从均匀膨胀宇宙模型推导证明红移-距离关系式

（河北邯郸 薛世康 2012-7-2 ， 2012-12-16修改）

１．首先，由熟知的罗伯逊—沃尔克（Robertson－Walker）度规：

dr222222dsdtR(t｛)rdrsind｝ 21kr222推导出重要关系式：｛ １＋ｚ＝

0R(t0)＝ ｝ 1R(t1)其中：r，θ，φ为共动坐标；

r为径向共动坐标，它不随时间变化（宇宙膨胀）而变化，是无量纲量。 t为宇宙时（cosmic time），它是在共动坐标系中静止的观察者所测到的原时。

k是一常数，适当选取r的单位，可使k取＋１，０，－１，分别对应于闭合的宇宙（k＝＋１），平坦的宇宙（k＝０）和开放的宇宙（k＝－１）。

R(t)随时间变化，称为宇宙尺度因子,具有长度的量纲。

对于θ，φ 固定，r＝０和r＝r1的两点间的固有距离为，

r1 dp(t)R(t)0R(t)sin1r1drR(t)r1=21krR(t)sinh1r1k1k0 (1.1) k1此处所讨论的情形为球坐标，可将上述的一般关系进一步简化如下。 ２．从球坐标转换为一维直线情形，以使问题得以简化：

考虑一列沿-ｒ方向朝我们而来的光波包，其频率为1，在宇宙时t1和t1＋t1时刻从一个遥远的星系（共动坐标r＝r1处）发出，在t0和t0＋t0时刻被我们（r＝０）接收到。 由于光子的运动方向为零测地线，ds＝０，又由于只沿径向运动，d＝０，d＝０，所以有

2dr20dsdtR(t)

1kr22221dtdr即 ， （１．２） 2R(t)t101krt0r1dtdr以及 ， （１．３） 2R(t)01krt1t1t0t0r两式相减，就得到一个极其有用的关系式：

t0R(t0)＝ （１．４） t1R(t1)这即是时间膨胀现象的宇宙学表达式。

我们所接收到的光波的频率0同发射时刻的频率1的关系为

0t1R(t1) （１．５）， 1t0R(t0)0101， （１．６）， 11３．天文学中常用红移ｚ来表示波长（或频率）的变化：

z其中1为光波在发射时刻的波长 、0为我们接收时刻的波长。因此我们有

１＋ｚ＝

0R(t0)＝ （１．７）， 1R(t1)式（１．７）为宇宙学中最重要的关系式之一，该式揭示了宇宙学红移的本质，即宇宙学红移ｚ加１等于宇宙的尺度因子的今天值R(t0)与过去值R(t1)（光波信号发生时）之比。

可以看到，R(t)的具体取值并不太重要，真正重要的是R(t)的比值。甚至在有些专著中为方便起见，常将今天的尺度因子R0(t)取为１。

由此式可知，若宇宙是不断膨胀的，则R(t0)＞R(t1)，即ｚ＞０，我们观测到的遥远天体的光谱线都将发生红移。反之，若宇宙不断收缩，R(t0)＜R(t1)，即ｚ＜０，观测到的遥远天体的光谱线将发生蓝移。天文观测表明，除了一些近处的星系外，几乎所有的河外

星系的谱线都发生了红移。

４．宇宙尺度因子R(t)反映了宇宙介质整体在膨胀的进程。

由上述的关系式 １＋ｚ＝

0R(t0)＝ （１．７） 1R(t1)以及下图所示关系，即可推导出宇宙学中非常重要的红移－距离关系式。

（１）．红移－距离关系式的推导过程

在如下所示图中

(R0R1)Ｒ１O━━━━━A━━━━━━━━━━━━B

OB为观察者所在星系Ｂ到视界Ｏ之间的尺度R0(t)

其中：

B点 为观察者所在星系， A点 为观察到的目标星系， O点 为可观测宇宙的视界。

━━OB 为观察者所在星系Ｂ到视界Ｏ之间的尺度R0(t)； OA 为被观察星系A到视界O之间之间的尺度R1(t)；

AB 为观察者所在的星系Ｂ到被观察目标星系A之间的尺度（跟距离有关系） ［R0(t)－R1(t)］。

在以下的推导证明中，（R0(t)＝R(t0)，R1(t)＝R(t1)，以与图中的符号一致，问题本质不变）

由关系式（１．７） １＋ｚ＝

━━━━━━0R(t0)＝，可以得到： 1R(t1)1）， 1z11从而有如下： R0(t)－R1(t)＝R0(t)－R0(t)（）＝R0(t)（１－）＝

1z1z1z1zR0(t)（）＝R0(t)（），

1z1zz即R0(t)－R1(t)＝R0(t)（）；

1zR0(t)＝R1(t)（１＋Z）, 则R1(t)＝R0(t)（

设ｒ为我们与被观察星系之间的距离，则有： ｒ＝R0(t)－R1(t)＝R0(t)（即得到距离 ｒ＝R0(t)（

z）， 1zz）。 1z（２）．R0(t)取值的确定及讨论

根据现代宇宙学的研究成果，我们已能确定可观测宇宙的视界的大小。目前已经知道

R0(t)的表达式为，R0(t)＝

已测定的比较准确。

C，其中Ｃ为真空中的光速，H0为哈勃常数，其取值目前H0以R0(t)＝

Cz代入 ｒ＝R0(t)（）之中，就得到被观察的星系与我们的距离H01zCzz）＝（）。

H01z1zCz（）。 H01z为 ｒ＝R0(t)（

即ｒ＝

综上所述，我们由宇宙学中的罗伯逊—沃尔克（Robertson－Walker）度规所推论出的重要的关系式１＋ｚ＝

R0(t)为出发点，并根据附图所示的几何、代数关系进行巧妙变换，从R1(t)而证明了均匀膨胀宇宙中的距离－红移关系ｒ＝宇宙学基础。

最后再次指出，距离－红移关系ｒ＝

Cz（），它有着非常坚实的物理、H01zCz（）是计算遥远星系距离的便捷公式，H01z并且此式是对哈勃公式的进一步的推广。

参考文献

[1].《观测宇宙学》（第二版）何香涛 著，北京师范大学出版社，２００７年１２月。 [2].《天体物理学》李宗伟 肖兴华 著，高等教育出版社， ２０００年７月第一版