(word完整版)八年级数学期末专题复习二：八年级数学上册几何图形添辅助线例谈

编制：赵化中学 郑宗平

新人教版八年级数学上册前面三个单元都是几何内容，有些同学说感觉学起来有些吃力，我 想除了推 理入门是个难关，还因为有部分几何题需添加辅助线；在几何题中，添加辅助线往往 是为了变更题中某

些图形的位置

（特别是线段和角），使得已知条件与结论的之间关系在图形中 能清楚的显现出来，从而找到破题的方法，辅助线在其中起到铺路和架桥的作用 •下面给同学们

提供一些例子进行解析，部分例子还形成

“口诀”（顺口溜），目的是加深印象！希望对同学们

有帮助 •（请同学们利用课外时间事先完善例题证明过程，并完成例题后面的追踪练习 .） 一

.连结 例.如图，已知 AC 分析：要证明

BD, AD BC ;求证： C D C D可考虑化在两个三角形，通过证明其全等使问题获得解决 •但从本题 形结构来看要直接证明

△ AOC和厶BOC全等缺少条件；但连接AB后，AB就成了图 △

ABC 和 厶BAD的公共边，相当于使隐含条件显现出来，证明 略△ ABC和△ BAD全等即可• 证：连结AB

追踪练习： C

1. 如图，已知 AB AD,CB CD .求证： B D . 2.如图，五边形 ABCDE 中，AB AE, B E,CB DE AF CD垂足为F ;

求证：点

F为边CD的中点.

二•延长

如图，DA CA于的平分线,过 A, AB AC ; BD是 ABCC作CE BD 的延长线于 E.求证：BD 2CE

分析：从本题条件来看要直接证明BD 2CE，我们需要找一条线段来替代

BD ;本题若我们

赵中八数上册专题复习 :添辅助线例谈 第1页（共8页） 延长BA和CE交于点F使“残缺”的图形“补全”

通过证明△ BEC

CF BD，所以就把问题就转化证明 CF 2CE 了,根据题中条件问题可以解决 略证：延长BA和CE交于点F .

•/

CA

A , CE BD的延长线于E

DA 3 于 4

5 6 90°

1 F 2

F 90°

1

2

BD是 ABC的平分线 •••

1 CBE

在△ BEC和△ BEF中

C

EC EF 二 CF 2CE

又在△ ABD和厶CAF中

CF 二 BD 2CE

追踪练习:

如图，已知，四边形ABCD中, 求

90°,

CD的长？

三.作高线

C D

例.已知△ ABC中AB AC ; D、E为边BC的两点，且 AD AE . 求证： 分

析： 解决，BD CE 合一”

虽然要证明 BD CE可以通过证明两个全等三角形来 但作

△ ABC的底边的高线，利用等腰三角形的“三线 过程会

变得更为简捷 .

略证：过点A作AF BC ,垂足为F

••• AB AC , AD AE

第2页（共8页）

,1

••• BF CF ,DF EF （ “三线合一”） ，即 BD CE

口诀：底边作高线，解答更方便

• 追踪练习：| 如右上图，在 △ ABC中， A 30°, AC 8, AB 9 ；求△ ABC的面积.

四.作垂线•连端点

例1.如图，四边形 AC平分 DAB ,且CD CB 求证： B D 180°

分析：

要证明 B D 180°,我们通常会想到一个平角就等于 180,所以我们可以想办法把 B、 D “搬”在一起组成一个平角.通过构造全等三角形可以解决这个问题；角平分线上的

点到两边距离相等可以为证明全等提供条件 .若过点C作 DAB两边的垂线可以构造满足需要

的两个全等三角形. 略证：[:点C作AB ,垂足为E ;作CF AD的延长线与 过 F . CE •

CEB CFD 90°

F 又 ••• AC平分 |____

DAB

• CE CF D A 1 \\ C

•在Rt

72

△ CEB 和 Rt △ 中

:h

\\ A

• Rt △ CEB 也 Rt △ CFD HL E

\\B

1 B

••• 1 180° • B180° 即 B D

18

2

例2.如图，在四边形 ABCD中，点E是边BCF0°

的中点，点是边CD的中点，且

AE BC,AF CD .

⑴.求证：AB AD； ⑵.若 BCD 114° ,求 BAD的度数. 分析：

本题主要是⑴问，要证明 AB AD关键是抓住 AE垂直平 分 BC和AF垂直平分CD ,所以连接AC后利用垂直平分 线的 性质得出 AB AC, AD AC ,所以AB AD.

略解:

⑴.连结AC •••点E是边BC的中点，AE BC

赵中八数上册专题复习 :添辅助线例谈 第3页（共8页） • AB AC （垂直平分线的性质） 同理

• AB AD

•/ AB AC, AD AC

12

BCD

BAD B D BCD 4 2 180° 360°,

BCD 114°

• BAD ° 114° 114°

°

口诀：分角两边作垂线，垂直平分连端点,

.注：求 BAD的度数的途径不止一种. 线段

相等好转换 D

——C

追踪练习：

M

1. 如图， B C 90°,点M是 BC中点，DM平分 ADC .

求证 AM平分 DAB .

B

2. 如图所示， AOB 30°, OC 平分 AOB, CD OA, CE // OA,

B

CE 4 .求CD的长. E C 3. 如图，在△ ABC 中， B C 30°; 点D是边AB的o Dr A

中点，点F是边AC的中点，且 分ED AB,GF AC，垂足 求证:BE

别为D、F .

EG GC;

五.作平行线

B

例.如图，在△ ABC中，AB AC , E、D分别在AB和

AC的延长线上，连接 DE交BC于F ;若点F是ED的中点. 求证：

BE CD .

分析：

要证明BE CD我们的主要思路还是要化归贵在两个三角 B

形中，通过证明其全等使问题获得解决；但本题的条件“不足” 根据△

D

ABC是一个等腰三角形和点 F是ED的中点，我们可 以构造一对等

腰三角形来解决这个难题

.通常在有中点的况下，

通过情构造辅助平行线能够得到两个全等三角形 略证：过点E作EG // AD 交BC于点G .

• 3 D ,

4 ACB

•••点F是ED的中点 • EF DF

第4页（共8页）

赵中嗷創g夏习资料

在厶FBE和厶CBE中

又在△ EGF和厶DCF中

S • EG CD •/ AB AC / B ACB 又：4 ACB ■■- B 4

■■- BE GE

追踪练习：

已知，如右上图 △ ABC中，AB AC, A 108° , CD平分 BCA交AB于D .

1. 将本例已知中的“点F是ED的中点”和求证中的“ BE CD ”对调后加以证明;

2. 叙述并证明三角形的内角和定理 .

六.截长补短

要证明AD BC AB可以从两个方面考虑： 一是想办法在 AD或BC所在的直线线为基础 截取一条一条线段来等于 BC或AD ,相当于把AD BC转成一条线段通过全等三角形直接证 明；二是在线段BC上截取一条来等于 AD BC的其中一条，通过证明截取BC余下的线段余 下AD BC中一线段相等，从而使问题得以解决.前面一种途径可以称为 “补短法”，后面一种 途径可以称为“截长法”. 分析：要求中线 AD的取值范围，通常根据三角形三边之间的关系来解决，但本例中要求部分

略证：在线段AB截取AF AB ,连结EF .

•/ AE分别平分 DAB △ ADE和厶AFE中 •/ AD // BC 180° （两直线平行，同旁内角互补）

又 6 5 180°

（等角的补角相

•/ BE分别平分

CBA ••• 3

4

等）

赵中八数上册专题复习 :添辅助线例谈 第5页（共8页） 例.如图，AD // BC，点E在CE上，AE、BE分别平分

DAB、 CBA. 求证：AD BC AB .

分析：

• BF BC （全等三角形，对应边相等） 又 AF AB

• AF BF AB CD 即 AD BC AB . 口诀：线段和差要证好，截长补短不可少 追踪练习： 求证：BC AC BD .

七.倍长中线：

例.如图。在△ ABC中，AD为其中线， AC AB ;若AB 5, AC 求中线AD的

取值范围？

的和已知并非在同一个三角形中，条件比较分散！ 所以要想办法把它们集中在同一个三角形中， 本例可以采用“倍长中线”构造全等三角形来转换，使已知和要求的部分化归在同一个三角形 中，从而使问题得以解决.实际上是线角“折半加倍”的中一种情况. 略解：延长AD至F ,使FE AD ,则AF 2AD

AD ABC的中线 • BD CD 在 △ ABD和厶FCD中 S • CF AB （全等三角形，对应边相等）

在△ AFC 中有 AC CF AF AC CF ;即 AC AB AF AC

AB

•/ AB 5, AC 7 ,且 AF 2AD

• 7 5 2AD 7 5 解得：1 AD 6 .

口诀：两边之间夹中线，倍长中线全等见 追踪练习：

如图，在△ ABC中，点D为BC边上的一点，且 CD AB ,

BAD BDA。AE是厶ABD的中线.求证：AC 2AE .

BED

C

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八 .注意“T”字型结构中的辅助线 例 •图，点C为线段AB的中点；点 D为线段AB下方的一点，且有 AF BE,DE DF ,

E F. 求证：

DC AB 分析：

根据本题的条件容易想到通过等腰三角形的“三线合一”来证明

DC AB

，再加上线段 AB和线段DC构成了一个“ T”字型，比 较容易连接

DA、DB构成一个等腰三角形来证明，而根据题中的条 件能证明△ AFD

SA BED ,从而推出DA DB ,禾U用 “三线 可解决问题. 合

略证：连接DA、DB

在厶AFD和厶BED

••• DA DB （全等三角形，对应边相等） •••点C为线段AB的中点

• （三线合一） 口诀：图中出现“ T”字型，连成等腰三角形

追踪练习

: 1.如图，

已知AB AE,BC ED

,F为CD的中点，且 E .求证：

B AF CD .

2. 如图, 已知在 △ ABC中， CAB的的平分线 AD 与

BC的垂直平分线 DE交于点D , DM AB于点M , DN AC

的延长线于N . 求证：BM CN

九 .沿“线”翻折切入来添辅助线 例.已知，在△ ABC中， AB AC , AD平分 BAC , E是 BD

AC

上的一点，且 分析：1 BAC .求证: ED.

要直接证明BD ED，但由于AD平分 BAC，可以

赵中八数上册专题复习 :添辅助线例谈 第7页（共8页） 考虑沿AD翻折将△ AED的顶点落在边AB上来切入添辅助线，使ED和BD化归在同-个 三角形，利用“等角对等边”来使问题得以解决 .

A

略证：在AB上截取 AF AE ,连接DF .

•/ AD 平分 BAC

• EAD FAD

F

3

E

在厶AFD和厶AED中

1

C

• S

• ED

FD,AED AFD •

2 3

（等角的补角相等）

••• 2 180° 1 C , B 180°

BAC C , 1 BAC

• 1 B 2

• BD FD • BD ED

口诀：垂线、高线、分角线，沿线翻折全等连 追踪练习

对于任意\"ABC （见示意图）.若AD是\"ABC的边BC上的中线，

ADB、 ADC的角平分线分别交 AB、AC于点E、F ，连接EF;探究EF、BE、CF之间的数量关系?

说明:

由于篇幅有限，再加上初二几何哪怕是与三角形相关的性质在教材上也只研究了 其中一部分，所以其它辅助线方法就不在这里赘述，务必将本复习资料的例题的证 明过程补充完整，并完成每道例题后面的追踪练习；希望同学们多练习、多研究、 多总结，做好本次期末迎考的准备.

2018.1.6

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