的角的余弦值为（ ）

A. 1 B. 2 C.

105302 D.

210212.设函数fx3sinx.若存在fx的极值点x0满足x02fx0m2，则m的m取值范围是（ ）

A. ,66, B. ,44, C. ,22, D.,14,

第Ⅱ卷(非选择题 90分)

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.

第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在在题中的横线上. 13.xa的展开式中，x7的系数为15，则a________.(用数字填写答案) 14.函数fxsinx22sincosx的最大值为_________.

15.已知偶函数fx在0,单调递减，f20.若fx10，则x的取值范围是__________.

16.设点Mx0,1，若在圆O:x2y21上存在点N，使得OMN45，则x0的取值

10范围是________.

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）

已知数列an满足a1=1，an13an1.

（Ⅰ）证明an1是等比数列，并求an的通项公式；

2（Ⅱ）证明：11…+13.

a1a2an2

18. （本小题满分12分）

如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点.

（Ⅰ）证明：PB//平面AEC；

（Ⅱ）设二面角DAEC为60，AP1，AD3，求三棱锥EACD的体积.

19. （本小题满分12分）

某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：

年份 年份代号t 人均纯收入y

（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

2007 1 2.9 2008 2 3.3 2009 3 3.6 2010 4 4.4 2011 5 4.8 2012 6 5.2 2013 7 5.9 bttyyiii1ntiti1nˆ ˆybt，a2

20. （本小题满分12分）

2y2x设F1,F2分别是椭圆C:221ab0的左右焦点，M是C上一点且MF2与abx轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.

（Ⅰ）若直线MN的斜率为3，求C的离心率；

4a（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且MN5F1N，求，b.

21. （本小题满分12分）

已知函数fxexex2x （Ⅰ）讨论fx的单调性；

（Ⅱ）设gxf2x4bfx，当x0时，gx0,求b的最大值； （Ⅲ）已知1.414221.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，同按所做的第一题计分，做答时请写清题号.

22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲

如图，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，PC2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E.证明： （Ⅰ）BEEC； （Ⅱ）ADDE2PB

223. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos，0,.

2（Ⅰ）求C的参数方程；

（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l:y3x2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标.

24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲 设函数fx=x1xa(a0)

a（Ⅰ）证明：fx≥2；

（Ⅱ）若f35，求a的取值范围.

参

【选择题】

（1）D （2）A （3）A （4）B （5）A （6）C （7）D （8）D （9）B （10）D （11）C （12）C 【填空题】 （13）【解答题】 （17）解：

（Ⅰ）由an13an1得 an1又a11 （14）1 （15）1,3 （16）1,1 2113(an). 221133，所以an是首项为，公比为3的等比数列。

222213n3n1an，因此an的通项公式为an。

222（Ⅱ）由（Ⅰ）知

12n. an31nn1因为当n1时，3123于是

，所以

11. 3n123n11313（1-）. 3n-123n211a1a21111an313. an2所以

111a1a2a3（18） 解：

（Ⅰ）连结BD交AC于点O，连结EO. 因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点. 又E为PD的中点，所以EO//PB.

EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB//平面AEC.

(Ⅱ)因为PA平面ABCD，ABCD为矩形，所以AD,AB,AP两两垂直。

如图，以A为坐标原点，AB的方向为x轴的正方向，AP为单位长，建立空间直角坐标

系Axyz，则D0,3,0,E(0,3131,).AE(0,,). 2222设B(m,0,0)(m0),则C(m,3,0),AC(m,3,0) 设n1(x,y,z)为平面ACE的法向量，

mx3y0,nAC0,1则 即3 1y0.n1AE0.22可取n1(3,1,3). m又n2(1,0,0)为平面DAE的法向量。 由题设cos(n1,n2)1，即 2313，解得 m. 234m22 因为E为PD的中点，所以三棱锥EACD的高为

11313. V332228（19）解：

（Ⅰ）由所给数据计算得

1。三棱锥EACD的体积 21274,7

2.93.33.64.44.85.25.9y4.37t

(tt171t)2

941014928

7(tt11t)(y1y)31.42110.700.110.520.931.614

7b

(tt11t)(y1y)1(tt17t)2140.528，

aybt4.30.542.3.

所求回归方程为

y0.5t2.3.

（Ⅱ） 由（I）知，b=0.5﹥0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元。

将2015年的年份代号t=9带入（I）中的回归方程，得 y0.592.36.8

故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.

b2M(c,),2b23ac22a（20）解：（I）根据cab及题设知

c1c,22222 将bac代入2b3ac，解得a2a（舍去）

故C的离心率为

1. 2 （Ⅱ）由题意，原点O为F1F2的中点，MF2//y轴，所以直线MF1与y轴的交点D0,2

b24，即 是线段MF1的中点，故a b4a ① 由

2MN5F1N得

DF12F1N。

设Nx1,y1，由题意知y10，则

3x1c,2(cx1)c2y12y12，即1

9c212124ab代入C的方程，得②

9(a24a)11222cab4a4a将①及代入②得

2a7,b4a28， 解得

故

a7,b27.

（21）解：

（I）f'xexex20，等号仅当x0时成立.

所以f(x)在(,)上单调递增.

（Ⅱ）gxf2x4bfxe2xe2x4bexex8b4x gx2e'2xe2x2bexex4b2

2exex2exex2b2

（i）当b2时，g'x0，等号仅当x0时成立，所以g(x)在(,)上单调递增。而g00，所以对任意x0,gx0； （ii）当b2时，若x满足2eexx2b2，即0xlnb1b22b时

g'x0.而g00，因此当0xlnb1b22b时，gx0.

综上，b的最大值为2. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，gln2322b22b1ln2. 282330.6928； 426ln20；ln2122 当b2时，gln2232ln(b1b2b)ln2， 1时， 当b4 gln2322322ln20， 2 ln21820.6934 28 所以ln2的近似值为0.693. （22） 解：

（I）连结AB,AC.由题设知PAPD,故PADPDA.因为

PDADACDCAPADBADPAB DCAPAB所以DACBAD，从而BEEC。 因此BEEC.

（Ⅱ）由切割线定理得PAPBPC.

2 因为PAPDDC，所以DC2PB,BDPB. 由相交弦定理得ADDEBDDC， 所以ADDE2PB. （23）解：

（I）C的普通方程为x1y210y1. 可得C的参数方程为

22x1cost,ysint,（t为参数，0t）

（Ⅱ）设D1cost,sint.由（I）知C是以G1,0为圆心，1为半径的上半圆。 因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，

tant3,t

3.

33故D的直角坐标为1cos,sin，即,。 3322（24）解：

（I）由a0，有f(x)x 所以fx2. （Ⅱ）f33111xax(xa)a2. aaa13a a5211，由f35得3a。

2a151a3. ，由f35得2a当a3时， f(3)a当0a3时，f36a 综上，a的取值范围是

155212,2. 