均值不等式习题大全

均值不等式题型汇总 杨社锋

均值不等式是每年高考必考内容，它以形式灵活多变而备受出题人的青睐，下面我们来细数近几年来均值不等式在高考试题中的应用。

类型一：证明题

1. 设a,bR,ab1,求证：(a)(b)*1125

2.

3.

4.

5.

6. 1

ab4设a,b,c(0,),求证：a2b2b2c2a2c22(abc) 设a,b,c(0,),求证：

b2c2a2abcabc 设a,b,c(0,),求证：a2b2c2abbcac 已知实数x,y,z满足：x2y2z21，求xyyz得最大值。 已知正实数a,b,c，且abc1求证：18a18b18c9 -

abc(7. （2010辽宁）已知a,b,c均为正实数，证明：

并确定a,b,c为何值时，等号成立。

2221a112)63，bc类型二：求最值：

利用均值不等式求最值是近几年高考中考查频率最高的题型之一。使用均值不等式的核心在于配凑，配凑的精髓在于使得均值不等式取等号的条件成立。

1. 设x,y(0,)且111，求xy的最小值。 xy11的最小值。 2xy2. 设x,y(0,)且xy1，求

3. 已知a,b为正实数，且ab1求ab1的最小值。 ab4. 求函数y11(0x1)的最小值。 x1x291(0x)的最小值。 x12x2变式：求函数y5. 设x,y(0,)，x3y5xy，求3x4y的最小值。 6. 设x,y(0,)，xyxy6求xy的最小值。 7. 设x,y(0,)，xyxy6求xy的最大值。

8. （2010浙江高考）设x,y为实数，若4xyxy1，求2xy的最大值。 9. 求函数y变式：y22x216x的最大值。

x152x的最大值和最小值。

x2x110. 设x0求函数y的最小值。

x2

-

x2x111. 设设x1求函数y的最小值。

x112. （2010山东高考）若任意x0，

xa恒成立，求a的取值范围. 2x3x12x23x3(x1)的最大值。 13. 求函数y2x2x2类型三、应用题

1.（2009湖北）围建一个面积为360m的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需要维修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用旧墙的长度为x（单位：m）。

（1）将y表示为x的函数（y表示总费用）。

（2）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最少。并求出最小总费用。

2.（2008广东）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为x层（x10），则每平方米的平均建筑费用为56048x（单位：元）。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？

（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用， 平均购地费用=购地总费用）

建筑总面积

附加题：

若正数a,b,c满足abc1，那么(a)(b)(c)的最小值为

3

21a21b21c2