2017-2018学年重庆市梁平区八年级(上)期末数学试卷(含解析)

2017-2018学年重庆市梁平区八年级（上）期末数学试卷

（考试时间：120分钟 满分：150分）

一、选择题（每小题4分，共48分）

1．小明在选举班委时得了26票，下列说法中错误的是（ ） A．不管小明所在班级有多少学生所有选票中选小明的选票频率不变 B．不管小明所在班级有多少学生，所有选票中选小明的选票频数不变 C．小明所在班级的学生人数不少于26人

D．小明得选票的频率不能大于1 2．在实数，0，，﹣3.14，π，

，，0.2020020002中无理数的个数是（ A．1

B．2

C．3

D．4

3．化简（a﹣2）+（）2

的结果是（ ） A．4﹣2a

B．0

C．2a﹣4

D．4

4．已知一直角三角形的木板，三边的平方和为1800cm2

，则斜边长为（ ） A．30cm

B．80cm C．90cm D．120cm

5．（﹣a+1）（a+1）（a2

+1）等于（ ） A．a4

﹣1 B．a4

+1

C．a4+2a2

+1

D．1﹣a4

6．的结果是（ ）

A．﹣5

B．5

C．﹣30 D．30

7．下列条件中，不能判定△ABC≌△A'B'C'的是（ ） A．∠A＝∠A'，∠C＝∠C'，AC＝A'C' B．∠B＝∠B'，BC＝B'C'，AB＝A'B'

C．∠A＝∠A'＝80°，∠B＝60°，∠C'＝40°，AB＝A'B' D．∠A＝∠A'，BC＝B'C'，AB＝A'B' 8．下列命题中，是假命题的是（ ） A．等腰三角形是轴对称图形 B．

和

是同类二次根式

C．有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 D．到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上

9．等腰三角形周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边长为（ ）

）

A．7 cm 10．计算3A．3

2015

2017

B．3 cm

﹣5×3

2016

C．7 cm或3 cm D．8 cm

+6×3

2015

的结果为（ ）

2016

2

B．﹣3 C．﹣3

2015

D．0

11．若x+2是多项式4x+5x+m因式分解后的一因式，则m等于（ ） A．﹣6

B．6

C．﹣9

D．9

12．如图，△ACB和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点C、D、E三点在同一直线上，连结BD，则∠ADB＝（ ）

A．45°

B．30°

C．60°

D．55°

二、填空题（每小题4分，共24分） 13．计算：2

＝ ．

14．对某校初二年级50名同学一分钟跳绳成绩进行调查统计，发现一分钟跳绳不足160个出现的频数是20，则一分钟跳绳达到或超过160个出现的频率是 ．

15．一直角三角形斜边长比一直角边大1，另一直角边为5，则斜边长为 ． 16．分解因式：2x（x﹣3）﹣8＝ ． 17．4个数a，b，c，d排列成＝12，则x＝ ．

18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段DF的长为 ．

，我们称之为二阶行列式．规定它的运算法则为：

＝ad﹣bc．若

三、解答题（共78分）

19．（10分）（1）分解因式9（x﹣y）﹣x（x﹣y）．

（2）计算：[（x+2y）（x﹣2y）﹣（x﹣2y）]÷（﹣4y）．

20．（6分）如图，已知△ABC，∠C＝90°，AC＜BC，D为BC上一点，且到A，B两点距离相等． （1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连结AD，若∠B＝40°，求∠CAD的度数．

22

21．（10分）先化简，再求值：（a+2b）﹣（a+3b）（a﹣3b）﹣b（4a﹣26），其中b+2b﹣4＝0．

2

2

22．（10分）梁平区某中学在本学期对八年级全体学生开设了新的校本特色课程﹣﹣剪纸．为了解学生对新开设的校本特色课程﹣﹣剪纸的喜欢程度，对八年级部分学生进行了调查，结果分为四种情况：A．非常喜欢；B．喜欢；C．一般；D．不喜欢，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：

根据提供的信息，求扇形统计图中“不喜欢”所对应的圆心角的度数，并补全条形统计图．

23．（10分）把一个长为2m，宽为2n的长方形沿图1中的虚线平均分成四块小长方形，然后拼成一个正方形（如图2）

（1）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积（直接用含m，n的代数式表示） 方法1： 方法2：

（2）根据（1）中的结论，请你写出代数式（m+n），（m﹣n），mn之间的等量关系；

（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：已知实数a，b满足：a+b＝3，ab＝2，求a﹣b的值．

2

2

24．（10分）如图，一个牧童在距小河边1千米的点A处牧马，而牧童家在河边同侧且距河边7千米的点B处，已知点A与点B的直线距离是10千米．他想先把马牵到河边去饮水，然后再回家，求他要完成这件事情所走的最短路程是多少千米． （精确到0.1千米，参考数据：

≈1.41，

≈1.73）

25．（10分）若正整数p是4的倍数，那么规定正整数p为“四季数”，例如：是4的倍数，所以是“四季数”．

（1）已知正整数p是任意两个连续偶数的平方差，求证：P是“四季数”；

（2）已知一个两位正整数k＝10x+y（1≤x＜y≤9，其中x，y为自然数），将其个位上的数字与十位上的数字交换，得到新数m，若m与k的差是“四季数”，请求出所有符合条件的两位正整数k．

26．（12分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、F是线段AB上两点，连结CD，过A作AE⊥CD于点E，过点F作FM⊥CD于点M．

（1）如图1，若点E是CD的中点，求∠BCD的大小． （2）如图2，若点D是线段BF的中点，求证：CE＝FM． （3）如图3，若点F是线段AB的中点，已知AE＝6

，CE＝2

．请直接写出FM的大小．

1．【解答】解：A．随着小明所在班级学生数量的变化，所有选票中选小明的选票频率也要变化，故本选项错误；

B．不管小明所在班级有多少学生，所有选票中选小明的选票频数不变，始终为26，故本选项正确； C．小明所在班级的学生人数不少于26人，故本选项正确； D．小明得选票的频率不能大于1，故本选项正确； 故选：A．

2．【解答】解：是分数，属于有理数；0是整数，属于有理数；﹣3.14与0.2020020002是有限小数，属于有理数；所以无理数有：故选：C．

3．【解答】解：原式＝a﹣2+2﹣a ＝0． 故选：B．

4．【解答】解：设直角三角形的斜边长为x， ∵三边的平方和为1800cm， ∴x＝900cm，解得x＝30cm． 故选：A．

5．【解答】解：（﹣a+1）（a+1）（a+1）， ＝（1﹣a）（a+1）， ＝1﹣a， 故选：D．

6．【解答】解：原式＝故选：B．

7．【解答】解：A、根据ASA可判定△ABC≌△A'B'C'，所以选项A能判定△ABC≌△A'B'C'；

B、因为∠B是AB和BC的夹角，根据SAS可以判定△ABC≌△A'B'C'，所以选项B能判定△ABC≌△A'B'C'； C、∵∠A′＝80°，∠C′＝40°， ∴∠B′＝60°， ∵∠B＝60°， ∴∠B＝∠B′，

＝5

，

4

2

2

2

2

2

2

，是整数，属于有理数； ，π，

共3个．

∵AB＝A′B′，

∴△ABC≌△A'B'C'（ASA）， 所以选项C能判定△ABC≌△A'B'C'；

D、因为∠A不是AB和BC的夹角，所以选项D不能判定△ABC≌△A'B'C'． 故选：D．

8．【解答】解：A、等腰三角形是轴对称图形，是真命题； B、当a＝2时，

和

不是同类二次根式，原命题是假命题；

C、有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，是真命题； D、到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，是真命题； 故选：B．

9．【解答】解：当长是3cm的边是底边时，三边为3cm，5cm，5cm，等腰三角形成立； 当长是3cm的边是腰时，底边长是：13﹣3﹣3＝7cm，而3+3＜7，不满足三角形的三边关系． 故底边长是：3cm． 故选：B．

10．【解答】解：原式＝3故选：D．

11．【解答】解：设另一个因式为4x+n， 得4x+5x+m＝（x+2）（4x+n）， 则4x+5x+m＝4x+（n+8）x+2n， ∴解得故选：A．

12．【解答】解：如图所示：

．

2

2

2

2015

×（9﹣15+6）＝3

2015

×0＝0，

∵△ACB和△ADE都是等腰直角三角形，

∴AB＝AC，AD＝AE，∠AED＝45°， 又∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD， ∠CAE＝∠DAE+∠CAD， ∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ADB＝∠AEC， ∴∠ADB＝45°， 故选：A． 13．【解答】解： 2＝2

﹣﹣3

＝（2﹣3）＝﹣

，

故答案为：﹣．

14．【解答】解：根据题意得：

×100%＝60%，

答：一分钟跳绳达到或超过160个出现的频率是60%； 故答案为：60%．

15．【解答】解：设一条直角边为a，则斜边为a+1， ∵另一直角边长为：5， ∴（a+1）＝a+5， 解得：a＝12， ∴a+1＝12+1＝13． 故答案为：13．

16．【解答】解：2x（x﹣3）﹣8

2

2

2

＝2x﹣6x﹣8 ＝2（x﹣3x﹣4） ＝2（x﹣4）（x+1）． 故答案为：2（x﹣4）（x+1）．

17．【解答】解：利用题中新定义得：（x+3）﹣（x﹣3）＝12， 整理得：12x＝12， 解得：x＝1． 故答案为：1．

18．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴BA＝10，

∵将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处， ∴∠AEC＝∠CED，∠ACE＝∠DCE， ∵∠AED＝180°，

∴∠CED＝90°，即CE⊥AB， ∵S△ABC＝AB×EC＝AC×BC， ∴EC＝4.8， 在Rt△ACE中，AE＝∴DE＝AE＝

，

＝

＝

，

2

2

2

2

∵将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处， ∴BF＝B'F，∠BCF＝∠B'CF，

∵∠BCF+∠B'CF+∠ACE+∠DCE＝∠ACB＝90° ∴∠ECF＝45°且CE⊥AB ∴∠EFC＝∠ECF＝45° ∴CE＝EF＝4.8， ∴DF＝EF﹣DE＝1.2， 故答案为：1.2．

19．【解答】解：（1）原式＝（x﹣y）（9﹣x）＝（x﹣y）（3﹣x）（3+x）；

（2）原式＝【x﹣4y﹣（x﹣4xy+4y）】÷（﹣4y）， ＝（x﹣4y﹣x+4xy﹣4y）÷（﹣4y）， ＝（4xy﹣8y）÷（﹣4y）， ＝﹣x+2y．

20．【解答】解：（1）如图，点D为所作；

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

（2）△ABC中，∵∠C＝90°，∠B＝40°， ∴∠BAC＝50°， ∵AD＝BD，

∴∠B＝∠BAD＝40°，

∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝10°． 21．【解答】解：∵b+2b﹣4＝0， ∴b+2b＝4，

原式＝a+4ab+4b﹣a+9b﹣4ab+26b ＝13b+26b ＝13（b+2b），

当b+2b＝4时，原式＝13×4＝52． 22．【解答】解：24÷40%＝60（人），360°×

＝18°，

2

22

2

2

2

2

2

2

∴扇形统计图中“不喜欢”所对应的圆心角的度数为18°， 补全条形统计图如图所示，

23．【解答】解：（1）方法一：阴影部分的面积＝（m+n）﹣4mn， 方法二：阴影部分的面积＝（m﹣n）， 故答案为：（m+n）﹣4mn，（m﹣n）；

（2）三个代数式之间的等量关系是：（m+n）﹣4mn＝（m﹣n）； （3）∵（a﹣b）＝（a+b）﹣4ab， ∴（a﹣b）＝3﹣4×2＝1， a﹣b＝±1．

24．【解答】解：过点A作点A关于小河l的对称点A′，连接A′B， 与小河l交于点P，点P就是马饮水的地方．

则A′B的长度就是牧童完成这件事情所走的最短路线．

过点A、A′分别作l的平行线与过点B作的l的垂线分别相交于M、N两点， 如图所示：

2

22

2

2

2

2

22

2

在Rt△ABM中，AB＝10，BM＝6，∴AM＝8，

在Rt△BNA′中，A′N＝AM＝8，BN＝BM+MN＝6+2＝8， ∴A′B＝

＝8

≈11.3．

答：他要完成这件事情所走的最短路程是11.3千米．

25．【解答】解：（1）证明：设任意两个连续偶数为2n和2n+2（n≥0，且为整数） 则p＝（2n+2）﹣（2n） ＝[（2n+2）+2n][（2n+2）﹣2n] ＝（4n+2）×2 ＝4（2n+1） ∵n≥0，且为整数 ∴2n+1必为正整数

∴4（2n+1）一定是4的倍数 ∴P是“四季数”； （2）由题意得：m＝10y+x

则m﹣k＝10y+x﹣（10x+y）＝4n（n≥0，且n为整数） ∴9（y﹣x）＝4n y﹣x＝

2

2

∵1≤x＜y≤9，其中x，y为自然数 ∴1≤y﹣x≤8， 当n＝9时，y﹣x＝4 ∴

，

，

，

，

当n＝18时，y﹣x＝8 ∴

∴所有符合条件的两位正整数k有：15，26，37，48，59，19． 26．【解答】（1）解：∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝∠B＝45°， ∵AE⊥CD，EC＝ED， ∴AC＝AD，

∴∠CAE＝∠DAE＝22.5°， ∴∠CAE＝22.5°．

（2）证明：过点B作BN⊥CD交CD的延长线于点N．如图2所示： ∴∠BNC＝90°， ∵AE⊥CD，

∴∠CEA＝∠BNC＝90°， ∴∠CAE+∠ACD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCN＝90°， ∴∠CAE＝∠BCN， 在△AEC和△CNB中，∴△AEC≌△CNB（AAS）， ∴CE＝BN，∵FM⊥CD，BN⊥CD， ∴∠FMD＝∠BND＝90°， ∵点F是线段AB的中点， ∴FD＝BD， 在△FMD和△BND中，∴△FMD≌△BND（AAS）， ∴FM＝BN， ∴CE＝FM．

（3）解：在线段AE上取点G，使得AG＝CE，连结CF、EF，如图3所示： ∵AF＝FB，AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴CF⊥AB，CF＝AF，

∵∠FAG+∠ADE＝90°，∠ADE+∠FCE＝90°， ∴∠GAF＝∠ECF， 在△AGF和△EF中，∴△AGF≌△CEF（SAS）， ∴FG＝EF，∠AFG＝∠CFE， ∴∠EFG＝∠AFC＝90° ∴△EFG是等腰直角三角形， ∴EG＝

EF，∠GEF＝45°，

， ，

∴∠MEF＝90°﹣45°＝45°，

∴△EFM是等腰直角三角形， ∴EF＝

FM，

EF＝2FM＝6

﹣2

，

∴AE﹣CE＝AE﹣AG＝EG＝∴FM＝3

﹣

．