2017-2018学年重庆市梁平区八年级(上)期末数学试卷
(考试时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(每小题4分,共48分)
1.小明在选举班委时得了26票,下列说法中错误的是( ) A.不管小明所在班级有多少学生所有选票中选小明的选票频率不变 B.不管小明所在班级有多少学生,所有选票中选小明的选票频数不变 C.小明所在班级的学生人数不少于26人
D.小明得选票的频率不能大于1 2.在实数,0,,﹣3.14,π,
,,0.2020020002中无理数的个数是( A.1
B.2
C.3
D.4
3.化简(a﹣2)+()2
的结果是( ) A.4﹣2a
B.0
C.2a﹣4
D.4
4.已知一直角三角形的木板,三边的平方和为1800cm2
,则斜边长为( ) A.30cm
B.80cm C.90cm D.120cm
5.(﹣a+1)(a+1)(a2
+1)等于( ) A.a4
﹣1 B.a4
+1
C.a4+2a2
+1
D.1﹣a4
6.的结果是( )
A.﹣5
B.5
C.﹣30 D.30
7.下列条件中,不能判定△ABC≌△A'B'C'的是( ) A.∠A=∠A',∠C=∠C',AC=A'C' B.∠B=∠B',BC=B'C',AB=A'B'
C.∠A=∠A'=80°,∠B=60°,∠C'=40°,AB=A'B' D.∠A=∠A',BC=B'C',AB=A'B' 8.下列命题中,是假命题的是( ) A.等腰三角形是轴对称图形 B.
和
是同类二次根式
C.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 D.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
9.等腰三角形周长为13cm,其中一边长为3cm,则该等腰三角形的底边长为( )
)
A.7 cm 10.计算3A.3
2015
2017
B.3 cm
﹣5×3
2016
C.7 cm或3 cm D.8 cm
+6×3
2015
的结果为( )
2016
2
B.﹣3 C.﹣3
2015
D.0
11.若x+2是多项式4x+5x+m因式分解后的一因式,则m等于( ) A.﹣6
B.6
C.﹣9
D.9
12.如图,△ACB和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,点C、D、E三点在同一直线上,连结BD,则∠ADB=( )
A.45°
B.30°
C.60°
D.55°
二、填空题(每小题4分,共24分) 13.计算:2
= .
14.对某校初二年级50名同学一分钟跳绳成绩进行调查统计,发现一分钟跳绳不足160个出现的频数是20,则一分钟跳绳达到或超过160个出现的频率是 .
15.一直角三角形斜边长比一直角边大1,另一直角边为5,则斜边长为 . 16.分解因式:2x(x﹣3)﹣8= . 17.4个数a,b,c,d排列成=12,则x= .
18.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,将边AC沿CE翻折,使点A落在AB上的点D处;再将边BC沿CF翻折,使点B落在CD的延长线上的点B′处,两条折痕与斜边AB分别交于点E、F,则线段DF的长为 .
,我们称之为二阶行列式.规定它的运算法则为:
=ad﹣bc.若
三、解答题(共78分)
19.(10分)(1)分解因式9(x﹣y)﹣x(x﹣y).
(2)计算:[(x+2y)(x﹣2y)﹣(x﹣2y)]÷(﹣4y).
20.(6分)如图,已知△ABC,∠C=90°,AC<BC,D为BC上一点,且到A,B两点距离相等. (1)用直尺和圆规,作出点D的位置(不写作法,保留作图痕迹); (2)连结AD,若∠B=40°,求∠CAD的度数.
22
21.(10分)先化简,再求值:(a+2b)﹣(a+3b)(a﹣3b)﹣b(4a﹣26),其中b+2b﹣4=0.
2
2
22.(10分)梁平区某中学在本学期对八年级全体学生开设了新的校本特色课程﹣﹣剪纸.为了解学生对新开设的校本特色课程﹣﹣剪纸的喜欢程度,对八年级部分学生进行了调查,结果分为四种情况:A.非常喜欢;B.喜欢;C.一般;D.不喜欢,并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图:
根据提供的信息,求扇形统计图中“不喜欢”所对应的圆心角的度数,并补全条形统计图.
23.(10分)把一个长为2m,宽为2n的长方形沿图1中的虚线平均分成四块小长方形,然后拼成一个正方形(如图2)
(1)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积(直接用含m,n的代数式表示) 方法1: 方法2:
(2)根据(1)中的结论,请你写出代数式(m+n),(m﹣n),mn之间的等量关系;
(3)根据(2)中的等量关系,解决如下问题:已知实数a,b满足:a+b=3,ab=2,求a﹣b的值.
2
2
24.(10分)如图,一个牧童在距小河边1千米的点A处牧马,而牧童家在河边同侧且距河边7千米的点B处,已知点A与点B的直线距离是10千米.他想先把马牵到河边去饮水,然后再回家,求他要完成这件事情所走的最短路程是多少千米. (精确到0.1千米,参考数据:
≈1.41,
≈1.73)
25.(10分)若正整数p是4的倍数,那么规定正整数p为“四季数”,例如:是4的倍数,所以是“四季数”.
(1)已知正整数p是任意两个连续偶数的平方差,求证:P是“四季数”;
(2)已知一个两位正整数k=10x+y(1≤x<y≤9,其中x,y为自然数),将其个位上的数字与十位上的数字交换,得到新数m,若m与k的差是“四季数”,请求出所有符合条件的两位正整数k.
26.(12分)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D、F是线段AB上两点,连结CD,过A作AE⊥CD于点E,过点F作FM⊥CD于点M.
(1)如图1,若点E是CD的中点,求∠BCD的大小. (2)如图2,若点D是线段BF的中点,求证:CE=FM. (3)如图3,若点F是线段AB的中点,已知AE=6
,CE=2
.请直接写出FM的大小.
1.【解答】解:A.随着小明所在班级学生数量的变化,所有选票中选小明的选票频率也要变化,故本选项错误;
B.不管小明所在班级有多少学生,所有选票中选小明的选票频数不变,始终为26,故本选项正确; C.小明所在班级的学生人数不少于26人,故本选项正确; D.小明得选票的频率不能大于1,故本选项正确; 故选:A.
2.【解答】解:是分数,属于有理数;0是整数,属于有理数;﹣3.14与0.2020020002是有限小数,属于有理数;所以无理数有:故选:C.
3.【解答】解:原式=a﹣2+2﹣a =0. 故选:B.
4.【解答】解:设直角三角形的斜边长为x, ∵三边的平方和为1800cm, ∴x=900cm,解得x=30cm. 故选:A.
5.【解答】解:(﹣a+1)(a+1)(a+1), =(1﹣a)(a+1), =1﹣a, 故选:D.
6.【解答】解:原式=故选:B.
7.【解答】解:A、根据ASA可判定△ABC≌△A'B'C',所以选项A能判定△ABC≌△A'B'C';
B、因为∠B是AB和BC的夹角,根据SAS可以判定△ABC≌△A'B'C',所以选项B能判定△ABC≌△A'B'C'; C、∵∠A′=80°,∠C′=40°, ∴∠B′=60°, ∵∠B=60°, ∴∠B=∠B′,
=5
,
4
2
2
2
2
2
2
,是整数,属于有理数; ,π,
共3个.
∵AB=A′B′,
∴△ABC≌△A'B'C'(ASA), 所以选项C能判定△ABC≌△A'B'C';
D、因为∠A不是AB和BC的夹角,所以选项D不能判定△ABC≌△A'B'C'. 故选:D.
8.【解答】解:A、等腰三角形是轴对称图形,是真命题; B、当a=2时,
和
不是同类二次根式,原命题是假命题;
C、有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形,是真命题; D、到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上,是真命题; 故选:B.
9.【解答】解:当长是3cm的边是底边时,三边为3cm,5cm,5cm,等腰三角形成立; 当长是3cm的边是腰时,底边长是:13﹣3﹣3=7cm,而3+3<7,不满足三角形的三边关系. 故底边长是:3cm. 故选:B.
10.【解答】解:原式=3故选:D.
11.【解答】解:设另一个因式为4x+n, 得4x+5x+m=(x+2)(4x+n), 则4x+5x+m=4x+(n+8)x+2n, ∴解得故选:A.
12.【解答】解:如图所示:
.
2
2
2
2015
×(9﹣15+6)=3
2015
×0=0,
∵△ACB和△ADE都是等腰直角三角形,
∴AB=AC,AD=AE,∠AED=45°, 又∵∠BAD=∠BAC+∠CAD, ∠CAE=∠DAE+∠CAD, ∠BAC=∠DAE=90°, ∴∠BAD=∠CAE, 在△BAD和△CAE中,
,
∴△BAD≌△CAE(SAS), ∴∠ADB=∠AEC, ∴∠ADB=45°, 故选:A. 13.【解答】解: 2=2
﹣﹣3
=(2﹣3)=﹣
,
故答案为:﹣.
14.【解答】解:根据题意得:
×100%=60%,
答:一分钟跳绳达到或超过160个出现的频率是60%; 故答案为:60%.
15.【解答】解:设一条直角边为a,则斜边为a+1, ∵另一直角边长为:5, ∴(a+1)=a+5, 解得:a=12, ∴a+1=12+1=13. 故答案为:13.
16.【解答】解:2x(x﹣3)﹣8
2
2
2
=2x﹣6x﹣8 =2(x﹣3x﹣4) =2(x﹣4)(x+1). 故答案为:2(x﹣4)(x+1).
17.【解答】解:利用题中新定义得:(x+3)﹣(x﹣3)=12, 整理得:12x=12, 解得:x=1. 故答案为:1.
18.【解答】解:∵Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8, ∴BA=10,
∵将边AC沿CE翻折,使点A落在AB上的点D处, ∴∠AEC=∠CED,∠ACE=∠DCE, ∵∠AED=180°,
∴∠CED=90°,即CE⊥AB, ∵S△ABC=AB×EC=AC×BC, ∴EC=4.8, 在Rt△ACE中,AE=∴DE=AE=
,
=
=
,
2
2
2
2
∵将边BC沿CF翻折,使点B落在CD的延长线上的点B′处, ∴BF=B'F,∠BCF=∠B'CF,
∵∠BCF+∠B'CF+∠ACE+∠DCE=∠ACB=90° ∴∠ECF=45°且CE⊥AB ∴∠EFC=∠ECF=45° ∴CE=EF=4.8, ∴DF=EF﹣DE=1.2, 故答案为:1.2.
19.【解答】解:(1)原式=(x﹣y)(9﹣x)=(x﹣y)(3﹣x)(3+x);
(2)原式=【x﹣4y﹣(x﹣4xy+4y)】÷(﹣4y), =(x﹣4y﹣x+4xy﹣4y)÷(﹣4y), =(4xy﹣8y)÷(﹣4y), =﹣x+2y.
20.【解答】解:(1)如图,点D为所作;
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(2)△ABC中,∵∠C=90°,∠B=40°, ∴∠BAC=50°, ∵AD=BD,
∴∠B=∠BAD=40°,
∴∠CAD=∠BAC﹣∠BAD=10°. 21.【解答】解:∵b+2b﹣4=0, ∴b+2b=4,
原式=a+4ab+4b﹣a+9b﹣4ab+26b =13b+26b =13(b+2b),
当b+2b=4时,原式=13×4=52. 22.【解答】解:24÷40%=60(人),360°×
=18°,
2
22
2
2
2
2
2
2
∴扇形统计图中“不喜欢”所对应的圆心角的度数为18°, 补全条形统计图如图所示,
23.【解答】解:(1)方法一:阴影部分的面积=(m+n)﹣4mn, 方法二:阴影部分的面积=(m﹣n), 故答案为:(m+n)﹣4mn,(m﹣n);
(2)三个代数式之间的等量关系是:(m+n)﹣4mn=(m﹣n); (3)∵(a﹣b)=(a+b)﹣4ab, ∴(a﹣b)=3﹣4×2=1, a﹣b=±1.
24.【解答】解:过点A作点A关于小河l的对称点A′,连接A′B, 与小河l交于点P,点P就是马饮水的地方.
则A′B的长度就是牧童完成这件事情所走的最短路线.
过点A、A′分别作l的平行线与过点B作的l的垂线分别相交于M、N两点, 如图所示:
2
22
2
2
2
2
22
2
在Rt△ABM中,AB=10,BM=6,∴AM=8,
在Rt△BNA′中,A′N=AM=8,BN=BM+MN=6+2=8, ∴A′B=
=8
≈11.3.
答:他要完成这件事情所走的最短路程是11.3千米.
25.【解答】解:(1)证明:设任意两个连续偶数为2n和2n+2(n≥0,且为整数) 则p=(2n+2)﹣(2n) =[(2n+2)+2n][(2n+2)﹣2n] =(4n+2)×2 =4(2n+1) ∵n≥0,且为整数 ∴2n+1必为正整数
∴4(2n+1)一定是4的倍数 ∴P是“四季数”; (2)由题意得:m=10y+x
则m﹣k=10y+x﹣(10x+y)=4n(n≥0,且n为整数) ∴9(y﹣x)=4n y﹣x=
2
2
∵1≤x<y≤9,其中x,y为自然数 ∴1≤y﹣x≤8, 当n=9时,y﹣x=4 ∴
,
,
,
,
当n=18时,y﹣x=8 ∴
∴所有符合条件的两位正整数k有:15,26,37,48,59,19. 26.【解答】(1)解:∵AC=BC,∠ACB=90°, ∴∠CAB=∠B=45°, ∵AE⊥CD,EC=ED, ∴AC=AD,
∴∠CAE=∠DAE=22.5°, ∴∠CAE=22.5°.
(2)证明:过点B作BN⊥CD交CD的延长线于点N.如图2所示: ∴∠BNC=90°, ∵AE⊥CD,
∴∠CEA=∠BNC=90°, ∴∠CAE+∠ACD=90°, ∵∠ACB=90°, ∴∠ACD+∠BCN=90°, ∴∠CAE=∠BCN, 在△AEC和△CNB中,∴△AEC≌△CNB(AAS), ∴CE=BN,∵FM⊥CD,BN⊥CD, ∴∠FMD=∠BND=90°, ∵点F是线段AB的中点, ∴FD=BD, 在△FMD和△BND中,∴△FMD≌△BND(AAS), ∴FM=BN, ∴CE=FM.
(3)解:在线段AE上取点G,使得AG=CE,连结CF、EF,如图3所示: ∵AF=FB,AC=BC,∠ACB=90°, ∴CF⊥AB,CF=AF,
∵∠FAG+∠ADE=90°,∠ADE+∠FCE=90°, ∴∠GAF=∠ECF, 在△AGF和△EF中,∴△AGF≌△CEF(SAS), ∴FG=EF,∠AFG=∠CFE, ∴∠EFG=∠AFC=90° ∴△EFG是等腰直角三角形, ∴EG=
EF,∠GEF=45°,
, ,
∴∠MEF=90°﹣45°=45°,
∴△EFM是等腰直角三角形, ∴EF=
FM,
EF=2FM=6
﹣2
,
∴AE﹣CE=AE﹣AG=EG=∴FM=3
﹣
.
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