等效重力场法运用(整理版)

将等效重力场法运用到底

物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动，但是对处在匀强电场中的宏观物体而言，它的周围不仅有重力场，还有匀强电场，同时研究这两种场对物体运动的影响，问题就会变得复杂一些。此时，若能将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”（可形象称之为“等效重力场”）来代替，不仅能起到“柳暗花明”的效果，同时也是一种思想的体现。那么，如何实现这一思想方法呢？ 一、概念的全面类比

为了方便后续处理方法的迁移，必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与复合之前的相关概念之间关系。具体对应如下： 等效重力场重力场、电场叠加而成的复合场 等效重力重力、电场力的合力 等效重力加速度等效重力与物体质量的比值 等效“最低点”物体自由时能处于稳定平衡状态的位置 等效“最高点”物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置 等效重力势能等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积 二、处理方法的迁移 例1 如图所示，倾角

，有一个质量为

的光滑绝缘斜面处于水平向右的匀强电场中，电场强度

的带电小球，以速度

沿斜面匀速下滑，求：

（1）小球带何种电荷？电荷量为多少？（2）在小球匀速下滑的某一时刻突然撤去斜面，此后经内小球的位移是多大？（

取

）

解析：（1）由于小球匀速运动，所受重力与电场力的合力和斜面对小球的支持力平衡，如图可知，

小球必带正电，且，所以；

从“等效重力场”观点看，实际上就是小球所受等效重力与斜面对小球的支持力平衡，故等效重力

大小、等效重力加速度大小可分别表示为、。

（2）撤去斜面后，小球仅受等效重力作用，且具有与等效重力方向垂直的初速度，所以小球做“平抛运动”（严格地讲是类平抛运动，这里只是为了方便说明和处理，以下带引号的名称意义同样如此。），基本处理的方法是运动的分解。

如图，小球在轴方向做匀速直线运动，在

轴方向做“自由落

体运动”，则有，其中，，

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解得：，所以内的总位移大小为

考虑到分析习惯，实际处理时可将上述示意图顺时针转过角，让小球的运动和重力场中的平抛运动更接近。

例3 光滑绝缘的圆形轨道竖直放置，半径为

，在其最低点

处放一质量为

的带电小球，

整个空间存在匀强电场，小球受到的的电场力大小为，方向水平向右，现给小球一个水平向右的

初速度，使小球沿轨道向上运动，若小球刚好能做完整的圆周运动，求大小。

解析：小球同时受到重力和电场力作用，可认为小球处在等效重力场中。小球所受的等效重力大小

为，其中，且如图

又有 故图中等效“最高点”

，在

，即

为等效“最低点”，

，也就是等效重力的方向与竖直方向成。

为等效“最高点”。小球能做完整圆周运动的临界条件是恰能通过

点等效重力提供向心力，即

，可得

对小球从

运动到

的过程应用动能定理

代入相关物理量解得：

此处，借助等效重力势能的概念使用等效机械能守恒定律也可以求解，不过需要准确理解等效重力场中“参考面”和“高度”的含义。

例4 如图，水平放置的平行金属板间有匀强电场，一根长的绝缘细绳一端固定在质量为

的带电小球，小球原来静止在

点，另一端系有

点做匀

点，当给小球一个水平速度后，它可以在竖直面内绕

速圆周运动。若将两板间的电压增大为原来的3倍，求：要使小球从点开始在竖直面内绕点做圆周运动，至少要给小球多大的水平速度？在这种情况下，在小球运动过程中细绳所受的最大拉力是多大？

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解析：只有当小球所受的合外力始终沿半径指向圆心时，它才可以在竖直面内做匀速圆周运动，对小球经过最右端瞬间分析可知，小球所受电场力必须和重力平衡，即 金属板间的电压增大为原来的3倍时，有重力大小为

小球自由时只有在最高点

，方向竖直向上。

，方向仍竖直向上，则小球的等效

，方向竖直向上，其中

才可能处于稳定平衡状态，因此

。

为等效

为等效“最低点”，相应地

“最高点”。小球要完成竖直面内的圆周运动，应有 对小球从

运动到

的过程应用动能定理

解得：

小球运动到等效“最低点”时，绳中拉力最大。

由向心力公式可得：

所以

等效“最低点”不一定是几何最低点，相反甚至可以出现在几何最高点，解题过程中一定要细心分析、仔细辨别。

等效重力场法实际上是等效转化思想在电场部分的一种应用，利用等效转化思想可将较为复杂的实际问题变换为简单的熟悉问题，以便突出主要因素，抓住它的本质，找出其中规律。深入理解和体会这种思想，并将其推广应用到其它物理学领域，可以为自己的学习、研究带来极大的方便。

解答匀强电场问题利器——建立“等效重力场”

在解答质量不可忽略的带电物体在匀强电场中运动、能量问题时，我们常采用的方法是：把物体的运动分解成沿重力和电场力方向的两个分运动，然后根据要求解答有关的问题。用该种方法处理一些电场问题时，显的烦琐。根据匀强电场和重力场的等效性，如果把重力场和匀强电场两场的问题转化为一个场的问题——建立“等效重力场”来处理该类有些题目，就会显得简洁，而且便于理解。

“等效重力场”建立方法

当一个质量为m、带电量为q的物体同时处在重力场和场强为E的匀强电场中，可将两场叠加为一个

qE等效的重力场。等效重力场的“重力加速度”可表示为gg，g的方向与重力mg和电场力qE

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合力的方向一致；若合力的方向与重力mg方向夹角为，则g也可表示为gg。 cos解题应用

1．解直线运动

例1 如图1所示，在离坡顶为l的山坡上的C点树直固定一根直杆，杆高也是L。杆上端A到坡底B之间有一光滑细绳，一个带电量为q、质量为m的物体穿心于绳上，整个系统处在水平向右的匀强电场中，已知细线与竖直方向的夹角30。若物体从A点由静止开始沿绳无摩擦的滑下，设细绳始终没有发生形变，求物体在细绳上滑行的时间。（g10m/s2，sin370.60，cos370.80） 解析 因细绳始终没有发生形变，故知在垂直绳的方向上没有压力存 在，即带电小球受到的重力和电场力的合力方向沿绳的方向。

建立“等效重力场”如图2所示，“等效重力场”的“等效重力加速度”， 方向：与竖直方向的夹角30，大小：gg

cos30A E

C B 带电小球沿绳做初速度为零，加速度为g的匀加速运动

SAB2Lcos30 ①

SAB12gt ② 2A 图1

g' C B 由①②两式解得t2．解抛类运动

3L g图2

例2 如图3所示，在电场强度为E的水平匀强电场中，以初速度为v0竖直向上发射一个质量为m、带电量为+q的带电小球，求小球在运动过程中具有的最小速度。

解析 建立等效重力场如图4所示，等效重力加速度g 设g与竖直方向的夹角为θ，则g其中arcsing cosv）

E

qE（qE）（mg）22

图3 y

v）

x

则小球在“等效重力场”中做斜抛运动

vxv0sin vyv0cos

当小球在y轴方向的速度减小到零，即vy0时，两者的 合速度即为运动过程中的最小速度

θ g

g'

vminvxv0sinv0qE（mg）（qE）22qE

m

图4

4．解圆周运动

例4 如图7所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点 O，用一根长度L0.40m的绝缘细绳把

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质量为

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m0.10kg、带有正电荷的金属小球悬挂在O点，小球静止在B点时细绳与竖直方向的夹角为

37。现将小球拉至位置A使细线水平后由静止释放，求：

⑴小球通过最低点C时的速度的大小；

⑵小球通在摆动过程中细线对小球的最大拉力。 （g10m/s2，sin370.60，cos370.80）

C O θ L A E

+ B 解析 ⑴建立“等效重力场”如图8所示，“等效重力加速度”g， 方向：与竖直方向的夹角30，大小：g图7 θ A g1.25g cos37O θ 由A、C点分别做绳OB的垂线，交点分别为A'、C'，由动能 定理得带电小球从A点运动到C点等效重力做功

A' C' g' + C B mg(LOA12LOC)mgL(cossin)mvC

2图8

代入数值得vC1.4m/s

（2）当带电小球摆到B点时，绳上的拉力最大，设该时小球的速度为vB，绳上的拉力为F，则

2vB12mg（LLsin）mvB ① Fmgm ②

2L联立①②两式子得F2.25N

例5 如图9所示的装置是在竖直的平面内放置光滑的绝缘轨道，一带负电荷的小球从高h的A处静止开始下滑，进入水平向右的匀强电场中，沿轨道ABC运动后进入圆环内做圆周运动，已知小球受到的电场力是其重力的

3，圆环的半径为R，小球得质量为m0.1kg，斜面的倾角为45，SBC2R，若4使小球在圆环内能做完整的圆周运动，h至少是多少？

解析 建立“等效重力场”如图10所示，等效重力场加速度g 与竖直方向的夹角为arctanA h θ B C E

qE37，则等效重力场加速度g mgO g5g。 的大小gcos4圆环上的D点成为等效重力场中的最高点，要想小球在圆环内 完成圆周运动，则小球通过D点的速度的最小值为

A h 图9

vgR ①

小球由A点运动到D点，由动能定理得

g' O α D mg(hRRcos)31mg(hcot2RRsin)mv2 ②B 42图10

C 代入数值，由①②两式解得h(12.53.52)R17.5R

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例6 半径R=0.8m的光滑绝缘导轨固定于竖直面内，加上某一方向的匀强电场后，带电小球沿轨道内侧做圆周运动，小球动能最大的位置在A点，圆心O与A点的连线与竖直方向的夹角为

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. B

图11

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，如图11所示.在A点时小球对轨道的压力FN=120N，若小球的最大动能比最小动能多32J，且小球

能够到达轨道上的任意一点（不计空气阻力）.试求： （1）小球最小动能等于多少？

(2)若小球在动能最小位置时突然撤去轨道，并保持其他量不变，则小球经0.04s时间后，其动能与在A点时的动能相等，小球的质量是多少？

讲析 （1）依题意：我们将带电小球受到的重力和电场力的等效为一个力F（F即为重力和电场力的合力），设小球动能最小位置在B处（该点必在A点的对称位置），此时，由牛顿第二定律和圆周运动向心

2vA力公式可得：FNFm，从A到B，由动能定理得：F2REkBEkA，可解得：EkA40J，

REkB8J，F20N

（2）撤去轨道后，小球将做类平抛运动（BA方向上匀加速、垂直于OA方向上匀速直线运动的合运动），根据机械能守恒，0.04s后，将运动到过A点且垂直于OA的直线上.运动过程的加速度为：aF，根据m12Ft20.01kg。 平抛运动规律可得：2Rat，可解得：m24R （注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）

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