2013高三数学总复习同步练习：6-3等比数列

1.(文)(2011·北京朝阳一模)已知{an}是由正数组成的等比数列，Sn

表示{an}的前n项的和，若a1＝3，a2a4＝144，则S5的值是( )

69

A. B．69 C．93 D．1 2[答案] C

[解析] 由a2a4＝a23＝144得a3＝12(a3＝－12舍去)， 又a1＝3，各项均为正数，则q＝2. a11－q53×1－32所以S5＝＝＝93.

1－q1－2

(理)(2012·哈尔滨质检)已知等比数列{an}中，a5、a95为方程x2＋10x＋16＝0的两根，则a20·a50·a80的值为( )

A．256 B．±256 C． D．± [答案] D

[解析] 由韦达定理可得a5a95＝16，由等比中项可得a5a95＝(a50)2

＝16，故a50＝±4，则a20a50a80＝(a50)3＝(±4)3＝±.

2．(2012·沈阳质检)已知等比数列{an}的前三项依次为a－1、a＋1、a＋4，则该数列的通项an＝( )

2

A．4×()n－1

33n

C．4×()

2[答案] D

[解析] 据前三项可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，解得a＝5，故等a23

比数列的首项为4，q＝＝，

a12

2

B．4×()n

33n－1

D．4×()

2

3n－1

故an＝4×().

2

3．(2012·北京文，6)已知数列{an}为等比数列，下面结论中正确的是( )

A．a1＋a3≥2a2 C．若a1＝a3，则a1＝a2 [答案] B

[解析] 本题考查了等比数列、均值不等式等知识，可用排除法求解．

当a1<0，q<0时，a1<0，a2>0，a3<0，所以A错误；而当q＝－1时，C错误；当q<0时，由a3>a1得a3q22[点评] B选项可证明如下：设{an}的公差为q，则a21＋a3＝a1(122

＋q4)≥a2·2q＝2a12.

22

B．a2＋a≥2a132

D．若a3＞a1，则a4＞a2

4．(2011·四川文，9)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1

＝3Sn(n≥1)，则a6＝( )

A．3×44 C．45 [答案] A

[解析] ∵an＋1＝3Sn，① ∴an＝3Sn－1(n≥2)，②

①－②得an＋1－an＝3Sn－3Sn－1＝3an， 即an＋1＝4an， an＋1

∴＝4(n≥2)． an

当n＝2时，a2＝3a1＝3，

B．3×44＋1 D．44＋1

a2

∴＝3≠4， a1

∴an为从第2项起的等比数列，且公比q＝4， ∴a6＝a2·q4＝3·44.

5．(文)已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a2·a3

＝2a5

1，且a4与2a7的等差中项为4

，则S5＝( )

A．35 B．33 C．31 D．29

[答案] C

[解析] 运用等比数列的性质 a1a4＝a2a3＝2a1⇒a4＝2，① a2×5

4＋2a7＝4

，②

a1＝16，

由①②得q＝1

2.

16[1－1

5]

∴S＝2

51－

1＝31.

2

(理)已知数列{an}的前n项的和Sn满足Sn＝2n－1(n∈N*)，则数列{a2n}的前n项的和为( )

A．4n

－1 B.1n

3(4－1) C.43(4n

－1) D．(2n－1)2

[答案] B

[解析] n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1，

又a1＝S1＝21－1＝1也满足，∴an＝2n－1(n∈N*)．

n－12n－1

设bn＝a2，则b＝(2)＝4， nn

∴数列{bn}是首项b1＝1，公比为4的等比数列，故{bn}的前n1×4n－11n

项和Tn＝＝(4－1)．

34－1

6．(2012·深圳二调)已知等比数列{an}满足an>0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝( )

A．n(2n－1) C．n2 [答案] C

[解析] 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，∵a5·a2n－5＝

n2

a1q4·a1q2n－6＝22n，即a2q2n－2＝22n⇒(a1·qn－1)2＝22n⇒a2∵an>0，1·n＝(2)，

B．(n＋1)2 D．(n－1)2

∴an＝2n，∴a2n－1＝22n－1，∴log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log22＋log22＋…＋log22C.

7．(文)(2012·泉州五中模拟)在等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝2.若an＝，则n的值为________．

[答案] 7

[解析] an＝a1qn－1＝2n－1＝，∴n＝7.

(理)等比数列{an}的公比q>0.已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝______.

15

[答案] 2

[解析] ∵an＋2＋an＋1＝6an，∴a3＋a2＝6a1.

3

2n－1

1＋2n－1

＝1＋3＋…＋(2n－1)＝·n＝n2，故选

2

6a2

∵a2＝1，a2·q＋a2＝，

q6

∴q＋1＝，∴q2＋q－6＝0，

q

1

∵q>0，∴q＝2，∴a1＝，a3＝2，a4＝4，

2115∴S4＝＋1＋2＋4＝. 22

8．在公差不为零的等差数列{an}中，a1、a3、a7依次成等比数列，前7项和为35，则数列{an}的通项an＝________.

[答案] n＋1

[解析] 设等差数列首项a1，公差d，则 ∵a1、a3、a7成等比，∴a23＝a1a7， ∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，∴a1＝2d， 7×6又S7＝7a1＋d＝35d＝35，

2∴d＝1，∴a1＝2，∴an＝n＋1.

9．(2012·江苏，6)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．

3[答案] 5

[解析] 本题考查等比数列及古典概型的知识．

等比数列的通项公式为an＝(－3)n－1.所以此数列中偶数项都为负值，奇数项全为正值．

若an≥8，则n为奇数且(－3)n－1＝3n－1≥8，则n－1≥2，∴n≥3，∴n＝3,5,7,9，共四项满足要求．

43∴p＝1－＝.

105

[点评] 直接考虑情况较多时，可以从其对立面来考虑问题． 10．(2012·河南豫北六校精英联考)已知等比数列{an}是递增数1列，a2a5＝32，a3＋a4＝12.数列{bn}满足bn＝. an

(1)求数列{bn}的通项公式； (2)求数列{nbn}的前n项和Sn.

[解析] (1)因为数列{an}为等比数列且a2a5＝32，所以a3a4＝32，

a3＝4，a3＝8，又a3＋a4＝12，解得：或(由{an}是递增数列

a4＝8，a4＝4.

1

知不合题意，舍去)

所以q＝2，a1＝1，所以an＝2(2)由(1)知，∴nbn＝

n2n－1.

n－1

，即bn＝

2n－1

.

23n

设Sn＝1＋＋2＋…＋n－1，①

2221123n

则Sn＝＋2＋3＋…＋n，② 22222

11111n由①－②得，Sn＝1＋＋2＋3＋…＋n－1－n 2222221

1－n

n＋22n2n

＝－＝2－n－n＝2－n，

12n2221－2n＋2

所以，Sn＝4－n－1.

2

能力拓展提升

11.(文)(2011·山东济南模拟)已知各项不为0的等差数列{an}，满足2a3－a27＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8等于

( )

A．2 C．8 [答案] D

[解析] 由题意可知，a27＝2(a3＋a11)＝4a7.

2∵a7≠0，∴a7＝4，∴b6b8＝b27＝a7＝16.

B．4 D．16

(理)(2011·辽宁六校模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若8a2

＋a5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( )

a5A. a3an＋1C. an[答案] D

[解析] 数列{an}为等比数列，由8a2＋a5＝0，知8a2＋a2q3＝0，

5

a52S51－q11an＋1

因为a2≠0，所以q＝－2，＝q＝4；＝＝；＝q＝－2；

a3S31－q33an

S5

B. S3Sn＋1D. Sn

Sn＋11－qn＋1

＝，其值与n有关，故选D. Sn1－qn12．(文)已知等比数列{an}的公比q>0，其前n项的和为Sn，则S4a5与S5a4的大小关系是( )

A．S4a522

[解析] (1)当q＝1时，S4a5－S5a4＝4a21－5a1＝－a1<0.

B．S4a5>S5a4 D．不确定

(2)当q≠1且q>0时，

23

a2a11q

S4a5－S5a4＝(q4－q8－q3＋q8)＝(q－1)

1－q1－q

3

＝－a21q<0.

[点评] 作差，依据前n项和与通项公式化简后判断符号是解决这类问题的基本方法，应注意对公比分类讨论，请再做下题：

S3S5已知等比数列{an}中，a1>0，q>0，前n项和为Sn，试比较与a3a5

的大小．

S3S5S3S5

[解析] 当q＝1时，＝3，＝5，所以<；

a3a5a3a5当q>0且q≠1时，

35

S3S5a11－qa11－q－＝－ a3a5a1q21－qa1q41－q

q21－q3－1－q5－q－1＝＝<0， 44qq1－qS3S5所以有<.

a3a5S3S5综上可知有<. a3a5

(理)(2012·云南省二检)已知等比数列{an}的公比q＝2，它的前9511

项的平均值等于，若从中去掉一项am，剩下的的平均值等于

31437

，则m等于( ) 8

A．5 C．7 [答案] B

a11－29511

[解析] 数列{an}前9项的和为S9＝×9＝1533，即＝31－21437

1533，解得a1＝3.又知am＝S9－×8＝96，而am＝3·2m－1，即3·2m

8

B．6 D．8

－1

＝96，解得m＝6.

13．已知a、b、c成等比数列，如果a、x、b和b、y、c都成等

ac

差数列，则＋＝________.

xy

[答案] 2

a＋bb＋cb

[解析] 由条件知x＝，y＝，c＝bq，a＝，

22q2b

ac2a2cq2bq∴＋＝＋＝＋ xya＋bb＋cbb＋bq

＋bq＝

22q＋＝2. 1＋q1＋q

14．(2012·北京东城练习)已知等差数列{an}首项为a，公差为b，等比数列{bn}首项为b，公比为a，其中a、b都是大于1的正整数，且a1[答案] 2 5n－3

aaba

若a＝2，显然符合条件；若a>2，则aa－22当a＝2时，an＝2＋(n－1)b，bn＝b×2n－1，若存在m∈N*，使得bn＝am＋3成立，则b×2n－1＝2＋(m－1)b＋3，即得b×2n－1＝bm＋5－b，当b＝5时，方程2n－1＝m总有解，此时an＝5n－3.

15．(2012·北京东城练习)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn

＝4an－3(n∈N*)．

(1)证明：数列{an}是等比数列；

(2)若数列{bn}满足bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，且b1＝2，求数列{bn}的通项公式．

[解析] (1)证明：因为Sn＝4an－3，所以n＝1时，a1＝4a1－3，解得a1＝1.

因为Sn＝4an－3，则Sn－1＝4an－1－3(n≥2)， 所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4an－4an－1， 4

整理得an＝an－1.

3又a1＝1≠0，

4

所以{an}是首项为1，公比为的等比数列．

34n－1

(2)因为an＝()，bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，

34

所以bn＋1－bn＝()n－1.

3

可得bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1) 4n－11－

3

＝2＋ 41－

34n－1

＝3·()－1(n≥2)，

3

4n－1

当n＝1时也符合上式，∴bn＝3·()－1.

3

16．(文)(2012·吉林省实验中学模拟)在等差数列{an}中，a1＝3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1＝1，公比为q，S2

且b2＋S2＝12，q＝. b2

(1)求an与bn；

1

(2)设数列{cn}满足cn＝，求{cn}的前n项和Tn.

Sn[解析] (1)设数列{an}的公差为d，

b2＋S2＝12，∵S2

q＝b2.

∴b2＋b2q＝12，∴b1q＋b1q2＝12，

∵b1＝1，∴q＋q2＝12，

∵bn>0，∴q>0，∴q＝3，∴b2＝3，S2＝9， 又a1＝3，∴a2＝6，公差d＝3， ∴an＝3n，bn＝3n－1. n3＋3n3nn＋1(2)Sn＝＝，

2212211

∴Cn＝＝＝(－)，

Sn3nn＋13nn＋1

2111112

∴Tn＝C1＋C2＋…＋Cn＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝

3223nn＋1312n

(1－)＝. n＋13n＋1

(理)(2012·浙江绍兴质量调研)已知数列{an}中，a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，且对任意n∈N*，有an＋1＝kSn＋1(k为常数)．

(1)当k＝2时，求a2、a3的值；

(2)试判断数列{an}是否为等比数列？请说明理由． [解析] (1)当k＝2时，an＋1＝2Sn＋1，

令n＝1得a2＝2S1＋1，又a1＝S1＝1，得a2＝3； 令n＝2得a3＝2S2＋1＝2(a1＋a2)＋1＝9，∴a3＝9. ∴a2＝3，a3＝9.

(2)由an＋1＝kSn＋1，得an＝kSn－1＋1， 两式相减，得an＋1－an＝kan(n≥2)，

即an＋1＝(k＋1)an(n≥2)，

a2k＋1且＝＝k＋1，故an＋1＝(k＋1)an. a11

1，n＝1，故当k＝－1时，an＝

0.n≥2.

此时，{an}不是等比数列；

an＋1

当k≠－1时，＝k＋1≠0，此时，{an}是首项为1，公比为k

an

＋1的等比数列．

综上，当k＝－1时，{an}不是等比数列； 当k≠－1时，{an}是等比数列．

1

1．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，令Tn＝a1a2＋a2a3＋…

4＋anan＋1，则Tn等于( )

A．16(1－4－n) 32

C.(1－4－n) 3[答案] C [解析]

anan＋12

＝q，即数列{anan＋1}是以q2为公比的等比数列．由an－1an

B．16(1－2－n) 32

D.(1－2－n) 3

11

a2＝2，a5＝得q＝，∴a1＝4，a1a2＝8，

42

1n

8[1－]

4321

所以Tn＝＝[1－()n]．

1341－4

5

2．两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是6，且a>b，

2

x2y2

则双曲线2－2＝1的离心率e等于( )

ab

3A. 2C.13 [答案] D

[解析] ∵a＋b＝5，a·b＝6，a>b>0， a2＋b2c13∴a＝3，b＝2.∴e＝＝＝.

aa3

3．已知公差不为0的等差数列{an}满足a1、a3、a4成等比数列，S3－S2

Sn为{an}的前n项和，则的值为( )

S5－S3

A．2 1C. 5[答案] A

22

[解析] 由条件a23＝a1a4，∴(a1＋2d)＝a1(a1＋3d)，∴a1d＋4d

15B. 2D.13 3

B．3 D．不存在

＝0，

S3－S2－2da3

∵d≠0，∴a1＝－4d，∴＝＝＝2.

S5－S3a4＋a5－d

1

4．已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q≠1，设P＝(log0.5a5

2a3＋a9

＋log0.5a7)，Q＝log0.5，P与Q的大小关系是( )

2

A．P≥Q C．P≤Q [答案] D

B．PQ

[解析] P＝log0.5a5a7＝log0.5a3＋a9

a3a9，Q＝log0.5，

2

a3＋a9

∵q≠1，∴a3≠a9，∴>a3a9，

2又∵y＝log0.5x在(0，＋∞)上递减， a3＋a9

∴log0.52

1n

5．已知an＝，把数列{an}的各项排列成如下的三角形状：

3

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 ……………………

记A(m，n)表示第m行的第n个数，则A(11,12)＝( )

167A. 31

C.111 3

168B. 31D.112 3

[答案] D

[解析] 由图形知，各行数字的个数构成首项为1，公差为2的10×9

等差数列，∴前10行数字个数的和为10×1＋×2＝100，故

2A(11,12)为{an}的第112项，

1112

∴A(11,12)＝a112＝.

3

6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是( )

A．4 C．6 [答案] D

[解析] 由程序框图可知，S＝1＋2＋22＋…＋2k＝2k＋1－1，由S<100得，2k＋1<101，

∵26＝,27＝128，∴k＋1＝7，∴k＝6，结合语句k＝k＋1在S＝S＋2k后面知，当k＝6时，S＝127，k的值再增加1后输出k值为7.

[点评] 这是最容易出错的地方，解这类题时，既要考虑等比数列求和，在k取何值时，恰满足S≥100，又要顾及S与k的赋值语句的先后顺序．

7．(2011·山东临沂一模)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且1111a1＋a2＝2(＋)，a3＋a4＝32(＋)．

a1a2a3a4

(1)求{an}的通项公式；

(2)设bn＝a2n＋log2an，求数列{bn}的前n项和Tn. [解析] (1)设等比数列{an}的公比为q，则an＝a1qn－1， 11

由已知得a1＋a1q＝2(＋)，

a1a1q

B．5 D．7

11

a1q＋a1q＝32(2＋3)．

a1qa1q

2

3

22a1qq＋1＝2q＋1，a1q＝2，化简得25即25

a1qq＋1＝32q＋1，a1q＝32.

a1＝1，又∵a1>0，q>0，解得∴an＝2n－1.

q＝2.

n－1

(2)由(1)知bn＝a2＋loga＝4＋(n－1)， n2n

∴Tn＝(1＋4＋42＋…＋4n－1)＋(1＋2＋3＋…＋n－1) 4n－1nn－14n－1nn－1＝＋＝＋.

2324－1

8．已知数列{an}的前n项和为Sn，点(an＋2，Sn＋1)在直线y＝4x－5上，其中n∈N*.

令bn＝an＋1－2an，且a1＝1. (1)求数列{bn}的通项公式；

(2)若f(x)＝b1x＋b2x2＋b3x3＋…＋bnxn，求f ′(1)的表达式． [解析] (1)∵Sn＋1＝4(an＋2)－5，∴Sn＋1＝4an＋3. ∴Sn＝4an－1＋3(n≥2)，∴an＋1＝4an－4an－1(n≥2) ∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2)． bnan＋1－2an

∴＝＝2(n≥2)． bn－1an－2an－1

∴数列{bn}为等比数列，其公比为q＝2，首项b1＝a2－2a1， 而a1＋a2＝4a1＋3，且a1＝1，∴a2＝6. ∴b1＝6－2＝4，∴bn＝4×2n－1＝2n＋1. (2)∵f(x)＝b1x＋b2x2＋b3x3＋…＋bnxn， ∴f ′(1)＝b1＋2b2＋3b3＋…＋nbn. ∴f ′(1)＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1① ∴2f ′(1)＝23＋2·24＋3·25＋…＋n·2n＋2②

①－②得－f ′(1)＝22＋23＋24＋…＋2n＋1－n·2n＋2 41－2n＝－n·2n＋2＝－4(1－2n)－n·2n＋2，

1－2∴f ′(1)＝4＋(n－1)·2n＋2.

9．已知{an}是首项为a1、公比q(q≠1)为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且有5S2＝4S4，设bn＝q＋Sn.

(1)求q的值；

(2)数列{bn}能否是等比数列？若是，求出a1的值；若不是，请说明理由．

[解析] (1)由题意知5S2＝4S4， Sa11－q2a11－q42＝1－q，S4＝1－q，

∴5(1－q2)＝4(1－q4)，又q>0，∴q＝12.

(2)∵Sa11－qn1n＝1－q＝2a1－a12n－1

，

于是b11n＝q＋Sn＝2＋2a1－a12n－1

，

若{b1

n}是等比数列，则2＋2a1＝0，

∴a111＝－n＋1

4.此时，bn＝2

.

1n∵b

＋2n＋1b＝2＝1，∴数列{bnn}是等比数列． 1n＋12

2

所以存在实数a1

1＝－4，使数列{bn}为等比数列．