选修2-21.3.3函数的最值与导数
一、选择题
1.函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是M,最小值是m,若M=m,则f′(x)( ) A.等于0 C.小于0 [答案] A
[解析] ∵M=m,∴y=f(x)是常数函数 ∴f′(x)=0,故应选A.
111
2.设f(x)=x4+x3+x2在[-1,1]上的最小值为( )
432A.0 C.-1 [答案] A
[解析] y′=x+x+x=x(x+x+1) 令y′=0,解得x=0.
513
∴f(-1)=,f(0)=0,f(1)=
1212∴f(x)在[-1,1]上最小值为0.故应选A.
3.函数y=x3+x2-x+1在区间[-2,1]上的最小值为( ) A.22 27
B.2 D.-4
3
2
2
B.大于0 D.以上都有可能
B.-2 D.13 12
C.-1 [答案] C
[解析] y′=3x+2x-1=(3x-1)(x+1) 1
令y′=0解得x=或x=-1
3
当x=-2时,y=-1;当x=-1时,y=2; 122
当x=时,y=;当x=1时,y=2.
327所以函数的最小值为-1,故应选C.
4.函数f(x)=x2-x+1在区间[-3,0]上的最值为( ) 3A.最大值为13,最小值为 4B.最大值为1,最小值为4 C.最大值为13,最小值为1
2
D.最大值为-1,最小值为-7 [答案] A
[解析] ∵y=x2-x+1,∴y′=2x-1,
113
令y′=0,∴x=,f(-3)=13,f=,f(0)=1.
2425.函数y=x+1-x在(0,1)上的最大值为( ) A.2 C.0
B.1 D.不存在
[答案] A [解析] y′=
111-x-x-=· 22x21-xx·1-x1
111,1上 由y′=0得x=,在0,上y′>0,在
2221
y′<0.∴x=时y极大=2,
2又x∈(0,1),∴ymax=2. 6.函数f(x)=x-4x(|x|<1)( ) A.有最大值,无最小值 B.有最大值,也有最小值 C.无最大值,有最小值 D.既无最大值,也无最小值 [答案] D
[解析] f′(x)=4x3-4=4(x-1)(x2+x+1). 令f′(x)=0,得x=1.又x∈(-1,1) ∴该方程无解,
故函数f(x)在(-1,1)上既无极值也无最值.故选D.
7.函数y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( ) A.5,-15 C.-4,-15 [答案] A
[解析] y′=6x2-6x-12=6(x-2)(x+1), 令y′=0,得x=2或x=-1(舍). ∵f(0)=5,f(2)=-15,f(3)=-4, ∴ymax=5,ymin=-15,故选A.
B.5,4
D.5,-16
4
152
8.已知函数y=-x-2x+3在[a,2]上的最大值为,则a等于( )
43A.-
21C.-
2[答案] C
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