(完整word版)搞定空间几何体的外接球

专题3 搞定空间几何体的外接球与内切球

一、基本方法:

（1)定心:确定球心，构造直角三角形利用正余弦定理及勾股定理求解（R2r2d2）;该方法是解决外接球问题的主要的通法，但对空间想象能力、作图能力要求较高；所以熟悉以下的几种模型才能准确快速的解决外接球问题。

(2）补形：补成长方体,利用长方体对角线求解（4R2a2b2c2）；有些几何体比较难确定球心，而几何体刚好是长方体的一部分，其外接球与长方体的外接球是同一个球，故可利用长方体模型求解.

另外有些不规则的几何体还可以选择建系，设球心，利用球心到各顶点的距离相等求出球心坐标求解.但该方法计算量大，高考一般不会考查.高考中以模型一、二、三、四为主。

P类型一:锥体模型（P的射影是ABC的外心即侧棱长相等) 第一步：确定球心O的位置，取ABC的外心O1，则P,O,O1三点

O共线；

CAO1BD第二步:先算出小圆O1的半径AO1r，再算出棱锥的高PO1h; 第三步：勾股定理：OAO1AO1OR(hR)r，解出类型二：柱体模型（直棱柱、圆柱）

第一步：确定球心O的位置,O1是ABC的外心，则OO1平面

图5-4222222R

C1A1O2B1FABC；

11第二步:算出小圆O1的半径AO1r，OO1AA1h;

22h第三步：勾股定理：OA2O1A2O1O2R2()2r2

2OCAO1BEhRr2()2，解出R

2类型三：线面垂直模型（一条直线垂直于一个平面，柱体也可以归于该模第一步:将ABC画在小圆面上,D为小圆上任意的一点，;

P图3-1型）

半

O第二步：O1为ABC的外心,所以OO1平面ABC，算出小圆O1的

径

O1Dr(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得

1abc2r），dOO1PA; sinAsinBsinC2第三步:利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:R2r2d2。 类型四：长方体模型

1。三条棱两两垂直，可补形为长方体

AO1BCD图5(完整word版)搞定空间几何体的外接球

PPPcAaBbCcCAbaBAbaBcC 图1-1 图1-22 图1-3222 方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R)abc,求出R 2.三棱锥(即四面体）中,三组对棱分别相等，亦可补形为长方第一步：画出一个长方体,标出三组互为异面直线的对棱；

A体

xyzzxBab第二步：设出长方体的长宽高分别为a,b,c，ADBCx,

DycCABCDy，ACBDz,

x2y2z2第三步：由2Rabc，求出R。

2222图2-1类型五：二面角模型(两个三角形拼在一起,一般为两等腰三角形或直角三角1.当两等腰三角形由公共底边折叠时,

第一步:先画出如图所示的图形,将BCD画在小圆上，找出A'形） BCD和

OABD的外心H1和H2;

H2第二步：过H1和H2分别作其所在平面的垂线，两垂线的交点接OE,OC；

DH1ECAB即为球心O,连

图6第三步:解OEH1，算出OH1，再由勾股定理：OH12CH12OC2,求出球的半径R。

2. 当两直角三角形由公共斜边折叠时，其公共斜边就是外接球的直径。

类型六：内切球问题 1．正棱锥的内切球。

第一步：先现出内切球的截面图,E,H分别是两个三角形的外

P心；

EADB图8-1HOCOEPO第二步：由POE相似于PDH，建立等式：，解DHPD2．任意多面体的内切球：等体积法，

出r

3V第一步:先求出多面体的表面积和体积； 第二步：解出r

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