高数作业本

15．设已知两点M14,2,1和M23,0,2,计算向量M1M2的模、方向余弦和方向角。

16．设向量的方向余弦分别满足⑴COS=0;⑵COS=1;⑶COS=COS0,问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？

18．一向量的终点在点B2,1,7,它在x轴、y轴、和z轴上的投影依次为4,4和7，求这向量的起点A的坐标。

19．设m3i5j8k,n2i4j7k和p5ij4k，求向量

a4m3np在x轴上的投影及在y轴上的分向量．



第8-2次作业 学号：_____________ 班级：_____________ 姓名：_____________

1．设a3ij2k, bi2jk, 求

（1）ab及ab; （2）(2a)3b及a2b; （3）a、b的夹角的余弦

2．设a、b、c为单位向量，且满足abc0，求ab+bcca.

3．已知M11,1,2、M23,3,1和M33,1,3.求与M1M2、 M2M3同时垂直的单位向量。

7．设a3,5,2,b2,1,4,问与有怎样的关系，能使得ab与z轴垂直？

10．已知OAi3k,OBj3k, 求OAB的面积



第8-3次作业 学号：_____________ 班级：_____________ 姓名：_____________

2．求过点M02,9,6且与连接坐标原点及点M0的线段OM0垂直的平面方程.

5．求平面2x2yz50与各坐标面的夹角的余弦。

6．一平面过点1,0,1且平行于向量a2,1,1和b1,1,0，试求这平面方程.

8．分别按下列条件求平面方程： ⑴平行于xoz面且经过点2,5,3; ⑵通过z轴和点3,1,2;

⑶平行于x轴且经过两点4,0,2和5,1,7.

第8-4次作业 学号：_____________ 班级：_____________ 姓名：_____________

3．用对称式方程及参数方程表示直线

4．求过点2,0,3且与直线

7．求过点0,2,4且与两平面x2z1和y3z2平行的直线方程

9．求直线

12．求点1,2,0在平面x2yz10上的投影.

xyz1,

2xyz4.x2y4z70,垂直的平面方程

3x5y2z10xy3z0,与平面xyz10的夹角.

xyz0

第8-5次作业 学号：_____________ 班级：_____________ 姓名：_____________

7．将

xoy坐标面上的双曲线4x29y236分别绕x轴及y轴旋转一周，求所生

成的旋转曲面的方程。

10．说明下列旋转曲面是怎样形成的：

x2y2z2y221; （2）xz21; （1）4994

⑶x2y2z21; ⑷zax2y2.

2

第8-6次作业 学号：_____________ 班级：_____________ 姓名：_____________

2x2+y2+z216;3．分别求母线平行于x轴及y轴而且通过曲线2的柱面方程。 22xzy0

4．求球面xyz9与平面xz1与的交线在xoy面上的投影的方程。

5．将下列曲线的一般方程化为参数方程：

222x2y2z29;1yx

(2)(x1)2y2(z1)24;（不要） z0.总习题八 学号：___________ 班级：____________ 姓名：_____________

1(1)设在坐标系o;i,j,k中点A和点M的坐标依次为x0,y0,z0和x,y,z，则在

A;i,j,k坐标系中，点M的坐标为 ，向量OM的坐标为 ; 2b3c(2)设数1、2、3不全为0，使1a0，b、c三个向量是 的; 则a、

(3)设a2,1,2,b4,1,10,cba,且ac,则 ．

(4)设a3,b4,c5,且满足a+b+c=0,则ab+bc+ca= ．

2(1)设直线( )

z1,xy+则L的参数方程为 L的方程为2xyz4,x12t,x12t,,By1t, Cy1tz13tz13tt,x12Dy1 ,tz3t1x12t,Ay1t,z13t

(2)下列结论中错误的是( )

Az2x2y20表示椭圆抛物面 Bx22y213z2表示双叶双曲面 Cx2y2(z1)20表示圆锥面 Dy25x表示抛物柱面

第9-1次作业 学号：____ _______ 班级：________ ____ 姓名：___ _________

6.．求下列各极限：

1x,ylim0,1

2xy41xy; 3lim; x,y0,022xyxy1cosx2y2tanxy; 6lim; 5x,ylim222,0x,y0,0x2y2exyy

y22x8．函数z2在何处是间断的？

y2x

第9-2次作业 学号：___________ 班级：____________ 姓名：_____________

1．求下列函数的偏导数：

3z

lnxy; 4zsinxycos2xy;

6z1xy

y; 8uarctanxy.

z4．设fx,yxy1arcsin

x,求fxx,1. yx2y2,z5．曲线在点2,4,5处的切线对于x轴的倾角是多少？ 4y4

第9-3次作业 学号：___________ 班级：____________ 姓名：_____________

1．求下列函数的全微分：

y2zex; 3zyx2y2;

2．求函数zln1x2y2当x1,y2时的全微分．

5．考虑二元函数fx,y的下面四条性质：

1fx,y在点x0,y0连续；

2fxx,y、fyx,y在点x0,y0连续； 3fx,y在点x0,y0可微分； 4fxx0,y0、fyx0,y0存在．

若用\"PQ\"表示可由性质P推出性质Q，则下列四个选项中正确的是（A231 B321 C341 D314

）

第9-4次作业 学号：___________ 班级：____________ 姓名：_____________

1.设zu2v2,uxy,vxy,求z,z.

xy

3. 设zex2y,而xsint,yt3,求dz.

dt

v7.设zarctanx,而xuv,yuv,验证zzu. 22yuvuv

8.求函数ufx2y2,exy 的一阶偏导数（其中f具有一阶连续偏导数）：

第9-5次作业 学号：___________ 班级：____________ 姓名：_____________

ydy2．设lnx2y2arctan,求.

xdx

3．设x2yz2xyz0,求

zz及. yx

10．求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：

22dydzzxy,(1)设2求,; 22x2y3z20,dxdx

第9-6次作业 学号：___________ 班级：____________ 姓名：_____________

tj4sink在与t0相应的点处的3.求曲线rfttsinti1cost22切线及法平面方程．

x2y2z23x0,6．求曲线在点1,1,1处的切线及法平面方程.

2x3y5z40

8．求曲面ezzxy3在点2,1,0处的切平面及法线方程.

11．求旋转椭球面3x2y2z216上点1,2,3处的切平面与xoy面的夹角的余弦．

第9-7次作业 学号：___________ 班级：____________ 姓名：_____________

2．求函数zlnxy在抛物线y24x上点1,2处，沿着这抛物线在该点处偏向x轴正向的切线方向的方向导数．

4．求函数uxy2z3xyz在点1,1,2处沿方向角为的方向导数．

6．求函数ux2y2+z2在曲线x=t、y=t2、z=t3上点1,1,1处，沿曲线在该点的切线正方向（对应于t增大的方向）的方向导数.

10．求函数uxy2z在点p01,1,2处变化最快的方向，并求沿这个方向的方向导数。

3,4,3的方向

第9-8次作业 学号：___________ 班级：____________ 姓名：_____________

1.已知函数fx,y在点0,0的某个邻域内连续，且则下列四个选项中正确的是（ ）.

x,y0,0limfx,yxyx2y221,

A点0,0不是fx,y的极值点 B点0,0是fx,y的极大值点 C点0,0是fx,y的极小值点

D根据所给条件无法判断0,0是否为fx,y的极值点

4. 求函数fx,ye2xxy22y的极值.

5. 求函数zxy在适合附加条件xy1下的极大值.

7.要造一个体积等于定数k的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小。

9.将周长为2p的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体.问矩形的边长各为多少时，才可使圆柱体的体积为最大？

总习题九 学号：___________ 班级：____________ 姓名：_____________

1.在“充分”“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内：

1fx,y在点x,y可微分是fx,y在该点连续的 条件. fx,y在

点x,y连续是fx,y在该点可微分的 条件；

2zfx,y在点x,y的偏导数

zz及存在是fx,y在该点可微的 yxzz及存在的 yx条件. zfx,y在点x,y可微分是函数在该点的偏导数条件；

3zfx,y的偏导数

zz及在点x,y存在且连续是fx,y在该点可微分 yx的 条件；

2z2z4函数zfx,y的两个二阶混合偏导数xy及yx在区域D内连续是这两

个二阶混合偏导数在D内相等的 条件.

2.下题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论：

设函数fx,y在点0,0的某邻域内有定义，且fx0,03,fy0,01,则有

（ ）

Adz0,03dxdy

B曲面zfx,y在点0,0,f0,0的一个法向量为3,1,1

zfx,y,曲线在点0,0,f0,0的一个切向量为1,0,3 Cy0

zfx,y,在点0,0,f0,0的一个切向量为3,0,1 D曲线y0

第10-1次作业 学号：___________ 班级：____________ 姓名：_____________

2．设I1xD12y323d,其中Dx,y1x1,2y2;

1又I222xyd,其中D2D2x,y0x1,0y2.试利用二重积分

的几何意义说明I1和I2之间的关系。

4．试确定积分区域D,使二重积分

12xD2y2dxdy达到最大值。

5．根据二重积分的性质，比较下列积分的大小；

2xyd与xyd,其中积分区域D是由圆周x2y1DD23222所围

成。

4lnxyd与lnxyd,其中Dx,y3x5,0y1

2DD

第10-2次作业 学号：___________ 班级：____________ 姓名：_____________

1．计算下列二重积分：

23x2yd,其中D是由两坐标轴及直线xy2所围成的闭区域。

D

4xcosxyd,其中D是顶点分别为0,0,,0和,的三角形闭区域。

D

2．画出积分区域，并计算下列二重积分：

1xDyd,其中D是由两条抛物线yx,yx2所围成的闭区域。

4．化二重积分Ifx,yd为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二

D2次积分），其中积分区域D是：

⑴由直线yx及抛物线y4x所围成的闭区域；

⑶由直线yx,x2及双曲线y1(x0)所围成的闭区域； x

6．改换下列二次积分的积分次序：

20dyy

22y2fx,ydx; 3dy011y21y2fx,ydx;

10. 求由曲面zx2y及z62xy所围成的立体的体积。

2222

第10-2次作业 学号：___________ 班级：____________ 姓名：_____________

11. 画出积分区域，把积分是：

fx,yd表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域DDx,ya2x2y2b2,其中0ab;



13.把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：

102adx2axx20(xy)dy; 3dx2xy2220x1x122dy;

15.选用适当的坐标计算下列各题：

(1)Dx2d,其中D是由直线x2,yx及曲线xy1所围成的闭区域； 2y

(4)x2y2d,其中D是圆环形闭区域x,ya2x2y2b2.

D

(0)216.设平面薄片所占的闭区域D由螺线上一段弧与直线所围成，

22它的面密度为(x,y)xy，求这薄片的质量。

22

第10-3次 作业 学号：___________ 班级：____________ 姓名：_____________

5.计算

1xyz,其中为平面x0,y0,z0,xyz1所围成的四面体。

3dxdydz

第10-3次作业 学号：___________ 班级：____________ 姓名：_____________

9.利用柱面坐标计算下列三重积分：

1zdv,其中是由曲面z2x2y2及zx2y2所围成的闭区域。

10.利用球面坐标计算下列三重积分：

1x2y2z2dv,其中是由球面x2y2z21所围成的闭区域。



11.选用适当的坐标计算下列三重积分：

1xydv,其中为柱面x2y21及平面z1,z0,x0,y0所围成的在第一卦限

内的闭区域。

3x2y2dv,其中是由曲面4z225x2y2及平面z5所围成的闭区域。



12. 利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积：

1z6x2y2 及z

x2y2;

4z

5x2y2 及x2y24z.

第10-4次作业 学号：___________ 班级：____________ 姓名：_____________

1.求球面xyza含在圆柱面xyax内部的那部分面积。

3.求底圆半径相等的两个直交圆柱面xyR及x

2222222222z2R2所围立体的表面积。

总习题十 学号：___________ 班级：____________ 姓名：_____________ 1..填空：

y(1)积分dxedy的值是 ；

0x222x2y2(2)设闭区域Dx,yxyR,则22dxdy .

222Dab2.以下各题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论： (1)设有空间闭区域1x,y,zx2y2z2R2,z0,

2x,y,zx2y2z2R2,x0,y0,z0,则有( )；Axdv4xdv Bydv4ydv

1212

Czdv4zdv Dxyzdv4xyzdv

1212(2)设有平面闭区域Dx,yaxa,xya,

D1x,y0xa,xya,则xycosxsinydxdy( )DA2cosxsinydxdy B2xydxdy C4xycosxsinydxdy D0D1D1D1(3)设fx为连续函数，Fttdyt1yfxdx,则F2；

A2f2 Bf2 Cf2 D0

；

第11-1次作业 学号：___________ 班级：____________ 姓名：_____________

3.计算下列对弧长的曲线积分：

1x2y2ds,其中L为圆周xacost,yasint(0t2);

nL

4Lex2y2ds,其中L为圆周x2y2a2,直线yx及x轴在第一象限内所围成的扇形

的整个边界;

7Ly2ds,其中L为摆线的一拱xa(tsint),ya(1cost)(0t2);

第11-2次 作业 学号：___________ 班级：____________ 姓名：_____________

3. 计算下列对坐标的曲线积分：

1L(x2y2)dx,其中L是抛物线yx2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；

4L

(xy)dx(xy)dy,其中L为圆周x2y2a2 （按逆时针方向绕行）； 22xy5x2dxzdyydz,其中为曲线xk,yacos,zasin上对应从0到的一

段弧；

8L(x22xy)dx(y22xy)dy,其中L是抛物线yx2上从点(1,1)到点(1,1)的一段

弧；

第11-3次 作业 学号：___________ 班级：____________ 姓名：_____________

2. 利用曲线积分，求星形线xacost,yasint所围成的图形的面积。

3. 计算曲线积分

33ydxxdy22,(x1)y2，L的方向 为逆时针方向。 其中为圆周LL2(x2y2)

6. 证明曲线积分积分值。

(3,4)(1,2)(6xy2y3)dx(6x2y3xy2)dy在整个xoy面内与路径无关，并计算

7. 利用格林公式，计算下列曲线积分；

1L(2xy4)dx(5y3x6)dy,其中L是三顶点分别为(0,0)、(3,0)和(3,2)的三角

形正向边界；

3L(2xy3y2cosx)dx(12ysinx3x2y2)dy,其中L为在抛物线2xy2上由点

((0,0)到,1)的一段弧； 2

8. 验证下列p(x,y)dxQ(x,y)dy在整个xoy平面内是某一函数u(x,y)的全微分，并求这样的一个u(x,y)：

22xydxx2dy;

第11-4次 作业 学号：___________ 班级：____________ 姓名：_____________

5.计算

x2y2dS.其中是

x2y2及平面z1所围成的区域的整个边界曲面；

⑴锥面z ⑵锥面z23x2y2被平面z0和z3所截得的部分.

6.计算下列对面积的曲面积分：

22xy2x2xzdS,其中为平面2x2yz6在第一卦限中的部分；



第11-5次作业 学号：___________ 班级：____________ 姓名：_____________

3. 计算下列对坐标的曲面积分：

2zdxdyxdydzydzdx,其中是柱面x2y21被平面z0及z3所截得的在第

一卦限内的部分的前侧；

3fx,y,zxdydz2fx,y,zydzdxfx,y,zzdydy,其中

fx,y,z为连续函数，是平面xyz1在第四卦限部分的上侧；

4.把对坐标的曲面积分

Px,y,zdydzQx,y,zdzdxRx,y,zdxdy化成对面积的曲面积分，其中

是抛物面z8x2y2在xoy面上方的部分的上侧。

第11-6次作业 学号：___________ 班级：____________ 姓名：_____________ 1.利用高斯公式计算曲面积分：

1x2dydzy2dzdxz2dxdy,其中为平面x0,y0,z0,xa,ya,za所围

成的立体的表面的外侧。

3xz2dydz(x2yz3)dzdx(2xyy2z)dxdy,其中为上半球体

0za2x2y2,x2y2a2的表面的外侧。

54xzdydzy2dzdxyzdxdy,其中是平面x0,y0,z0,x1,y1,z1所围

成的立方体的全表面的外侧。

总习题十一 学号：___________ 班级：____________ 姓名：_____________

1.填空：

1第二类曲线积分PdxQdyRdz化成第一类曲线积分是 ，其中

、、为有向曲线弧在点(x,y,z)处的 的方向角；

2第二类曲面积分PdydzQdzdxRdxdy化成第一类曲面积分是 ，

其中、与为有向曲面在点(x,y,z)处的 的方向角；

2.下题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论：

设曲面是上半球面：xyzR(z0),曲面1是曲面在第一卦限中的部分， 则有( )。

2222AxdS4xdS BydS4xdS

11

CzdS4xdS DxyzdS4xyzdS

11

第12-1次作业 学号：___________ 班级：____________ 姓名：_____________

2.根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性：

2

11113355712n12n1 ；

3.判定下列级数的收敛性:

88283123999

8n1n9n1113; 33331n3;

5

111111223323232311nn23.

第12-2次作业 学号：___________ 班级：____________ 姓名：_____________

1.用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性：

121321221n2; 3111;

12131n

4sin2sin22sin23sin2n;

2.用比值审敛法判定下列级数的收敛性：

n223n; n1

3.用根值审敛法判定下列级数的收敛性：

nn1n12n1;

2536n1n432nn!n;

n1n4.判定下列级数的收敛性：

14243421!2!3!

n4n!;

42nsinn1; 3n

第12-2次作业 学号：___________ 班级：____________ 姓名：_____________

5. 判定下列级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？

11

1112341n1n;

3

11111111234323232321n111n32;

第12-3次作业 学号：___________ 班级：____________ 姓名：_____________

1. 求下列幂级数的收敛区间：

x221x22

xn12nnxx2x3; 413232333xnn3n;

x2n1x5.61.8 

2n1nn1n1nn

2.利用逐项求导或逐项积分，求下列级数的和函数：

x3x53x35

x2n12n1;

4(n2)xn3

n1

第12-4次作业 学号：___________ 班级：____________ 姓名：_____________

2.将下列函数展开成x的幂级数，并求展开式成立的区间：

2lnax

a0;

3.将函数lgx.展开成 6.将函数

x1的幂级数，并求展开式成立的区间：

fx1展开成x4的幂级数. 2x3x2

总习题十二 学号：___________ 班级：____________ 姓名：_____________

1.填空: (1)对级数

u,limunn1nn0是它收敛的 条件，不是它收敛的 条件；

(2)部分和数列Sn有界是正项级数

un1nn收敛的 条件；

(3)若级数

un1n绝对收敛，则级数

un1必定 ；若级数

un1n条件收敛；则级数

un1n必定 .

2.下题中给出了四个结果，从中选出一个正确的结果. 设

fx是以2为周期的周期函数，它在,上的表达式为x,则fx的傅里叶级数

为( ).

411cosx2cos3x2cos5xA2352111Bsin2xsin4xsin6x2222411cosx2cos3x2cos5xC3512n112cos2n1x   2n12sin2nx2n112cos2n1x1111Dcos2xcos4xcos6x222246

2n2cos2nx 