高二数学函数的最值与导数测试题

选修2-21.3.3函数的最值与导数

一、选择题

1．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M＝m，则f′(x)( ) A．等于0 C．小于0 [答案] A

[解析] ∵M＝m，∴y＝f(x)是常数函数 ∴f′(x)＝0，故应选A.

111

2．设f(x)＝x4＋x3＋x2在[－1,1]上的最小值为( )

432A．0 C．－1 [答案] A

[解析] y′＝x＋x＋x＝x(x＋x＋1) 令y′＝0，解得x＝0.

513

∴f(－1)＝，f(0)＝0，f(1)＝

1212∴f(x)在[－1,1]上最小值为0.故应选A.

3．函数y＝x3＋x2－x＋1在区间[－2,1]上的最小值为( ) A.22 27

B．2 D．－4

3

2

2

B．大于0 D．以上都有可能

B．－2 D.13 12

C．－1 [答案] C

[解析] y′＝3x＋2x－1＝(3x－1)(x＋1) 1

令y′＝0解得x＝或x＝－1

3

当x＝－2时，y＝－1；当x＝－1时，y＝2； 122

当x＝时，y＝；当x＝1时，y＝2.

327所以函数的最小值为－1，故应选C.

4．函数f(x)＝x2－x＋1在区间[－3,0]上的最值为( ) 3A．最大值为13，最小值为 4B．最大值为1，最小值为4 C．最大值为13，最小值为1

2

D．最大值为－1，最小值为－7 [答案] A

[解析] ∵y＝x2－x＋1，∴y′＝2x－1，

113

令y′＝0，∴x＝，f(－3)＝13，f＝，f(0)＝1.

2425．函数y＝x＋1－x在(0,1)上的最大值为( ) A.2 C．0

B．1 D．不存在

[答案] A [解析] y′＝

111－x－x－＝· 22x21－xx·1－x1

111，1上 由y′＝0得x＝，在0，上y′>0，在

2221

y′<0.∴x＝时y极大＝2，

2又x∈(0,1)，∴ymax＝2. 6．函数f(x)＝x－4x(|x|<1)( ) A．有最大值，无最小值 B．有最大值，也有最小值 C．无最大值，有最小值 D．既无最大值，也无最小值 [答案] D

[解析] f′(x)＝4x3－4＝4(x－1)(x2＋x＋1)． 令f′(x)＝0，得x＝1.又x∈(－1,1) ∴该方程无解，

故函数f(x)在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D.

7．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( ) A．5，－15 C．－4，－15 [答案] A

[解析] y′＝6x2－6x－12＝6(x－2)(x＋1)， 令y′＝0，得x＝2或x＝－1(舍)． ∵f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4， ∴ymax＝5，ymin＝－15，故选A.

B．5,4

D．5，－16

4

152

8．已知函数y＝－x－2x＋3在[a,2]上的最大值为，则a等于( )

43A．－

21C．－

2[答案] C

[解析] y′＝－2x－2，令y′＝0得x＝－1. 当a≤－1时，最大值为f(－1)＝4，不合题意． 当－1最大值为f(a)＝－a－2a＋3＝，

413

解得a＝－或a＝－(舍去)．

22

9．若函数f(x)＝x－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是

( )

A．k≤－3或－1≤k≤1或k≥3 B．－3D．不存在这样的实数 [答案] B

[解析] 因为y′＝3x－12，由y′>0得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y′<0，得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以有k－1<－210．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是( ) A．[3，＋∞)

B．[－3，＋∞)

D．(－∞，－3)

23

1

B. 213D.或－ 22

C．(－3，＋∞) [答案] B

[解析] ∵f(x)＝x＋ax－2在[1，＋∞)上是增函数，∴f′(x)＝3x＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立

即a≥－3x2在[1，＋∞)上恒成立 又∵在[1，＋∞)上(－3x2)max＝－3 ∴a≥－3，故应选B. 二、填空题

33

11．函数y＝x＋(1－x)，0≤x≤1的最小值为______．

22

32

[答案]

2 2

11

由y′>0得x>，由y′<0得x<.

22

1112此函数在0，上为减函数，在，1上为增函数，∴最小值在x＝时取得，ymin＝. 222212．函数f(x)＝5－36x＋3x2＋4x3在区间[－2，＋∞)上的最大值________，最小值为________．

3

[答案] 不存在；－28 4

[解析] f′(x)＝－36＋6x＋12x2，

333

令f′(x)＝0得x1＝－2，x2＝；当x>时，函数为增函数，当－2≤x≤时，函数为减222333

函数，所以无最大值，又因为f(－2)＝57，f＝－28，所以最小值为－28. 244

x313．若函数f(x)＝2(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________．

x＋a3[答案]

3－1

2

2

2

x＋a－2xa－x

[解析] f′(x)＝2 2＝2(x＋a)(x＋a)2令f′(x)＝0，解得x＝a或x＝－a(舍去) 当x>a时，f′(x)<0；当00； 当x＝a时，f(x)＝a33＝，a＝<1，不合题意． 2a32

13∴f(x)max＝f(1)＝＝，解得a＝3－1.

1＋a3

14．f(x)＝x3－12x＋8在[－3,3]上的最大值为M，最小值为m，则M－m＝________. [答案] 32

[解析] f′(x)＝3x2－12 由f′(x)>0得x>2或x<－2， 由f′(x)<0得－2∴f(x)在[－3，－2]上单调递增，在[－2,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增． 又f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8， f(3)＝－1，

∴最大值M＝24，最小值m＝－8，

∴M－m＝32. 三、解答题

15．求下列函数的最值： ππ

(1)f(x)＝sin2x－x－≤x≤；

22(2)f(x)＝x＋1－x2.

[解析] (1)f′(x)＝2cos2x－1. 1

令f′(x)＝0，得cos2x＝.

2ππ

又x∈－，，∴2x∈[－π，π]，

22ππ

∴2x＝±，∴x＝±. 36

ππ

∴函数f(x)在－，上的两个极值分别为

22π3ππ3πf＝－，f－＝－＋. 626626又f(x)在区间端点的取值为 ππππf＝－，f－＝. 2222

ππ比较以上函数值可得f(x)max＝，f(x)min＝－. 22(2)∵函数f(x)有意义，

∴必须满足1－x2≥0，即－1≤x≤1， ∴函数f(x)的定义域为[－1,1]．

1

1x2－f′(x)＝1＋(1－x)2·(1－x2)′＝1－.

221－x

令f′(x)＝0，得x＝

2. 2

∴f(x)在[－1,1]上的极值为 2f2＝＋22

1－22＝2.

2

又f(x)在区间端点的函数值为f(1)＝1，f(－1)＝－1，比较以上函数值可得f(x)max＝2，f(x)min＝－1.

312

16．设函数f(x)＝ln(2x＋3)＋x.求f(x)在区间－4，4上的最大值和最小值． 3[解析] f(x)的定义域为－

2，＋∞.

4x2＋6x＋22

f′(x)＝2x＋＝ 2x＋32x＋3＝

2(2x＋1)(x＋1)

.

2x＋3

3

当－0；

21

当－121

当x>－时，f′(x)>0，

2

31

所以f(x)在－4，4上的最小值为 11f－＝ln2＋. 24

31397131149

又f－－f＝ln＋－ln－＝ln＋＝1－ln<0，

442162167229311＝ln7＋1. 所以f(x)在区间－，上的最大值为f444216

17．(2010·安徽理，17)设a为实数，函数f(x)＝e－2x＋2a，x∈R. (1)求f(x)的单调区间及极值；

(2)求证：当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.

[分析] 本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力．

解题思路是：(1)利用导数的符号判定函数的单调性，进而求出函数的极值．(2)将不等式转化构造函数，再利用函数的单调性证明．

[解析] (1)解：由f(x)＝e－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝e－2，x∈R. 令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x f′(x) f(x)  故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)， f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)． (2)证明：设g(x)＝e－x＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝e－2x＋2a，x∈R. 由(1)知当a>ln2－1时，g′(x)最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0. 于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增． 于是当a>ln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．

x

2

x

x

x

x

(－∞，ln2) － 单调递减ln2 0 2(1－ln2＋a) (ln2，＋∞) ＋ 单调递增

而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0. 即e－x＋2ax－1>0，故e>x－2ax＋1. 4x2－7

18．已知函数f(x)＝，x∈[0,1]．

2－x(1)求f(x)的单调区间和值域；

(2)设a≥1，函数g(x)＝x3－3a2x－2a，x∈[0,1]．若对于任意x1∈[0,1]，总存在x0∈[0,1]，使得g(x0)＝f(x1)成立，求a的取值范围．

[解析] (1)对函数f(x)求导，得

－4x＋16x－7(2x－1)(2x－7)f′(x)＝＝－ 2(2－x)(2－x)217

令f′(x)＝0解得x＝或x＝.

22

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x f′(x) f(x) 0 7－ 21(0，) 2－  1 20 －4 1(，1) 2＋  1 －3 2

x

2

x

2

1所以，当x∈(0，)时，f(x)是减函数；

21时，f(x)是增函数． 当x∈，12当x∈[0,1]时，f(x)的值域为[－4，－3]． (2)g′(x)＝3(x2－a2)．

因为a≥1，当x∈(0,1)时，g′(x)<0.

因此当x∈(0,1)时，g(x)为减函数，从而当x∈[0,1]时有g(x)∈[g(1)，g(0)]． 又g(1)＝1－2a－3a2，g(0)＝－2a，即x∈[0,1]时有g(x)∈[1－2a－3a2，－2a]． 任给x1∈[0,1]，f(x1)∈[－4，－3]，存在x0∈[0,1]使得g(x0)＝f(x1)成立， 则[1－2a－3a2，－2a]⊇[－4，－3]．

1－2a－3a2≤－4，①即 －2a≥－3.②

53解①式得a≥1或a≤－；解②式得a≤. 323

又a≥1，故a的取值范围为1≤a≤.

2