2021年九年级中考数学复习专题：【三角形综合】培优训练(二)

培优训练（二）

一．选择题

1．判断下列几组数能作为直角三角形的三边长的是（ ） A．8，10，7

B．2，3，4

C．12，15，20

D．

，1，2

2．在下列条件中，能判断两个直角三角形全等的是（ ） A．一个锐角对应相等 B．两锐角对应相等 C．一条边对应相等

D．一条斜边和另外一条直角边对应相等

3．如图，若AC＝DF，BC＝EF，AD＝BE，∠A＝65°，∠C＝85°，则∠E的度数是（ ）

A．30° B．40° C．65° D．85°

4．如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，DE⊥AC，若CE＝1，则AE＝（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

5．如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使

BC＝CD，再作出BF的垂线DE，使点A、C、E在同一条直线上（如图），可以说明△ABC≌△EDC，得AB＝DE，因此测得DE的长就是AB的长，判定△ABC≌△EDC，

最恰当的理由是（ ）

A．SAS B．HL C．SSS D．ASA

6．如图，在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，点E为AD的中点，连接BE并延长交AC于点F．若∠AFB＝90°，EF＝2，则BF长为（ ）

A．4 B．6 C．8 D．10

7．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，M是BC边上的动点，过M作MN∥AB交AC于点N，P是MN的中点，当PA平分∠BAC时，BM＝（ ）

A． B． C． D．

8．如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC，垂足为D，且

OD＝4．若△ABC的面积是34，则△ABC的周长为（ ）

A．8.5 B．15 C．17 D．34

9．如图，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，那么，按照图中所标注的数据，图中实线所围成的图形面积为（ ）

A．40.5 B．48.5 C．50 D．52.5

10．如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC．给出下列结论：

①BD＝CE；②∠ABD+∠ECB＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2（AD2+AB2）﹣CD2．其中不正确的结论有（ ）个．

A．3 二．填空题

B．2 C．1 D．0

11．已知△ABC的三边长分别是5cm，12cm，13cm，则△ABC的面积是 ． 12．如图，△ABC中，AC＝7，BC＝4，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，那么△BCE的周长为 ．

13．如图，DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，若∠BAC＝110°，则∠DAE＝ °．

14．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，CD＝CB，∠ACB＝∠ACD，AE⊥BC于点E，

AE交BD于点F，AC＝DF，CE＝5，BE＝12，则AE＝ ．

15．如图，在△ABC中，OA＝4，OB＝3，C点与A点关于直线OB对称，动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ＝∠BAO．当△PQB为等腰三角形时，OP的长度是 ．

16．如图，△ABC中，D，E是AB边上两点，且∠A＝∠B＝∠DCE＝45°，若AD＝1，

EB＝2，则△CDE与△ADC的面积之比为 ．

三．解答题

17．如图，△ADC中，DB是高，点E是DB上一点，AB＝DB，EB＝CB，M，N分别是

AE，CD上的点，且AM＝DN．

（1）求证：△ABE≌△DBC．

（2）探索BM和BN的关系，并证明你的结论．

18．如图，在△ABC中，AB＜AC，边BC的垂直平分线DE交△ABC的外角∠CAM的平分线于点D，垂足为E，DF⊥AC于点F，DG⊥AM于点G，连接CD． （1）求证：BG＝CF；

（2）若AB＝10cm，AC＝14cm，求AG的长．

19．（1）如图①，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B，C，E在一条直线上，连结

BD和AE，直线BD，AE相交于点P．则线段BD与AE的数量关系为 ；BD与AE相交构成的锐角的度数为 ．

（2）如图②，点B，C，E不在同一条直线上，其它条件不变，上述的结论是否还成立？请说明理由．

（3）应用：如图③，点B，C，E不在同一条线上，其它条件依然不变，此时恰好有∠

AEC＝30°．设直线AE交CD于点Q，请把图形补全．若PQ＝2，则DP＝ ．

20．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D从B点出发，沿射线CB方向以每秒3个单位长度的速度运动，射线MP⊥射线CB，且BM＝10，点Q从M点出发，沿射线MQ方向以每秒a个单位长度的速度运动，已知D，Q两点同时出发，记时间为t．

（1）当t＝10时，△DMQ是等腰三角形，求a的值； （2）求t为何值时，△DCA为等腰三角形； （3）若△DMQ与△ABC全等，求a的值．

21．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．点D是直线AB上一点（点D与点A、B不重合），以CD为直角边作等腰直角三角形DCE，使∠DCE＝90°，连结AE． （1）如图①，当点D在线段AB上，点E与点A在CD同侧．求证：AE＝BD． （2）如图②，当点D在AB的延长线上，点E与点A在CD同侧．若AE＝1，AB＝4，则AD＝ ．

（3）如图③，当点D在BA的延长线上，点E与点A在CD的两侧时，直接写出线段

AB、AD、AE三者之间的数量关系： ．

22．在平面直角坐标系中，B（2，2），以OB为一边作等边△OAB（点A在x轴正半

轴上）．

（1）若点C是y轴上任意一点，连接AC，在直线AC上方以AC为一边作等边△ACD． ①如图1，当点D落在第二象限时，连接BD，求证：AB⊥BD； ②若△ABD是等腰三角形，求点C的坐标；

（2）如图2，若FB是OA边上的中线，点M是FB一动点，点N是OB一动点，且

OM+NM的值最小，请在图2中画出点M、N的位置，并求出OM+NM的最小值．

参

一．选择题

1．解：A、82+72≠102，故不能作为直角三角形三边长；

B、22+32≠42，故不能作为直角三角形三边长； C、122+152≠202，故不能作为直角三角形三边长； D、（

）2+12＝22，故能作为直角三角形三边长；

故选：D．

2．解：A、一个锐角对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；

B、两锐角对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意； C、一条边对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；

D、一条斜边和另外一条直角边对应相等能判定两直角三角形全等，故此选项符合题意；

故选：D． 3．解：∵AD＝BE，

∴AB＝DE，且AC＝DF，BC＝EF， ∴△ABC≌△DEF（SSS），

∴∠A＝∠FDE＝65°，∠C＝∠F＝85°， ∴∠E＝180°﹣∠FDE﹣∠F＝30°， 故选：A．

4．解：∵△ABC是等边三角形，AD为中线，DE⊥AC，

∴∠DAC＝30°，∠C＝60°，∠ADC＝90°，∠DEC＝90°， ∴∠CDE＝30°， ∵CE＝1， ∴CD＝2， ∴AC＝4，

∴AE＝AC﹣CE＝4﹣1＝3， 故选：C．

5．解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC＝90°，

∠ACB＝∠ECD，

所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法． 故选：D．

6．解：∵在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高， ∴∠DAC＝180°﹣∠C﹣∠ADC＝180°﹣60°﹣90°＝30°， ∵∠AFB＝90°，EF＝2， ∴AE＝2EF＝4， ∵点E为AD的中点， ∴DE＝AE＝4，

∵∠C＝60°，∠BFC＝180°﹣90°＝90°， ∴∠EBD＝30°， ∴BE＝2DE＝8，

∴BF＝BE+EF＝8+2＝10， 故选：D．

7．解：作PD⊥AC于D，PE⊥AB于E，MF⊥AB于F， 由勾股定理得，AB＝

＝5，

∵PA平分∠BAC，PD⊥AC，PE⊥AB， ∴PD＝PE，

∵PE⊥AB，MF⊥AB，MN∥AB， ∴四边形PMFE为矩形， ∴PE＝MF，

设PD＝PE＝MF＝3x，

∵∠B＝∠B，∠BFM＝∠BCA， ∴△BMF∽△BAC， ∴

＝

，即

＝

，

解得，BM＝5x，

∵PD∥BC，P是MN的中点， ∴BC＝6x+5x＝11x， 由题意得，11x＝4，

解得，x＝∴BM＝5x＝故选：A．

， ，

8．解：∵点O为△ABC的两条角平分线的交点， ∴点O到△ABC各边的距离相等， 而OD⊥BC，OD＝4，

∴点O到△ABC各边的距离为4， ∵S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC，

∴×AB×4+×AC×4+×BC×4＝34， ∴AB+AC+BC＝17， 即△ABC的周长为17． 故选：C．

9．解：∵AE⊥AB，EF⊥AF，BG⊥AG， ∴∠F＝∠AGB＝∠EAB＝90°，

∴∠FEA+∠EAF＝90°，∠EAF+∠BAG＝90°， ∴∠FEA＝∠BAG， 在△FEA和△GAB中 ∵

，

∴△FEA≌△GAB（AAS）， ∴AG＝EF＝6，AF＝BG＝2， 同理CG＝DH＝3，BG＝CH＝2， ∴FH＝2+6+3+2＝13，

∴梯形EFHD的面积是×（EF+DH）×FH＝×（6+3）×13＝∴阴影部分的面积是S梯形EFHD﹣S△EFA﹣S△ABC﹣S△DHC ＝

﹣×6×2﹣×（6+3）×2﹣×3×2

，

＝40.5． 故选：A．

10．解：∵∠DAE＝∠BAC＝90°， ∴∠DAB＝∠EAC ∵AD＝AE，AB＝AC， ∴△DAB≌△EAC（SAS），

∴BD＝CE，∠ABD＝∠ECA，故①结论正确，

∴∠ABD+∠ECB＝∠ECA+∠ECB＝∠ACB＝45°，故②结论正确， ∵∠ECB+∠EBC＝∠ABD+∠ECB+∠ABC＝45°+45°＝90°， ∴∠CEB＝90°，即BD⊥CE，故③结论正确，

∴BE2＝BC2﹣EC2＝2AB2﹣（CD2﹣DE2）＝2AB2﹣CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）﹣CD2．故④结论正确，

∴不正确的结论有0个． 故选：D．

二．填空题（共6小题）

11．解：∵△ABC的三边长分别是5cm，12cm，13cm， ∴52+122＝132，

∴△ABC是直角三角形，直角边为5cm和12cm， ∴△ABC的面积为故答案为：30cm2．

12．解：∵DE是AB的垂直平分线，

cm×12cm＝30cm2，

∴EA＝EB，

∴△BCE的周长＝BC+BE+EC＝BC+EA+EC＝BC+AC＝11， 故答案为：11．

13．解：∵∠BAC＝110°，

∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣110°＝70°， ∵DF垂直平分AB，EG垂直平分AC， ∴DA＝DB，EA＝EC，

∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C， ∴∠DAB+∠EAC＝∠B+∠C＝70°，

∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝40°， 故答案为：40．

14．解：∵CD＝CB，∠ACB＝∠ACD，CA＝CA， ∴△CAB≌△CAD（SAS）， ∴AD＝AB，∠DAC＝∠BAC， ∵AB⊥AD， ∴∠BAD＝90°，

∴∠DAC＝∠BAC＝45°， ∵CD＝CB，AD＝AB， ∴AC垂直平分线段BD， ∴DG＝BG＝AG， ∵AC＝DF，

∴CG＝GF，设CG＝GF＝x，AG＝BG＝DG＝y． ∵AE⊥BC，

∴∠AEC＝∠BGC＝∠AGF＝90°，

∴∠BCG+∠CBG＝90°，∠BCG+∠FAG＝90°， ∴∠CBG＝∠FAG，∵BG＝AG， ∴△BGC≌△AGF（ASA）， ∴AF＝BC＝CE+BE＝5+12＝17， 则有x2+y2＝172①，

由△BEF∽△AGF，可得∴

＝

，

＝，

∴12×17＝y（y﹣x） ②， ①×12得到：172×12＝12x2+12y2， ②×17得到172×12＝17y2﹣17xy， ∴12x2+12y2＝17y2﹣17xy， ∴12x2+17xy﹣5y2＝0， ∴（3x+5y）（4x﹣y）＝0， ∵3x+5y≠0 ∴y＝4x，

∴12×17＝4x×3x，

∴x2＝17，连接CF，可得CF2＝2x2＝34， ∴EF＝

＝

＝3，

∴AE＝EF+AF＝3+17＝20， 故答案为20．

15．解：∵OA＝8，OB＝6，C点与A点关于直线OB对称， ∴BC＝AB＝分为3种情况： ①当PB＝PQ时，

∵C点与A点关于直线OB对称， ∴∠BAO＝∠BCO， ∵∠BPQ＝∠BAO， ∴∠BPQ＝∠BCO，

＝5，

∵∠APB＝∠APQ+∠BPQ＝∠BCO+∠CBP， ∴∠APQ＝∠CBP， 在△APQ与△CBP中，

，

∴△APQ≌△CBP（AAS）， ∴PA＝BC， 此时OP＝5﹣4＝1； ②当BQ＝BP时， ∠BPQ＝∠BQP， ∵∠BPQ＝∠BAO， ∴∠BAO＝∠BQP，

根据三角形外角性质得：∠BQP＞∠BAO， ∴这种情况不存在； ③当QB＝QP时， ∠QBP＝∠BPQ＝∠BAO， ∴PB＝PA，

设OP＝x，则PB＝PA＝8﹣x 在Rt△OBP中，PB2＝OP2+OB2， ∴（4﹣x）2＝x2+32， 解得：x＝； ∵点P在AC上， ∴点P在点O左边， 此时OP＝．

∴当△PQB为等腰三角形时，OP的长度是1或． 故答案为：1或．

16．解：∵∠A＝∠ABC＝45°， ∴∠ACB＝90°，

把△ADC逆时针旋转90°得到△BCF，如图所示：

则CD＝CF，BF＝AD＝1，∠DCF＝90°，∠CBF＝∠A＝45°， ∵∠DCE＝45°，

∴∠FCE＝90°﹣45°＝45°， ∴∠DCE＝∠FCE， 在△DCE和△FCE中，∴△DCE≌△FCE（SAS）， ∴DE＝FE， 在△BEF中，

∵∠ABC＝45°，∠CBF＝45°， ∴∠EBF＝90°， ∴EF＝∴DE＝

，

＝

＝

；

＝

＝

，

，

∴△CDE与△ADC的面积之比＝故答案为：

．

三．解答题（共6小题） 17．（1）证明：∵DB是高， ∴∠ABE＝∠DBC＝90°． 在△ABE和△DBC中，∴△ABE≌△DBC．

（2）解：BM＝BN，MB⊥BN． 证明如下：

，

∵△ABE≌△DBC， ∴∠BAM＝∠BDN． 在△ABM 和△DBN 中，∴△ABM≌△DBN（SAS）． ∴BM＝BN，∠ABM＝∠DBN．

∴∠DBN+∠DBM＝∠ABM+∠DBM＝∠ABD＝90°． ∴MB⊥BN．

18．（1）证明：连接BD，

∵DE垂直平分BC， ∴BD＝CD，

∵AD平分∠CAM，DF⊥AC，DG⊥AM， ∴DG＝DF，

在Rt△BDG和Rt△CDF中，

，

∴Rt△BDG≌Rt△CDF（HL）， ∴BG＝CF；

（2）解：在Rt△ADG和Rt△ADF中，

，

∴Rt△ADG≌Rt△ADF（HL）， ∴AG＝AF，

∵AC＝AF+CF，BG＝AB+AG，BG＝CF， ∴AC＝AF+AB+AG， ∴AC＝2AG+AB，

∵AB＝10cm，AC＝14cm， ∴AG＝

＝2cm．

19．解：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴AB＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD， 即∠ACE＝∠BCD， 在△ACE和△BCD中，

，

∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴BD＝AE，∠AEC＝∠BDC，

由三角形的外角性质，∠DPE＝∠AEC+∠BDC， ∠DCE＝∠BDC+∠DBC， ∴∠DPE＝∠DCE＝60°； 故答案为：相等，60°； （2）成立．

证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴AB＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD， 即∠ACE＝∠BCD， 在△ACE和△BCD中，

，

∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴BD＝AE，∠AEC＝∠BDC， 又∵∠DNA＝∠ENC， ∴∠DPE＝∠DCE＝60°． （3）补全图形如图③，

由（1）（2）可知△AEC≌△BDC， ∴∠AEC＝∠BDC＝30°， ∵△DEC为等边三角形， ∴∠DEC＝∠EDC＝60°，

∴∠DEP＝∠DEC﹣∠CEP＝60°﹣30°＝30°， ∠PDE＝∠BDC+∠EDC＝60°+30°＝90°， ∴∠DPQ＝60°， ∴∠DQP＝90°， ∵PQ＝2，

∴DP＝2PQ＝2×2＝4． 故答案为：4．

20．解：（1）当t＝10时，DB＝30， ∵BM＝10， ∴DM＝20，

∵△DMQ是等腰三角形，∠DMQ＝90°， ∴DM＝MQ， 即20＝10a， ∴a＝2；

（2）①当AC＝AD时，△DCA为等腰三角形， ∵AB⊥CD，

∴BD＝BC＝3， ∴t＝1，

②当AC＝CD＝5时，△DCA为等腰三角形， ∵BC＝3， ∴BD＝1， ∴t＝，

③当AD＝CD＝3+3t时，△DCA为等腰三角形， ∵∠ABD＝90°， ∴AB2+BD2＝AD2， 即42+（3t）2＝（3+3t）2， ∴t＝

，

时，△DCA为等腰三角形；

综上所述：t＝1，，

（3）当△DMQ与△ABC全等， ①△DMQ≌△ABC，

∴MQ＝BC＝3，DM＝AB＝4， ∵BM＝10，

∴BD＝6或BD＝14， ∴t＝2或t＝∴a＝，a＝

， ；

②△DMQ≌△CBA，

∴DM＝BC＝3，MQ＝AB＝4， ∴BD＝7或13， ∴t＝或∴a＝

或

， ，

，

，

．

综上所述：当△DMQ与△ABC全等时，a＝，

21．（1）证明：如图①，∵∠ACB＝90°，∠DCE＝90°， ∴∠BCD+∠ACD＝90°，∠ACE+∠ACD＝90°， ∴∠BCD＝∠ACE， 在△BCD和△ACE中，

，

∴△BCD≌△ACE（SAS）， ∴AE＝BD；

（2）解：如图②，∵∠ACB＝90°，∠DCE＝90°， ∴∠BCD+∠BCE＝90°，∠ACE+∠BCE＝90°， ∴∠BCD＝∠ACE， 在△BCD和△ACE中，

，

∴△BCD≌△ACE（SAS）， ∴AE＝BD，

∴AD＝AB+BD＝AB+AE＝5， 故答案为：5；

（3）解：同（2）的证明方法可得，△BCD≌△ACE（SAS）， ∴AE＝BD，

∴AB+BD＝BD＝AE， 故答案为：AB+AD＝AE．

22．（1）①证明：∵△OAB和△ACD是等边三角形， ∴BO＝AO＝AB，AC＝AD，∠OAB＝∠CAD＝60°，

∴∠BAD＝∠OAC， 在△ABD和△AOC中，∴△ABD≌△AOC（SAS）， ∴∠ABD＝∠AOC＝90°， ∴AB⊥BD；

②解：存在两种情况：

当点D落在第二象限时，如图1所示： 作BM⊥OA于M， ∵B（2，2

），

，

，

∴OM＝2，BM＝2

∵△OAB是等边三角形， ∴AO＝2OM＝4，

同①得：△ABD≌△AOC（SAS）， ∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°， 若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB， ∴OC＝AB＝OA＝4， ∴C（0，﹣4）；

当点D落在第一象限时，如图1﹣1所示： 作BM⊥OA于M， ∵B（2，2

），

，

∴OM＝2，BM＝2

∵△OAB是等边三角形， ∴AO＝2OM＝4，

同①得：△ABD≌△AOC（SAS）， ∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°， 若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB， ∴OC＝AB＝OA＝4， ∴C（0，4）；

综上所述，若△ABD是等腰三角形，点C的坐标为（0，﹣4）或（0，4）；

（2）解：作ON'⊥AB于N'，作MN⊥OB于N，如图2所示： ∵△OAB是等边三角形，ON'⊥AB，FB是OA边上的中线， ∴AN'＝AB＝2，BF⊥OA，BF平分∠ABO， ∵ON'⊥AB，MN⊥OB， ∴MN＝MN'，

∴N'和N关于BF对称，此时OM+MN的值最小， ∴OM+MN＝OM+MN'＝ON， ∵ON＝∴OM+MN＝2

＝；

． ＝2

，

即OM+NM的最小值为2