用组合法解工程问题

专题简析：

在解答工程问题时，如果对题目提供的条件孤立、分散、静止地看，则难以找到明确的解题途径，若用“组合法”把具有相依关系的数学信息进行恰当组合，使之成为一个新的基本单位，便会使隐蔽的数量关系立刻明朗化，从而顺利找到解题途径。

例题1。

7

一项工程，甲、乙两队合作15天完成，若甲队做5天，乙队做3天，只能完成工程的 ，乙队单独完成

30全部工程需要几天？

1

【思路导航】此题已知甲、乙两队的工作效率和是 ，只要求出甲队货乙队的工作效率，则问题可解，然而

15

这正是本题的难点，用“组合法”将甲队独做5天，乙队独做3天，组合成甲、乙两队合作了3711

天后，甲队独做2天来考虑，就可以求出甲队2天的工作量 － ×3＝ ，从而求出甲队的

301530171

工作效率。所以 1÷【 －（ － ×3）÷（5－3）】＝20（天）

153015

练习1

1、 师、徒二人合做一批零件，12天可以完成。师傅先做了3天，因事外出，由徒弟接着做1天，共完成任

3

务的 。如果这批零件由师傅单独做，多少天可以完成？

20

5

2、 某项工程，甲、乙合做1天完成全部工程的 。如果这项工程由甲队独做2天，再由乙队独做3天，能

24

13

完成全部工程的 。甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？

24

8

3、 甲、乙两队合做，20天可完成一项工程。先由甲队独做8天，再由乙队独做12天，还剩这项工程的 。

15

甲、乙两队独做各需几天完成？

例题2。

1

一项工程，甲队独做12天可以完成。甲队先做了3天，再由乙队做2天，则能完成这项工程的 。现在

2甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完后发现两段所用时间相等。求两段一共用了几天？ 111

【思路导航】此题很容易先求乙队的工作效率是：（ － ×3）÷2＝ ；再由条件“做完后发现两段所用时

2128

间相等”的题意，可组合成由两个乙队和一个甲队合做需若干天完成，即可求出相等的时间。

（1） （2）

111

乙队每天完成这项工程的 （ － ×3）÷2＝

212811

两段时间一共是 1÷（ ×2+ ）×2＝6（天）

812

答：两段时间一共是6天。

练习2

8

1、 一项工程，甲队独做15天完成。若甲队先做5天，乙队再做4天能完成这项工程的 。现由甲、乙两队

15

合做若干天后，再由乙队单独做。做完后发现，两段时间相等。这两段时间一共是几天？

2、 一项工程，甲、乙合做8天完成。如果先让甲独做6天，再由乙独做，完成任务时发现乙比甲多了3天。

乙独做这项工程要几天完成？

3、 某工作，甲单独做要12天，乙单独做要18天，丙单独做要24天。这件工作先由甲做了若干天，再由乙接

着做；乙做的天数是甲3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙的2倍。终于完成了这一工作。问总共用了多少天？

例题3。

移栽西红柿苗若干棵，如果哥、弟二人合栽8小时完成，先由哥哥栽了3小时后，又由弟弟栽了1小时，11

还剩总棵数的 没有栽，已知哥哥每小时比弟弟每小时多栽7棵。共要移栽西红柿苗多少棵？

16

【思路导航】把“哥哥先栽了3小时，弟弟又栽了1小时”组合成“哥、的合栽了1小时后，哥哥又独做了2

小时”，就可以求出哥哥每小时栽总数的几分之几。 1113

哥哥每小时栽总数的几分之几 （1－ － ×1）÷（3－1）＝

16832313

一共要移栽的西红柿苗多少棵 7÷【 －（ － ）】＝112（棵）

32832练习3

1、 加工一批机器零件，师、徒合做12小时可以完成。先由师傅加工8小时，接着再由徒弟加工6小时，共

3

加工了这批零件的 。已知师傅每小时比徒弟多做10个零件。这批零件共有多少个？

5

3

2、 修一条公路，甲、乙两队合做6天可以完成。先由甲队修5天，再由乙队修3天，还剩这条公路的 没

10

有修。已知甲队每天比乙队多修20米。这条公路全长多少米？

3、 修一段公路，甲队独修要40天，乙队独修要用24天。两队同时从两端开工，结果在距中点750米处相

遇。这段公路全长多少米？

例题4。

一项工作，甲、乙、丙3人合做6小时可以完成。如果甲工作6小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这22

项工作的 ；如果甲、乙合做3小时后，丙做6小时，也可以完成这项工作的 。如果由甲、丙合做，需几小

33时完成？

2

【思路导航】将条件“甲工作6小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的 ”组合成“甲工作4小时，

3

2

甲、乙、丙合做2小时可以完成这项工作的 ”，则求出甲的工作效率。同理，运用“组合法”再

3求出丙的工作效率。

211

甲每小时完成这项工程的几分之几 （ － ×2）÷（6－2）＝

3612211

丙每小时完成这项工程的几分之几 （ － ×3）÷（6－3）＝

3618

111

甲、 丙合做需完成的时间为： 1÷（ + ）＝7 （小时）

12185

练习4

1、 一项工作，甲、乙、丙三人合做，4小时可以完成。如果甲做4小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这

1311

项工作的 ；如果甲、乙合做2小时后，丙再做4小时，可以完成这项工作的 。这项工作如果由甲、

1818丙合做需几小时完成？

2、 一项工程，甲、乙合做6天可以完成，乙、丙合做10天可以完成。现在先由甲、乙、丙合做3天后，余

下的乙再做6天则可以完成。乙独做这项工程要几天就可以完成？

3、 一项工程，甲、乙两队合做10天完成，乙、丙两队合做8天完成。现在甲、乙、丙三队合做4天后，余

1

下的工程由乙队独做5 天完成。乙队单独做这项工程需多少天可以完成？

2

4、 一件工作，甲、乙合做4小时完成，乙、丙合做5小时完成。现在由甲、丙合做2小时后，余下的由乙6

小时完成。乙独做这件工作需几小时才能完成？

例题5。

一条公路，甲队独修24天可以完成，乙队独修30天可以完成。先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完成。如果由甲、乙、丙三队同时开工修这条公路，几天可以完成？

【思路导航】将条件“先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完成”组合成“甲、乙两队

各修（4+7）＝11天后，再由丙队单独修了7天才全部完成。”就可以求出丙队的工作效率。 111

丙队每天修这条公路的 【1－（ + ）】×（4+7）＝

243040111

三队合修完成时间为 1÷（ + + ）＝10（天）

243040

练习5

1、 一件工作，甲单独做12小时完成。现在甲、乙合做4小时后，乙又用6小时才完成。这件工作始终由甲、

乙合做几小时可以完成？

2、 一条水渠，甲队独挖120天完成，乙队独挖40天完成。现在两队合挖8天，剩下的由丙队加入一起挖，

又用12天挖完。这条水渠由丙队单独挖，多少天可以完成？

3、 一件工作，甲、乙合做6天可以完成，乙、丙合做10天可以完成。如果甲、丙合做3天后，由乙单独做，

还要9天才能完成。如果全部工作由3人合做，需几天可以完成？

4、 一项工程，甲、乙两队合做30天完成，甲队单独做24天后，乙队加入，两队又合做了12天。这时甲队

调走，乙队又继续做了15天才完成。甲队独做这项工程需要多少天？

第16周答案： 练1

3. 30天 2. 乙8天 甲： 12天 3. 乙： 60天 甲： 30天 练2

81111

1、 乙队的工作效率：（ － ×5）÷4＝ 总共的天数：1÷（ + ×2）×2＝12天

15152015201

2、 1÷【（1－ ×6）÷3】＝12天

8

111

3、 甲做的天数：1÷（ + ×3+ ×3×2）＝2天 总共的天数：2+2×3+2×3×2＝20天

121824练3

311111

1、 师傅每小时做这批零件的（ － ×6）÷（8－6）＝ 零件共有10÷【 －（ － ）】＝600

51220201220311111

2、 甲队每天修公路的（1－ － ×3）÷（5－3）＝ 公路全长 20÷【 －（ － ）】＝600米

10610106103、 甲、乙两队工作效率的比是：

11

： ＝3：5 4024

13

这段公路的全长 750÷（ － ）＝6000米 或 750×2÷（5－3）×（5+3）＝6000 米

23+5练4

13111111

1、 甲队的工作效率（ － ×2）÷（4－2）＝ 丙队的工作效率（ － ×2）÷（4－2）＝

184918418

11

甲、丙合做需要的时间1÷（ + ）＝6小时

918

111

2、 乙队每天能做全工程的【1－（ ×3－ ×3）】÷（6－3）＝

610151

乙队独做这项工程需要的时间1÷ ＝15天

15

1111

3． 乙队每天能做全工程的【1－（ ×4－ ×4）】÷（5 －4）＝

1082151

乙队单独做这项工程需要的时间1÷ ＝15天

15

111

4、 乙队的工作效率【1－（ ×2+ ×2）】÷（6－2－2）＝

45201

5、 乙独做这件工作需要的时间1÷ ＝20小时

20练5

11112

1. 乙每小时做这件工程的（1－ ×4）÷（6+4）＝ 甲、乙合做的时间1÷（ + ）＝6 小时

1215121531122

2、 甲、乙两队完成的工作量（ + ）×（8+2）＝ 丙队单独的时间1÷【（1－ ）÷12】＝36天

1204033111111

3． 乙的工作效率【1－（ ×3+ ×3）】÷（9－3－3）＝ 丙的工作效率 － ＝

6101510153011

三人合做需要的时间1÷（ + ）＝5天

610

111

4、 甲队的工作效率【1－ ×（12+15）】÷（24－15）＝ 甲队单独做需要的时间1÷ ＝90天

309090