宾县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案

一、选择题

1． 如图，四面体D﹣ABC的体积为，且满足∠ACB=60°，BC=1，AD+长度为（

）

=2，则四面体D﹣ABC中最长棱的

A．　2．

B．2

已

C．知

D．3

a2，

若圆

O1：

x2y22x2ay8a150，

圆

O2：

x2y22ax2aya24a40恒有公共点，则a的取值范围为（ ）.

55A．(2,1][3,) B．(,1)(3,) C．[,1][3,) D．(2,1)(3,)333． 已知正△ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为（ A．

B．

）

D．[

，2]）C．

D．

）

4． 函数f（x）=21﹣|x|的值域是（ A．（0，+∞）

B．（﹣∞，2]C．（0，2]

5． 在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ A．y=

B．y=﹣x+

D．y=

C．y=﹣x|x|

6． 两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是球面面积的则这两个圆锥的体积之比为（

）

，

A．2：1B．5：2C．1：4D．3：1

7． 已知f（x）为偶函数，且f（x+2）=﹣f（x），当﹣2≤x≤0时，f（x）=2x；若n∈N*，an=f（n），则a2017等于（

）

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A．2017B．﹣8C．D．

）

8． 给出函数f(x)，g(x)如下表，则f(g(x))的值域为（

A．4,2

B．1,3

）

C．1,2,3,4

D．以上情况都有可能

9． 设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣2）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（ 2）

10．已知函数f(x)A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）

C．（﹣2，0）∪（2，+∞）D．（﹣2，0）∪（0，

3sinxcosx(0)，yf(x)的图象与直线y2的两个相邻交点的距离等于

C．xA．x，则f(x)的一条对称轴是（ ）

12 B．x12

6

D．x

6

）

11．若函数f（x）=﹣2x3+ax2+1存在唯一的零点，则实数a的取值范围为（ A．[0，+∞）B．[0，3]　

12．已知P（x，y）为区域（ A．6

）B．0

C．2

D．2

C．（﹣3，0]D．（﹣3，+∞）

内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x﹣y的最大值是

二、填空题

13．由曲线y=2x2，直线y=﹣4x﹣2，直线x=1围成的封闭图形的面积为　　　　　　．　

14．已知a，b是互异的负数，A是a，b的等差中项，G是a，b的等比中项，则A与G的大小关系为　　．15．方程4xkx23有两个不等实根，则的取值范围是 2．+

=1表示的焦点

16．已知命题p：实数m满足m2+12a2＜7am（a＞0），命题q：实数m满足方程在y轴上的椭圆，且p是q的充分不必要条件，a的取值范围为　　　　　　．2ex1lnx17．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数fx若曲线y2xxaaR，

e1x（e为自然对数的底数）上存在点x0,y0使得ffy0y0，则实数a的取值范围为__________.

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18．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为__________

三、解答题

19．已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn=2an﹣n2+3n+2（n∈N*）（Ⅰ）求证：数列{an+2n}是等比数列；（Ⅱ）设bn=ansin（Ⅲ）设Cn=﹣　

π，求数列{bn}的前n项和；

，数列{Cn}的前n项和为Pn，求证：Pn＜．

20．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝1x2＋x＋a，g（x）＝ex.

2

（1）记曲线y＝g（x）关于直线y＝x对称的曲线为y＝h（x），且曲线y＝h（x）的一条切线方程为mx－y－1＝0，求m的值；

（2）讨论函数φ（x）＝f（x）－g（x）的零点个数，若零点在区间（0，1）上，求a的取值范围．

21．（本小题满分12分）已知A2,1,B0,2且过点P1,1的直线与线段AB有公共点, 求直线的斜率的取值范围.

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22．（本小题满分10分）已知函数f(x)|xa||x2|.

（1）当a3时，求不等式f(x)3的解集；（2）若f(x)|x4|的解集包含[1,2]，求的取值范围.

23．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的短轴长为2，且离心率e=，设F1，F2是椭圆的左、右焦点，

过F2的直线与椭圆右侧（如图）相交于M，N两点，直线F1M，F1N分别与直线x=4相交于P，Q两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求△F2PQ面积的最小值．

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24．某机床厂今年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利总额y元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利？

（3）使用若干年后，对机床的处理有两种方案：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．

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宾县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案（参）一、选择题

1． 【答案】 B

【解析】解：因为AD•（BC•AC•sin60°）≥VD﹣ABC=，BC=1，即AD•

≥1，

≥2

=2，

因为2=AD+当且仅当AD=这时AC=得BD=故选B．

=1时，等号成立，

，

，故最长棱的长为2．

，AD=1，且AD⊥面ABC，所以CD=2，AB=

【点评】本题考查四面体中最长的棱长，考查棱锥的体积公式的运用，同时考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，属于中档题．　

2． 【答案】C

222(x1)(ya)(a4)O1【解析】由已知，圆的标准方程为，圆O2的标准方程为2222|O1O2|2a6(xa)(ya)(a2) ，∵ a2，要使两圆恒有公共点，则，即

5a12|a1|2a6，解得a3或3，故答案选C

3． 【答案】D

【解析】解：∵正△ABC的边长为a，∴正△ABC的高为

，

画到平面直观图△A′B′C′后，“高”变成原来的一半，且与底面夹角45度，∴△A′B′C′的高为∴△A′B′C′的面积S=故选D．

【点评】本题考查平面图形的直观图的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．　

4． 【答案】C

=

，=

．

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【解析】解：由题意：函数f（x）=21﹣|x|，∵令u=1﹣|x|的值域为[1，﹣∞），则：f（x）=2u是单调增函数，

∴当u=1时，函数f（x）取得最大值为2，故得函数f（x）=21﹣|x|的值域（0，2]．故选C．

【点评】本题考查了复合函数的值域求法．需分解成基本函数，再求解．属于基础题．　

5． 【答案】C【解析】解：A.B.

时，y=

在定义域内没有单调性，∴该选项错误；，x=1时，y=0；

∴该函数在定义域内不是减函数，∴该选项错误；C．y=﹣x|x|的定义域为R，且﹣（﹣x）|﹣x|=x|x|=﹣（﹣x|x|）；∴该函数为奇函数；

；

∴该函数在[0，+∞），（﹣∞，0）上都是减函数，且﹣02=02；∴该函数在定义域R上为减函数，∴该选项正确；D.

∵﹣0+1＞﹣0﹣1；

∴该函数在定义域R上不是减函数，∴该选项错误．故选：C．

【点评】考查反比例函数的单调性，奇函数的定义及判断方法，减函数的定义，以及分段函数单调性的判断，二次函数的单调性．　

6． 【答案】D

【解析】解：设球的半径为R，圆锥底面的半径为r，则πr2=∴球心到圆锥底面的距离为∴两个圆锥的体积比为：故选：D．　

×4πR2=

．

，∴r=

．

；

=．∴圆锥的高分别为和

=1：3．

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7． 【答案】D

【解析】解：∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即f（x+4）=f（x），即函数的周期是4．

∴a2017=f（2017）=f（504×4+1）=f（1），∵f（x）为偶函数，当﹣2≤x≤0时，f（x）=2x，∴f（1）=f（﹣1）=，∴a2017=f（1）=故选：D．

【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和周期性之间的关系是解决本题的关键．　

8． 【答案】A【解析】

试题分析：f(g(1))f14,f(g(2))f14,f(g(3))f32,f(g(4))f34,故值域为

，

4,2.

考点：复合函数求值．9． 【答案】A

【解析】解：设g（x）=g′（x）=

，

，则g（x）的导数为：

∵当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，即当x＞0时，g′（x）＜0，

∴当x＞0时，函数g（x）为减函数，又∵g（﹣x）=

=

=

=g（x），

∴函数g（x）为定义域上的偶函数，∴x＜0时，函数g（x）是增函数，又∵g（﹣2）=

=0=g（2），

∴x＞0时，由f（x）＞0，得：g（x）＜g（2），解得：0＜x＜2，x＜0时，由f（x）＞0，得：g（x）＞g（﹣2），解得：x＜﹣2，∴f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．

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故选：A．　

10．【答案】D【解析】

试题分析：由已知f(x)2sin(x6)，T，所以22，则f(x)2sin(2x)，令 6k,kZ，可知D正确．故选D．

6226考点：三角函数f(x)Asin(x)的对称性．2xk,kZ，得x11．【答案】 D

【解析】解：令f（x）=﹣2x3+ax2+1=0，易知当x=0时上式不成立；故a=令g（x）=2x﹣

=2x﹣

，

=2

，

，则g′（x）=2+

故g（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，

在（﹣1，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数；故作g（x）=2x﹣

的图象如下，

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，

g（﹣1）=﹣2﹣1=﹣3，

故结合图象可知，a＞﹣3时，方程a=2x﹣

有且只有一个解，

即函数f（x）=﹣2x3+ax2+1存在唯一的零点，故选：D．　

12．【答案】A 解析：解：由

作出可行域如图，

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由图可得A（a，﹣a），B（a，a），由

∴A（2，﹣2），

化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，

∴当y=2x﹣z过A点时，z最大，等于2×2﹣（﹣2）=6．故选：A．

，得a=2．

二、填空题

13．【答案】　

【解析】解：由方程组

解得，x=﹣1，y=2故A（﹣1，2）．如图，

故所求图形的面积为S=∫﹣11（2x2）dx﹣∫﹣11（﹣4x﹣2）dx=

﹣（﹣4）=

　．

故答案为：

【点评】本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及定积分的计算，属于基础题．　

14．【答案】　A＜G　．第 11 页，共 18 页

【解析】解：由题意可得A=

，G=±

，

由基本不等式可得A≥G，当且仅当a=b取等号，由题意a，b是互异的负数，故A＜G．故答案是：A＜G．

【点评】本题考查等差中项和等比中项，涉及基本不等式的应用，属基础题．　

15．【答案】【解析】

试题分析：作出函数y53,1244x2和ykx23的图象，如图所示，函数y4x2的图象是一个半圆，

直线ykx23的图象恒过定点2,3，结合图象，可知，当过点2,0时，k303，当直线224k(02)30553ykx23与圆相切时，即2，解得k，所以实数的取值范围是,.111]

121241k2考点：直线与圆的位置关系的应用．

【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、两点间的斜率公式，以及函数的图像的应用等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想和学生的分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中把方程的根转化为直线与半圆的交点是解答的关键.16．【答案】　[，]　．

【解析】解：由m2﹣7am+12a2＜0（a＞0），则3a＜m＜4a即命题p：3a＜m＜4a，实数m满足方程

+

=1表示的焦点在y轴上的椭圆，

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则，

，解得1＜m＜2，

若p是q的充分不必要条件，则解得

，

，

故答案为[，]．

【点评】本题考查充分条件、必要条件，一元二次不等式的解法，根据不等式的性质和椭圆的性质求出p，q的等价条件是解决本题的关键．　

17．【答案】,e12ex11e2x2ex1【解析】结合函数的解析式：y2x可得：y'，22xe1e1令y′=0，解得：x=0，

当x>0时，y′>0，当x<0，y′<0，

则x∈（-∞，0），函数单调递增，x∈（0，+∞）时，函数y单调递减，则当x=0时，取最大值，最大值为e，∴y0的取值范围（0，e]，

x2lnx1lnx结合函数的解析式：fx，xaaR可得：f'xx2xx∈（0，e），f'x0，

则f（x）在（0，e）单调递增，下面证明f（y0）=y0．

假设f（y0）=c>y0，则f（f（y0））=f（c）>f（y0）=c>y0，不满足f（f（y0））=y0．同理假设f（y0）=clnxxax．xlnx1lnx设gx，求导g'x，2xx令函数fx当x∈（0，e），g′（x）>0，

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g（x）在（0，e）单调递增，当x=e时取最大值，最大值为ge当x→0时，a→-∞，∴a的取值范围,.

e1，e1点睛：（1）利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．而解答本题（2）问时，关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题．

（2）若可导函数f（x）在指定的区间D上单调递增（减），求参数范围问题，可转化为f′（x）≥0（或f′（x）≤0）恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．18．【答案】

【解析】【知识点】抛物线双曲线【试题解析】抛物线双曲线所以故答案为：

的准线方程为：x=2;

的两条渐近线方程为：

三、解答题

19．【答案】

【解析】（I）证明：由Sn=2an﹣n2+3n+2（n∈N*），∴当n≥2时，，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1﹣2n+4，

变形为an+2n=2[an﹣1+2（n﹣1）]，当n=1时，a1=S1=2a1﹣1+3+2，解得a1=﹣4，∴a1+2=﹣2，∴数列{an+2n}是等比数列，首项为﹣2，公比为2；

（II）解：由（I）可得an=﹣2×2n﹣1﹣2n=﹣2n﹣2n．∴bn=ansin

π=﹣（2n+2n）

，∵

=

=（﹣1）n，

∴bn=（﹣1）n+1（2n+2n）．设数列{bn}的前n项和为Tn．

当n=2k（k∈N*）时，T2k=（2﹣22+23﹣24+…+22k﹣1﹣22k）+2（1﹣2+3﹣4+…+2k﹣1﹣2k）=

当n=2k﹣1时，T2k﹣1=

﹣2k=

﹣n．﹣2k﹣（﹣22k﹣4k）=

+n+1+2n+1=

+n+1．

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（III）证明：Cn=﹣

=，当n≥2时，cn．

∴数列{Cn}的前n项和为Pn＜==，

当n=1时，c1=综上可得：∀n∈N*，

成立．

．

【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“放缩法”、三角函数的诱导公式、递推式的应用，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．　

20．【答案】

【解析】解：（1）y＝g（x）＝ex关于直线y＝x对称的曲线h（x）＝ln x，设曲线y＝h（x）与切线mx－y－1＝0的切点为（x0，ln x0），由h（x）＝ln x得h′（x）＝1，（x＞0），＝m

则有x0，

mx0－ln x0－1＝0解得x0＝m＝1.∴m的值为1.

（2）φ（x）＝1x2＋x＋a－ex，

2

φ′（x）＝x＋1－ex，令t（x）＝x＋1－ex，∴t′（x）＝1－ex，

当x＜0时，t′（x）＞0，x＞0时，t′（x）＜0，x＝0时，t′（x）＝0.

∴φ′（x）在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，∴φ′（x）max＝φ′（0）＝0，即φ′（x）≤0在（－∞，＋∞）恒成立，即φ（x）在（－∞，＋∞）单调递减，且当a＝1有φ（0）＝0.

∴不论a为何值时，φ（x）＝f（x）－g（x）有唯一零点x0，当x0∈（0，1）时，则φ（0）φ（1）＜0，

{1

x)第 15 页，共 18 页

即（a－1）（a－∴1＜a＜

2e－32e－3

，即a的取值范围为（1，）．22

2e－3

）＜0，2

21．【答案】k3或k2.【解析】

试题分析：根据两点的斜率公式，求得kPA2，kPB3，结合图形，即可求解直线的斜率的取值范围.

11122，kPB31210所以，由图可知，过点P1,1的直线与线段AB有公共点,

试题解析：由已知，kPA所以直线的斜率的取值范围是:k3或k2.

考点：直线的斜率公式.

22．【答案】（1）{x|x1或x8}；（2）[3,0].【解析】

试

2x5,x22x3，当x2时，由f(x)3得2x53，解得x1；题解析：（1）当a3时，f(x)1,2x5,x3第 16 页，共 18 页

当2x3时，f(x)3，无解；当x3时，由f(x)3得2x53，解得x8，∴f(x)3的解集为

{x|x1或x8}.

（2）f(x)|x4||x4||x2||xa|，当x[1,2]时，|xa||x4|4xx22，∴2ax2a，有条件得2a1且2a2，即3a0，故满足条件的的取值范围为[3,0].考点：1、绝对值不等式的解法；2、不等式恒成立问题.23．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的短轴长为2

，且离心率e=，

∴

，解得a2=4，b2=3，

∴椭圆C的方程为=1．

），

（Ⅱ）设直线MN的方程为x=ty+1，（﹣代入椭圆∴

，化简，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，，

，

设M（x1，y1），N（x2，y2），又F1（﹣1，0），F2（1，0），则直线F1M：∴令μ=∵y=

=

|∈[1，=

），则在[1，

，令x=4，得P（4，|=15×|

=180×）上是增函数，）min=

．

，

），同理，Q（4，

|=180×|

），|，

∴当μ=1时，即t=0时，（

【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、直线方程、弦长公式、函数单调性、椭圆性质的合理运用．　

24．【答案】

【解析】解：（1）y=﹣2x2+40x﹣98，x∈N*．

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（2）由﹣2x2+40x﹣98＞0解得，

所以x=3，4，，17，故从第三年开始盈利．（3）由

由y=﹣2x2+40x﹣98=﹣2（x﹣10）2+102≤102，

所以按第二方案处理总利润为102+12=114（万元）．∴由于第一方案使用时间短，则选第一方案较合理．　

，且x∈N*，

，当且仅当x=7时“=”号成立，

所以按第一方案处理总利润为﹣2×72+40×7﹣98+30=114（万元）．

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