昆明市官渡区九年级上期末数学试卷含答案解析

2022-2023云南省昆明市官渡区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：每小题3分，共18分．请将答案写在答题卡相应题号后的横线上．

1．在平面直角坐标系中，若点A（﹣3，4）关于原点对称点是B，则点B的坐标为 ．

2．方程x2﹣4=0的解是 ．

3．如图，△ABC中，∠BAC=30°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转85°，对应得到△ADE，则∠DAE的度数为 度．

4．如图，在⊙O中，弦AB=6，圆心O到AB的距离OC=2，则⊙O的半径长为 ．

5．袋子中装有除颜色外完全相同的n个黄色乒乓球和3个白色乒乓球，从中随机抽取1个，若选中白色乒乓球的概率是，则n的值是 ．

6．用一个半径为6，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则圆锥的高为 ．

二、选择题：每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．请将正确选项的代号填在相应的表格内．

7．下列交通标志中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A．

B．

C．

D．

8．下列事件中，属于必然事件的是（ ） A．抛出的篮球会下落

1 / 22

B．任意买一张电影票，座位号是2的倍数 C．打开电视，正在播放动画片 D．你最喜欢的篮球队将夺得CBA冠

9．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根

D．无法确定

22 10．二次函数y=﹣（x+3）+图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ）

A．向下，直线x=3，（3，2） B．向下，直线x=﹣3，（3，2） C．向上，直线x=﹣3，（3，2） D．向下，直线x=﹣3，（﹣3，2） 11．如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=26°，则∠C的大小为（ ）

A．26° B．52° C．60° D．°

12．随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查发现，截至底某市汽车拥有量为16.9万辆，已知底该市汽车拥有量为10万辆，设底至底该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意可列方程得（ ） A．10（1﹣x）2=16.9 （1+x）2=10

13．点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ） A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1=y2

C．y1＞y2＞y3 D．y1=y2＞y3

，点P在以斜边AB为直径的半圆上，

B．10（1+2x）=16.9

C．10（1+x）2=16.9 D．16.9

14．如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2

M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（ ）

2 / 22

A．

π B．π C．2 D．2

三、解答题：共9小题，共70分，请考生在答题卡相应的题号后作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明． 15．解下列方程： （1）x2﹣2x﹣5=0；

（2）（x﹣3）2+2（x﹣3）=0．

16．如图，AB与⊙O相切于点B，AO及AO的延长线分别交⊙O于D、C两点，若∠A=40°，求∠C的度数．

17．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）．

（1）将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A′BC′，请画出△A′BC′． （2）求BA边旋转到B′A′位置时所扫过图形的面积．

18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD （1）求证：BD平分∠ABC；

（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．

3 / 22

19．某商品现在的售价为每件60元，每月可卖出300件，经市场调查发现：每件商品涨价1元，每月少卖出10件，已知商品的进价为每件40元．

（1）设每件这种商品涨价x元，商场销售这种商品每月盈利y元，求出y与x之间的函数关系式；

（2）这种商品每件涨多少元时才能使每月利润最大，最大利润为多少？ 20．从﹣2，﹣，0，4中任取一个数记为m，再从余下的三个数中，任取一个数记为n，若k=m•n．

（1）请用列表或画树状图的方法表示取出数字的所有结果； （2）求正比例函数y=kx的图象经过第一、三象限的概率．

21．某市要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？

22．如图，以AB为直径的⊙O经过AC的中点D，DE⊥BC于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）当AB=4

，∠C=30°时，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）．

23．如图，抛物线y=ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，2）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

4 / 22

（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

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2022-2023云南省昆明市官渡区九年级（上）期末数学试

卷

参与试题解析

一、选择题：每小题3分，共18分．请将答案写在答题卡相应题号后的横线上．

1．在平面直角坐标系中，若点A（﹣3，4）关于原点对称点是B，则点B的坐标为 （3，﹣4） ．

【考点】关于原点对称的点的坐标．

【分析】直接利用关于原点对称点的性质横纵坐标改变符号进而得出答案．

【解答】解：点A（﹣3，4）关于原点对称点是B，则点B的坐标为：（3，﹣4）．

故答案为：（3，﹣4）．

2．方程x2﹣4=0的解是 ±2 ． 【考点】解一元二次方程-直接开平方法．

【分析】首先把4移项，再利用直接开平方法解方程即可． 【解答】解：x2﹣4=0， 移项得：x2=4，

两边直接开平方得：x=±2， 故答案为：±2．

3．如图，△ABC中，∠BAC=30°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转85°，对应得到△ADE，则∠DAE的度数为 30 度．

【考点】旋转的性质．

【分析】直接利用旋转的性质求解．

6 / 22

【解答】解：∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转85°，对应得到△ADE， ∴∠DAE=∠BAC=30°． 故答案为30°．

4．如图，在⊙O中，弦AB=6，圆心O到AB的距离OC=2，则⊙O的半径长为

．

【考点】垂径定理．

【分析】根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OA即可． 【解答】解：∵弦AB=6，圆心O到AB的距离OC为2， ∴AC=BC=3，∠ACO=90°， 由勾股定理得：OA=故答案为：

5．袋子中装有除颜色外完全相同的n个黄色乒乓球和3个白色乒乓球，从中随机抽取1个，若选中白色乒乓球的概率是，则n的值是 6 ． 【考点】概率公式．

【分析】根据概率公式列出算式，再进行计算即可求出n的值． 【解答】解：根据题意得：

=， 解得：n=6； 故答案为：6．

6．用一个半径为6，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则圆锥的高为

．

【考点】弧长的计算；勾股定理．

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==，

．

【分析】本题已知扇形的圆心角及半径就是已知圆锥的底面周长，能求出底面半

径，圆锥的高，母线长即扇形半径，构成直角三角形，可以利用勾股定理解决．

【解答】解：扇形的弧长即圆锥的底面周长是

，∴R=2，

∴圆锥的高是

．

，若底面半径是R，则

二、选择题：每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．请将正确选项的代号填在相应的表格内．

7．下列交通标志中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A．

B．

C．

D．

【考点】中心对称图形；轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意． 故选A．

8．下列事件中，属于必然事件的是（ ） A．抛出的篮球会下落

B．任意买一张电影票，座位号是2的倍数 C．打开电视，正在播放动画片 D．你最喜欢的篮球队将夺得CBA冠 【考点】随机事件．

【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【解答】解：A、抛出的篮球会下落是必然事件，故A正确； B、任意买一张电影票，座位号是2的倍数是随机事件，故B错误；

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C、打开电视，正在播放动画片是随机事件，故C错误； D、你最喜欢的篮球队将夺得CBA冠是随机事件，故C错误； 故选：A．

9．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根

D．无法确定

【考点】根的判别式．

【分析】将方程的系数代入根的判别式中，得出△=0，由此即可得知该方程有两个相等的实数根．

【解答】解：在方程x2﹣4x+4=0中， △=（﹣4）2﹣4×1×4=0， ∴该方程有两个相等的实数根． 故选B．

22 10．二次函数y=﹣（x+3）+图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ）

A．向下，直线x=3，（3，2） B．向下，直线x=﹣3，（3，2） C．向上，直线x=﹣3，（3，2） D．向下，直线x=﹣3，（﹣3，2） 【考点】二次函数的性质．

【分析】由二次函数解析式可确定其开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案．

【解答】解： ∵y=﹣（x+3）2+2，

∴抛物线开口向下，对称轴为x=﹣3，顶点坐标为（﹣3，2）， 故选D．

11．如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=26°，则∠C的大小为（ ）

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A．26° B．52° C．60° D．° 【考点】圆周角定理．

【分析】连接OB，根据等腰△OAB的两个底角∠OAB=∠OBA，三角形的内角和定理求得∠AOB=128°，然后由圆周角定理求得∠C的度数． 【解答】解：连接OB， 在△OAB中， ∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA， 又∵∠OAB=26°， ∴∠OBA=26°；

∴∠AOB=180°﹣2×26°=128°； ∴∠C=∠AOB=°． 故选D．

12．随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查发现，截至底某市汽车拥有量为16.9万辆，已知底该市汽车拥有量为10万辆，设底至底该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意可列方程得（ ） A．10（1﹣x）2=16.9 （1+x）2=10

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．

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B．10（1+2x）=16.9 C．10（1+x）2=16.9 D．16.9

【分析】根据年平均增长率相等，可以得到的汽车拥有量乘（1+x）2，即可得到的汽车拥有量，从而可以写出相应的方程，从而可以解答本题． 【解答】解：由题意可得， 10（1+x）2=16.9， 故选C．

13．点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ） A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1=y2

C．y1＞y2＞y3 D．y1=y2＞y3

【考点】二次函数图象上点的坐标特征．

【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x=1，图象开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，可判断y1=y2＞y3． 【解答】解：∵y=﹣x2+2x+c， ∴对称轴为x=1，

P2（3，y2），P3（5，y3）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小， ∵3＜5， ∴y2＞y3，

根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称， 故y1=y2＞y3， 故选D．

14．如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2

，点P在以斜边AB为直径的半圆上，

M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（ ）

A．π B．π C．2 D．2

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【考点】轨迹；等腰直角三角形．

【分析】取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，利用等腰直角三角形的性质得到AB=

BC=4，则OC=AB=2，

OP=AB=2，再根据等腰三角形的性质得OM⊥PC，则∠CMO=90°，于是根据圆周角定理得到点M在以OC为直径的圆上，由于点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，则利用四边形CEOF为正方得到EF=OC=2，所以M点的路径为以EF为直径的半圆，然后根据圆的周长公式计算点M运动的路径长．

【解答】解：取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，

∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2∴AB=

BC=4，

，

∴OC=AB=2，OP=AB=2， ∵M为PC的中点， ∴OM⊥PC， ∴∠CMO=90°，

∴点M在以OC为直径的圆上，

M点在E点；M点在F点，点P点在A点时，点P点在B点时，易得四边形CEOF为正方形，EF=OC=2，

∴M点的路径为以EF为直径的半圆， ∴点M运动的路径长=•2π•1=π． 故选B．

三、解答题：共9小题，共70分，请考生在答题卡相应的题号后作答，必须写

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出运算步骤、推理过程或文字说明． 15．解下列方程： （1）x2﹣2x﹣5=0；

（2）（x﹣3）2+2（x﹣3）=0．

【考点】解一元二次方程-因式分解法． 【分析】（1）公式法求解可得； （2）因式分解法求解可得．

【解答】解：（1）∵a=1，b=﹣2，c=﹣5， ∴△=4﹣4×1×（﹣5）=24＞0， ∴x=

=1；

（2）∵（x﹣3）2+2（x﹣3）=0，

∴（x﹣3）（x﹣3+2）=0，即（x﹣3）（x﹣1）=0， 则x﹣3=0或x﹣1=0， 解得：x=3或x=1．

16．如图，AB与⊙O相切于点B，AO及AO的延长线分别交⊙O于D、C两点，若∠A=40°，求∠C的度数．

【考点】切线的性质．

【分析】连接OB，利用切线的性质OB⊥AB，进而可得∠OBA=50°，再利用外角等于不相邻两内角的和，即可求得∠C的度数． 【解答】解：（1）如图，连接OB， ∵AB与⊙O相切于点B， ∴OB⊥AB， ∵∠A=40°，

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∴∠OBA=50°， 又∵OC=OB，

∴∠C=∠BOA=25°．

17．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）．

（1）将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A′BC′，请画出△A′BC′． （2）求BA边旋转到B′A′位置时所扫过图形的面积．

【考点】作图-旋转变换．

【分析】（1）利用旋转的性质得出各对应点位置，再顺次连结即可求解； （2）先根据勾股定理得到AB的长，再利用扇形面积公式得出答 【解答】解：（1）如图所示：△A′BC′即为所求，

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（2）∵AB==，

=

．

∴BA边旋转到BA″位置时所扫过图形的面积为：

18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD （1）求证：BD平分∠ABC；

（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．

【考点】圆周角定理；含30度角的直角三角形；垂径定理． 【分析】（1）由OD⊥AC OD为半径，根据垂径定理，即可得

=

，又由在同圆

或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可证得BD平分∠ABC；

（2）首先由OB=OD，易求得∠AOD的度数，又由OD⊥AC于E，可求得∠A的度数，然后由AB是⊙O的直径，根据圆周角定理，可得∠ACB=90°，继而可证得BC=OD．

【解答】证明：（1）∵OD⊥AC OD为半径， ∴

=

，

∴∠CBD=∠ABD， ∴BD平分∠ABC；

（2）∵OB=OD， ∴∠OBD=∠0DB=30°，

∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°， 又∵OD⊥AC于E， ∴∠OEA=90°，

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∴∠A=180°﹣∠OEA﹣∠AOD=180°﹣90°﹣60°=30°， 又∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°，

在Rt△ACB中，BC=AB， ∵OD=AB， ∴BC=OD．

19．某商品现在的售价为每件60元，每月可卖出300件，经市场调查发现：每件商品涨价1元，每月少卖出10件，已知商品的进价为每件40元．

（1）设每件这种商品涨价x元，商场销售这种商品每月盈利y元，求出y与x之间的函数关系式；

（2）这种商品每件涨多少元时才能使每月利润最大，最大利润为多少？ 【考点】二次函数的应用．

【分析】（1）根据“总利润=单件利润×销售量”可列出函数解析式； （2）由二次函数的顶点式可得其最值情况，即可解答． 【解答】解：（1）根据题意可得： y=（60﹣40+x） =﹣10x2+100x+6000 =﹣10（x﹣5）2+6250； ∵300﹣10x≥0， ∴0≤x≤30；

（2）∵y=﹣10（x﹣5）2+6250， ∴当x=5时，y最大=6250，

答：这种商品每件涨5元时才能使每月利润最大，最大利润为6250元．

20．从﹣2，﹣，0，4中任取一个数记为m，再从余下的三个数中，任取一个

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数记为n，若k=m•n．

（1）请用列表或画树状图的方法表示取出数字的所有结果； （2）求正比例函数y=kx的图象经过第一、三象限的概率． 【考点】列表法与树状图法．

【分析】（1）画树状图展示所有12种等可能的结果数；

（2）利用正比例函数的性质得到k＞0时，正比例函数y=kx的图象经过第一、三象限，然后找出两数之积为正数的结果数，再利用概率公式计算即可． 【解答】解：（1）画树状图为：

共有12种等可能的结果数；

（2）两数之积为正数的结果数为2，即k＞0有两种可能， 所以正比例函数y=kx的图象经过第一、三象限的概率=

21．某市要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？

【考点】一元二次方程的应用．

【分析】可设比赛组织者应邀请x队参赛，则每个队参加（x﹣1）场比赛，则共有

场比赛，可以列出一个一元二次方程，求解，舍去小于0的值，即可

=．

得所求的结果．

【解答】解：∵赛程计划安排7天，每天安排4场比赛， ∴共7×4=28场比赛．

设比赛组织者应邀请x队参赛， 则由题意可列方程为：解得：x1=8，x2=﹣7（舍去）， 答：比赛组织者应邀请8队参赛．

=28．

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22．如图，以AB为直径的⊙O经过AC的中点D，DE⊥BC于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）当AB=4

，∠C=30°时，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）．

【考点】切线的判定；扇形面积的计算．

【分析】（1）连接OD，利用平行线的判定定理可以得到∠ODE=∠DEC=90°，从而判断DE是圆的切线；

（2）过点O作OF⊥AD，垂足为F，根据等腰三角形的性质得到∠AOD=120°，然后求得阴影部分面积即可． 【解答】解：（1）连接OD，

∵AB是⊙O的直径，D是AC的中点， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥BC， ∵DE⊥BC， ∴OD⊥DE， ∵点D在圆上，

∴DE为⊙O的切线；

（2）过点O作OF⊥AD，垂足为F， ∵OD∥BC，∠C=∠ODF=30°， ∴∠ADO=30°， ∵OD=OA，

∴∠OAD=∠ODA=30°， ∴∠A=∠C， ∴AB=BC=4∴OD=2

，

，

，∠AOD=120°，OF=

∴AF=3，AD=6，

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∴S△AOD=AD•OF=×6×∴阴影部分面积S=

=3， ﹣3

=4

．

23．如图，抛物线y=ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，2）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）利用待定系数法转化为解方程组即可．

（2）如图1中，分两种情形讨论①当CP=CD时，②当DP=DC时，分别求出点P坐标即可．

（3）如图2中，作CM⊥EF于M，设E（a，﹣

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+2），F（a，﹣a2+a+2），

则EF=﹣a2+a+2﹣（﹣

△CEF

+2）=﹣a2+2a，（0≤a≤4），根据S四边形CDBF=S△BCD+S

+S△BEF=•BD•OC+•EF•CM+•EF•BN，构建二次函数，利用二次函数的性质

即可解决问题．

【解答】解：（1）由题意

，

解得，

∴二次函数的解析式为y=﹣x2+x+2．

（2）存在．如图1中，

∵C（0，2），D（，0）， ∴CD=

=，

当CP=CD时，P1（，4），

当DP=DC时，P2（，），P3（，﹣）．

综上所述，满足条件的点P坐标为（，4）或（，）或（，﹣）．

（3）如图2中，作CM⊥EF于M，

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∵B（4，0），C（0，2）， ∴直线BC的解析式为y=﹣∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣

，设E（a，﹣

+2），F（a，﹣a2+a+2），

+2）=﹣a2+2a，（0≤a≤4），

∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=•BD•OC+•EF•CM+•EF•BN =+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a） =﹣a2+4a+ =﹣（a﹣2）2+

，

，

∴a=2时，四边形CDBF的面积最大，最大值为∴E（2，1）．

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2月25日

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