流体力学 无量纲方程

Chapter3.2相似判据的求法

暂时考虑不可压黏性流体的运动简单情况

dV1Fp2Vdt

对于原型流动，考虑运动方程在z方向的分量方程。

2w12w12w1w1w1w1w1p111u1v1w11g11222t1y1z1z1y1z1x1x1

以上方程反映实际流场的动力性质和过程。

模型流场，同样遵循牛顿运动定律，同样有：

2w22w22w2w2w2w2w2p222u2v2w22g22222t2y2z2z2y2z2x2x2

上式则反映实验流场的动力性质和过程。

将以上相似系数代入方程，则变为：

ccvctw1w1ccvw1w111u1v1w1t1clxyz1112cp1ccv2w12w12w1ccg1g121222xclz1clyz111

考虑到实际流场所遵循的运动方程，只有满足：

ccvctccvcl2ccgcclccvcl2

时，以上方程才能成立。

模型流场中其运动方程的各项（各动力学变量）跟原型流场相比较必须成相同的常数比例，它是动力相似的充分必要条件；

对上式稍作变换，各项同除以

2ccv/cl，最后可得：

cgclcpccl1,21,1,12cvctcvclccvccv

就是两流场相似时，各相似常数必须满足的关系式。

进一步可以得到：

2l1l2u12u2p1p2l1u11l2u22,,,22t1u1t2u2g1l1g2l21u12u212

而它们所反映的是没有量纲（单位）的数，称为无量纲数

其中:

lulReSttu斯特劳哈尔数 雷诺数

pEuu2u2Fr欧拉数 gl弗雷德数

对于所考虑的问题，只要以上四个无量纲数在两种流场中是相同的，那么原型和模型流场相似，则两方程应反映同一事实。可见，利用无量纲数作为动力相似判据，比方程分析法要简单的多。另外，对特定的流动，作为动力相似判据的无量纲数可能会更少。

例3-2-1：假定满足几何、运动相似，试求质量力仅为重力的理想流体运动的相似判据。

dV1dV1Fpgpdt dt

wwwwpuvwgtyzz x

lSttu

Ch3.3

u2pEuFr2ugl

二、无量纲方程

在粘性流体中引进无量纲量：

uu/U,vv/U,ww/U

/0

pp/0U2

Ltt/()U （注意：特征时间、特征压力是非的）

xx/L;yy/L,zz/L

2pp/Uuu/U 0 xx/L

wwww1puvw2wgtxyzz

将方程中的各物理量表示为特征量与无量纲量的乘积

UwUUwUUwUUw10U21pU2uvw()2wgL/UtLxLyLz0LzL其中，

2222222xyz

整理后得：

wwww1puvw2wgL/U2txyzzUL

定义特征无量纲数

ReUL/FrU2/gL

wwww1p112uvwwtxyzzReFr

无量纲方程

wwww1p2uvwwgtxyzz

而采用无量纲方程，具有如下优点：

（1）与单位制无关；

（2）可以比较相对大小或相对重要性；

（3）流场相似判据：对应的无量纲数相等。