您好,欢迎来到划驼旅游。
搜索
您的当前位置:首页高二数学函数的最值与导数测试题

高二数学函数的最值与导数测试题

来源:划驼旅游


选修2-21.3.3函数的最值与导数

一、选择题

1.函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是M,最小值是m,若M=m,则f′(x)( ) A.等于0 C.小于0 [答案] A

[解析] ∵M=m,∴y=f(x)是常数函数 ∴f′(x)=0,故应选A.

111

2.设f(x)=x4+x3+x2在[-1,1]上的最小值为( )

432A.0 C.-1 [答案] A

[解析] y′=x+x+x=x(x+x+1) 令y′=0,解得x=0.

513

∴f(-1)=,f(0)=0,f(1)=

1212∴f(x)在[-1,1]上最小值为0.故应选A.

3.函数y=x3+x2-x+1在区间[-2,1]上的最小值为( ) A.22 27

B.2 D.-4

3

2

2

B.大于0 D.以上都有可能

B.-2 D.13 12

C.-1 [答案] C

[解析] y′=3x+2x-1=(3x-1)(x+1) 1

令y′=0解得x=或x=-1

3

当x=-2时,y=-1;当x=-1时,y=2; 122

当x=时,y=;当x=1时,y=2.

327所以函数的最小值为-1,故应选C.

4.函数f(x)=x2-x+1在区间[-3,0]上的最值为( ) 3A.最大值为13,最小值为 4B.最大值为1,最小值为4 C.最大值为13,最小值为1

2

D.最大值为-1,最小值为-7 [答案] A

[解析] ∵y=x2-x+1,∴y′=2x-1,

113

令y′=0,∴x=,f(-3)=13,f=,f(0)=1.

2425.函数y=x+1-x在(0,1)上的最大值为( ) A.2 C.0

B.1 D.不存在

[答案] A [解析] y′=

111-x-x-=· 22x21-xx·1-x1

111,1上 由y′=0得x=,在0,上y′>0,在

2221

y′<0.∴x=时y极大=2,

2又x∈(0,1),∴ymax=2. 6.函数f(x)=x-4x(|x|<1)( ) A.有最大值,无最小值 B.有最大值,也有最小值 C.无最大值,有最小值 D.既无最大值,也无最小值 [答案] D

[解析] f′(x)=4x3-4=4(x-1)(x2+x+1). 令f′(x)=0,得x=1.又x∈(-1,1) ∴该方程无解,

故函数f(x)在(-1,1)上既无极值也无最值.故选D.

7.函数y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( ) A.5,-15 C.-4,-15 [答案] A

[解析] y′=6x2-6x-12=6(x-2)(x+1), 令y′=0,得x=2或x=-1(舍). ∵f(0)=5,f(2)=-15,f(3)=-4, ∴ymax=5,ymin=-15,故选A.

B.5,4

D.5,-16

4

152

8.已知函数y=-x-2x+3在[a,2]上的最大值为,则a等于( )

43A.-

21C.-

2[答案] C

[解析] y′=-2x-2,令y′=0得x=-1. 当a≤-1时,最大值为f(-1)=4,不合题意. 当-1最大值为f(a)=-a-2a+3=,

413

解得a=-或a=-(舍去).

22

9.若函数f(x)=x-12x在区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数k的取值范围是

( )

A.k≤-3或-1≤k≤1或k≥3 B.-3D.不存在这样的实数 [答案] B

[解析] 因为y′=3x-12,由y′>0得函数的增区间是(-∞,-2)和(2,+∞),由y′<0,得函数的减区间是(-2,2),由于函数在(k-1,k+1)上不是单调函数,所以有k-1<-210.函数f(x)=x3+ax-2在区间[1,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是( ) A.[3,+∞)

B.[-3,+∞)

D.(-∞,-3)

23

1

B. 213D.或- 22

C.(-3,+∞) [答案] B

[解析] ∵f(x)=x+ax-2在[1,+∞)上是增函数,∴f′(x)=3x+a≥0在[1,+∞)上恒成立

即a≥-3x2在[1,+∞)上恒成立 又∵在[1,+∞)上(-3x2)max=-3 ∴a≥-3,故应选B. 二、填空题

33

11.函数y=x+(1-x),0≤x≤1的最小值为______.

22

32

[答案]

2 2

11

由y′>0得x>,由y′<0得x<.

22

1112此函数在0,上为减函数,在,1上为增函数,∴最小值在x=时取得,ymin=. 222212.函数f(x)=5-36x+3x2+4x3在区间[-2,+∞)上的最大值________,最小值为________.

3

[答案] 不存在;-28 4

[解析] f′(x)=-36+6x+12x2,

333

令f′(x)=0得x1=-2,x2=;当x>时,函数为增函数,当-2≤x≤时,函数为减222333

函数,所以无最大值,又因为f(-2)=57,f=-28,所以最小值为-28. 244

x313.若函数f(x)=2(a>0)在[1,+∞)上的最大值为,则a的值为________.

x+a3[答案]

3-1

2

2

2

x+a-2xa-x

[解析] f′(x)=2 2=2(x+a)(x+a)2令f′(x)=0,解得x=a或x=-a(舍去) 当x>a时,f′(x)<0;当00; 当x=a时,f(x)=a33=,a=<1,不合题意. 2a32

13∴f(x)max=f(1)==,解得a=3-1.

1+a3

14.f(x)=x3-12x+8在[-3,3]上的最大值为M,最小值为m,则M-m=________. [答案] 32

[解析] f′(x)=3x2-12 由f′(x)>0得x>2或x<-2, 由f′(x)<0得-2∴f(x)在[-3,-2]上单调递增,在[-2,2]上单调递减,在[2,3]上单调递增. 又f(-3)=17,f(-2)=24,f(2)=-8, f(3)=-1,

∴最大值M=24,最小值m=-8,

∴M-m=32. 三、解答题

15.求下列函数的最值: ππ

(1)f(x)=sin2x-x-≤x≤;

22(2)f(x)=x+1-x2.

[解析] (1)f′(x)=2cos2x-1. 1

令f′(x)=0,得cos2x=.

2ππ

又x∈-,,∴2x∈[-π,π],

22ππ

∴2x=±,∴x=±. 36

ππ

∴函数f(x)在-,上的两个极值分别为

22π3ππ3πf=-,f-=-+. 626626又f(x)在区间端点的取值为 ππππf=-,f-=. 2222

ππ比较以上函数值可得f(x)max=,f(x)min=-. 22(2)∵函数f(x)有意义,

∴必须满足1-x2≥0,即-1≤x≤1, ∴函数f(x)的定义域为[-1,1].

1

1x2-f′(x)=1+(1-x)2·(1-x2)′=1-.

221-x

令f′(x)=0,得x=

2. 2

∴f(x)在[-1,1]上的极值为 2f2=+22

1-22=2.

2

又f(x)在区间端点的函数值为f(1)=1,f(-1)=-1,比较以上函数值可得f(x)max=2,f(x)min=-1.

312

16.设函数f(x)=ln(2x+3)+x.求f(x)在区间-4,4上的最大值和最小值. 3[解析] f(x)的定义域为-

2,+∞.

4x2+6x+22

f′(x)=2x+= 2x+32x+3=

2(2x+1)(x+1)

.

2x+3

3

当-0;

21

当-121

当x>-时,f′(x)>0,

2

31

所以f(x)在-4,4上的最小值为 11f-=ln2+. 24

31397131149

又f--f=ln+-ln-=ln+=1-ln<0,

442162167229311=ln7+1. 所以f(x)在区间-,上的最大值为f444216

17.(2010·安徽理,17)设a为实数,函数f(x)=e-2x+2a,x∈R. (1)求f(x)的单调区间及极值;

(2)求证:当a>ln2-1且x>0时,ex>x2-2ax+1.

[分析] 本题考查导数的运算,利用导数研究函数的单调区间,求函数的极值和证明函数不等式,考查运算能力、综合分析和解决问题的能力.

解题思路是:(1)利用导数的符号判定函数的单调性,进而求出函数的极值.(2)将不等式转化构造函数,再利用函数的单调性证明.

[解析] (1)解:由f(x)=e-2x+2a,x∈R知f′(x)=e-2,x∈R. 令f′(x)=0,得x=ln2.于是当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x f′(x) f(x)  故f(x)的单调递减区间是(-∞,ln2),单调递增区间是(ln2,+∞), f(x)在x=ln2处取得极小值,极小值为f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a). (2)证明:设g(x)=e-x+2ax-1,x∈R,于是g′(x)=e-2x+2a,x∈R. 由(1)知当a>ln2-1时,g′(x)最小值为g′(ln2)=2(1-ln2+a)>0. 于是对任意x∈R,都有g′(x)>0,所以g(x)在R内单调递增. 于是当a>ln2-1时,对任意x∈(0,+∞),都有g(x)>g(0).

x

2

x

x

x

x

(-∞,ln2) - 单调递减ln2 0 2(1-ln2+a) (ln2,+∞) + 单调递增

而g(0)=0,从而对任意x∈(0,+∞),g(x)>0. 即e-x+2ax-1>0,故e>x-2ax+1. 4x2-7

18.已知函数f(x)=,x∈[0,1].

2-x(1)求f(x)的单调区间和值域;

(2)设a≥1,函数g(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1].若对于任意x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立,求a的取值范围.

[解析] (1)对函数f(x)求导,得

-4x+16x-7(2x-1)(2x-7)f′(x)==- 2(2-x)(2-x)217

令f′(x)=0解得x=或x=.

22

当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x f′(x) f(x) 0 7- 21(0,) 2-  1 20 -4 1(,1) 2+  1 -3 2

x

2

x

2

1所以,当x∈(0,)时,f(x)是减函数;

21时,f(x)是增函数. 当x∈,12当x∈[0,1]时,f(x)的值域为[-4,-3]. (2)g′(x)=3(x2-a2).

因为a≥1,当x∈(0,1)时,g′(x)<0.

因此当x∈(0,1)时,g(x)为减函数,从而当x∈[0,1]时有g(x)∈[g(1),g(0)]. 又g(1)=1-2a-3a2,g(0)=-2a,即x∈[0,1]时有g(x)∈[1-2a-3a2,-2a]. 任给x1∈[0,1],f(x1)∈[-4,-3],存在x0∈[0,1]使得g(x0)=f(x1)成立, 则[1-2a-3a2,-2a]⊇[-4,-3].

1-2a-3a2≤-4,①即 -2a≥-3.②

53解①式得a≥1或a≤-;解②式得a≤. 323

又a≥1,故a的取值范围为1≤a≤.

2

因篇幅问题不能全部显示,请点此查看更多更全内容

Copyright © 2019- huatuo6.com 版权所有 湘ICP备2023023988号-11

违法及侵权请联系:TEL:199 1889 7713 E-MAIL:2724546146@qq.com

本站由北京市万商天勤律师事务所王兴未律师提供法律服务