三角函数资料总结(详细版)

三角函数

1.任意角的三角函数

在角的终边上任取一点P(x,y)，记： ．．

yPrrOPx2y2，如图1-8所示

正弦：sin余弦：cos正切：tan余切：cot正割：secy,xR rx,xR ry,xk,kZ x2yx Oxx,xk,kZ 图1-8 yrr,xk,kZ余割：csc,xk,kZ

yx2以上六种函数都称为三角函数，其中正弦、余弦、正切、余切曲线如图1-9所示：

sinx0.510505210x0.51.0 页脚

cosx0.510505210x0.5 tanx4210520246cotx2510x 421052460510x 图1-9

显然正弦、余弦函数的最小正周期是2， 正切、余切函数的最小正周期是。 2同角三角函数的基本关系式

倒数关系：sincsc1，cossec1，tancot1。

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商数关系：tan2sincos，cot。 cossin22222平方关系：sincos1，1tansec，1cotcsc。 3、诱导公式

⑴2k(kZ)、、、、2的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。 ．．

⑵

2、

2、

33、的三角函数值，等于的异名函数值，前面加22上一个把看成锐角时原函数值的符号。 ．．4、和角公式和差角公式

sin()sincoscossin sin()sincoscossin cos()coscossinsin cos()coscossinsin tan()tan()5、二倍角公式

tantan

1tantantantan

1tantansin22sincos

cos2cos2sin22cos2112sin2…()

tan26、万能公式

2tan 21tan1tan22tan2tancos2，，。 sin2tan22221tan1tan1tan万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切来表示。 ．．7、和差化积公式

sinsin2sin2cossin222

sinsin2cos2

coscos2cos2cos

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coscos2sin

8、积化和差公式

2sin2

sincoscossincoscos1sin()sin() 21sin()sin() 21cos()cos() 21cos()cos() 2sinsin我们可以把积化和差公式看成是和差化积公式的逆应用。

9、辅助角公式

asinxbcosxa2b2sin(x)

其中：角的终边所在的象限与点(a,b)所在的象限相同，

sin

ba2b2，cosaa2b2，tanb。 a

反三角函数

前面所讲三角函数在其定义域都是周期函数，并不是单值函数，其映射不是单射，因此在其定义域不存在反函数。但我们可以自变量取值，使其在一定围成为单值函数，这样就存在反函数。例如x[一确定x[,]，函数ysinx为单值函数，y[1,1]，存在唯22,]，使得ysinx，这时的反函数记为yarcsinx,x[,] 2222 类似可定义其他三角函数的反函数，各种反三角函数见下表1-1：

页脚

表1-1

名称 反正弦函数 y=sinx(x〔-定义 ∈反余弦函数 y=cosx(x∈〔0,π〕)的反函数，叫做反余弦函数，记作x=arccosy 反正切函数 y=tgx(x∈反余切函数 , 〕的反22函数，叫做反正弦函数，记作x=arsiny arcsinx表示属y=ctgx(x∈(0,π))的反函数，(- , )的反函叫做反余切函22数，叫做反正切函数，记作数，记作x=arctgy x=arcctgy arctgx表示属于(-arcctgx表示属于(0，π)且余切值等于x的角 理解 于［-,］ 22arccosx表示属于［0，π］，且余弦值等于x的角 ,)，且正切22且正弦值等于x的角 定义域 值域 ［-1，1］ ［-［-1，1］ ［0，π］ 在［-1，1］上是减函数 arccos(-x)=-arccosx π值等于x的角 (-∞，+∞) (-(-∞，+∞) (0，π) 在(-∞，+∞)上是减函数 ，］ 22，) 22性在〔-1，1〕上是单调性 质 增函数 奇偶性 周期性 sin(arcsinx)=x(x∈［-1，1］)arcsin(sinx)=x(x∈［-互余恒等式 arcsin(-x)=-arcsinx 在(-∞，+∞)上是增数 arctg(-x)=-arctgx arcctg(-x)=π-arcctgx ctg(arcctgx)=x(x∈R) arcctg(ctgx)=x(x∈(0,π)) 都不是同期函数 cos(arccosx)=x(xtg(arctgx)=x(x∈∈［-1,1］) R)arctg(tgx)=x（xarccos(cosx)=x(x∈(-,)） ∈［0,π］) 22恒等式 ,］) 22(x∈［-1,1］) 2arctgx+arcctgx=arcsinx+arccosx=(X∈R) 2 注记：根据原函数和反函数的图形关于直线yx对称，自己画出反三角函数的大致的图形。

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双曲函数:

exex双曲正弦: shx;

2ee双曲余弦:chx2xxyy=chx11exy= 2O-11y=shx1e-xy= 2x;

shxexexxx. 双曲正切:thxchxee如图所示 双曲函数公式

sh(xy)shxchychxshy; ch(xy)chxchyshxshy; ch2xsh2x1;

yy=thxOxsh2x2shxchxch2x=ch2xsh2x.

反双曲函数:

双曲函数yshx,ychx(x0),ythx的反函数依次为 反双曲正弦: yarshx; y=arshx=ln(x+反双曲余弦:yarchx ; y=archx=ln(x+反双曲正切: yarthx . y=arthx=

x2+1) x2-1)

11+xln 21-x页脚

反双曲曲线如图1-10所示

arshx211051230510x archx2.52.01.51.00.51357x

arthx2121101x23 图1-10 几个公式

anbn(ab)(an1an2ban3b2abn2bn1)

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kknkk(ab)Cnab，其中Cnnk0nn!

k!(nk)!a3b3(ab)(a2abb2)

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