平板壁面上流体边界层求解的数学模型.doc

文献综述

平板壁面上流体边界层求解的数学模型姓 名： 王晓明 学 号： 0821105128 院 系： 化工学院化学工程系 专 业： 化学工程与工艺

班

级：

081

摘要：我们生活中常见的一些流体，如水、空气，它们的粘性力相对于其他形式的力，如内力、重力和压力，都是相 对较小的，看起来似乎是可以被忽略的。然而在1744年的时候，d1 Alembert发现，如果我们考虑流体时把粘性完全 忽略，那么理论上得到的结果和实验中的结果会相差非常大。在1904年的第三届世界数学家大会上，Prantle.L提出 了边界层的概念，也为我们解决边界层的问题提出了一种方法。 关键词：边界层形成重要性理论依据边界层发展

边界层（boundary layer）是高雷诺数绕流屮紧贴物面的粘性力不可忽略的流动薄层，乂称 流动边界层、附面层。这个概念由近代流体力学的奠基人，徳国人Ludwig Prandtl于（普朗特） 1904年首先提出。从那时起，边界层研宄就成为流体力学中的一个重要课题和领域。在边界层 内，紧贴物面的流体由于分子引力的作用，完全粘附于物面上，与物体的相对速度为零。

一、边界层的形成

流体在大雷诺数下作绕流流动时，在离固体壁面较远处，粘性力比惯性力小得多，可以忽略; 但在固体壁面附近的薄层中，粘性力的影响则不能忽略，沿壁血法线方向存在相当大的速度梯度， 这一薄层叫做边界层。流体的雷诺数越大，边界层越薄。从边界层内的流动过渡到外部流动是 渐变的，所以边界层的厚度S通常定义为从物面到约等于99%的外部流动速度处的垂直距离， 它随着离物体前缘的距离增加而增大。根据雷诺数的大小，边界层内的流动有层流与湍流两种 形态。一般上游为层流边界层，下游从某处以后转变为湍流，且边界层急剧增厚。层流和湍流 之间有一过渡区。当所绕流的物体被加热（或冷却）或高速气流掠过物体吋，在邻近物面的薄 层区域有很大的温度梯度，这一薄层称为热边界层。

二、边界层理论

物体在雷诺数很大的流体屮以较髙的速度相对运动时，沿物体表而的法线方14,得到如阁（1） 所示的速度分布曲线。B点把速度分布曲线分成截然不同的AB和BC两部分，在AB段上，流 体运动速度从物体表面上的零迅速增加到U〜，速度的增加在很小的距离内完成，具有较大的速 度梯度。在BC段上，速度

U（x）接近Uoo，近似力一常数。

沿物体长度，把各断面所有的B点连结起來，得到S — S曲线，S — S曲线将整个流场划 分为性质完全不同的两个流区。从物体边壁到S〜S的流区存在着相当大的流速梯度，粘滞性的 作用不能忽略。边壁附近的这个流区就叫边界层。在边界层A,即使粘性很小的流体，也将有 较大的切应力值，使粘性力与

图（1）边界层速度分布曲线

惯性力具有同样的数量级.因此，流体在边界层内作剧烈的有旋运动。S-S以外的流区，流 体近乎以相同的速度运动，即边界层外部的流动不受固体边壁的粘滞影响，即使对于粘度较大 的流体，粘性也较小，可以忽略不计，这时流体的惯性力起主导作用。因此，可将流区中的流 体运动看作为理想流体的无旋运动，用流势理论和理想流体的伯努利方程确定该流区屮的流速 和压强分布。

通常称S-S为边界层的外边界，S-S到固体边壁的垂直距离S称为边界层厚度。流体与固体 边壁最先接触的点称为前驻点，在前驻点处3=0。沿着流动方向，边界层逐渐加厚，即S是流 程X的函数，可写为5

（X）。实际上边界层没有明显的外边界，一般规定边界层外边界处的速 度为外部势流速度的99°%。

边界层内存在层流和紊流两种状态，如图（2）所示，在边界层的前部，由于厚度S较小， 因此流动梯度dux/dy很大，粘滞应力T = p dux/dy的作用也很大：这吋边界层中的流动属于层 流，这种边界层称力层流边界层。边界层屮流动的雷诺数可以表示为

巾于边界厚度S是x的函数，所以这两种雷诺数之间存在一定的关系，x越大，

S越大，Rex, RCS均变大。当雷诺数达到一定数值时，经过一个过渡区后，流态转变为紊

流，从而成为紊流边界层。在紊流边界层里，最靠**板的地方，dux/dy仍很大，粘滞切应力 仍然起只要作川，使得流动形态仍为层流。所以在紊流边界层内有一个粘性底层。边界层内雷 诺数达到临界数值，流动形态转变为紊流的点（Xu）称为转捩点。相应的临界雷诺数为

图（2）

临界雷诺数并非常量，它与来流的脉动程度有关。如果来流也受到干扰，脉动强，流动状态的 改变发生在较底的雷诺数；反之则发生在较高的雷诺数。对于平板绕流，边界层临界雷诺数的 范围是

3xl0三、边界层的发J

十九世纪末叶，流体力学这门科学开始沿着两个方向发展，而这两个方向实际上毫无共同之

处，一个方向是理论流体动力学，它是从无摩擦、无粘性流体的Euler运动方程出发发展起来的， 并达到了高度完善的程度。然而，由于这种所谓经典流体动力学的结果与实验结果有明显的矛 盾——尤其是关于管道和渠道中压力损失这个非常重要的问题以及关于在流体中运动物体的阻 力问题——所以，它并没有多大

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的实际意义。正因为这样，注重实际的工程师为了解决在技术 迅速发展中所出现的重要问题，自行发展了一门高度经验性学科，即水力学。水力学以大S的 实验数据为基础，而且在方法上和研究对象上都与理论流体动力学大不相同。

本世纪初，L.Prandtl因解决了如何统一这两个背道而驰的流体动力学分支而著称于世。他 建立了理论和实验之间的紧密联系，并为流体力学的异常成功的发展铺平了道路。就是在Prandtl 之前，人们就己经认识到：在很多情形下，经典流体动力学的结果与试验结果不符，是由于该 理论忽略了流体的摩擦的缘故。而且，人们早就知道了有摩擦流动的完整的运动方程 （Navier-Stokes方程）。但是，因为求解这些方程在数学上及其困难（少数特殊情况除外），所 以从理论上处理粘性流体运动的道路受到了阻碍。此外，在两种最重要的流体，即水和空气屮， 巾于粘性很小，一般说來，巾粘性摩擦而产生的力远小于其它的力（重力和压力）。因为这个缘 故，人们很难理解被经典理论所忽略的摩擦力怎么会在如此大的程度上影响流体的运动。

在1904年Heidelberg数学讨论会上宣读的论文“具有很小摩擦的流体运动”屮，L.Prandtl指 出：有可能精确地分析一些很重要的实际问题中所山现的粘性流动。借助于理论研究和几个简 单的实验，他证明了绕固体的流动可以分成两个区域：一是物体附近很薄的一层（边界层），其 中摩擦起着主要的作用；二是该层以外的其余区域，这里摩擦可以忽略不计。基于这个假设， Prandtl成功地对粘性流动的重要意义给出了物理上透彻的解释，同时对相应的数学上的困难做 了最大程度的简化。甚至在当时，这些理论上的论点就得到一些简单实验的支持，这些实验是 在Prandtr亲手建造的水洞中做的。因此他在重新统一理论和实践方面迈出了第一步。边界层理 论在为发展流体动力学提供一个有效的工具方面证明是极其有成效的。自

20世纪以来，在新近 发展起來的空气动力学这门学科的推动下，边界层理论己经得到了迅速的发展。在一个很短的 时间它与其他非常重要的进展（机翼理论和气体动力学）一起，已成为现代流体力学的基 石之一 O

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