２０１６年第１１期 福建中学数学 ３１ Ｉｎｘ ０， 十二 ２，亦即 ≥１时， （ ）＞０恒成立， 传授新知、方法、技巧，教师是绝对“权威”，地道的 “主持人”，学生则是绝对知识接收器．而翻转课堂则 是让学生是课堂舞台中的主角了，采用“稚化思维” 故ｈ（ｘ）在［１，＋。。）上单调递增，所以［ （ ） ：ｈＯ）＝０． ｘ≥１时，（ ＋１）Ｉｎ ≥２ｘ一２恒成立． ３教学启示 教学法，它就是了教师的“权威”，而且有时变成 “弱智者”，学生好胜心理在这里无形中得到绽放．激 起了他们“求胜”的心态，整个课堂结构发生与传统的 彻底，这不就是一个广义上的“翻转课堂”吗？ 从上面案例片段可以看出，“稚化思维”的教学法 不仅盘活了课堂，而且激发了学生热情和兴趣，引 起学生共鸣，促进了学生积极主动地参与课堂教学 活动．又由于通过问题串的引入，真正做到了因势 利导，强化了教学效果，而且吻合了现代教学理论． ３．３吻合学生学习过程和认知规律的理念 在上面案例片段中，教师精心设计问题串中， 总是选择学生知识的最近发展区，循序渐近，层层 引入，再时时通过自我“稚化思维”甚至有时表现弱 智，无意中对学生产生的引力，在迫切想“战胜或帮 ３．１吻合现代的教学理念 课标课程提倡的是：课堂教学活动应该以学生 为主体，教师为主导，让学生在课堂上真正体现出“自 主”、“合作”，它不仅师生互助，而且能真正生生互 动，使学生由原来的被动学习变为主动学习、探 究．而“稚化思维”教学法，通过教师的稚化，教师产 生“疑惑”，很自然地激发学生想帮助老师，无形中产 生“自主”、“合作”、“探究”．很自然的做到生生、师 生互动，吻合了现代的教学理念． ３．２吻合当今提倡和流行的“翻转课堂”理念 传统教学模式，教师按预先备课立下的“预设” 助”教师愿望下，也按问题串循序思维，认知也就很 自然地也逐步深入，结果是通过师生、生生互动， 双向合作交流，主动构建，很自然地完成学生认知 结构，内化了新知，最终吻合了学生的学习过程和 认知规律理念． 总之，“稚化思维”教学法，妙哉！ 参考文献 ［１］钱军先．例谈稚化思维的教学策略［Ｊ］．中学数学教学参考（上旬），２０１６ （１－２）：３８－３９ 以高考题谈平面向量数量积的求法 管勇 江苏省徐州市睢宁高级中学（２２１２００） 作基底，设ＤＦ＝ＡＤＣ，又ＡＢ・ ，＝４２， 而 ． ：“平面向量的数量积”为近几年高考必考的一个 知识点，是江苏省 考试大纲》中８个Ｃ级考点之 但在高考中相应的试题并不一定是难题． 案例１（２０１２年高考江苏卷・理９）如图１， 在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４２，ＢＣ＝２，点Ｅ为ＢＣ的 一＝一ＡＢ．（一ＡＤ＋Ｄ—Ｆ）＝ ． ＋一ＡＢ．—ＤＦ ． ：２２， ，０＋ 所以 ： ， 中点，点Ｆ在边ＣＤ上，若 ・ Ｆ＝√２，则 Ｅ・ 的值为——． 所以 ．Ｂ一Ｆ＝（Ａ一Ｂ＋丽）．（Ｂ一Ｃ＋一ＣＦ） ：（ ＋ （ ＋ 一）．［一ＡＤ＋（ＤＦ一 ）一］ ）．［一ＡＤ＋（ 一１） ）］ 解法１（定义法）由ＡＢ・ ＝√２， 得『ＡＢ１．１ＡＦｌ ＣＯＳＬＢＡＦ＝４２， ：又ＡＢ＝４２，所以ｌＡＦｃｏｓＬＢＡＦ＝１， 即ＤＦ＝１，所以ＣＦ＝４２—１， 所以ＡＥ・ＢＦ＝（ＡＢ＋ＢＥ）・（ＢＣ＋ＣＦ） ＝ ’ ＡＤ＋＋ （ｋ－１） Ｂ＋２＋￣－￣Ｙ ＋Ｙ６ ＋１ｉｆ－ ￣（ ２－１）－￣Ａ６Ｄ．・ ： ．一＝０＋（ 一１）ＡＢ＋Ｌ ＡＤ＋０ ２ Ｉ一２ ： ． ＋ ． ＋丽．丽＋丽． ： ． ＋砭． ：一 ．（ 一１）＋１．２＝ ． ＝（ ＿１）（厨＋ ＝ ． 解法２（基底法）选不共线的两向量ＡＢ，ＡＤ ３２ 福建中学数学 ２０１６年第１１期 。囱 图１ 图２ 解法３（坐标法）以 为原点，ＡＢ所在直线为 Ｘ轴，ＡＤ所在直线为＿ｙ轴，建立如图２所示的平面 直角坐标系，则Ａ（Ｏ，０），Ｂ（√２，０），Ｄ（Ｏ，２），Ｃ（４２，２）， Ｅ（，Ｊ２，１），设Ｆ（ｘ，２），则ＡＢ＝（４２，０）， Ｆ＝（Ｘ，２）， 又ＡＢ－ Ｆ：√２，所以，／２ｘ＝４２， 所以Ｘ＝１，Ｆ（１，２）， 所以ＡＥ－ＢＦ＝（４２，１）・（１—４２，２） ＝，／５（１一 ）＋２＝ ． 点评 （１）这一道向量综合题主要考查向量数 量积的求法，同时考查平面向量共线定理、平面向 量基本定理、向量的和差运算等基础知识，考查“数 形结合”和“等价转化”思想，考查运算求解能力． （２）此题属关于“向量数量积”的常规题，解题 思路和平时一样，从不同的视角入手，会得出不同 解法求向量的数量积，通常有三种方法： ①定义法：ａ・ｂ＝Ｉ ａ ｌ ｌｂ １ ＣＯＳ＜ａ，６＞； ②基底法：选定两个不共线的向量作基底，将 题目中的向量尽可能地用基底中的两个向量表示， 然后进一步求解； ③坐标法：在直角坐标系中，若ａ＝（ ， ）， ｂ＝（Ｘ２，Ｙ２），贝０ ａ・ｂ＝ＸＩＸ２＋ ｌ ２． 只要在平时教学中，学生能及时归纳、总结、 记录，并经常复习回顾，高考中遇此类题目，学生 会因有清晰的记忆、明确的思考方向，而“有计可施”， 并能进行“优法采撷”，利用解法三求解最简捷． 案例２（２０１６年高考江苏卷・理ｌ３）如图３， 在ＡＡＢＣ中，Ｄ是ＢＣ的中点，Ｅ，Ｆ是ＡＤ上两个三 等分点，ＢＡ－ＣＡ＝４， Ｆ・ＣＦ：一１，则ＢＥ・ＣＥ的值 是——． 解法ｌ（基底法）选不共线的两向量ＤＢ，ＤＦ 作基底（如图３），并设ＤＦ＝ ，ＤＢ＝ｂ， 则ＤＣ＝一ｂ，ＤＥ：２ａ，ＤＡ＝３ａ， ‘．．ＢＡ＝３ａ—ｂ，ＣＡ＝３ａ＋ｂ，ＢＥ＝２ａ—ｂ， Ａ ｎ Ｂ＝ ， Ｆ＝ａ—ｂ，ＣＦ＝ａ＋ｂ， 贝０ ＢＡ．ＣＡ＝９ａ 一ｂ ，ＢＦ．ＣＦ＝ａ 一ｂ ， 由砑． ：４， ． ：一１， 可得９ａ 一西 ＝４，ａ 一ｂ ＝一１， 所 ＝言，ｂ２ １８３， 所以丽・Ｃ一Ｅ＝４ａ２＿ｂ２＿Ｔ４ｘ５一ｉ１３寺 解法２（坐标法）以ＢＣ所在直线为 轴，线段 ＢＣ的中垂线为Ｙ轴，建立平面直角坐标系（如图 ３），则Ｄ（０，０），设Ｂ（一ａ，０），Ｃ（ａ，０），Ａ（３ｂ，３ｃ）， 由已知ＯＦ＝｛Ｏ ，ＯＥ：寻 ， 所以Ｆ（ｂ，ｃ），Ｅ（２ｂ，２ｃ）， 所以ＢＡ＝（３ｂ＋ａ，３Ｃ），ＣＡ＝（３ｂ—ａ，３Ｃ）， ＢＦ＝（６＋ａ，ｃ），ＣＦ＝（ｂ—ａ，ｃ）， ＢＥ＝（２ｂ＋ｎ，２Ｃ），ＣＥ＝（２６一Ⅱ，２Ｃ）， 又葫． ＝４， ．Ｃ一Ｆ＝一１， 所以９ｂ 一ａ ＋９ｃ ＝４，ｂ 一ａ ＋ｃ ＝～１， 解之得６ ＋ｃ２＝言，ｎ２＝ １３， 所以ＢＥ・ＣＥ＝（２ｂ＋ａ，２ｃ）・（２ｂ—ａ，２ｃ） ：４ｂｚ＿ａ２＋４ｃｚ： 一旦： ． ８ ８ ８ ｙ ｌ 。ｙ Ｊ ． Ｂ Ｄ ｆＤ１ ｃ Ｂ Ｄ ｆｐ）ｃ 图３ 图４ 解法３（特殊法、坐标法）不妨把三角形ＡＢＣ 当作等腰三角形，以ＢＣ所在直线为Ｘ轴，线段ＢＣ 的中垂线为Ｙ轴，建立平面直角坐标系（如图４），则 Ｏ（Ｏ，０），设Ｂ（一ａ，０），Ｃ（ａ，０），Ａ（Ｏ，３ｂ）， 由已知ＯＦ＝÷ ， ＝÷ ， 所以Ｅ（ｏ，２ｂ），Ｆ（Ｏ，ｂ）， 所以ＢＡ＝（ ３ｂ），ＣＡ＝（－ａ，３６）， ＢＦ＝（ａ，６），ＣＦ＝（一ａ，６）， ＢＥ＝（ａ，２ｂ），ＣＥ：（一 ，２ｂ） 又ＢＡ・ＣＡ＝４， ・ＣＦ＝一１， 所以一 ＋９ｂ ＝４，一ａ ＋ｂ ＝一１， 解之得ｎ２＝詈，ｂ２ ５， ２０１６年第１１期 福建中学数学 ３３ 所以丽・蕴一 ４ 一詈＋２ｏ８＝ ． 点评（１）此题注重基础，不偏不怪，贴近课 ．本，体现以本为本的数学教学理念，公平公正． （２）因为此题是填空题，所以才能“不妨”把三 Ｒ Ｃ Ｅ 角形ＡＢＣ当作等腰三角形来看，然后再建系，这样 可更快得到答案，但要强调的是此题不能把三角形 ＡＢＣ当作正三角形． （３）通过比较可见解法三是最简捷的． 案例３（２０１６年高考天津卷・理７）已知Ａ，４ＢＣ 是边长为１的等边三角形，点Ｄ，Ｅ分别是边 ＡＢ，ＢＣ的中点，连接ＤＥ并延长到点Ｆ，使得 ＤＥ＝２ＥＦ，则 ． 的值为 图５ 案例４（２０１４年高考江苏卷・理ｌ２）如图６， 在平行四边形ＡＢＣＤ中，已知ＡＢ＝８，ＡＤ：５， ＣＰ＝３ＰＤ， Ｐ・ＢＰ＝２，则ＡＢ・ＡＤ的值是——． 解（基底法）选不共线的两向量ＡＢ，ＡＤ作基 底，因为 尸・ＢＰ＝２，平行四边形ＡＢＣＤ， 所以（ＡＤ＋ＤＰ）・（Ｂｃ＋ｃＰ）＝２， 又ＣＰ＝３ＰＤ， Ａ．一三 ８ Ｂ．１ 一Ｃ．一１ ４ Ｄ．１１ 一８ ８ 所以（ＡＤ＋÷ ）・（ＡＤ一｛ ）＝２， 即 ’ 解法１ （基底法与定义法并用）选不共线的两 向量ＡＢ，ＡＣ作基底，则ＢＣ＝ＡＣ—ＡＢ， 一＝ 一ＬＡＢ． 一三 ：２２ １６ ， 一Ｊ［）＋ＤＦ＝二 一１— ＋ＺＤＥ＝二ＡＢ十二ＡＣ．——１— — ２ ２ ２ ４ 又ＡＢ：８，ＡＤ＝５， ２５一 ．．．． 一３２ ６４：２， １６ ．所以 Ｆ・ＢＣ＝（寺 曰＋ ｃ）。（Ａｃ一 ） ＝一二 ． ：一 ． Ｃ一二 一 ４ ：…．・．． ． ：２２． ＋二 Ｃ ＋兰 ４ ＋点评（１）求向量的数量积常见的方法有三种， 但往往对于某题而言，并不是三种方法都可用或都 宜用，考试时应选最简捷的．另外，三种方法也不 是孤立的，有时使用即能解决问题，有时需两 种或三种方法综合使用才能解决问题． （２）这些高考试题，均着眼于训练过的熟悉的 题型，或在此基础上变式、创新，渗透常见的数学 思想及常见的研究方法，因此，在平时教学中，要 重视方法归纳总结，并让学生及时记录，让学生在 ２ １ １１￣ＣＯＳ 一１ １ ４ ３ ２ 三．１ ： ４ ． ８ 故选Ｂ． 解法２（坐标法）以ＢＣ，ＡＥ所在直线分别为 轴，Ｙ轴，建立平面直角坐标系（如图５）， 则 （０， ），Ｂ（一 ，０），ｃ（ ，０）， 又Ｄ点为线段 的中点，．・．Ｊ［）（一 １，半）， 解答熟悉的题型时有“抓手”，有章可循． （本文系江苏省中小学教学研究第十一期重点课题“数学有效教学行为 的研究——数学学习中懂而不会现象的研究》（课题编号２０１５ＪＫ１１－Ｚ０２４） 的阶段性成果） ＤＥ＝２ＥＦ ． 一 ．Ｆ（吉，一警）， 所以 ・ ＝（吉，一半）．（１，ｏ）＝ １，故选Ｂ． ・。．甄别结构——遴选方法 组合恒等式的证法探微 南通大学附属中学（２２６０１９） 尤荣勇 组合恒等式的证明，是高中数学选修部分内容， 是高考乃至数学竞赛中的高频考点，由于其具有涉
