2020年高考理科数学全国2卷-含答案(最新版-修订)

理科数学(全国2卷)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

3i（）1iA．12i

1.

B．12i C．2i D．2i2.设集合A1,2,4，xx4xm0．若A1，则（）

2A．1,3 B．1,0 C．1,3 D．1,53.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A．90

B．63

C．42

D．362x3y305.设x，y满足约束条件2x3y30，则z2xy的最小值是（）

y30A．15 B．9 C．1 D．96.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A．12种 B．18种 C．24种 D．36种7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩8.执行右面的程序框图，如果输入的a1，则输出的S（）A．2 B．3 C．4 D．5

产产产产aS=0,K=1K≤6产S=S+a∙Ka=aK=K+1产x2y229.若双曲线C:221（a0，b0）的一条渐近线被圆x2y24所截

ab得的弦长为2，则C的离心率为（）A．2

B．3 C．2

23D．3产产S产产10.已知直三棱柱ACA11C1中，AC120，A2，CCC11，则异面直线A1与C1所成角的余弦值为（）

1

A．3 22B．15 5x1`C．10 5D．3311.若x2是函数f(x)(xax1)eA.1

的极值点，则f(x)的极小值为（）

C.5e3

D.1

B.2e3

12.已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA(PBPC)的最小值是（）

A.2

B.3 2C. 4 3D.1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，表示抽到的二等品件数，则D．

14.函数fxsin2x3cosx3（x0,）的最大值是．4215.等差数列an的前n项和为Sn，a33，S410，则

21．Sk1kn16.已知F是抛物线C:y8x的焦点，是C上一点，F的延长线交y轴于点．若为F的中点，则F．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考

生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17.（12分）ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c ,已知sin(AC)8sin2B．2(1)求cosB (2)若ac6 , ABC面积为2,求b.18.（12分）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）其频率分布直方图如下：

产产产产0.068产产产产0.0400.0340.0320.0460.0440.0240.0200.0140.0120.0200.0100.0080.004O253030455055606570产产产/kgO30455055606570产产产/kg产产产产产产产产2

（1）设两种养殖方法的箱产量相互，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法

的箱产量不低于50kg”,估计A的概率；

（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

箱产量＜50kg

旧养殖法新养殖法

箱产量≥50kg

（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）

P（𝐾2≥𝑘）

k

0.0503.841

0.0106.635

0.00110.828

n(adbc)2K(ab)(cd)(ac)(bd)219.（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，

ABBC1AD,BADABC90o,E是PD的中点.2（1）证明：直线CE//平面PAB（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为，求二面角M-AB-D的余弦值

45oPMEADBC3

x220.（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：y21上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足

2NP2NM.

(1)求点P的轨迹方程；

(2)设点Q在直线x=-3上，且OPPQ1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

21.（12分）已知函数f(x)axaxxlnx,且f(x)0.（1）求a；

（2）证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e2f(x0)22.

2（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为

cos4．

（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM||OP|16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程；

（2）设点A的极坐标为(2,3)，点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值．

23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知a0,b0,ab2，证明：（1）(ab)(ab)4；（2）ab2．

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2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(Ⅱ)试题答案

一、选择题

1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.D7.D 8.B 9.A 10.C 11.A 12.B二、填空题

13. 1.96 14. 1 15. 三、解答题17.解：

（1）由题设及ABC得sinB8sin22n 16. 6n12，故

sinB（41-cosB）上式两边平方，整理得 17cos2B-32cosB+15=0解得 cosB=1（舍去），cosB=（2）由cosB=151715814得sinB，故SABCacsinBac171721717又SABC=2，则ac2由余弦定理及ac6得

b2a2c22accosB2（a+c）2ac(1cosB)1715362(1)2174所以b=218.解：

（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg” 由题意知PAPBCPBPC旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为

（0.0400.0340.0240.0140.012）5=0.62故PB的估计值为0.62

5

新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为

（0.0680.0460.0100.008）5=0.66故PC的估计值为0.66

因此，事件A的概率估计值为0.620.660.4092（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表

箱产量50kg旧养殖法新养殖法

6234

2箱产量≥50kg3866

K2200626634381001009610415.705由于15.7056.635故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．

（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图面积为

0.0040.0200.04450.340.5，

箱产量低于55kg的直方图面积为

0.0040.0200.044+0.06850.680.5故新养殖法箱产量的中位数的估计值为

50+0.5-0.34．≈52.35（kg）0.06819.解：

（1）取PA中点F，连结EF，BF．

因为E为PD的中点，所以EFAD,EF=11AD,由BADABC90得BC∥AD，又BCAD22所以EF∥BC．四边形BCEF为平行四边形，CE∥BF．又BF平面PAB，CE平面PAB，故CE∥平面PAB（2）

6

由已知得BAAD,以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，AB为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则

则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，1，3)，

PC(1，0，3),AB(1，0，0)则

BM(x1，y，z),PM(x，y1，z3)因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而n(0，0，1)是底面ABCD的法向量，所以

cosBM,nsin450，即（x-1）²+y²-z²=0

z(x1)2y2z222又M在棱PC上，设PMPC,则x,y1,z3322x=1+x=1-22y=1(舍去)，y=1由①，②得z6z6222626,1，，从而AM1-,1，2222所以M1-设m=x0,y0,z0是平面ABM的法向量，则

mAM02-2x02y0即mAB0x006z00所以可取m=（0，-6，2）.于是cosm,n105mnmn105因此二面角M-AB-D的余弦值为20.解

（1）设P（x,y）,M（x0,y0）,设N（x0,0）, NPxx0,y,NM0,y07

由NP2NM得x0=x,y02y2x2y2因为M（x0,y0）在C上，所以122因此点P的轨迹方程为x2y22（2）由题意知F（-1,0）.设Q（-3，t）,P(m,n),则

OQ3,t,PF1m,n,OQPF33mtn，OPm,n,PQ3m,tn,由OPPQ1得-3mm2tnn21，又由（1）知m2+n2=2，故

3+3m-tn=0

所以OQPF0，即OQPF又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C

的左焦点F.21.解：

（1）fx的定义域为0，+设gx=ax-a-lnx，则fx=xgx,fx0等价于gx0因为g1=0，gx0,故g'1=0,而g'xa若a=1，则g'x=11,g'1=a1,得a1x1.当0＜x＜1时，g'x＜0,gx单调递减；当x＞1时，g'x＞0，gx单调递x增.所以x=1是gx的极小值点，故gxg1=0综上，a=1（2）由（1）知fxx2xxlnx,f'(x)2x2lnx设hx2x2lnx,则h'(x)212121x1212当x0,时，h'x＜0；当x,+时，h'x＞0，所以hx在0,单调递减，在,+单调递增

又he2＞0,h＜0,h10，所以hx在0,有唯一零点x0，在,+有唯一零点1，且当

121212x0,x0时，hx＞0；当xx0,1时，hx＜0，当x1,+时，hx＞0.

因为f'xhx，所以x=x0是f(x)的唯一极大值点

8

由f'x00得lnx02(x01),故f由x00,1得f'x0＜14x=x(1x000)因为x=x0是f(x)在（0,1）的最大值点，由e10,1,f'e10得

fx＞fe100e2-2所以e2＜f22.解：

x＜2（1）设P的极坐标为，＞0，M的极坐标为，＞0，由题设知

11OP=，OM=1=4cos由OMOP=16得C2的极坐标方程=4cos＞0因此C2的直角坐标方程为

x2y24x02（2）设点B的极坐标为B，＞0,由题设知

BOA=2，B=4cos,于是△OAB面积

S=1OABsinAOB24cossin332sin2322当=-312时，S取得最大值2+3所以△OAB面积的最大值为2+323.解：（1）

9

aba5b5a6ab5a5bb6ab3322a3b3aba4b424abab4（2）因为

22ab3a33a2b3ab2b323aba+b2+3a+b42a+b23a+b43所以a+b38，因此a+b≤2.

10