《方程与等式》教材分析

《方程与等式》教材分析

（一）从等式到方程，逐步建构新的数学知识

方程是等式里的一类重要对象，教材用属概念加种差的方式，按“等式＋含有未知数＝方程”的线索教学方程，帮助学生了解方程的特点。

1．借助天平感受等式的含义。

等式是方程概念的生长点，认识方程需要先理解等式，例1就是为教学等式而安排的。在前面的数学学习中，学生对等式已经有了较多接触，但还没有明确等式的概念。为了认识方程，需要进一步体会等式的含义，建立等式的概念。

天平两边平衡，表示它两边的物体质量相等；两边不平衡，表示两边物体的质量不相等。把天平两边平衡的现象抽象成等式，可以借助直观情境体会等式的含义。例1给出了一架天平，左边的盘里放一个50克的物体和一个50克的砝码，右边的盘里放一个100克的砝码，看图能写出一个等式“50＋50＝100”。这个等式的含义，一方面能从天平两边平衡的现象直观感受，另一方面能通过计算50＋50体验。教材没有给等式下定义，只要求明白等式里有一个等号，表示左右两边的数或式子相等，这就有了等式的概念。

例2继续认识等式，教材里的三点安排应该注意。第一，有些天平的两边平衡，有些天平的两边不平衡。根据各个天平的状态，有时写出了等式，有时写出的不是等式。在相等与不相等的比较中，进一步体会等式的含义。第二，写出的四个式子里都含有未知数，其中两个是含有未知数的等式，另两个是含有未知数的不等式。如果说，面对不含未知数的等式（或不等式），可以通过计算以及比较数的大小体会等号的两边相等（或不相等）。那么，面对含有未知数的等式（或不等式），只能借助天平的直观，

体会等号两边相等（或不相等）。感受含有未知数的等式的含义，能进一步加深对等式的认识。第三，由扶到放，帮助学生写出表示天平两边物体质量的大小关系的四个式子。第一个式子根据天平不平衡现象，只要在圆圈里填写大于号，就能得到含有未知数的不等式。第二个式子应先写出表示天平左边盘里物体质量的算式，再根据天平两边平衡，在圆圈里写出等号，形成含有未知数的等式。第三个和第四个式子，都要先写出表示天平左边盘里物体质量的算式，再根据天平不平衡或平衡状态，在圆圈里写出小于号或等号，形成含有未知数的不等式或等式，获得等式含义的深一层体会。

2．教学方程的意义，从形式上认识方程。

“含有未知数”和“等式”是方程的两个显著特征，人们经常以这两点来识别方程。教学方程，要让学生知道方程的形式特点。例1与例2陆续写出了一些等式或不等式，写出了没有未知数的等式和含有未知数的等式，这些都是教学方程的感知材料。教学时，可以先按“是不是等式”把两道例题写出的式子分类；再按“有没有未知数”把写出的等式分类。指着分出的含有未知数的等式那一类，告诉学生“像x＋50＝150、2x＝200这样含有未知数的等式是方程”，让他们了解这两个式子的共同特点是“含有未知数”和“等式”。还可以让学生对两道例题里写出的50＋50＝1OO、x＋50＞100和x＋50＜200都不能称为方程的原因做出合理的解释，以获得对方程更加深刻的认识。

例2的最后讨论“等式与方程有什么关系”，加强对方程的体验。“白菜”卡通的提问“例1中的等式（指50＋50＝100）是方程吗？”突出方程应该含有未知数，没有未知数的等式不是方程。教材还利用集合图表达等式与方程的关系，形象地表现出等式与方程这两个概念之间的包含与被包含关系。即方程都是等式，而等式不都是方程。

“练一练”第1题，要求先在题目给出的所有式子里找出等式；再在等式里找出方程。这个过程又一次体现了等式与方程之间的关系。这道题里，有以x为未知数的式子，还有以y为未知数的式子，使学生对“未知数”有正确的认识，防止把未知数局限为x，把方程狭隘地理解为“含有x的等式”。

第2题给出的三个等式里，未知数分别用三角形、圆形和正方形表示，要求把用图形符号表示的未知数改写成用字母表示。首先应肯定，给出的三个用图形表示未知数的等式都是方程。然后体会用字母表示未知数比较方便。

3．用方程表示现实情境里的相等关系，深入体会方程的意义。

在例1和例2里，从等式到方程，学生初步认识了方程。这些认识虽然联系了天平的平衡现象，但还是停留在方程的外部特征上，没有过多关注方程的本质意义。练习一第1题根据线段图列方程。线段图半抽象、半直观地表达数量关系，它排除了有关对象的非数学内容，直观显示数量之间的实质性联系。根据线段图列方程，要集中思考线段图里的相等关系，思维的数学化程度比较高。左边一幅线段图表示“x和22合起来是84”，列出的方程是x＋22＝84。右边一幅线段图表示“3个x是96”，列出的方程是3x＝96。教学这道题，应让学生先说说线段图里的数量关系，再列出方程。还要用线段图里的数量关系解释列出方程的具体含义，感受方程的本质特征——含有未知数的、表达相等关系的等式。

第2题用方程表示现实情境里的数量关系，蕴含了列方程解决实际问题的思想方法，进一步凸显了方程的本质特征。第一个情境是电视机原价x元，优惠112元，现价988元。数量关系是“原价－优惠的元数＝现价”，列出的方程是x－112＝988。当然，根据数量关系“原价－现价＝优惠的元数”列出的x－988＝112也是方程。但不要根据数量关系“现价＋优惠的元数＝原价”列出988－112＝x这样的方程。问题不在于988＋112＝x是不是方程的争论上，而在于像这样求原价仍然是算术的思想方法，不是代数的思想方法。第二个情境里，每杯饮料x毫升，3杯一共480毫升，列出的方程最好是3x＝480，不必要求列出480÷x＝3这个方程，更不必列出480÷3＝x这种方程。因为这个情境最基本的数量关系是“每杯饮料的毫升数×杯数＝饮料的总数”，至于“饮料总数÷每杯的毫升数＝杯数”和“饮料总数÷杯数＝每杯的毫升数”都是基本数量关系根据乘法中各部分关系改写出来的。列方程应该根据最基本的数量关系，一般不应用变化出来的数量关系。类似地，第三个情境里大树高7.3米，小

树高x米，大树比小树高6.4米，一般根据“大树高度－小树高度＝大树比小树高的米数”列出方程7.3－x＝6.4。

（二）利用等式性质解方程

过去，小学数学主要应用四则计算的各部分关系解方程。如，一个加数＝和－另一个加数、被除数＝除数×商等。因为学生对这些关系比较熟悉，用来解方程似乎很顺手。其实，这样的方法，只适宜解简单的方程，不适用解较复杂的方程。而且和中学里的解方程很不一致，以后还要改变解方程的思路与方法。教材从学生的长远发展和中小学教学的衔接出发，侧重引导利用等式的性质解方程。这就需要先教学等式的性质，才能用来解方程。这些内容分两段教学：第一段是等式的两边同时加上或减去相同的数，结果仍然是等式；第二段是等式的两边同时乘或除以相同的、不是0的数，结果仍然是等式。在每一段教学等式性质以后，都编排例题及时应用于解方程，引导学生循序渐进地学会解方程的一般思路与方法。

1．在直观的情境里，按“形象感受→抽象概括”的线索教学等式性质。

教材仍然联系天平的直观情境教学等式的性质。因为在两边平衡的天平上，左右两边物体的质量发生相同的变化，天平两边仍然保持平衡。这种事实如果抽象成数学现象，就是要教学的等式性质。利用天平两边物体的质量有规律地变化，天平保持平衡的事实，能够形象地表示等式的性质，有利于学生理解数学知识。

例3教学等式的一个性质。先呈现一架天平，左边盘里放一个质量50克的方块，右边盘里放一个50克的砝码。根据天平两边平衡，写出等式50＝50。例题问学生“怎样在天平两边增加砝码，使天平仍然保持平衡？”激活他们的已有生活经验和数学知识。具体地说，可以在天平两边各添一个10克的砝码，原来的等式就变成50＋10＝50＋1O，仍然是等式。抽象地想，可以在天平两边各添上一个a

克的砝码，写出等式50＋a＝50＋a。根据上述的直观体验和形象思考，初步得出结论：等式两边同时加上同一个数，其结果仍然是等式。

例题接着呈现两幅连续的天平图，天平左右两边都有一个x克的砝码和一个a克的砝码，根据天平两边平衡，应该在x＋a○x＋a的圆圈里写出“＝”，形成一个等式；另一幅图在前面的天平两边，各去掉一个a克的砝码，天平仍然保持平衡，这就应该在x＋a－（ ）○x＋a－（ ）的括号了填去掉的a，在圆圈里写“＝”。这一组天平图表明等式两边同时减去同一个数，结果仍然是等式。

综合上面发生的两种现象，可以得出“等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式”。教材指出这是等式的性质，学生由此意义接受了等式的一条性质。

“试一试”给出方程x－25＝60，要求根据等号左边的变化“x－25＋25＝60○□”写出右边的变化“60○口”，保持左右两边相等。给出方程x＋18＝48，根据等号左边的变化“x＋18－18”写出右边的变化“48○口”，使结果仍然是等式。这些练习，初步应用了等式的性质，加强对等式性质的体验，还渗透了解方程的思想方法。

例5继续教学等式的性质，利用前面学习等式性质的数学活动经验，认识等式的另一条性质。教材仍然根据天平图，在它下面式子的方框里填数，圆圈里填等号，感知等式的变与不变。第一组图，左边的天平表示x＝20，右边天平的两边分别添上一个x克的方块和一个20克的砝码。看图填空，体会○左边已经写出的2x表示原来等式的左边“×2”，○右边应该是20×2，即方框里填“2”，表示右边和左边发生相同的变化。在○里填“＝”，表示“结果仍然是等式”。这组天平图直观显示了“等式两边乘同一个数，结果仍然是等式”。类似地，第二组图左边的天平，一端的盘里有3个质量都是x克的方块，另一端盘里3个20克的砝码，表示天平两边平衡的等式是3x＝60。右边的天平，一端隐去2个方块，另一端隐去2个砝码。○左边写出的“÷3”，表示原来等式的左边“除以3”，学生就会在○的右边方框里也填“3”，表示右边的式子也“÷3”，而且画等号表示左右两个式子相等。这组天平图直观显示了“等

式两边除以同一个数，结果仍然是等式”。综合两组天平图里的数学内容，初步得出等式的另一条性质。不过，等式的两边同时乘0，等式会变成0＝0，而人们通常不让等式的两边都乘0；由于除法的除数不能是0，所以等式的两边不能同时除以0。学生一般不会想到这些，教材提醒他们“等式两边可以同时除以0吗？”在初步得出等式性质里明确（等式两边）同时乘或除以同一个“不等于0的数”。使等式性质的表述更加严密。

“试一试”给出方程x÷6＝18，要求根据等号左边的变化“x÷6×6”写出右边的变化“18○口”，保持左右两边相等。给出方程0.7x＝3.5，根据等号左边的变化“0.7x÷0.7”写出右边的变化“3.5○口”，使结果仍然是等式。一边应用等式的性质，一边继续体验等式性质。

2．应用等式性质解方程。

例4和例6都是教学解方程。教材把解方程置于现实的情境之中，体现它是解决实际问题的方法，有现实意义。

例4根据天平图列出方程x＋10＝50，很容易看出x是40。学生虽然能说出未知数的值，但却是应用已有的算术方法，并不清楚解方程的方法。教材示范了方程x－10＝50的两边同时减去10，得出x＝40的过程。这是应用等式性质的解方程，关键在于通过方程两边同时减去10，使等号左边只剩下x。可见，小学数学解方程的思想方法是应用等式性质，使方程含有未知数的一边只剩下x，从而得出方程的解的过程。如果利用加法中各部分的关系“和减一个加数等于另一个加数”，也能求出这个方程x的值。但不是教材教学的解方程。

用等式性质解方程，关键是方程等号的两边都加（减）几、乘（除以）几，教材对此有精心的设计。例4第一次教学解方程，在天平图上得到求x值的启示：只要在天平的左右两边各去掉10克的砝码。这种想法表现在方程上，是应用等式性质与方程的特点，在等号的两边都减去10，使等号的左边只剩

下x。这样，未知数的值只要通过等号右边的计算就能得到。例6是第二次教学解方程，编写上有三个特点：第一，在现实的情境里先列出方程，再解方程。教材用图画表示一块长方形试验田的面积是960平方米，这块地的长40米，宽x米。根据长方形的面积公式，很容易列出方程40x＝960。这就体现了方程能解决实际问题，蕴含了列方程解决实际问题的思想。第二，学生用自己想到的方法求长方形地的宽是多少米。这是因为他们对已知长方形的面积与长，求宽的问题比较熟悉，一般都会选择“面积÷长＝宽”来解决这个问题。让他们先用自己的方法解题，有利于集中心向继续学习用等式性质解方程。第三，“扶”着学生经历解方程的过程。写出了解方程的关键一步40x÷40＝960÷40，让他们解释“方程两边为什么都要除以40”，以体会解方程的方法和要领。

另外，例4和例6的编写还注意了三点：一是关于解方程的书写格式，强调等式变换时，各个等式的等号要上下对齐，教学应该严格遵循。二是求得x的值以后，通过“是不是正确答案”的质疑，引导学生根据“左右两边是不是相等”进行检验。教材里解方程的数据都不大，运算不复杂，经常可以用口算检验方程的解。三是回顾求x值的过程，指出什么是方程的解、什么是解方程，这是以后经常要使用的概念，也是学生可能混淆的概念。

3．逐渐掌握解方程的方向并形成相应的技能。

学生在两道例题里只是初步学会解方程，如何帮助他们掌握解方程的方法，形成相应的技能，是教材认真思考的问题。用好教材里的两段安排，能培养这方面的能力。一段安排是两道例题后面的“练一练”。为了使方程x－30＝80的左边只剩下未知数x，左边需要加30，右边应该同时加30。即x－30＋30＝80＋30。为了使方程x÷0.2＝0.8的左边只剩下未知数x，左边需要乘0.2，右边应该同时乘0.2。即x÷0.2×0.2＝0.8×0.2。这是刚教学解方程时的练习设计，只有抓住解方程的关键步骤，呈现应用等式性质、求得未知数值的具体过程，才能体会解方程的策略和思路。另一个安排是练习一第8题起，在初步学会解方程的基础上，把关键步骤想在头脑里，直接写出求未知数值的那一步。帮助学生适当简化解方程的书写过程，压缩思路。如，解方程x－20＝30，在方程的两边都加上20，一边想x－20＋

20＝30＋20，同时写出x＝30＋20；解方程0.6x＝4.2，把0.6x÷0.6＝4.2÷0.6想在头脑里，直接写出x＝4.2÷0.6。这样书写，能使解方程的思考更加流畅，也与中学里解方程的“移项”等方法相接轨，有利于提升解方程的能力。

（三）精心设计练习题，加强对简单方程的理解

练习一配合例1～例6的教学，编排了相当丰富的练习内容，帮助学生逐步丰富对简单方程的认识，掌握有关的知识，形成初步的技能。

前面曾经讲到，练习一里的第1、2两题通过看图列方程，体验现实情境里的比较简单的相等关系，并依据相等关系列出方程，理解方程的意义。第4、6、8三题通过解方程的练习，逐渐掌握解方程的思路与方法，形成初步的解方程技能。除了这些，教材里还有以下的内容安排。

1．在直观情境中加强对等式性质的体验。

例3和例5借助天平平衡现象，教学了两条等式性质。配合例4的“练一练”第2题仍然利用天平图给出：两个梨的质量和1个梨加3个桃的质量相等，问1个梨和几个桃同样重；1个苹果加3个橘子的质量和5个橘子的质量相等，问几个橘子和1个苹果同样重。在直观情境里很容易想到，天平两边各去掉1个梨，就能得出1个梨和3个桃同样重；天平两边各去掉3个橘子，就能得出1个苹果和2个橘子同样重。这就联系现实情境体会了“等式两边同时减去同一个数，结果仍然是等式”。

练习一第13题，吴伟兵买1本练习本和3支铅笔，张欣买8支同样的铅笔，两人用去的钱同样多。如果两人各少买3支铅笔，就能得到1本练习本的价钱等于5支铅笔的价钱。这里也应用了等式性质“等式两边同时减去同一个数，结果仍然是等式”。

教材多次安排实例，让学生反复体验等式性质，充分感受等式性质的客观性和合理性。学生对等式性质的理解会逐步深入，应用等式性质解方程就越来越自如。

2．通过检验，体验方程的解。

理解“方程的解”，首先要明白什么是方程的解，其次要会检验方程的解。前者是概念，后者是方法，应该在理解概念的基础上运用方法。

教材指出“使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解”。由此可知，检验未知数的值是不是方程的解，应该把它代入方程，看它能不能使方程左右两边相等。例4和例6就是这样检验的。

练习一第3题，在一个方程的后面给出两个未知数的值，如x＋22＝78（x＝100，x＝56），要求确认哪一个未知数的值是方程的解。只要把两个未知数的值分别代人方程，看看哪一个能使方程左右两边相等。这个过程有助于体验方程的解的含义，掌握检验方程解的方法。第9题把给定的未知数的值代入方程，看看方程左边是等于右边还是小于或大于右边。如，当x＝88时，x－14＞74；当x＝4时，17x＝68；当x＝O.1时，x÷5＜0.2。未知数的值如果能使方程左右两边相等，它就是方程的解；如果不能使方程左右两边相等，就不是方程的解。这道题也在加强对方程解的认识。

3．看图列方程并解方程，为后面列方程解决实际问题作铺垫。

学习方程，应该应用它解决实际问题。找到实际问题里的相等关系，列出方程是十分重要的环节，也是学生感到困难的环节。教材意识到学生的年龄特点与学习困难，在练习一里提前作些铺垫性安排。如，第5、7、10、12等题，让学生找到图画情境里的相等关系列出方程，并解答。又如第11题，要求找到表格里的相等关系列方程和解方程。这些练习有两个特点：一是题目已经给定了要求的数量为x，列方程不需要再设定未知数和写出设句。二是寻找相等关系的难度不大，通常把平面图形的面积公式或

周长公式、单价×数量＝总价、1倍数×倍数＝几倍数等作为列方程的依据。获得用这些相等关系列方程的思想方法，对以后的教学很有作用。