2016-2017学年河南省平顶山市高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）抛物线y=4x2的焦点到准线的距离为（ ） A．2

B． C．4

D．

，b=

，B=120°，则a等

2．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=于（ ） A．

B．

C．

D．2

3．（5分）设命题P：∃n∈N，n2＞2n，则￢P为（ ）

A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∀n∉N，n2≤2n

4．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当Sn取最小值时，n等于（ ） A．6

B．7

C．8

D．9

5．（5分）设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（ ） A．＜ B．

＜

C．a2＜b2 D．ab2＜a2b

6．（5分）已知{an}是等比数列，a2=2，a5=，则a1a2+a2a3+…+anan+1=（ ） A．16（1﹣4﹣n）

B．16（1﹣2﹣n）

C．

（1﹣4﹣n） D．

（1﹣2﹣n）

7．（5分）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

=1的焦点，点M在椭圆C上且满足|

+

|=2

，

8．（5分）已知点F1，F2是椭圆C：则△MF1F2的面积为（ ） A．

B．

C．1

D．2

9．（5分）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且cosA=，cosB=c=（ ） A．

B． C．

D．

，b=3，则

10．（5分）已知不等式（x+y）（+）≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（ ）

1页

A．2 B．4 C．6 D．8

11．（5分）已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（ ） A．

B．

C．

D．

12．（5分）等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C﹣AB﹣D的余弦值为M，N分别是AC．BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于（ ） A． B．

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

C．

D．

，

13．（5分）四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠A1AB=∠A1AD=∠DAB=60°，A1A=AB=AD=1，则AC1= ． 14．（5分）设x，y满足约束条件：

；则z=x﹣2y的取值范围为 ．

15．（5分）数列{an}的前n项和为Sn，且an+1=，a1=2，则S2017= ．

16．（5分）平面内到定点F（0，1）和定直线l：y=﹣1的距离之和等于4的动点的轨迹为曲线C，关于曲线C的几何性质，给出下列四个结论：

①曲线C的方程为x2=4y； ②曲线C关于y轴对称 ③若点P（x，y）在曲线C上，则|y|≤2； ④若点P在曲线C上，则1≤|PF|≤4 其中，所有正确结论的序号是 ．

三、解答题（共6小题，满分70分） 17．（10分）（Ⅰ）解不等式

＞0

（Ⅱ）设a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1，求证（﹣1）（﹣1）（﹣1）≥8． 18．（12分）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+两个实根． （Ⅰ）求C的大小 （Ⅱ）若AB=3，AC=

px﹣p+1=0（p∈R）

，求p的值．

2页

19．（12分）在数列{an}中，a1=2，an+1=4an﹣3n+1，n∈N* （Ⅰ）证明：数列{an﹣n}是等比数列

（Ⅱ）记数列{an}的前n项和为Sn，求证：Sn+1≤4Sn，对任意n∈N*成立． 20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AC=2在棱B1C1上，且B1C1=4B1D （Ⅰ）求证：BD⊥A1C

（Ⅱ）求二面角B﹣A1D﹣C的大小．

，AA1=

，AB=2，点D

21．（12分）设F1，F2分别是椭圆E：

+

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1倾斜角为

45°的直线l与E相交于A，B两点，且|AB|=（Ⅰ）求E的离心率

（Ⅱ）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求E的方程．

22．（12分）已知抛物线C：y=2x2，直线y=kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N．

（Ⅰ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行； （Ⅱ）是否存在实数k使

，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．

3页

2016-2017学年河南省平顶山市高二（上）期末数学试卷（理科）

参与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）（2016秋•平顶山期末）抛物线y=4x2的焦点到准线的距离为（ ） A．2

B． C．4

D．

【分析】直接利用抛物线方程求解即可．

【解答】解：抛物线y=4x2的焦点到准线的距离为：P=． 故选：B

【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，把抛物线的方程化为标准方程是解题的关键．

2．（5分）（2008•陕西）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=则a等于（ ） A．

B．

C．

D．2

，b=

，B=120°，

【分析】由题意和正弦定理求出sinC，由内角的范围和条件求出C，由内角和定理求出A，利用边角关系求出a． 【解答】解：∵c=∴由正弦定理得，

，b=

，B=120°， ，

则sinC===，

∵0°＜C＜120°，∴C=30°， ∴A=180°﹣B﹣C=30°， 即A=C，a=c=故选B．

【点评】本题考查正弦定理，以及内角和定理，注意内角和的范围，属于基础题．

3．（5分）（2016秋•平顶山期末）设命题P：∃n∈N，n2＞2n，则￢P为（ ） A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∀n∉N，n2≤2n

4页

，

【分析】由特称命题的否定为全称命题，可得结论． 【解答】解：由特称命题的否定为全称命题，可得 命题P：∃n∈N，n2＞2n，则￢P为∀n∈N，n2≤2n． 故选：C．

【点评】本题考查特称命题的否定为全称命题，属于基础题．

4．（5分）（2010•福建）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当Sn取最小值时，n等于（ ） A．6

B．7

C．8

D．9

【分析】条件已提供了首项，故用“a1，d”法，再转化为关于n的二次函数解得． 【解答】解：设该数列的公差为d，则a4+a6=2a1+8d=2×（﹣11）+8d=﹣6，解得d=2， 所以故选A．

【点评】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力．

5．（5分）（2016秋•平顶山期末）设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（ ） A．＜ B．

＜

C．a2＜b2 D．ab2＜a2b

，所以当n=6时，Sn取最小值．

【分析】A，C，D取特殊值，D利用不等式的性质证明即可． 【解答】解：a=﹣1，b=1，则A，C不成立； a=﹣2，b=1，则D不成立， 对于B，左﹣右=故选B．

【点评】本题考查不等式的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．

6．（5分）（2008•浙江）已知{an}是等比数列，a2=2，a5=，则a1a2+a2a3+…+anan+1=（ ） A．16（1﹣4﹣n）

B．16（1﹣2﹣n）

C．

（1﹣4﹣n） D．

（1﹣2﹣n）

＜0，成立．

【分析】首先根据a2和a5求出公比q，根据数列{anan+1}每项的特点发现仍是等比数列，且首

5页

项是a1a2=8，公比为．进而根据等比数列求和公式可得出答案． 【解答】解：由

，解得

．

数列{anan+1}仍是等比数列：其首项是a1a2=8，公比为，

所以，故选：C．

【点评】本题主要考查等比数列通项的性质和求和公式的应用．应善于从题设条件中发现规律，充分挖掘有效信息．

7．（5分）（2014•天津）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论． 【解答】解：若a＞b，

①a＞b≥0，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞b•b，此时成立．

②0＞a＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为﹣a•a＞﹣b•b，即a2＜b2，此时成立．

③a≥0＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞﹣b•b，即a2＞﹣b2，此时成立，即充分性成立． 若a|a|＞b|b|，

①当a＞0，b＞0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＞0，因为a+b＞0，所以a﹣b＞0，即a＞b．

②当a＞0，b＜0时，a＞b．

③当a＜0，b＜0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＜0，因为a+b＜0，所以a﹣b＞0，即a＞b．即必要性成立， 综上“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件， 故选：C．

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质 结合分类讨论是解决本题的关键．

8．（5分）（2016秋•平顶山期末）已知点F1，F2是椭圆C：

6页

=1的焦点，点M在椭圆C

上且满足|A．

B．

+|=2

，则△MF1F2的面积为（ ） D．2

C．1

【分析】由椭圆性质和余弦定理推导出cos∠F1MF2=90°，由此利用椭圆定义和定弦定理能求出△MF1F2的面积．

【解答】解：∵点F1，F2是椭圆C：点M在椭圆C上且满足|∴

由余弦定理得联立①②，得： cos∠F1MF2=90°， ∵|MF1|+|MF2|=2a=4， ∴

∴|MF1|•|MF2|=（16﹣12）=2，

∴△MF1F2的面积S=|MF1|•|MF2|=×2=1． 故选：C．

【点评】本题考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、正弦定理、余弦定理的合理运用．

9．（5分）（2016秋•平顶山期末）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且cosA=，cosB=A．

，b=3，则c=（ ） B． C．

D．

=1的焦点， ，

+|•|

|=2

+2|

|cos∠F1MF2=12，① ﹣2

=12，②

=16，

【分析】由A和B都为三角形的内角，根据cosA及cosB的值，求出sinA和sinB的值， 将sinC中的角C利用三角形的内角和定理变形后，求出sinC的值， 再利用正弦定理求出c的值．

【解答】解：△ABC中，cosA=，cosB=∴sinA=

， =

，

7页

=，sinB=

∴sinC=sin（A+B） =sinAcosB+cosAsinB =×=

，

+×

又b=3， 由正弦定理

=

得：

c===．

故选：A．

【点评】本题考查了同角三角函数间的基本关系，诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦定理的应用问题．

10．（5分）（2006•陕西）已知不等式（x+y）（+）≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（ ） A．2

B．4

C．6

D．8

）的最小值；展开凑定值

）≥9对任意正实数x，y恒成立，

【分析】求（x+y）（

【解答】解：已知不等式（x+y）（只要求（x+y ）（∵∴∴

≥≥9

≥2或

≤﹣4（舍去），

）的最小值≥9

所以正实数a的最小值为4， 故选项为B．

【点评】求使不等式恒成立的参数范围，常转化成求函数最值

11．（5分）（2010•宁夏）已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（ ）

8页

A． B． C． D．

【分析】已知条件易得直线l的斜率为1，设双曲线方程，及A，B点坐标代入方程联立相减得x1+x2=﹣24，根据得答案．

【解答】解：由已知条件易得直线l的斜率为k=kPN=1， 设双曲线方程为

A（x1，y1），B（x2，y2），

， =

，可求得a和b的关系，再根据c=3，求得a和b，进而可

则有，

两式相减并结合x1+x2=﹣24，y1+y2=﹣30得

=

，

从而==1

即4b2=5a2， 又a2+b2=9， 解得a2=4，b2=5， 故选B．

【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．

12．（5分）（2016秋•平顶山期末）等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C﹣AB﹣D的余弦值为A． B．

C．

，M，N分别是AC．BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于（ ） D．

【分析】先找出二面角的平面角，建立边之间的等量关系，再利用向量法将所求异面直线用基底表示，然后利用向量的所成角公式求出所成角即可．

9页

【解答】解：设AB=2，作CO⊥面ABDE，

OH⊥AB，则CH⊥AB，∠CHO为二面角C﹣AB﹣D的平面角， CH=

，OH=CHcos∠CHO=1，

结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥， 则AN=EM=CH=∴

=．

，

=（

+

），

=

﹣

，

故EM，AN所成角的余弦值故选D．

=，

【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．（5分）（2016秋•平顶山期末）四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠A1AB=∠A1AD=∠DAB=60°，A1A=AB=AD=1，则AC1= ．

【分析】由题意画出图形，然后利用空间向量求解． 【解答】解：如图，

∵∠A1AB=∠A1AD=∠DAB=60°，A1A=AB=AD=1， ∴

=

10页

=3+2×∴故答案为：

=6． ，即AC1=．

．

【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查了利用空间向量求线段长度，是基础的计算题．

14．（5分）（2012•新课标）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为 ．

【分析】先作出不等式组表示的平面区域，由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线

x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合函数的图形可求z的最大与最小值，从而可求z的范围

【解答】解：作出不等式组表示的平面区域 由z=x﹣2y可得，y=越小

结合函数的图形可知，当直线x﹣2y﹣z=0平移到B时，截距最大，z最小；当直线x﹣2y﹣z=0平移到A时，截距最小，z最大 由

可得B（1，2），由

可得A（3，0）

，则﹣

表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z

∴Zmax=3，Zmin=﹣3 则z=x﹣2y∈[﹣3，3] 故答案为：[﹣3，3]

11页

【点评】平面区域的范围问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．

15．（5分）（2016秋•平顶山期末）数列{an}的前n项和为Sn，且an+1=1010 ．

【分析】由数列的递推公式求出前四项，可得数列{an}是以3为周期的数列，求出S3的值，由周期性求出S2017的值．

【解答】解：由题意得，a1=2，an+1=∴a2=1﹣=，a3=1﹣2=﹣1， a4=1﹣（﹣1）=2，…，

∴数列{an}是以3为周期的数列， 又S3=2+﹣1=，2017=3×672+1， ∴S2017=672×+2=1010， 故答案为：1010．

【点评】本题考查数列递推式的应用，以及数列周期性的应用，求出数列{an}的周期是解题关键，属于中档题．

12页

，a1=2，则S2017=

=1﹣，

16．（5分）（2016秋•平顶山期末）平面内到定点F（0，1）和定直线l：y=﹣1的距离之和等于4的动点的轨迹为曲线C，关于曲线C的几何性质，给出下列四个结论：

①曲线C的方程为x2=4y； ②曲线C关于y轴对称 ③若点P（x，y）在曲线C上，则|y|≤2； ④若点P在曲线C上，则1≤|PF|≤4 其中，所有正确结论的序号是 ②③④ ．

【分析】设出曲线上的点的坐标，求出曲线方程，画出图象，即可判断选项的正误． 【解答】解：设P（x，y）是曲线C上的任意一点， 因为曲线C是平面内到定点F（0，1）

和定直线l：y=﹣1的距离之和等于4的点的轨迹， 所以|PF|+|y+1|=4．即

解得y≥﹣1时，y=2﹣x2，当y＜﹣1时，y=显然①不正确；

②曲线C关于y轴对称；正确．

③若点P（x，y）在曲线C上，则|y|≤2；正确．

④若点P在曲线C上，|PF|+|y+1|=4，|y|≤2，则1≤|PF|≤4．正确． 故答案为：②③④．

， x2﹣2；

【点评】本题考查曲线轨迹方程的求法，曲线的基本性质的应用，考查计算能力．

三、解答题（共6小题，满分70分）

17．（10分）（2016秋•平顶山期末）（Ⅰ）解不等式

＞0

（Ⅱ）设a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1，求证（﹣1）（﹣1）（﹣1）≥8．

13页

【分析】（1）由（2）将不等式转化成1）≥8．

=＞0，利用穿根法，即可求得不等式的解；

由基本不等式的性质即可求证（﹣1）（﹣1）（﹣

【解答】解：（1）由不等式=＞0，

由穿根法可知：﹣2＜x＜1，或x＞3，

∴不等式的解集为{x丨﹣2＜x＜1，或x＞3}；

（2）证明（﹣1）（﹣1）（﹣1）==

≥

•=8，

•，

当且仅当a=b=c时取等号，

【点评】本题考查不等式的解法及基本不等式的性质，考查穿根法的应用，属于中档题．

18．（12分）（2015•四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+﹣p+1=0（p∈R）两个实根． （Ⅰ）求C的大小 （Ⅱ）若AB=3，AC=

，求p的值．

px

【分析】（Ⅰ）由判别式△=3p2+4p﹣4≥0，可得p≤﹣2，或p≥，由韦达定理，有tanA+tanB=﹣

p，tanAtanB=1﹣p，由两角和的正切函数公式可求tanC=﹣tan（A+B）=

，结合C的范

围即可求C的值．

（Ⅱ）由正弦定理可求sinB=tanA=tan75°，从而可求p=﹣

=

，解得B，A，由两角和的正切函数公式可求

（tanA+tanB）的值．

px﹣p+1=0的判别式：△=（

2

p）﹣4（﹣p+1）=3p2+4p

【解答】解：（Ⅰ）由已知，方程x2+﹣4≥0，

14页

所以p≤﹣2，或p≥． 由韦达定理，有tanA+tanB=﹣

p，tanAtanB=1﹣p．

所以，1﹣tanAtanB=1﹣（1﹣p）=p≠0， 从而tan（A+B）=所以tanC=﹣tan（A+B）=所以C=60°．

（Ⅱ）由正弦定理，可得sinB=解得B=45°，或B=135°（舍去）． 于是，A=180°﹣B﹣C=75°．

=

=

，

， =﹣

=﹣

．

则tanA=tan75°=tan（45°+30°）===2+．

所以p=﹣（tanA+tanB）=﹣（2+）=﹣1﹣．

【点评】本题主要考查了和角公式、诱导公式、正弦定理等基础知识，考查了运算求解能力，考查了函数与方程、化归与转化等数学思想的应用，属于中档题．

19．（12分）（2016秋•平顶山期末）在数列{an}中，a1=2，an+1=4an﹣3n+1，n∈N* （Ⅰ）证明：数列{an﹣n}是等比数列

（Ⅱ）记数列{an}的前n项和为Sn，求证：Sn+1≤4Sn，对任意n∈N*成立．

【分析】（I）由an+1=4an﹣3n+1，变形an+1﹣（n+1）=4（an﹣n），a1﹣1=1．即可证明． （II）由（I）可得：an﹣n=4n﹣1，解得an=n+4n﹣1，利用等差数列与等比数列的求和公式可得：Sn，Sn+1．作差4Sn﹣Sn+1即可得出．

【解答】证明：（I）∵an+1=4an﹣3n+1，∴an+1﹣（n+1）=4（an﹣n），a1﹣1=1． ∴数列{an﹣n}是等比数列，首项为1，公比为4． （II）由（I）可得：an﹣n=4n﹣1，解得an=n+4n﹣1， Sn=Sn+1=

+

+=

+． +4×

﹣

15页

．

∴4Sn﹣Sn+1=4×

﹣=﹣

1=≥0．

∴Sn+1≤4Sn，对任意n∈N*成立．

【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式及其性质、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

20．（12分）（2016秋•平顶山期末）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AC=2AA1=

，AB=2，点D在棱B1C1上，且B1C1=4B1D

，

（Ⅰ）求证：BD⊥A1C

（Ⅱ）求二面角B﹣A1D﹣C的大小．

【分析】（Ⅰ）分别以AB、AC、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，由已知得到所用点的坐标，求得

的坐标，由两向量的数量积为0说明BD⊥A1C；

（Ⅱ）分别求出平面BDA1与平面A1DC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣C的大小．

【解答】（Ⅰ）证明：分别以AB、AC、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系， ∵AC=2

，AA1=

，AB=2，点D在棱B1C1上，且B1C1=4B1D，

，0），A1（0，0，，

．

），D（，，

，

）．

∴B（2，0，0），C（0，则∴

∴BD⊥A1C；

（Ⅱ）解：设平面BDA1的一个法向量为

，

，，

16页

∴，取z=2，则；

设平面

A1DC的一个法向量为

，

，，

∴，取y=1，得．

∴cos＜＞==． ．

∴二面角B﹣A1D﹣C的大小为arccos

【点评】本题考查空间中直线与直线位置关系的判定，考查二面角的平面角的求法，训练了空间向量在求解立体几何问题中的应用，是中档题．

21．（12分）（2016秋•平顶山期末）设F1，F2分别是椭圆E：

+

=1（a＞b＞0）的左、右

焦点，过F1倾斜角为45°的直线l与E相交于A，B两点，且|AB|=（Ⅰ）求E的离心率

（Ⅱ）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求E的方程．

【分析】（I）由题意可得直线l的方程为：y=x+c，A（x1，y1），B（x2，y2）．与椭圆方程联立化为：（a2+b2）x2+2ca2x+a2c2﹣a2b2=0，利用根与系数的关系代入|AB|=

=

，化简即可得出．

=﹣

．y0=x0+c．根据点P（0，﹣1）满

（II）设线段AB的中点M（x0，y0）．可得x0=

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足|PA|=|PB|，可得PM⊥AB，kPM•kAB=﹣1，解得c．a2=b2+c2=2b2，解得b，a． 【解答】解：（I）由题意可得直线l的方程为：y=x+c，A（x1，y1），B（x2，y2）． 联立

，化为：（a2+b2）x2+2ca2x+a2c2﹣a2b2=0，

∴x1+x2=﹣，x1•x2=，

|AB|=

化为：a2=2b2． ∴e==

=

．

==，

（II）设线段AB的中点M（x0，y0）． x0=

=﹣

=﹣

．y0=x0+c=c．

∵点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，∴PM⊥AB，

∴kPM•kAB=×1=﹣1，解得c=3．

∴a2=b2+c2=2b2，解得b=c=3，a2=18． ∴椭圆E的方程为

=1．

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程根与系数的关系、弦长公式、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

22．（12分）（2008•陕西）已知抛物线C：y=2x2，直线y=kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N． （Ⅰ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行； （Ⅱ）是否存在实数k使

，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．

【分析】（1）设A（x1，2x12），B（x2，2x22），把直线方程代入抛物线方程消去y，根据韦达定理求得x1+x2和x1x2的值，进而求得N和M的横坐标，表示点M的坐标，设抛物线在点N

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处的切线l的方程将y=2x2代入进而求得m和k的关系，进而可知l∥AB． （2）假设存在实数k，使

成立，则可知NA⊥NB，又依据M是AB的中点进而可知

．根据（1）中的条件，分别表示出|MN|和|AB|代入

求得k．

【解答】解：（Ⅰ）如图，设A（x1，2x12），B（x2，2x22）， 把y=kx+2代入y=2x2得2x2﹣kx﹣2=0， 由韦达定理得，x1x2=﹣1， ∴

，∴N点的坐标为

．

设抛物线在点N处的切线l的方程为，

将y=2x2代入上式得，

∵直线l与抛物线C相切， ∴

，

∴m=k，即l∥AB．

（Ⅱ）假设存在实数k，使，则NA⊥NB， 又∵M是AB的中点，∴．

由（Ⅰ）知=

．

∵MN⊥x轴， ∴．

又

．

∴

，

解得k=±2． 即存在k=±2，使

． 19页

=

【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合把握所学知识和基本的运算能力．

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