小学四年级加乘原理进阶和典型例题解析

四年级加乘原理进阶和典型例题解析

一、基本知识

 加法原理 任取其一，造句：要么...，要么...  乘法原理 缺一不可，造句：既要...，又要... 二、题型  搭配问题  路线问题  排队问题  组数问题  填数问题  染色问题--重要  旗帜问题--重要 三、基本知识点 ①加法原理

? ? 做一件事有几类方法，每一类中任何一种方法都可以完成任务，只要将每一类的选择数依次相加，即可得到总的选择数。

例??超市的泡面按品牌分为三类：康师傅、今麦郎和统一；而康师傅的有4种口味，今麦郎有2种，统一有3种，则买一包泡面不同的选择方式有：4+2+3=9（种） 总结：加法分类，类类。 ②乘法原理

? ? 做一件事需要分成几步，每一步不能完成任务，但互相关联，缺一不可，只要将每一步的选择数依次相乘，即可得到总的选择数。 例? ?肯德基买一份套餐可以享受优惠，套餐包含一个汉堡，一份小吃，一份饮料；共有3种汉堡，5种小吃，4种饮料，则共有不同的套餐选择数：3×5×4=60（种） 总结：乘法分步，步步相关。 四、典型问题解决----先分类，后分步 例 （路线问题）小明要从A地去C地，从A直接到C有2条不同的线路；也可以从A地先到B地，再由B地到C地，从A到B有4条不同的线路，从B到C有2条不同的线路。则从A地到C地不同的选择数共有：2+2×4=10（种）?? 加乘原理类问题，可按四个步骤进行思考： 1) 需要做什么事情 2) 怎样才算完成任务 3) 需要分类还是分步 4) 用加法还是用乘法 1、组数问题

需考虑如下几个方面：

（1）要组一个几位数（几位就是几步）

（2）组数时是否要求数字不重复（要求不重复时后面的选择数变少）

（3）组数时有无特殊位置，如首位不为零或要求组奇数、偶数（优先考虑特殊位置）

（4）当既要求组奇数，又要考虑首位不为零时，先考虑个位，再考虑首位。特别地，当要组偶数，又要考虑首位不为零时，要进行分类，分为个位是零和个位不是零两种情况去考虑。 例 用0，1，2，3，4可以组成多少个无重复数字的三位偶数？ 首先进行分类:  个位为零时 个位只有1种选择，首位有4种选择，十位剩3种选择，则有1×4×3=12（个）；  个位不为零时 个位有2种选择，首位有3种选择，十位剩3种选择，则有2×3×3=18（个）； ? ?总共有12+18=30（个） 2、染色问题（要求相邻两块不能染成同色）

 对于直线型如下图所示，我们按从一端染色到另一端即可。 ?例：共四种不同颜色的染料

 对于复杂型如下图，要先染相邻最多的那一块，然后按顺时针或逆时针的次序染色。 ?例：?共四种不同颜色染料

3、填数问题

????先分析特殊位置上的数该填多少,有多种填法可分成几类；每一类中剩下的数填时可应用乘法原理分步相乘得出。

从1，2，3，4，5中选出4个填入下面四个格中，要求左比右小，上比下小。? ?? ?? ?? ??? ??先填左上和右下两格，可以有三种填法： （1）左上1，右下4，则剩下两格有2×1=2（种）填法 （2）左上2，右下5，则剩下两格有2×1=2（种）填法 （3）左上1，右下5，则剩下两格有3×2=6（种）填法 ? ???总共2+2+6=10（种） 4.旗帜问题 1） 如果红、黄两种颜色的旗子各2面，用任意两面旗子来表示一种信号。 若采用分类的方法进行统计可以有的信号数，则可分两类： 一种颜色：红红、黄黄共2种； 两种颜色：红黄、黄红共2种； 总共2+2=4（种）

若采用分步的方法进行统计，则每面旗都有2种颜色可选： 2×2=4（种）也可以得到结果。

?【拓】若只有1面红旗，2面黄旗，则只有一种颜色的“红红”是无法摆出的信号，故这时可以有的信号种数为??4-1=3(种)

2）如果有3面红旗，3面黄旗，3面蓝旗，用任意三面旗子来表示一种信号。 若采用分类的方法进行统计可以有的信号数，可分为三类： 一种颜色：红红红、黄黄黄、蓝蓝蓝共3种； 两种颜色：红红黄、红红蓝、黄黄红、黄黄蓝、蓝蓝红、蓝蓝黄、红黄黄、红蓝蓝、黄红红、黄蓝蓝、蓝红红、蓝黄黄、红黄红、红蓝红、黄红黄、黄蓝黄、蓝红蓝、蓝黄蓝共18种； (太多了！最好用分步的方法去算出来。可以看成先选一种主色（就是有两面旗的）有3种选法，再选一种辅色(就是一面旗的啦！)有2种选法，而主辅两色可以有3种不同顺序（我只画红为主色黄为辅色的见下图），则共有3×2×3=18（种）） 三种颜色：红蓝黄、红黄蓝、黄红蓝、黄蓝红、蓝红黄、蓝黄红共6种； 总计：3+18+6=27（种） 若采用分步的方法进行统计，则每一面旗子都有3种颜色可选： 3×3×3=27（种）也可以得到结果。 ?【拓】若只有2面红旗，2面黄旗，3面蓝旗则只有一种颜色的“红红红”和“黄黄黄”是无法摆出的信号，故这时可以有的信号种数为? ??27-2=25(种)

3）红、黄、蓝、白四种不同颜色的小旗，分别有2、2、3、3面，任取三面排成一行表示一种信号，共可以表示几种信息？白旗不打头的信号共有几种？ 解题过程：

1）共可以表示几种信号：

 取一种颜色，即三面旗同色。只能是蓝色和白色，故2种

 取两种颜色，2面相同颜色+1面其它颜色，首先选出一种颜色的旗拿出2面，有4种选

择；再从剩下的三种颜色中拿1面，有3种选择；3面旗因为顺序不同有3种情况（即单色可以在最前面、中间、最后面三种情况）；所以共有4x3x3=36种  取三种颜色，4×3×2=24种  共有2+36+24=62 2）白色打头的情况： 2.1一种思路是分组：  三个白色：1种  两个白色：白色+白色+其它色3种，白色+其它色+白色3种，3+3=6种  一个白色：白色+其它两种色1×3×3=9种 2.2一种思路不分组，分步做  第一次只能取白色，第二次四种颜色都可以取，第三次四种颜色依然都可以取。1×4×4=16 3）白色不打头的情况：

 62-（1+6+9）=62-16=46种

4）红、黄、蓝、白四种不同颜色的小旗，分别有2、3、3、3面，任取三面排成一行表示一种信号，共可以表示几种信息？

解题过程：

共可以表示几种信号：

 取一种颜色，即三面旗同色。可能是黄色、蓝色和白色，故3种

 取两种颜色，2面相同颜色+1面其它颜色，首先选出一种颜色的旗拿出2面，有4种选

择；再从剩下的三种颜色中拿1面，有3种选择；3面旗因为顺序不同有3种情况（即单色可以在最前面、中间、最后面三种情况）；所以共有4x3x3=36种  取三种颜色，4×3×2=24种  共有3+36+24=63 5）红、黄、蓝、白四种不同颜色的小旗，分别有3、3、3、3面，任取三面排成一行表示一种信号，共可以表示几种信息？ 解题过程： 共可以表示几种信号：  取一种颜色，即三面旗同色。可能是红色、黄色、蓝色和白色，故4种  取两种颜色，2面相同颜色+1面其它颜色，首先选出一种颜色的旗拿出2面，有4种选

择；再从剩下的三种颜色中拿1面，有3种选择；3面旗因为顺序不同有3种情况（即单色可以在最前面、中间、最后面三种情况）；所以共有4x3x3=36种  取三种颜色，4×3×2=24种  共有4+36+24=

还有一种做法，直接分步做：4×4×4=

6）甲乙丙丁四人各有一本作业本混放在一起,四人没人随便拿了一本,

 则甲拿到自己作业本的拿法有几种?  只有一人拿到自己作业本的拿法有几种?  至少有一人没有拿到自己作业本的拿法有几种?  谁也没有拿到自己作业本的拿法有几种? 解题过程：  甲拿自己的，乙丙丁随便,种数1×3×2×1=6种。  假设甲拿到自己的，则乙只能有两个选择（丙或丁），而丙丁只有1种选择，所以共2种，一共4个人,所以是8种。  至少有一个人没拿到自己的反面就是都拿到自己的，只有1种情况。而总共的情况为4*3*2*1=24种,所以符合条件为24-1=23种。  对于第一个拿的人有3种选择，而第二个拿的人只有2种选择,剩下两个只有1种选择,

所以共3×2×1×1=6种。 