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精选初中数学二次函数难题拔高

来源：划驼旅游

精选初中数学二次函数难题拔高

一．选择题（共2小题） 1．如图，已知动点P在函数y=

（x＞0）的图象上运动，PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，线段PM、PN分别

与直线AB：y=﹣x+1交于点E，F，则AF•BE的值为（）

4 A． 2．如图，抛物线y=x﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点（点A在点B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P运动的总路径最短，则点P运动

的总路径的长为（）

2 B． 1 C． D．

A． B． C． D．二．解答题（共28小题）

3．已知：关于x的方程mx﹣3（m﹣1）x+2m﹣3=0．

（1）当m取何整数值时，关于x的方程mx﹣3（m﹣1）x+2m﹣3=0的根都是整数；

（2）若抛物线y=mx﹣3（m﹣1）x+2m﹣3向左平移一个单位后，过反比例函数y=（k≠0）上的一点（﹣1，3）， ①求抛物线y=mx﹣3（m﹣1）x+2m﹣3的解析式； ②利用函数图象求不等式﹣kx＞0的解集．

4．已知：关于x的一元二次方程mx﹣（2m+n）x+m+n=0①．（1）求证：方程①有两个实数根；（2）求证：方程①有一个实数根为1；

（3）设方程①的另一个根为x1，若m+n=2，m为正整数且方程①有两个不相等的整数根时，确定关于x的二次函数

y=mx﹣（2m+n）x+m+n的解析式；（4）在（3）的条件下，把Rt△ABC放在坐标系内，其中∠CAB=90°，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），BC=5，将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在抛物线上时，求△ABC平移的距离．

5．某商场以80元/件的价格购进西服1000件，已知每件售价为100元时，可全部售出．如果定价每提高1%，则销售量就下降0.5%，问如何定价可使获利最大（总利润=总收入﹣总成本）？

6．如图，等腰梯形ABCD，AD∥BC，AD=3cm，BC=7cm，∠B=60°，P为下底BC上一点（不与B、C重合），连接AP，过P作∠APE=∠B，交DC于E．（1）求证：△ABP∽△PCE；

（2）求等腰梯形的腰AB的长；

（3）在底边BC上是否存在一点P，使得DE：EC=5：3？如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由．

7．如图所示，已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点（与A、D不重合），过点P作PE⊥CP交直线AB于点E，设PD=x，AE=y，

（1）写出y与x的函数解析式，并指出自变量的取值范围；（2）如果△PCD的面积是△AEP面积的4倍，求CE的长；（3）是否存在点P，使△APE沿PE翻折后，点A落在BC上？证明你的结论．

8．如图，抛物线y=x﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．

（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；

（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；

（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．

9．如图，在直角坐标系xoy中，抛物线y=x+bx+c与x轴交于A、B两点（其中A在原点左侧，B在原点右侧），C为抛物线上一点，且直线AC的解析式为y=mx+2m（m≠0），∠CAB=45°，tan∠COB=2．（1）求A、C的坐标；

（2）求直线AC和抛物线的解析式；

（3）在抛物线上是否存在点D，使得四边形ABCD为梯形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

10．如图，抛物线y=﹣x+bx+2交x轴于A、B两点（点B在点A的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x=，O为坐标原点．

（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求证：∠ACB是直角；

（3）抛物线上是否存在点P，使得∠APB为锐角？若存在，求出点P的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．

11．（A）抛物线y=ax+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且当x=0和x=2时，y的值相等．直线y=3x﹣7与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是4，另一点是这条抛物线的顶点M．（1）求这条抛物线的解析式；

（2）P为线段BM上一点，过点P向x轴引垂线，垂足为Q．若点P在线段BM上运动（点P不与点B、M重合），设OQ的长为t，四边形PQOC的面积为S．求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围．

（3）对于二次三项式x﹣10x+36，小明同学作出如下结论：无论x取什么实数，它的值都不可能等于11．你是否同意他的说法？说明你的理由．

12．如图，抛物线y=x﹣bx﹣5与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点C与点F关于抛物线的对称轴对称，直线AF交y轴于点E，|OC|：|OA|=5：1．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线AF的解析式；

（3）在直线AF上是否存在点P，使△CFP是直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

13．如图1，抛物线y=nx﹣11nx+24n （n＜0）与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线上另有一点A在第一象限内，且∠BAC=90°．

（1）填空：点B的坐标为（ _________ ），点C的坐标为（ _________ ）；（2）连接OA，若△OAC为等腰三角形． ①求此时抛物线的解析式； ②如图2，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，点M为①中所求的抛物线上点A与点C两点之间一动点，且点M的横坐标为m，过动点M作垂直于x轴的直线l与CD交于点N，试探究：当m为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值．

14．如图，抛物线y=ax+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且当x=O和x=4时，y的值相等．直线y=4x﹣16与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是3，另一点是这条抛物线的顶点M．（1）求这条抛物线的解析式；

（2）P为线段OM上一点，过点P作PQ⊥x轴于点Q．若点P在线段OM上运动（点P不与点O重合，但可以与点M重合），设OQ的长为t，四边形PQCO的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；（3）随着点P的运动，四边形PQCO的面积S有最大值吗？如果S有最大值，请求出S的最大值，并指出点Q的具体位置和四边形PQCO的特殊形状；如果S没有最大值，请简要说明理由；

（4）随着点P的运动，是否存在t的某个值，能满足PO=OC？如果存在，请求出t的值．

15．如图，抛物线y=ax+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且当x=0和x=2时，y的值相等．直线y=3x﹣7与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是4，另一点是这条抛物线的顶点M．（1）求这条抛物线的解析式；

（2）P为线段BM上一点，过点P向x轴引垂线，垂足为Q．若点P在线段BM上运动（点P不与点B、M重合），设OQ的长为t，四边形PQAC的面积为S．求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；（3）在线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

16．如图，已知抛物线C1：y=a（x+2）﹣5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B的横坐标是1；（1）求a的值；

（2）如图，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，抛物线C3的顶点为M，当点P、M关于点O成中心对称时，求抛物线C3的解析式．

17．如图，已知△ABC内接于半径为4的☉0，过0作BC的垂线，垂足为F，且交☉0于P、Q两点．OD、OE的长

分别是抛物线y=x+2mx+m﹣9与x轴的两个交点的横坐标．（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在直线l，使它经过抛物线与x轴的交点，并且原点到直线l的距离是2？如果存在，请求出直线l的解析式；如果不存在，请说明理由．

18．如图，已知二次函数y=﹣x+bx+c的图象经过A（﹣2，﹣1），B（0，7）两点．（1）求该抛物线的解析式及对称轴；（2）当x为何值时，y＞0？

（3）在x轴上方作平行于x轴的直线l，与抛物线交于C，D两点（点C在对称轴的左侧），过点C，D作x轴的垂线，垂足分别为F，E．当矩形CDEF为正方形时，求C点的坐标．

19．如图，抛物线y=﹣x+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；

（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m； ①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？ ②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．

20．如图，抛物线y=x﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点D．（1）求点A、B、D的坐标；（2）若点C在该抛物线上，使△ABD≌△BAC．求点C的坐标，及直线AC的函数表达式；

（3）P是（2）中线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值．

21．已知：抛物线y=﹣x﹣（m+3）x+m﹣12与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜0，x2＞0，抛物线与y轴交于点C，OB=2OA．（1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴上，点A的左侧，求一点E，使△ECO与△CAO相似，并说明直线EC经过（1）中抛物线的顶点D；（3）过（2）中的点E的直线y=x+b与（1）中的抛物线相交于M、N两点，分别过M、N作x轴的垂线，垂足为M′、N′，点P为线段MN上一点，点P的横坐标为t，过点P作平行于y轴的直线交（1）中所求抛物线于点Q．是否存在t值，使S梯形MM'N'N：S△QMN=35：12？若存在，求出满足条件的t值；若不存在，请说明理由．

22．如图，抛物线c1：y=x﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点P为线段BC上一点，过点P作直线l⊥x轴于点F，交抛物线c1点E．（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）当点P在线段BC上运动时，求线段PE长的最大值；

（3）当PE为最大值时，把抛物线c1向右平移得到抛物线c2，抛物线c2与线段BE交于点M，若直线CM把△BCE的面积分为1：2两部分，则抛物线c1应向右平移几个单位长度可得到抛物线c2？

23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，且点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，3）．（1）求抛物线及直线AC的解析式；（2）E、F是线段AC上的两点，且∠AEO=∠ABC，过点F作与y轴平行的直线交抛物线于点M，交x轴于点N．当MF=DE时，在x轴上是否存在点P，使得以点P、A、F、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点Q是位于抛物线对称轴左侧图象上的一点，试比较锐角∠QCO与∠BCO的大小（直接写出结果，不要求写出求解过程，但要写出此时点Q的横坐标x的取值范围）．

24．如图，已知抛物线y=x+bx+c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，﹣3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；

（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限． ①当线段PQ=AB时，求tan∠CED的值；

②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．

25．已知，如图，抛物线y=x+bx+3与x轴的正半轴交于A、B两点（A在B的左侧），且与y轴交于点C，O为坐标原点，OB=4．

（1）直接写出点B，C的坐标及b的值；（2）过射线CB上一点N，作MN∥OC分别交抛物线、x轴于M、T两点，设点N的横坐标为t． ①当0＜t＜4时，求线段MN的最大值； ②以点N为圆心，NM为半径作⊙N，当点B恰好在⊙N上时，求此时点M的坐标．

26．如图，抛物线y=ax+bx+c与x轴交于A、B两点的横坐标分别是﹣1，3 （点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点M在直线y=3x﹣7上．（1）求抛物线的解析式；

27．如图，抛物线y=x﹣4x﹣1顶点为D，与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C．（1）求这条抛物线的顶点D的坐标；

（2）经过点（0，4）且与x轴平行的直线与抛物线y=x﹣4x﹣1相交于M、N两点（M在N的左侧），以MN为直径作⊙P，过点D作⊙P的切线，切点为E，求点DE的长；（3）上下平移（2）中的直线MN，以MN为直径的⊙P能否与x轴相切？如果能够，求出⊙P的半径；如果不能，请说明理由．

28．（2011•攀枝花）如图，已知二次函数y=x+bx+c的图象的对称轴为直线x=1，且与x轴有两个不同的交点，其中一个交点坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的关系式；

（2）在抛物线上有一点A，其横坐标为﹣2，直线l过点A并绕着点A旋转，与抛物线的另一个交点是点B，点B的横坐标满足﹣2＜xB＜，当△AOB的面积最大时，求出此时直线l的关系式；

（3）抛物线上是否存在点C使△AOC的面积与（2）中△AOB的最大面积相等？若存在，求出点C的横坐标；若不存在说明理由．

29．如图1，抛物线C1：y=﹣x+4x﹣2与x轴交于A、B，直线l：y=﹣x+b分别交x轴、y轴于S点和C点，抛物线C1的顶点E在直线l上．（1）求直线l的解析式；

（2）如图2，将抛物线C1沿射线ES的方向平移得到抛物线C2，抛物线C2的顶点F在直线l上，并交x轴于M、N两点，且tan∠EAB=•tan∠FNM，求抛物线C1平移的距离；（3）将抛物线C2沿水平方向平移得到抛物线C3，抛物线C3与x轴交于P、G两点（点P在点G的左侧），使得△PEF为直角三角形，求抛物线C3的解析式．

30．在直角坐标系xoy中，抛物线y=x+bx+c与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，其中A在B的左侧，B的坐标是（3，0）．将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过点B、C．（1）求k的值；

（2）求直线BC和抛物线的解析式；（3）求△ABC的面积；

（4）设抛物线顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标．

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参与试题解析

一．选择题（共2小题） 1．如图，已知动点P在函数y=

（x＞0）的图象上运动，PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，线段PM、PN分别

与直线AB：y=﹣x+1交于点E，F，则AF•BE的值为（）

4 A．2 B． 1 C． D．考点：反比例函数综合题。专题：动点型。分析：由于P的坐标为（a，），且PN⊥OB，PM⊥OA，那么N的坐标和M点的坐标都可以a表示，那么BN、NF、BN的长度也可以用a表示，接着F点、E点的也可以a表示，然后利用勾股定理可以分别用a表示AF，BE，最后即可求出AF•BE．解答：解：∵P的坐标为（a，∴N的坐标为（0，∴BN=1﹣，），且PN⊥OB，PM⊥OA，），M点的坐标为（a，0），在直角三角形BNF中，∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形）， ∴NF=BN=1﹣，，）， ∴F点的坐标为（1﹣同理可得出E点的坐标为（a，1﹣a）， ∴AF=（﹣∴AF•BE=222）+（22）=2，BE=（a）+（﹣a）=2a， 2222•2a=1，即AF•BE=1．故选C．点评：本题的关键是通过反比例函数上的点P来确定E、F两点的坐标，进而通过坐标系中两点的距离公式得出所求的值． ©2010-2012 菁优网

2．如图，抛物线y=x﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点（点A在点B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（）

A． B． C． D．考点：二次函数综合题。分析：首先根据题意求得点A与B的坐标，求得抛物线的对称轴，然后作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，则直线A′B′与x=的交点是E，与x轴的交点是F，而且易得A′B′即是所求的长度．解答：解：如图 ∵抛物线y=x﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点， ∴x﹣x﹣=x﹣2，解得：x=1或x=，当x=1时，y=x﹣2=﹣1，当x=时，y=x﹣2=﹣， ∴点A的坐标为（，﹣），点B的坐标为（1，﹣1）， 22∵抛物线对称轴方程为：x=﹣= 作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，则直线A′B′与x=的交点是E，与x轴的交点是F， ∴BF=B′F，AE=A′E， ∴点P运动的最短总路径是AE+EF+FB=A′E+EF+FB′=A′B′，延长BB′，AA′相交于C， ∴A′C=++（1﹣）=1，B′C=1+=， ∴A′B′==． ©2010-2012 菁优网

∴点P运动的总路径的长为．故选A．点评：此题考查了二次函数与一次函数的综合应用．注意找到点P运动的最短路径是解此题的关键，还要注意数形结合与方程思想的应用．二．解答题（共28小题）

3．已知：关于x的方程mx﹣3（m﹣1）x+2m﹣3=0．

（1）当m取何整数值时，关于x的方程mx﹣3（m﹣1）x+2m﹣3=0的根都是整数；

考点：二次函数综合题。专题：计算题；数形结合。分析：（1）原方程可能是一元一次方程也可能是一元二次方程，因此分m=0和m≠0两种情况，先求出两种情况下方程的根，再由根是整数确m定的值．（2）①先表示出平移后的抛物线解析式，然后将点（﹣1，3）代入其中求解即可； ②根据反比例函数过（﹣1，3）确定k的值，然后分别作出y=和y=kx的函数图象，找出前者的图象在后者上方的部分即可．解答：解：（1）当m=0时，x=1；当m≠0，可解得x1=1，x2==2﹣； ∴m=±1、±3时，x均有整数根；综上可得m=0、±1、±3时，x均有整数根．（2）①抛物线向左平移一个单位后得到y=m（x+1）﹣3（m﹣1）（x+1）+2m﹣3，过点（﹣1，3），代入解得：m=3；

∴抛物线解析式为y=3x﹣6x+3． ②∵反比例函数y=（k≠0）经过点（﹣1，3）， ∴k=﹣1×3=﹣3；作出y=kx、y=（k≠0）的图象（如右图）由图可知：当x＜﹣1或0＜x＜1时，＞kx；即：不等式﹣kx＞0的解集为：x＜﹣1或0＜x＜1． 2 点评：该题涉及到：方程与函数的联系、函数解析式的确定以及利用图象法解不等式的方法等知识．考查的内容较为基础，难度不大． 4．已知：关于x的一元二次方程mx﹣（2m+n）x+m+n=0①．（1）求证：方程①有两个实数根；（2）求证：方程①有一个实数根为1；

（3）设方程①的另一个根为x1，若m+n=2，m为正整数且方程①有两个不相等的整数根时，确定关于x的二次函数

y=mx﹣（2m+n）x+m+n的解析式；（4）在（3）的条件下，把Rt△ABC放在坐标系内，其中∠CAB=90°，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），BC=5，将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在抛物线上时，求△ABC平移的距离．考点：抛物线与x轴的交点。专题：计算题；证明题。分析：（1）首先表示出方程①的根的判别式，若方程有两个实数根，那么判别式应大于等于0，结合非负数的性质进行证明即可．（2）可利用十字相乘法将方程左边进行因式分解，即可得到方程必有一根为1． 2

（3）由（2）可得x1的表达式，即x1=，若m+n=2，且x1为整数，那么m可取1或2，然后结合（1）（2）的结论将不合题意的m值舍去，即可确定m的值，进而可得抛物线的解析式．（4）首先根据已知条件确定出点C的坐标；然后设出平移后的点C坐标，由于此时C点位于抛物线的图象上，可将其代入抛物线的解析式中，即可确定出平移后的点C坐标，进而可得平移的距离．解答：证明：（1）∵a=m，b=﹣（2m+n），c=m+n 22∴△=b﹣4ac=[﹣（2m+n）]﹣4m（m+n） 222=4m+4mn+n﹣4m﹣4mn 2=n（1分） 2∵无论n取何值时，都有n≥0 ∴△≥0 ∴方程①有两个实数根．（2分）

（2）∵原方程可化为：（mx﹣m﹣1）（x﹣1）=0，（3分） ∴； ∴方程①有一个实数根为1．（4分）（3）由题意可知：方程①的另一个根为， ∵m+n=2，m为正整数且方程①有两个不相等的整数根， ∴m=1， 2∴二次函数的解析式：y=x﹣3x+2．（5分）（4）由题意可知：AB=3，由勾股定理得：AC=4 ∴C点的坐标为（1，4）当△ABC沿x轴向右平移，此时设C点的坐标为（a，4）（6分） ∵C在抛物线上， ∴ ∴∴，舍去负值，；．（7分） ∴△ABC平移的距离：点评：此题考查了二次函数与一元二次方程的关系、根的判别式、二次函数解析式的确定以及函数图象上点的坐标特征，难度适中． 5．某商场以80元/件的价格购进西服1000件，已知每件售价为100元时，可全部售出．如果定价每提高1%，则销售量就下降0.5%，问如何定价可使获利最大（总利润=总收入﹣总成本）？考点：二次函数的应用。专题：应用题。分析：此题关键是表示出价格变化后，销量与价格的关系式，设定价提高x%，销售量下降0.5x%，即当定价为100（1+x%）元时，销售量为1000（1﹣0.5x%）件．解答：解：设定价提高x%，则销售量下降0.5x%，即当定价为100（1+x%）元时，销售量为1000（1﹣0.5x%）件．商场购这1000件西服的总成本为80×1000=80000元，故y=100（1+x%）•1000（1﹣0.5x%）﹣80000 2=﹣5x+500x+20000 2=﹣5（x﹣50）+32500．当x=50时，y有最大值32500． 100（1+50%）=150（元）即定价为150元/件时获利最大，为32500元．点评：此题主要考查了：二次函数的应用中，总利润=总收入﹣总成本，但与以往题目不同的是表示价格与销售量时，提高与下降都是百分数，题目有一定抽象性，但这是中考中新题型． 6．（2004•长沙）如图，等腰梯形ABCD，AD∥BC，AD=3cm，BC=7cm，∠B=60°，P为下底BC上一点（不与B、C重合），连接AP，过P作∠APE=∠B，交DC于E．

（1）求证：△ABP∽△PCE；

（2）求等腰梯形的腰AB的长；

（3）在底边BC上是否存在一点P，使得DE：EC=5：3？如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由．

考点：等腰梯形的性质；解分式方程；三角形的外角性质；相似三角形的判定与性质。专题：几何综合题。分析：（1）欲证△ABP∽△PCE，需找出两组对应角相等；由等腰梯形的性质可得出∠B=∠C，根据三角形外角的性质可证得∠EPC=∠BAP；由此得证；（2）可过作AF⊥BC于F，由等腰梯形的性质得到AF是BC、AD差的一半，在Rt△ABF中，根据∠B的度数及BF的长即可求得AB的值；（3）在（2）中求得了AB的长，即可求出DE：EC=5：3时，DE、CE的值．设BP的长为x，进而可表示出PC的长，然后根据（1）的相似三角形，可得出关于AB、BP、PC、CE的比例关系式，由此可得出关于x的分式方程，若方程有解，则x的值即为BP的长．若方程无解，则说明不存在符合条件的P点．解答：（1）证明：由∠APC为△ABP的外角得∠APC=∠B+∠BAP； ∵∠B=∠APE ∴∠EPC=∠BAP ∵∠B=∠C ∴△ABP∽△PCE；（2）解：过A作AF⊥BC于F； ∵等腰梯形ABCD中，AD=3cm，BC=7cm， ∴BF=， Rt△ABF中，∠B=60°，BF=2； ∴AB=4cm；（3）解：存在这样的点P．理由是：∵解之得EC=cm．设BP=x，则PC=7﹣x 由△ABP∽△PCE可得 =， ∵AB=4，PC=7﹣x， ∴= 解之得x1=1，x2=6，经检验都符合题意，即BP=1cm或BP=6cm． ©2010-2012 菁优网

点评：此题主要考查了等腰梯形的性质，以及相似三角形的判定和性质． 7．如图所示，已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点（与A、D不重合），过点P作PE⊥CP交直线AB于点E，设PD=x，AE=y，

考点：二次函数的应用；勾股定理；翻折变换（折叠问题）。分析：（1）运用三角形相似，对应边比值相等即可解决，（2）运用三角形面积的关系得出，对应边的关系，即可解决，解答：（1）解：∵PE⊥CP， ∴可得：△EAP∽△PDC， ∴，又∵CD=2，AD=3，设PD=x， AE=y， ∴∴y=﹣，， 0＜x＜3；（2）解：当△PCD的面积是△AEP面积的4倍，则：相似比为2：1， ∴， ∵CD=2， ∴AP=1，PD=2， ∴PE=，PC=2， ∴EC=．点评：此题主要考查了相似三角形的判定，以及相似三角形面积比是相似比的平方．

8．（2007•义乌市）如图，抛物线y=x﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．

（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；

（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；

考点：二次函数综合题。专题：压轴题。分析：（1）因为抛物线与x轴相交，所以可令y=0，解出A、B的坐标．再根据C点在抛物线上，C点的横坐标为2，代入抛物线中即可得出C点的坐标．再根据两点式方程即可解出AC的函数表达式；（2）根据P点在AC上可设出P点的坐标．E点坐标可根据已知的抛物线求得．因为PE都在垂直于x轴的直线上，所以两点之间的距离为yp﹣yE，列出方程后结合二次函数的性质即可得出答案；（3）存在四个这样的点． ①如图，连接C与抛物线和y轴的交点，那么CG∥x轴，此时AF=CG=2，因此F点的坐标是（﹣3，0）； ©2010-2012 菁优网

②如图，AF=CG=2，A点的坐标为（﹣1，0），因此F点的坐标为（1，0）； ③如图，此时C，G两点的纵坐标关于x轴对称，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1+，3），由于直线GF的斜率与直线AC的相同，因此可设直线GF的解析式为y=﹣x+h，将G点代入后可得出直线的解析式为y=﹣x+7．因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（4+，0）； ④如图，同③可求出F的坐标为（4﹣，0）；综合四种情况可得出，存在4个符合条件的F点．解答：解：（1）令y=0，解得x1=﹣1或x2=3 ∴A（﹣1，0）B（3，0） 2将C点的横坐标x=2代入y=x﹣2x﹣3得y=﹣3 ∴C（2，﹣3） ∴直线AC的函数解析式是y=﹣x﹣1；

（2）设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2）则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1） 2E（x，x﹣2x﹣3） ∵P点在E点的上方，PE=（﹣x﹣1）﹣（x﹣2x﹣3）=﹣x+x+2=﹣（x﹣）+， ∴当（3）存在4个这样的点F，分别是F1（1，0），F2（﹣3，0），F3（4+，0），F4（4﹣，0）．时，PE的最大值=； 222 ①如图，连接C与抛物线和y轴的交点，那么CG∥x轴，此时AF=CG=2，因此F点的坐标是（﹣3，0）； ②如图，AF=CG=2，A点的坐标为（﹣1，0），因此F点的坐标为（1，0）； ③如图，此时C，G两点的纵坐标关于x轴对称，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1+，3），由于直线GF的斜率与直线AC的相同，因此可设直线GF的解析式为y=﹣x+h，将G

点代入后可得出直线的解析式为y=﹣x+4+．因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（4+，0）； ④如图，同③可求出F的坐标为（4﹣，0）．综合四种情况可得出，存在4个符合条件的F点．点评：本题着重考查了待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的判定、二次函数的性质等重要知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法． 9．如图，在直角坐标系xoy中，抛物线y=x+bx+c与x轴交于A、B两点（其中A在原点左侧，B在原点右侧），C为抛物线上一点，且直线AC的解析式为y=mx+2m（m≠0），∠CAB=45°，tan∠COB=2．（1）求A、C的坐标；

（2）求直线AC和抛物线的解析式；

（3）在抛物线上是否存在点D，使得四边形ABCD为梯形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题。专题：综合题。分析：（1）已知了直线AC的解析式，可确定点A的坐标；过C作CM⊥x轴于M，在Rt△CAM中，AM=CM，而CM=2OB，由此可得AO=BO，根据A点坐标即可确定点C的坐标．（2）将C点坐标代入直线AC的解析式中，可求得m的值，进而确定直线AC的解析式；同理，将A、C的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组求得抛物线的解析式．（3）此题应分作两种情况考虑： ①AB∥CD，此时CD与x轴平行，D、C两点关于抛物线的对称轴对称，因此D点坐标不难求得； ②AD∥BC，首先根据抛物线的解析式求得点B坐标，进而可用待定系数法求得直线BC的解析式，由于直线AD与BC平行，因此它们的斜率相同，根据A点坐标即可确定直线AD的解析式，然后联立抛物线的解析式，即可求得交点D的坐标．（由于此题已告知四边形ABCD字母的书写顺序，因此无需考虑BD∥AC等情况．）解答：解：（1）直线AC：y=mx+2m（m≠0）中，当y=0时，mx+2m=0，m（x+2）=0， ∵m≠0， ∴x=﹣2；故A（﹣2，0）；过C作CM⊥x轴于M； ©2010-2012 菁优网

Rt△CAM中，∠CAB=45°，则CM=AM； Rt△COM中，tan∠COM=2，则CM=2OM，故CM=2OM=2AM； ∵OA=2，则OM=2，CM=4，C（2，4）， ∴A（﹣2，0），C（2，4）．（2）将点C坐标代入直线AC的解析式中，有： 2m+2m=4，m=1， ∴直线AC：y=x+2；将A、C的坐标代入抛物线的解析式中，有：，解得； 2∴抛物线：y=x+x﹣2； 2故直线AC和抛物线的解析式分别为：y=x+2，y=x+x﹣2．（3）存在满足条件的点D，其坐标为（﹣3，4）或（5，28）；理由：假设存在符合条件的点D，则有： ①CD∥AB，由于AB≠CD，此时四边形ABCD是梯形；易知抛物线的对称性为：x=﹣；由于此时CD∥x轴，故C、D关于直线x=﹣对称，已知C（2，4），故D（﹣3，4）； ②AD∥BC，显然BC≠AD，此时四边形ABCD是梯形；易知B（1，0），用待定系数法可求得：直线BC：y=4x﹣4；由于AD∥BC，可设直线AD的解析式为y=4x+h，则有：4×（﹣2）+h=0，即h=8； ∴直线AD：y=4x+8；联立抛物线的解析式可得：，解得（舍去），，故D（5，28）；综上所述，存在符合条件的D点，且坐标为：D（﹣3，4）或（5，28）． ©2010-2012 菁优网

点评：此题考查了函数图象与坐标轴交点的求法、解直角三角形、函数解析式的确定以及梯形的判定条件等知识点；要注意的是，在判定某个四边形为梯形时，一定要满足两个条件：①一组对边平行，②另一组对边不平行（或平行的对边不相等），两个条件缺一不可． 10．（2006•达州）如图，抛物线y=﹣x+bx+2交x轴于A、B两点（点B在点A的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x=，O为坐标原点．

（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求证：∠ACB是直角；

（3）抛物线上是否存在点P，使得∠APB为锐角？若存在，求出点P的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题。专题：压轴题。分析：（1）依题意可得A，B．C三点坐标；（2）设抛物线的对称轴交x轴于M点，则M为AB的中点，AB为⊙M的直径，故∠ACB=90°；（3）连接CD，求出D点坐标，如图1．设点P（x，y）是抛物线上任意一点，要使得∠APB为锐角，分情况讨论P点坐标．解答：（1）解：D=A、B、C三点的坐标分别为（4，O），（﹣1，O），（O，2）．（2）证明：△BOC∽△COA，∠BC0=∠CAO．（3）解：设抛物线的对称轴交x轴于M点，则M为AB的中点，且其坐标为（，0），∠BCA=90°， ∵B、C、A三点都在以BA为直径的0M上， ©2010-2012 菁优网

又抛物线y=﹣++2和⊙M都关于直线x=对称． ∴c点关于x=的对称点D必在抛物线上，也在⊙M上．连接CD，交直线x=交于N点，易知N点坐标为（，2），而N为CD的中点， ∴D点坐标为（3，2），（7分）作出⊙M，则⊙M将抛物线分成BC段、CD段、DA段及x轴下方的部分（如图1所示）．设点P（x，y）是抛物线上任意一点，当P点在CD段（不包括C、D两点）及在x轴下方的部分时，P点均在⊙M外．当P点在⊙M外时，不失一般性，令P点在CD段，连接BP交OM于Q点，连接AQ、AP（如图2），则： ∠BQA是△PAQ的外角． ∴∠APQ＜AQB．又AB是⊙M的直径∠AQB﹣90°， ∴∠APB＜90°，故当P点在OM外时，P点对线段BA所张的角为锐角，即∠APB为锐角．即当x＜﹣1或0＜x＜3或x＞4时，∠APB为锐角．故抛物线上存在点P，当点P的横坐标x满足x＜﹣1或O＜x＜3或x＞4时，∠APB为锐角．（10分）点评：本题考查的是二次函数的两点坐标式以及圆的切线等综合知识，难度较大． 11．（A）抛物线y=ax+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且当x=0和x=2时，y的值相等．直线y=3x﹣7与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是4，另一点是这条抛物线的顶点M．（1）求这条抛物线的解析式；

（3）对于二次三项式x﹣10x+36，小明同学作出如下结论：无论x取什么实数，它的值都不可能等于11．你是否同意他的说法？说明你的理由．

考点：二次函数综合题。专题：代数几何综合题。分析：（A）①利用二次函数的对称性求出对称轴，再求出M点的坐标，设出顶点式，代入另一点可求出； ②利用抛物线的解析式，求出C、B、M点的坐标，进一步求直线BM的解析式，用t表示出P点，最后用梯形的面积计算公式解答． 2（B）假设二次三项式x﹣10x+36=11，如果求出方程有解，就说明小明的说法不正确．解答：解：（1）①x=0和x=2时y的值相等， ∴抛物线的对称轴为x=1，又∵抛物线的顶点M在直线y=3x﹣7上， ∴M（1，﹣4）， 2设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）﹣4， ∵直线y=3x﹣7与抛物线的另一个交点为（4，5）， ©2010-2012 菁优网

代入y=a（x﹣1）﹣4，解得a=1， 2∴抛物线的解析式为y=（x﹣1）﹣4 2即为：y=x﹣2x﹣3．（2）由y=x﹣2x﹣3可得出， C（0，﹣3），B（3，0），M（1，﹣4），设直线BM的解析式为y=kx+b，把B、M两点代入求得，直线BM的解析式为y=2x﹣6， ∴P（t，2t﹣6），QP=6﹣2t，CO=3，QO=t， ∴S梯形PQOC=（6﹣2t+3）t=﹣t+t，因此S=﹣t+t，（1＜t＜3）．（3）不同意他的观点． 2假设x﹣10x+36=11，解得x1=x2=5， 2∴当X=5时x﹣10x+36等于11， 2因此无论x取什么实数，x﹣10x+36的值都不可能等于11的说法是错误的． 2222 点评：此题利用二次函数的对称性、待定系数法、面积计算公式等知识来解决，渗透数形结合的思想． 12．（2012•赤峰）如图，抛物线y=x﹣bx﹣5与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点C与点F关于抛物线的对称轴对称，直线AF交y轴于点E，|OC|：|OA|=5：1．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线AF的解析式；

（3）在直线AF上是否存在点P，使△CFP是直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

的坐标代入抛物线解析式计算求出b，即可得到抛物线解析式；（2）根据点C、F关于对称轴对称可得点F的纵坐标与点C的纵坐标相等，设出点F的坐标为（x0，﹣5），代入抛物线求出点F的横坐标，然后利用待定系数法求直线函数解析式求解即可；（3）分①点P与点E重合时，△CFP是直角三角形，②CF是斜边时，过C作CP⊥AF于点P，然后根据点C、E、F的坐标求出PC=PF，从而求出点P在抛物线对称轴上，再根据抛物线的对称轴求解即可． 2解答：解：（1）∵y=x﹣bx﹣5， ∴|OC|=5， ∵|OC|：|OA|=5：1， ∴|OA|=1，即A（﹣1，0），…（2分） 2把A（﹣1，0）代入y=x﹣bx﹣5得 2（﹣1）+b﹣5=0，解得b=4， 2抛物线的解析式为y=x﹣4x﹣5；…（4分）（2）∵点C与点F关于对称轴对称，C（0，﹣5），设F（x0，﹣5）， 2∴x0﹣4x0﹣5=﹣5，解得x0=0（舍去），或x0=4， ∴F（4，﹣5），…（6分） ∴对称轴为x=2，设直线AF的解析式为y=kx+b，把F（4，﹣5），A（﹣1，0），代入y=kx+b，得，解得，所以，直线FA的解析式为y=﹣x﹣1；…（8分）（3）存在．…（9分）理由如下：①当∠FCP=90°时，点P与点E重合， ∵点E是直线y=﹣x﹣1与y轴的交点， ∴E（0，﹣1）， ∴P（0，﹣1），…（10分） ②当CF是斜边时，过点C作CP⊥AF于点P（x1，﹣x1﹣1）， ∵∠ECF=90°，E（0，﹣1），C（0，﹣5），F（4，﹣5）， ∴CE=CF， ∴EP=PF， ∴CP=PF， ∴点P在抛物线的对称轴上，…（11分） ∴x1=2，把x1=2代入y=﹣x﹣1，得 y=﹣3， ∴P（2，﹣3），综上所述，直线AF上存在点P（0，﹣1）或（2，﹣3）使△CFP是直角三角形．…（12分） ©2010-2012 菁优网

点评：本题是对二次函数的综合考查，主要利用了二次函数与坐标轴的交点的求解，待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，以及到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上的性质，（3）中要注意分CF是直角边与斜边两种情况讨论求解． 13．如图1，抛物线y=nx﹣11nx+24n （n＜0）与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线上另有一点A在第一象限内，且∠BAC=90°．

（1）填空：点B的坐标为（（3，0）），点C的坐标为（（8，0））；（2）连接OA，若△OAC为等腰三角形． ①求此时抛物线的解析式； ②如图2，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，点M为①中所求的抛物线上点A与点C两点之间一动点，且点M的横坐标为m，过动点M作垂直于x轴的直线l与CD交于点N，试探究：当m为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值．

考点：二次函数综合题。分析：（1）根据二次函数与x轴交点坐标求法，解一元二次方程即可得出；（2）①利用菱形性质得出AD⊥OC，进而得出△ACE∽△BAE，即可得出A点坐标，进而求出二次函数解析式； ②首先求出过C、D两点的坐标的直线CD的解析式，进而利用S四边形AMCN=S△AMN+S△CMN求出即可． 2解答：解：（1）∵抛物线y=nx﹣11nx+24n （n＜0）与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧）， 2∴抛物线与x轴的交点坐标为：0=nx﹣11nx+24n，解得：x1=3，x2=8， ∴OB=3，OC=8，故B点坐标为（3，0），C点坐标为：（8，0）；（2）①如图1，作AE⊥OC，垂足为点E ∵△OAC是等腰三角形，∴OE=EC=×8=4，∴BE=4﹣3=1，又∵∠BAC=90°，∴△ACE∽△BAE，∴=∴AE=BE•CE=1×4，∴AE=2， ∴点A的坐标为（4，2）， 2， ©2010-2012 菁优网

把点A的坐标（4，2）代入抛物线y=nx﹣11nx+24n，得n=﹣， ∴抛物线的解析式为y=﹣x+22x﹣12， ②∵点M的横坐标为m，且点M在①中的抛物线上， ∴点M的坐标为（m，﹣m+2m﹣12），由①知，点D的坐标为（4，﹣2），则C、D两点的坐标求直线CD的解析式为y=x﹣4， ∴点N的坐标为（m，m﹣4）， ∴MN=（﹣m+2m﹣12）﹣（m﹣4）=﹣m+5m﹣8， 22∴S四边形AMCN=S△AMN+S△CMN=MN•CE=（﹣m+5m﹣8）×4， =﹣（m﹣5）+9， ∴当m=5时，S四边形AMCN=9． 2 点评：此题主要考查了二次函数与坐标轴交点坐标求法以及菱形性质和四边形面积求法等知识，根据已知得出△ACE∽△BAE是解决问题的关键． 14．（2008•濮阳）如图，抛物线y=ax+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且当x=O和x=4时，y的值相等．直线y=4x﹣16与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是3，另一点是这条抛物线的顶点M．

（1）求这条抛物线的解析式；

（4）随着点P的运动，是否存在t的某个值，能满足PO=OC？如果存在，请求出t的值．

考点：二次函数综合题。专题：压轴题。分析：（1）x=O和x=4时，y的值相等，即可得到函数的对称轴是x=2，把x=2和x=3分别代入直线y=4x﹣16就可以求出抛物线上的两个点的坐标，并且其中一点是顶点，利用待定系数法，设出函数的顶点式一般形式，就可以求出函数的解析式；（2）根据待定系数法可以求出直线OM的解析式，设OQ的长为t，即P，Q的横坐标是t，把x=t代入直线OM的解析式，就可以求出P点的纵坐标，得到PQ的长，四边形PQCO的面积S=S△COQ+S△OPQ，很据三角形的面积公式就可以得到函数解析式；（3）从图象可看出，随着点P由O→M运动，△COQ的面积与△OPQ的面积在不断增大，即S不断变大，显当然点P运动到点M时，S最值；（4）在直角△OPQ中，根据勾股定理就可以求出点P的坐标．解答：解：（1）∵当x=0和x=4时，y的值相等， ∴c=16a+4b+c，（1分） ∴b=﹣4a， ∴x=﹣=﹣=2 将x=3代入y=4x﹣16，得y=﹣4，将x=2代入y=4x﹣16，得y=﹣8．（2分） ∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）﹣8 2将点（3，﹣4）代入，得﹣4=a（x﹣2）﹣8，解得a=4． 22∴抛物线y=4（x﹣2）﹣8，即y=4x﹣16x+8．（3分）（2）设直线OM的解析式为y=kx，将点M（2，﹣8）代入，得k=﹣4， ∴y=﹣4x．（4分）则点P（t，﹣4t），PQ=4t，而OC=8，OQ=t． S=S△COQ+S△OPQ=×8×t+×t×4t=2t+4t（5分） t的取值范围为：0＜t≤2（6分）（3）随着点P的运动，四边形PQCO的面积S有最大值．从图象可看出，随着点P由O→M运动，△COQ的面积与△OPQ的面积在不断增大，即S不断变大，显然当点P运动到点M时，S值最大（7分）此时t=2时，点Q在线段AB的中点上（8分）因而S=×2×8+×2×8=16．当t=2时，OC=MQ=8，OC∥MQ， ∴四边形PQCO是平行四边形．（9分）

（4）随着点P的运动，存在t=，能满足PO=OC（10分）设点P（t，﹣4t），PQ=4T，OQ=t． 2222由勾股定理，得OP=（4t）+t=17t． ∵PO=OC， ∴17t=8，t1=∴当t=22＜2，t2=﹣时，PO=OC．（11分）（不合题意）点评：本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式．注意数与形的结合是解决本题的关键． 15．（2002•哈尔滨）如图，抛物线y=ax+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且当x=0和x=2时，y的值相等．直线y=3x﹣7与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是4，另一点是这条抛物线的顶点M．

（1）求这条抛物线的解析式；

考点：二次函数综合题。专题：压轴题。分析：（1）当x=0和x=2时，y的值相等，可知抛物线的对称轴为x=1，将x=1代入直线的解析式中即可求出抛物线顶点的坐标，根据直线的解析式还可求出另一交点的坐标，可用顶点式二次函数通式来设抛物线的解析式，然后将另一交点的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式．（2）由于四边形QACP不是规则的四边形，因此可将其分成直角三角形AOC和直角梯形QOCP两部分进行计算．先求出直线BM的解析式，然后将x=t代入直线BM的解析式中即可求出QP的长，然后根据梯形的面积计算公式即可求出梯形QOCP的面积．然后根据四边形QACP的面积计算方法即可得出S，t的函数 ©2010-2012 菁优网

关系式．（3）可分三种情况进行讨论： ①NM=MC；②NM=NC；③MC=NC．可根据直线BM的解析式设出N点的坐标，然后用坐标系中两点间的距离公式表示出各线段的长，根据上面不同的等量关系式可得出不同的方程，经过解方程即可得出N点的坐标．解答：解：（1）由题意可知：抛物线的对称轴为x=1．当x=1时，y=3x﹣7=﹣4，因此抛物线的顶点M的坐标为（1，﹣4）．当x=4时，y=3x﹣7=5，因此直线y=3x﹣7与抛物线的另一交点为（4，5）． 2设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）﹣4， 2则有：a（4﹣1）﹣4=5，a=1． 2∴抛物线的解析式为：y=x﹣2x﹣3．（2）根据（1）的抛物线可知：A（﹣1，0）B（3，0）C（0，﹣3）；易知直线BM的解析式为y=2x﹣6；当x=t时，y=2t﹣6；因此PQ=6﹣2t； ∴S四边形PQAC=S梯形QPCO+S△AOC=×（3+6﹣2t）×t+×3 即：S四边形PQAC=﹣t+t+（1＜t＜3）．（3）假设存在这样的点N，使△NMC为等腰三角形． ∵点N在BM上，不妨设N点坐标为（m，2m﹣6）， 222222222则CM=1+1=2，CN=m+[3﹣（6﹣2m）]，或CN=m+[（6﹣2m）﹣3]． 222MN=（m﹣1）+[4﹣（6﹣2m）]． △NMC为等腰三角形，有以下三种可能： ①若CN=CM，则m+[（6﹣2m）﹣3]=2， ∴m1=，m2=1（舍去）． ∴N（，﹣）． 2222222②若MC=MN，则（m﹣1）+[4﹣（6﹣2m）]=1+1． ∴m=1±． ∵1＜m＜3， ∴m=1﹣∴N（1+舍去．，2﹣4）． 222③若NC=NM，则m+[3﹣（6﹣2m）]=（m﹣1）+[4﹣（6﹣2m）]．解得m=2． ∴N（2，﹣2）．故假设成立．综上所述，存在这样的点N，使△NMC为等腰三角形．且点N的坐标分别为： N1（，﹣），N2（1+，﹣4），N3（2，﹣2）．点评：本题主要考查了二次函数解析式、图形面积的求法、函数图象的交点、等腰三角形的构成等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．

16．如图，已知抛物线C1：y=a（x+2）﹣5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B的横坐标是1；（1）求a的值；

考点：二次函数综合题。专题：综合题。分析：（1）将B点坐标代入抛物线C1的解析式中，即可求得待定系数a的值．（2）在抛物线平移过程中，抛物线的开口大小没有发现变化，变化的只是抛物线的位置和开口方向，所以C3的二次项系数与C1的互为相反数，而C3的顶点M与C1的顶点P关于原点对称，P点坐标易求得，即可得到M点坐标，从而求出抛物线C3的解析式．解答：解：（1）∵点B是抛物线与x轴的交点，横坐标是1， ∴点B的坐标为（1，0）， 2∴当x=1时，0=a（1+2）﹣5， ∴ （2）设抛物线C3解析式为y=a′（x﹣h）+k， ∵抛物线C2与C1关于x轴对称，且C3为C2向右平移得到， ∴， 2． ∵点P、M关于点O对称，且点P的坐标为（﹣2，﹣5）， ∴点M的坐标为（2，5）， ∴抛物线C3的解析式为y=﹣（x﹣2）+5=﹣x+22x+．点评：此题主要考查的是二次函数解析式的确定、二次函数图象的几何变化以及系数与函数图象的关系，需要熟练掌握． 17．如图，已知△ABC内接于半径为4的☉0，过0作BC的垂线，垂足为F，且交☉0于P、Q两点．OD、OE的长分别是抛物线y=x+2mx+m﹣9与x轴的两个交点的横坐标．（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在直线l，使它经过抛物线与x轴的交点，并且原点到直线l的距离是2？如果存在，请求出直线l的解析式；如果不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题。专题：代数几何综合题。分析：（1）连接BO，根据垂径定理与圆周角定理可得∠BAC=∠BOQ，再根据等角的补角相等可得∠BOD=EAD，然后证明△BOD和△EAD相似，根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得到OD、OE的关系，再根据相交弦定理列式整理出AD、BD的关系，从而得到OD•OE的值，令y=0，根据抛物线与x轴的交点问题用m表示出OD•OE，从而得到关于m的方程，求解得到m的值，再根据OD、OE都是正数，且是抛物线与x轴的交点的横坐标可得抛物线对称轴在y轴的右边求出m的取值范围，从而得到m的值，代入抛物线计算即可得解；（2）根据抛物线解析式求出与x轴的两个交点坐标分别为（2，0）（8，0），①当直线l经过左边交点时，直线l平行于y轴，原点到直线l的距离是2；②当直线l经过右边交点时，是交点为L，过点O作OM⊥l与点M，过点M作MN⊥x轴于点N，则OM=2，根据相似三角形对应边成比例列式求出ON的长度，再利用勾股定理求出MN的长度，然后分点M在x轴上方与下方两种情况，利用待定系数法求直线解析式求出直线l的解析式．解答：解：（1）如图，连接BO，∵OQ⊥BC与F， ∴=， ∴∠BAC=∠BOQ， ∵∠BOD=180°﹣∠BOQ，∠EAD=180°﹣∠BAC， ∴∠BOD=EAD，又∵∠BDO=∠EDA（对顶角相等）， ∴△BOD∽△EAD， ∴=， ∴AD•BD=OD•DE，根据相交弦定理AD•BD=DQ•DP， ∴OD•DE=DQ•DP， ∵圆的半径为4， ∴OD（OE﹣OD）=（4+OD）（4﹣OD），整理得，OD•OE=16， 22令y=0，则x+2mx+m﹣9=0， ∵OD、OE是抛物线与x轴的交点的横坐标， 2∴OD•OE=m﹣9， 2∴m﹣9=16，解得m=±5， ∵线段OD、OE的长度都是正数， ∴﹣=﹣=﹣m＞0，解得m＜0， ∴m=﹣5， 2∴抛物线解析式为y=x﹣10x+16；（2）存在． 2理由如下：令y=0，则x﹣10x+16=0，解得x1=2，x2=8，所以，抛物线与x轴的交点坐标为（2，0），（8，0）， ①当直线l经过点（2，0）时，直线l平行于y轴时，原点到直线l的距离为2，所以，直线l的解析式为x=2； ②当直线l经过点（8，0）时，如图，设点L（8，0），

过点O作OM⊥l与点M，过点M作MN⊥x轴于点N，则OM=2， ∵∠OML=∠MNO=90°，∠MON=∠LOM， ∴△OMN∽△OLM， ∴=即=，，解得ON=，在Rt△OMN中，MN=设直线l的解析式为y=kx+b， ==，当点M在x轴上方时，点M的坐标为（，），则，解得，此时直线l的解析式为y=﹣x+，），当点M在x轴下方时，点M的坐标为（，﹣则，解得，此时直线l的解析式为y=x﹣， x+或y=x﹣使原点到l的距离为2．综上所述，存在直线l：x=2或y=﹣ ©2010-2012 菁优网

点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了垂径定理，圆周角定理，相交弦定理，抛物线与x轴的交点问题，根与系数的关系，相似三角形的判定与性质，待定系数法求直线解析式，综合性较强，难度较大，（1）作出辅助线构造出相似三角形然后求出OD•OE=16是解题的关键，（2）注意要分情况讨论求解． 18．（2011•永州）如图，已知二次函数y=﹣x+bx+c的图象经过A（﹣2，﹣1），B（0，7）两点．（1）求该抛物线的解析式及对称轴；（2）当x为何值时，y＞0？

∴解得：2，， ∴y=﹣x+2x+7， 2=﹣（x﹣2x）+7， 2=﹣[（x﹣2x+1）﹣1]+7， 2=﹣（x﹣1）+8， ∴对称轴为：x=1．（2）当y=0， 0=﹣（x﹣1）+8， ∴x﹣1=±2， x1=1+2，x2=1﹣2， ∴抛物线与x轴交点坐标为：（1﹣2，0），（1+2，0）， ∴当1﹣2＜x＜1+2时，y＞0；（3）当矩形CDEF为正方形时， 2假设C点坐标为（x，﹣x+2x+7）， 22∴D点坐标为（﹣x+2x+7+x，﹣x+2x+7）， 22即：（﹣x+3x+7，﹣x+2x+7）， ∵对称轴为：x=1，D到对称轴距离等于C到对称轴距离相等， 2∴﹣x+3x+7﹣1=﹣x+1，解得：x1=﹣1，x2=5， 2x=﹣1时，﹣x+2x+7=4， ∴C点坐标为：（﹣1，4）．点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及利用图象观察函数值和正方形性质等知识，根据题意得出C、D两点坐标之间的关系是解决问题的关键． 19．（2009•江西）如图，抛物线y=﹣x+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．

（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；

分析：（1）已知了抛物线的解析式，当y=0时可求出A，B两点的坐标，当x=0时，可求出C点的坐标．根据对称轴x=﹣可得出对称轴的解析式．（2）PF的长就是当x=m时，抛物线的值与直线BC所在一次函数的值的差．可先根据B，C的坐标求出BC所在直线的解析式，然后将m分别代入直线BC和抛物线的解析式中，求得出两函数的值的差就是PF的长．根据直线BC的解析式，可得出E点的坐标，根据抛物线的解析式可求出D点的坐标，然后根据坐标系中两点的距离公式，可求出DE的长，然后让PF=DE，即可求出此时m的值．（3）可将三角形BCF分成两部分来求：一部分是三角形PFC，以PF为底边，以P的横坐标为高即可得出三角形PFC的面积．一部分是三角形PFB，以PF为底边，以P、B两点的横坐标差的绝对值为高，即可求出三角形PFB的面积．然后根据三角形BCF的面积=三角形PFC的面积+三角形PFB的面积，可求出关于S、m的函数关系式．解答：解：（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．抛物线的对称轴是：直线x=1．（2）①设直线BC的函数关系式为：y=kx+b．把B（3，0），C（0，3）分别代入得：解得：k=﹣1，b=3．所以直线BC的函数关系式为：y=﹣x+3．当x=1时，y=﹣1+3=2， ∴E（1，2）．当x=m时，y=﹣m+3， ∴P（m，﹣m+3）． 2在y=﹣x+2x+3中，当x=1时，y=4． ∴D（1，4）当x=m时，y=﹣m+2m+3， 2∴F（m，﹣m+2m+3） ∴线段DE=4﹣2=2， 22线段PF=﹣m+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m+3m ∵PF∥DE， ∴当PF=ED时，四边形PEDF为平行四边形．由﹣m+3m=2，解得：m1=2，m2=1（不合题意，舍去）．因此，当m=2时，四边形PEDF为平行四边形． ②设直线PF与x轴交于点M，由B（3，0），O（0，0），可得：OB=OM+MB=3． ∵S=S△BPF+S△CPF 即S=PF•BM+PF•OM=PF•（BM+OM）=PF•OB． ∴S=×3（﹣m+3m）=﹣m+m（0≤m≤3）． 2222 ©2010-2012 菁优网

点评：本题主要考查了二次函数的综合应用，根据二次函数得出相关点的坐标和对称轴的解析式是解题的基础． 20．如图，抛物线y=x﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点D．（1）求点A、B、D的坐标；（2）若点C在该抛物线上，使△ABD≌△BAC．求点C的坐标，及直线AC的函数表达式；

（3）P是（2）中线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值．

考点：二次函数综合题。专题：代数几何综合题。分析：（1）抛物线的解析式中，令y=0，可求得A、B的坐标，令x=0，可求得点D的坐标．（2）若△ABD≌△BAC，则C、D必关于抛物线的对称轴对此，由此可得C点的坐标；进而可利用待定系数法求得直线AC的函数解析式．（3）设出点P的横坐标，根据直线AC和抛物线的解析式，即可表示出P、E的纵坐标，从而得到关于PE的长和P点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可得到PE的最大长度及对应的P点坐标．解答：解：（1）令y=0，解得x1=﹣1或x2=3，（1分） ∴A的坐标为：A（﹣1，0），B的坐标为：B（3，0），（2分）令x=0，解得y=﹣3； ∴D的坐标为：D（0，﹣3）．（3分）（2）根据抛物线的对称性可得C的坐标为：（2，﹣3），（5分）设AC的解析式为：y=kx+b，将A（﹣1，0），C（2，﹣3）代入可求得k=﹣1，b=﹣1； ∴直线AC的函数解析式是y=﹣x﹣1．（8分）（3）设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2），（注：x的范围不写不扣分）则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1），（9分） 2E（x，x﹣2x﹣3）；（10分） ©2010-2012 菁优网

∵P点在E点的上方，PE=﹣x﹣1﹣（x﹣2x﹣3）=﹣x+x+2=﹣（x﹣）+；（12分） ∴当x=时，PE的最大值=．（14分）点评：此题主要考查了二次函数图象与坐标轴交点坐标的求法、用待定系数法确定函数解析式的方法以及二次函数最值的应用等知识，难度适中． 21．（2004•哈尔滨）已知：抛物线y=﹣x﹣（m+3）x+m﹣12与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜0，x2＞0，抛物线与y轴交于点C，OB=2OA．（1）求抛物线的解析式；

222

考点：二次函数综合题。专题：压轴题。分析：（1）可设出A、B的坐标，然后用韦达定理表示出两点横坐标的和与积，然后根据OB=2OA，即B点的横坐标为A点横坐标的2倍联立三式可得出m的值．即可求出抛物线的解析式；（2）根据△ECO与△CAO相似，可通过相似三角形的对应边成比例线段求出OE的长，即可得出E点的坐标，进而可求出过E点直线的解析式，然后将抛物线顶点代入直线的解析式中进行判断即可；（3）过M、N分别作直线PQ的垂线后可发现，三角形QMN可以以QP为底，以M、N两点的横坐标差为高来求得其面积，而梯形的面积可以以M、N两点的纵坐标的和与两点横坐标的差为高来求，因此三角形QMN和梯形的面积比实际是QM和M、N两点的纵坐标的比．可联立直线MN与抛物线的解析式求出M、N两点纵坐标的和，然后将t代入抛物线和直线MN的解析式中求出QP的表达式，根据题中给出的两个图形的面积比即可求得t的值．解答：解：（1）∵x1＜0，x2＞0． ∴OA=x1，OB=x2 22∵x1，x2是方程﹣x﹣（m+3）x+m﹣12=0的两个实数根 2∴x1+x2=﹣2（m+3）①，x1•x2=﹣2（m﹣12）②x2=﹣2x1③ 2联立①，②，③整理得：m+8m+16=0，解得m=﹣4． ∴抛物线的解析式为y=﹣x+x+4；（2）设点E（x，0），则OE=﹣x．

∵△ECO与△CAO相似， ∴，，x=﹣8 ∴点E（﹣8，0）设过E、C两点的直线解析式为y=k′x+b′，则有：，解得 ∴直线EC的解析式为y=x+4． ∵抛物线的顶点D（1，），当x=1时，y= ∴点D在直线EC上；（3）存在t值，使S梯形MM'N'N：S△QMN=35：12． ∵E（﹣8，0）， ∴×（﹣8）+b=0， ∴b=2，y=x+2． ∴x=4（y﹣2）． ∴y=﹣[4（y﹣2）+4（y﹣2）+4]，整理得8y﹣35y+6=0，设M（xm，ym）． ∴MM′=ym，NN′=yn， ∴ym，yn是方程8y﹣35y+6=0的两个实数根，ym+yn=∴S梯形=（ym+yn）（xn﹣xm） ∵点P在直线y=x+2上，点Q在（1）中抛物线上， ∴点P（t，t+2）、点Q（t，﹣t+t+4） ∴PQ=﹣t+t+4﹣t﹣2=﹣t﹣t+2，分别过M、N作直线PQ的垂线，垂足为G、H，则GM=t﹣xm，NH=xn﹣t ∴S△QMN=S△QMP+S△QNP=PQ（xn﹣xm） ∵S梯形MM'N'N：S△QMN=35：12， 222222 ∴2=，整理得：2t﹣3t﹣2=0，解得t=﹣，t=2．

因此当t=﹣或t=2时，S梯形MM'N'N：S△QMN=35：12．点评：本题为二次函数综合题，考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、函数图象交点等知识点，难度较大． 22．（2008•莆田）如图，抛物线c1：y=x﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点P为线段BC上一点，过点P作直线l⊥x轴于点F，交抛物线c1点E．（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）当点P在线段BC上运动时，求线段PE长的最大值；

考点：二次函数综合题。专题：压轴题。分析：（1）已知了抛物线的解析式即可求出A、B、C三点的坐标．（2）由于直线l与y轴平行，那么F、P、E三点的横坐标就应该相等，那么PE的长可看做是直线BC的函数值和抛物线的函数值的差．由此可得出关于PE的长和三点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可得出PE的最大值．（3）先用平移的单位设出c2的解析式．由于直线CM把△BCE的面积分为1：2两部分，根据等高三角形的面积比等于底边比，可得出BE：ME=2：1或ME：BE=2：1．因此本题要分两种情况进行讨论，可过M作x轴的垂线，先根据相似三角形求出M点的横坐标，然后根据直线BE的解析式，求出M点的坐标．由于抛物线c2经过M点，据此可求出抛物线需要平移的单位．解答：解：（1）已知抛物线过A、B、C三点，令y=0，则有：x﹣2x﹣3=0，解得x=﹣1，x=3；因此A点的坐标为（﹣1，0），B点的坐标为（3，0）；

令x=0，y=﹣3，因此C点的坐标为（0，﹣3）．（2）设直线BC的解析式为y=kx﹣3．则有：3k﹣3=0，k=1，因此直线BC的解析式为y=x﹣3．设F点的坐标为（a，0）． PE=EF﹣PF=|a﹣2a﹣3|﹣|a﹣3|=﹣a+3a=﹣（a﹣）+（0≤a≤3）因此PE长的最大值为．（3）由（2）可知：F点的坐标为（，0）．因此BF=OB﹣OF=．设直线BE的解析式为y=kx+b．则有：， 222解得：， ∴直线BE的解析式为y=x﹣． 2设平移后的抛物线c2的解析式为y=（x﹣1﹣k）﹣4（k＞0）．过M作MN⊥x轴于N， ①ME：MB=2：1； ∵MN∥EF ∴∴BN=， ∴N点的坐标为（，0），又直线BE过M点． ∴M点坐标为（，﹣）．由于抛物线c2过M点，因此﹣=（﹣1﹣k）﹣4，解得k=（负值舍去）． 2 ②MB：ME=1：2； ∴BN=1 ∴N点的坐标为（2，0）， ©2010-2012 菁优网

∴M点的坐标为（2，﹣）．由于抛物线c2过M点，则有﹣=（2﹣1﹣k）﹣4，解得k=1+（负值舍去）．或1+个单位长度后可得到抛物线c2． 2因此抛物线c1应向右平移点评：本题主要考查了一次函数解析式的确定、二次函数图象的平移、图形面积的求法、函数图象交点等知识点，考查了学生分类讨论数形结合的数学思想方法． 23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，且点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，3）．（1）求抛物线及直线AC的解析式；（2）E、F是线段AC上的两点，且∠AEO=∠ABC，过点F作与y轴平行的直线交抛物线于点M，交x轴于点N．当MF=DE时，在x轴上是否存在点P，使得以点P、A、F、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点Q是位于抛物线对称轴左侧图象上的一点，试比较锐角∠QCO与∠BCO的大小（直接写出结果，不要求写出求解过程，但要写出此时点Q的横坐标x的取值范围）．考点：二次函数综合题。专题：代数几何综合题。分析：（1）利用待定系数法，把已知坐标代入求出抛物线的解析式．设直线AC的解析式为y=kx+n，爸已知坐标代入求出直线AC的解析式．（2）首先证明△AEO∽△ABC，利用线段比求出AE的长．然后作EH⊥y轴于H，易得E点坐标．设F点的2坐标为（x，x+3），M点的坐标为（x，﹣x﹣2 x+3），求出点P的坐标，然后根据MP∥FA所推出的线段比求出PN的值从而求出P点坐标．（3）份额根据x的取值范围不同求解． 2解答：解：（1）∵抛物线y=﹣x+bx+c过B（1，0）、C（0，3）两点 2

解得 ∴直线AC的解析式为y=x+3．（2）∵OA=OC=3，OB=1 ∴△AOC是等腰直角三角形，AC=∴∠ECO=45° ∵∠AEO=∠ABC，∠EAO=∠BAC ∴△AEO∽△ABC ∴∴ ，AB=4 ∴AE=． ∴CE=AC﹣AE=﹣= 过点E作EH⊥y轴于H 可得EH=CH=1，OH=2 ∴E点的坐标为（﹣1，2） 2∵抛物线y=﹣x﹣2x+3顶点D的坐标为（﹣1，4） ∴ED=2 ∴MF=ED=2 ∵F在线段AC上，M在抛物线y=﹣x﹣2x+3上 2∴设F点的坐标为（x，x+3），M点的坐标为（x，﹣x﹣2 x+3） 2∴﹣x﹣2 x+3﹣（x+3）=2 解得x1=﹣2，x2=﹣1（不合题意，舍去） ∴F点的坐标为（﹣2，1） ∴FN=NA=1 在x轴上存在点P，使得以点P、A、F、M为顶点的四边形是梯形当FP∥MA时，可得∴∴ 2∴P点的坐标为（﹣，0）当MP∥FA时，可得 ∴PN=3 ∴P点的坐标为（﹣5，0） ∴在x轴上存在点P使得以点P、A、F、M为顶点的四边形是梯形点P的坐标为（﹣，0）或（﹣5，0）．（3）当x＜﹣5时，锐角∠QCO＜∠BCO 当x=﹣5时，锐角∠QCO=∠BCO 当﹣5＜x＜﹣2时，锐角∠QCO＞∠BCO． ©2010-2012 菁优网

点评：本题考查的是二次函数的有关知识以及相似三角形的判定定理，难度较大． 24．（2011•沈阳）如图，已知抛物线y=x+bx+c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，﹣3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；

（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限． ①当线段PQ=AB时，求tan∠CED的值；

②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．

考点：二次函数综合题。分析：已知了C点的坐标，即知道了OC的长，可在直角三角形BOC中根据∠BCO的正切值求出OB的长，即可得出B点的坐标．已知了△AOC和△BOC的面积比，由于两三角形的高相等，因此面积比就是AO与OB的比．由此可求出OA的长，也就求出了A点的坐标，然后根据A、B、C三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式．解答：解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1， ∴ ∴b=﹣2 ∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣3）， ∴c=﹣3， 2∴抛物线的函数表达式为y=x﹣2x﹣3；（2）∵抛物线与x轴交于A、B两点，

当y=0时，x﹣2x﹣3=0． ∴x1=﹣1，x2=3． ∵A点在B点左侧， ∴A（﹣1，0），B（3，0）设过点B（3，0）、C（0，﹣3）的直线的函数表达式为y=kx+m，则∴ ， 2∴直线BC的函数表达式为y=x﹣3；（3）①∵AB=4，PQ=AB， ∴PQ=3 ∵PQ⊥y轴 ∴PQ∥x轴，则由抛物线的对称性可得PM=， ∵对称轴是x=1， ∴P到y轴的距离是， ∴点P的横坐标为∴P（∴F（0，，）），， ∴FC=3﹣OF=3﹣= ∵PQ垂直平分CE于点F， ∴CE=2FC= ∵点D在直线BC上， ∴当x=1时，y=﹣2，则D（1，﹣2），过点D作DG⊥CE于点G， ∴DG=1，CG=1， ∴GE=CE﹣CG=﹣1=．在Rt△EGD中，tan∠CED=②P1（1﹣，﹣2），P2（1﹣．，﹣）．设OE=a，则GE=2﹣a， 2当CE为斜边时，则DG=CG•GE，即1=（OC﹣OG）•（2﹣a）， ∴1=1×（2﹣a）， ∴a=1， ∴CE=2， ∴OF=OE+EF=2 ∴F、P的纵坐标为﹣2，

把y=﹣2，代入抛物线的函数表达式为y=x﹣2x﹣3得：x=1+∵点P在第三象限． ∴P1（1﹣，﹣2），当CD为斜边时，DE⊥CE， ∴OE=2，CE=1， ∴OF=2.5， ∴P和F的纵坐标为：﹣，把y=﹣，代入抛物线的函数表达式为y=x﹣2x﹣3得：x=1﹣∵点P在第三象限． ∴P2（1﹣，﹣）．，﹣2），P2（1﹣，﹣）． 22或1﹣ ，或1+，综上所述：满足条件为P1（1﹣ 点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果． 25．已知，如图，抛物线y=x+bx+3与x轴的正半轴交于A、B两点（A在B的左侧），且与y轴交于点C，O为坐标原点，OB=4．

（2）①首先求出直线CB的解析式，进而得出MN=（﹣t+3）﹣（t﹣值即可； ②根据当0＜t＜4时，由①得：MN=﹣t+2t，以及当t＞4时，点M在点N的上方，MN=t﹣2t分别求出t的值即可．解答：解：（1）点B（4，0），C（0，3），b=﹣， 222t+3）=﹣（t﹣2）+2，得出最2 （2）①如图所示，设过点B（4，0），C（0，3）的直线CB的解析式为：y=kx+m，（k≠0）， ∴，解得：， ∴直线CB的解析式为：y=﹣x+3， ∵MN∥OC， ∴依据题意得出：N（t，﹣t+3），则M（t，t﹣∵当0＜t＜4时，点M在点N的下方， ∴MN=（﹣t+3）﹣（t﹣=﹣t+2t， =﹣（t﹣2）+2， ∴当t=2时，MN有最大值2； ②依据题意得出：当MN=BN时，点B恰好在⊙N上，由于t=0，（点M，N重合）， t=4（点M，N和B重合）均不符合题意，故舍去， a）当0＜t＜4时，如图，由①得：MN=﹣t+2t，又∵MN∥OC．OC⊥OB， ∴MN⊥OB，垂足为T（t，0）， ∴cos∠NBT=即=， ==，（I） 22222t+3）， t+3），此时点N在点T的上方，点T在点B的左边． ∴TB=4﹣t，代入（I）式得： NB=（4﹣t），由（4﹣t）=﹣t+2t，整理可得：2t﹣13t+20=0，

解得：t1=4（不合题意舍去）， t2=，故此时点M的坐标是（，﹣）； b）当t＞4时，如图所示，点M在点N的上方，MN=t﹣2t，此时点N在点T的下方，点T在点B的右边， ∴TB=t﹣4，代入（I）式，可得：NB=（t﹣4），由（t﹣4）=t﹣2t，整理可得：2t﹣13t+20=0，解得：t1=4（不合题意舍去）， t2=（不合题意舍去）．综上所述：符合题意的点M的坐标为（，﹣）． 222 点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及一元二次方程的解法，根据已知得出（4﹣t）=﹣t+2t或（t﹣4）=t﹣2t是解题关键． 26．如图，抛物线y=ax+bx+c与x轴交于A、B两点的横坐标分别是﹣1，3 （点A在点B左侧），与y轴交于点

C，抛物线的顶点M在直线y=3x﹣7上．（1）求抛物线的解析式；

考点：二次函数综合题。分析：（1）根据抛物线与x的两个交点的横坐标可以推知该抛物线的对称轴方程x=1，结合该抛物线的顶点在直线y=3x﹣7上可以求得该抛物线的顶点坐标是（1，﹣4）．故可设该抛物线的解析式为顶点式方程y=a（x﹣1）﹣4；最后利用待定系数法可求该抛物线的解析式；（2）由（1）中的抛物线解析式可以求得点A、B、C的坐标；根据B、M两点的坐标可以求得直线BM的解析式y=2x﹣6；由该解析式可以求得PQ=6﹣2t；最后图形可知 S四边形PQAC=S梯形QPCO+S△AOC；（3）利用反证法解答：假设存在这样的点N，使△NMC为等腰三角形．利用两点间的距离公式分别求得CM、CN、MN的值；然后分类讨论：①MN为底；②CN为底；③CM为底时所求得的点N的坐标．解答：解：（1）由题意可知：抛物线的对称轴为x=1．当x=1时，y=3x﹣7=﹣4，因此抛物线的顶点M的坐标为（1，﹣4）．过A（﹣1，0），B（3，0） 2设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）﹣4， 2则有：a（3﹣1）﹣4=0，a=1． 2则抛物线的解析式为：y=x﹣2x﹣3．（2）根据（1）的抛物线可知：A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）；易知直线BM的解析式为y=2x﹣6； ∵当x=t时，y=2t﹣6； ∴PQ=6﹣2t； ∴S四边形PQAC=S梯形QPCO+S△AOC=×（3+6﹣2t）×t+×3，即S四边形PQAC=﹣t+t+（1＜t＜3）．（3）假设存在这样的点N，使△NMC为等腰三角形． 22222222∵点N在BM上，设N点坐标为（m，2m﹣6），则CM=1+1=2，CN=m+[3﹣（6﹣2m）]，或CN=m+[（62﹣2m）﹣3]． 222MN=（m﹣1）+[4﹣（6﹣2m）]．△NMC为等腰三角形，有以下三种可能： 22①若CN=CM，则m+[（6﹣2m）﹣3]=2，解得m1=，m2=1（舍去）．则N（）． 222222②若MC=MN，则（m﹣1）+[4﹣（6﹣2m）]=1+1．解得m=1±∵1＜m＜3，． ©2010-2012 菁优网

∴m=1﹣∴N（1+2舍去．）． 222③若NC=NM，则m+[3﹣（6﹣2m）]=（m﹣1）+[4﹣（6﹣2m）]．解得m=2．则N（2，﹣2）．故存在这样的点N，使△NMC为等腰三角形．且点N的坐标分别为：，N3（2，﹣2）．点评：本题考查了二次函数综合题．注意：△NMC为等腰三角形时，需要分三种情况进行讨论，以防漏解． 27．如图，抛物线y=x﹣4x﹣1顶点为D，与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C．（1）求这条抛物线的顶点D的坐标；

考点：二次函数综合题。专题：代数几何综合题；数形结合。分析：（1）利用配方法即可将函数解析式变形为：y=（x﹣2）2﹣5，由顶点式即可求得这条抛物线的顶点D的坐标；（2）由经过点（0，4）且与x轴平行的直线与抛物线y=x﹣4x﹣1相交于M、N两点（M在N的左侧），即可求得M与N的坐标，即可求得P的坐标，然后即可求得PE与PD的长，根据切线的性质，由勾股定理即可求得DE的长；（3）根据已知，可得点P的横坐标为2，又由以MN为直径的⊙P与x轴相切，可得抛物线过点（2+r，r）或（2+r，﹣r），将点的坐标代入解析式即可求得r的值，则可证得以MN为直径的⊙P能与x轴相切． 222解答：解：（1）∵y=x﹣4x﹣1=x﹣4x+4﹣5=（x﹣2）﹣5， ∴点D的坐标为（2，﹣5）； 2（2）∵当y=4时，x﹣4x﹣1=4，解得x=﹣1或x=5， ∴M坐标为（﹣1，4），点N坐标为（5，4）， ∴MN=6．P的半径为3，点P的坐标为（2，4），连接PE，则PE⊥DE， ∵PD=9，PE=3，根据勾股定理得DE=6；

（3）能够相切．理由：设⊙P的半径为r，根据抛物线的对称性，抛物线过点（2+r，r）或（2+r，﹣r），代入抛物线解析式得：（2+r）﹣4（2+r）﹣1=r，解得r=或r=（舍去）． 2 点评：此题考查了二次函数的一般式与顶点式的转化，还考查了圆的切线的性质等知识，是二次函数的综合题型．此题综合性很强，注意数形结合与方程思想的应用． 28．（2011•攀枝花）如图，已知二次函数y=x+bx+c的图象的对称轴为直线x=1，且与x轴有两个不同的交点，其中一个交点坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的关系式；

（3）抛物线上是否存在点C使△AOC的面积与（2）中△AOB的最大面积相等？若存在，求出点C的横坐标；若不存在说明理由．

代入得：﹣=1，1﹣b+c=0，解得：b=﹣2，c=﹣3，所以二次函数的关系式为：y=x﹣2x﹣3；（2）∵点在抛物线上， ∴A（﹣2，5）．由于AO是定长，要是△AOB的面积最大，则要以AO为底的高最大，即点B到AO的距离最大， ∵﹣2＜xB＜，则点B在A点和对称轴之间的抛物线上，将直线AO平移到与抛物线相切于点B时，△AOB的面积最大． ∵直线AO：y=﹣x， ∴可以设切线：y=﹣x+b，将切线和抛物线的方程联立，得x+x﹣3﹣b=0．① 又因为是切线，故只有一个交点，即△=0，可得b=﹣代入①，解得点B的横坐标为﹣，所以点B（﹣，﹣又因为A（﹣2，5），所以l：y=﹣ （3）要使△AOC的面积与△AOB的最大面积相等，则点C到直线OA的距离等于点B（﹣，﹣的距离 ∵过点B的切线：y=﹣x﹣，与抛物线的交点）到OAx﹣．，）， 22∴要使点C到直线OA的距离等于点B到OA的距离，那么点C一定是直线y=﹣x+联立抛物线和直线y=﹣x+解得：x=﹣1﹣或x=﹣1+，，．则点C的横坐标为﹣1﹣或﹣1+ 点评：本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，直角三角形斜边上中线等知识点，解此题的关键是求出点P的坐标，此题难度较大．用的数学思想是分类讨论思想．

29．如图1，抛物线C1：y=﹣x+4x﹣2与x轴交于A、B，直线l：y=﹣x+b分别交x轴、y轴于S点和C点，抛物线C1的顶点E在直线l上．（1）求直线l的解析式；

考点：二次函数综合题。专题：计算题；压轴题；分类讨论。分析：（1）利用配方法能得到抛物线C1的顶点坐标，代入直线l的解析式后即可得解．（2）由于抛物线C2是由抛物线C1沿射线CS平移所得，所以C2的顶点F仍在直线l上，且抛物线C2的解析式中二次项系数不变（代表的是抛物线的开口方向和大小），首先根据点E的坐标求出tan∠EAM的值，代入题干给出的关系式后可得tan∠FNM的值，然后根据直线l的解析式设出点F的坐标，进而由tan∠FNM的值表示出点M或点N的坐标，再代入抛物线C2的解析式中后即可得到点F的坐标，E、F两点坐标已知，其距离可求．（3）抛物线C2沿水平方向平移时，与x轴交点间的距离不变，顶点纵坐标不变，可先设出点P、G以及C3顶点的坐标，那么线段EF、EP、FP的长度表达式可得，若△PEF是直角三角形，那么这三边的长必满足勾股定理，然后分点E、F、P分别是直角顶点列出等式求解． 22解答：解：（1）∵抛物线C1：y=﹣x+4x﹣2=﹣（x﹣2）+2， ∴顶点E（2，2），代入直线l的解析式后，得： ﹣×2+b=2，b=3 ∴直线l：y=﹣x+3．（2）∵顶点F在直线l上， ∴可以设顶点F（m，﹣m+3）， ∴抛物线C2可表示为 y=﹣（x﹣m）﹣m+3； ∵A（2﹣∴tan∠EAB=∵tan∠EAB=，0）、B（2+，0），E（2，2） =； 2•tan∠FNM，∴tan∠FNM=1，∠FNM=45° ∴ON=m+（﹣m+3）=m+3，即 N（m+3，0）

代入y=﹣（x﹣m）﹣m+3中，得 m=4，即 F（4，1）； ∴EF= （3）由（2）知 C2：y=﹣（x﹣4）+1，∴M（3，0）、N（5，0）； ∵将抛物线C2沿水平方向平移得到抛物线C3，∴PG=MN=2， 2设P（p，0），则Q（p+2，0），抛物线C3顶点（p+1，1）、抛物线C3：y=﹣（x﹣p﹣1）+1； ∵E（2，2）、F（4，1）， 222222222∴PE=（p﹣2）+2=p﹣4p+8；PF=（p﹣4）+1=p﹣8p+17，EF=5； 222①当∠PEF=90°时，p﹣4p+8+5=p﹣8p+17，∴p=1，此时C3为 y=﹣（x﹣2）+1； ②当∠PFE=90°时，p﹣8p+17+5=p﹣4p+8，∴p=，此时C3为 y=﹣（x﹣）+1； ③当∠EPF=90°时，p﹣8p+17+p﹣4p+8=5，即 p﹣6p+10=0，△＜0，此时C3不存在； ∴抛物线C3的解析式为 y=﹣（x﹣2）+1或y=﹣（x﹣）+1．点评：此题主要考查了函数解析式的确定、函数图象的平移、解直角三角形的应用以及直角三角形的判定等知识；题（3）中，给出的直角三角形并没有明确说明它的直角顶点，因此一定要注意进行分类讨论． 30．（2009•湘西州）在直角坐标系xoy中，抛物线y=x+bx+c与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，其中A在B的左侧，B的坐标是（3，0）．将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过点B、C．（1）求k的值；

（2）求直线BC和抛物线的解析式；（3）求△ABC的面积；

（4）设抛物线顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标．

2222222222=，即抛物线C1平移的距离EF=．

考点：二次函数综合题。专题：压轴题。分析：（1）将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位后，直线的解析式为y=kx+3，由于这条直线过B、C两点，因此C点的坐标为（0，3），将B点坐标代入直线的解析式后即可求出k的值．（2）直线BC的解析式在（1）中已求得．根据抛物线过B、C两点，那么可将这两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法求出抛物线的解析式．（3）根据（2）中得出的抛物线的解析式即可求出A点的坐标，那么△ABC底边AB的长就能求出来了．而△ABC的高OC可根据C点的坐标得出，因此根据三角形的面积计算公式可得出△ABC的面积．（4）根据（2）得出的抛物线的解析式可求出抛物线的对称轴的解析式．如果设抛物线交BC于E，交x轴于F点．根据对称轴的解析式与BC所在直线的解析式不难得出E点的坐标为（2，1），此时AF=FE=FB，如果连接AE，那么三角形AEB就是个等腰直角三角形．于是三角形AEC也是直角三角形，那么∠ACE和 ©2010-2012 菁优网

∠APF的正切值就应该相等（已知∠ACE=∠APD），那么可得出的等量关系为AE：CE=AF：PF，据此可求出PF的长，也就能得出P点的坐标．解答：解：（1）直线y=kx沿y轴向上平移3个单位后，过两点B，C 从而可设直线BC的方程为y=kx+3 令x=0，得C（0，3）又B（3，0）在直线上， ∴0=3k+3 ∴k=﹣1．（2）由（1），直线BC的方程为y=﹣x+3 2又抛物线y=x+bx+c过点B，C ∴解得 2∴抛物线方程为y=x﹣4x+3．（3）由（2），令x﹣4x+3=0 得x1=1，x2=3 即A（1，0），B（3，0），而C（0，3） ∴△ABC的面积S△ABC=（3﹣1）•3=3平方单位．（4）由（2），D（2，﹣1），设对称轴与x轴交于点F，与BC交于E，可得E（2，1），连接AE． ∵AF=FB=FE=1 ∴AE⊥CE，且AE=，CE=2 （或先作垂线AE⊥BC，再计算也可）在Rt△AFP与Rt△AEC中， ∵∠ACE=∠APE（已知）， ∴即=， 2∴PF=2． ∴点P的坐标为（2，2）或（2，﹣2）．点评：本题主要考查了一次函数的图象的平移以及二次函数的应用等知识点．对待一次函数的平移，只要记住并理解“左加右减，上加下减”即可作出正确的解答． ©2010-2012 菁优网

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